Bài giảng luyện thi Hình học 10

Cho tứ giác ABCD có các đường chéo vuông góc với nhau, nội tiếp trong đường tròn O,R.. Gọi M là trung điểm của AB, S là giao của hai đường chéo..[r]

Trường THPT Cẩm Bình Bµi gi¶ng luyÖn thi $ VEC TƠ, CÁC PHÉP TOÁN VỀ VEC TƠ I KIẾN THỨC CƠ BẢN 1) Caùc ñònh nghóa: - Veùc tô - Hai véc tơ cùng phương, cùng hướng - Veùc tô – khoâng - Độ dài véc tơ, hai véc tơ 2) Caùc quy taéc: uur uuur uuur Quy taéc ba ñieåm: " A, B, C baát kì ta coù AB + BC = AC uur uuur uuur Quy taéc hình bình haønh: Neáu ABCD laø hình bình haønh thì AB + AD = AC uur uur uur Quy tắc hiệu: Cho hai điểm A, B với điểm O bất kì ta có OB - OA = AB 3) Caùc tính chaát: Cho I laø trung ñieåm AB, M baát kì thì ta coù uur uur r * IA + IB = O uuur uuur uuur * MA + MB = MI Cho G laø troïng taâm tam giaùc ABC, M baát kì ta coù uur uuur uuur r * GA + GB + GC = O uuur uuur uuur uuur * MA + MB + MC = 3MG r r r r r r a vaø b cuøng phöông, a ¹ Û $k Î ¡ : b=k.a uur uuur (A, B, C thaúng haøng ) Û $k Î ¡ : AB = k.AC r r r r r r Nếu a và b không cùng phương, x bất kì Khi đó tồn cặp (m, n) cho x=ma+nb ( ) ( ) ( ) II Baøi taäp uuur uuur uuur uuur BT Chứng minh ABCD là hình bình hành và MA + MC = MB + MD, " M ? uur uuur uuur uuur uuur uuur HD :ABCD laø hbh Û AB = DC Û MB - MA = MC - MD, " M uuur uuur uuur uuur Suy ra: hai đoạn thẳng AC, BD có chung trung điểm MA + MC = MB + MD, " M BT Cho ngũ giác ABCDE Trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DE là M, N, P, Q I là trung điểm MP, J là trung điểm NQ Chứng minh IJ P AE , IJ = AE Hướng dẫn: Lop10.com Trường THPT Cẩm Bình Bµi gi¶ng luyÖn thi BT Gọi H, O là trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh raèng uur uur uuur uuur a) OA + OB + OC = OH uuur uuur uuur uuur b) HA + HB + HC = HO HD - Gọi B’ là điểm đối xứng với B qua O CMR AB’CH laø hình bình haønh? - Goïi D laø trung ñieåm cuûa BC CMR AH= 2OD? Suy ra: uur uuur uuur uuur uuur a) OA = OH + HA = OH - AH uuur uuur = OH - 2OD uuur uur uuur = OH - OB + OC uur uur uuur uuur hay OA + OB + OC = OH (1) b) Goïi G laø troïng taâm tam giaùc ABC ta coù uuur uuur uuur uuur HA + HB + HC = 3HG uuur uuur = HO + OG uuur uur uur uuur = 3HO + OA + OB + OC (2) ( ( ) ) Từ (1), (2) suy đpcm cho b) BT Cho tam giác ABC trọng tâm G, M tùy ý A1, B1, C1 là các điểm đối xứng M qua caùc trung ñieåm I, J, K cuûa caùc caïnh BC, CA, AB a) CMR AA1, BB1, CC1 đồng quy trung điểm O đoạn? b) CMR M, O, G thaúng haøng? HD : a) uuur uuuur uuur uuur uuur MA + MA1 = MA + MB + MC uuur uuuur uuur uuur uuur MB + MB1 = MA + MB + MC uuur uuuur uuur uuur uuur MC + MC1 = MA + MB + MC uuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur Þ MA + MA1 = MB + MB1 = MC + MC1 Þ AA1 , BB1 , CC1 coù chung trung ñieåm O b) uuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuur MO = MA + MA1 = MA + MB + MC = 3MG uuur uuur Þ MO = MG BT Cho tam giác ABC, M là điểm tùy ý trên cạnh BC Chứng minh rằng: uuur MC uur MB uuur AM = AB + AC BC BC HD : uuur uur uuur uuur uur uuur uuur uur uuur ïìï AM = AB + BM ïìï MC AM = MC AB + MC.BM uuur uuur uuur Þ BC AM = MC AB + MB AC í uuur uuur uuur Þ í ïï AM = AC + CM ïï MB AM = MB AC + MB.CM îï îï uuur uuur r Vì : MC.BM và MB.CM cùng độ dài ngược hướng nên tổng Lop10.com Trường THPT Cẩm Bình Bµi gi¶ng luyÖn thi BT Cho tứ giác ABCD Các điểm M, N thuộc các đoạn AD, BC cho uur uuur uuur nAB + mDC MA NB m = = Chứng minh MN = MD NC n m+ n HD : uuur uuur uur uuur uuur uuur uur uuur ìï MN = MA + AB + BN ìï nMN = nMA + nAB + nBN uuur uur uuur ï ï uuur uuur uuur Þ (m + n) MN = n AB + m.DC í uuur uuur uuur uuur Þ í uuur ïï MN = MD + DC + CN ïï mMN = mMD + mDC + mCN îï îï uuur uuur ìï n.MA vaø m.MD r ï Vì : í uuur uuur cùng độ dài ngược hướng nên tổng ïï n.BN vaø m.CN ïî BT 7.Cho đoạn thẳng AB và hai số a , b không đồng thời CMR: uur uur r a) Neáu a + b = thì khoâng toàn taïi I cho a IA + b IB = uur uur r b) Neáu a + b ¹ thì toàn taïi nhaát ñieåm I cho a IA + b IB = BT Cho tam giác ABC và ba số a , b , g không đồng thời CMR: uur uur uur r a) a +b +g ¹ thì toàn taïi nhaát ñieåm I cho a IA + b IB + g IC = uur uur uur r b) a +b +g = thì khoâng toàn taïi ñieåm I cho a IA + b IB + g IC = Giaûi a) a +b +g ¹ Þ (a +b )+ (b +g)+ (g +a ) ¹ Þ moät ba soá a +b , b +g , g +a ¹ uur uur r Chẳng hạn a +b ¹ Khi đó tồn điểm E cho a EA + b EB = 0, suy uur uur uur r uur uur uur uur uur r a IA + b IB + g IC = Û a IE + EA + b IE + IB + g IC = uur uur r Û (a + b )IE + g IC = neân toàn taïi I laø nhaát ( ) ( ) b) C/m phản chứng BT Cho tam giác ABC Tìm tập hợp các điểm M cho uuur uuur uuur uuur uuur uuur a) MA + 3MB - MC = MA - MB - MC uuur uuur uuur uuur uuur uuur b) MA + MB + MC = MA + MB + 3MC Giaûi uur uur uur r a) Lấy điểm I cho IA + 3IB - IC = Khi đó uuur uuur uuur uuur " M, ta coù MA + 3MB - MC = MI uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur Maët khaùc MA - MB - MC = MA - MB + MA - MC uur uur uur = BA + CA = EA ( E trung ñieåm BC) uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uur Suy MA + 3MB - MC = MA - MB - MC Û MI = EA Vậy tập hợp M là đường tròn tâm I, bán kính EA uur uuur uuur ìï GA + GB + GC = 0r ï b) Laáy ñieåm G, H cho í uuur đó với M, ta có uuur uuur ïï HA + HB + 3HC = 0r ïî uuur uuur uuur uuur ìï MA + MB + MC = 3MG uuur uuur uuur uuur uuur uuur ïí uuur uuur uuur uuur Þ MA + MB + MC = MA + MB + 3MC ïï MA + MB + 3MC = MH ïî uuur uuur Û 3MG = MH Û MG = MH Vậy tập hợp M là đường trung trực đoạn GH Lop10.com Trường THPT Cẩm Bình Bµi gi¶ng luyÖn thi BT 10 Cho tam giác ABC và đường thẳng D Tìm trên D điểm M cho uuur uuur uuur MA + MB + 3MC đạt giá trị nhỏ nhất? uur uur uur r Giải Lấy I cho IA + IB + 3IC = Khi đó " M ta có uuur uuur uuur uuur MA + MB + 3MC = 5MI uuur uuur uuur uuur Vậy MA + MB + 3MC đạt giá trị nhỏ Û 5MI đạt GTNN vì M Ỵ D suy M là chân đường cao hạ từ I xuống D BT 11.Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC và tiếp xúc với AB, BC, CA M, N, uur uur uur r P CMR: BC.IM + AC.IN + AB.IP = Ta coù ìï AP = AN = p - a ïï ïí BM = BP = p - b ïï ïïî CN = CM = p - c æ a + b + cö ÷ ç ÷ p= ç ÷ ç ÷ è ø uur uur uuur ìï IM = IB + BM ï í uur uur uuur ïï IM = IC + CM ïî uur uur uuur ìï MCIM = MCIB + MCBM ï Þ í uur uur uuur ïï MBIM = MBIC + MBCM ïî uur MC uur MB uur Þ IM = IB + IC BC BC uur uur uur Þ aIM = ( p - c)IB + ( p - b)IC Tương tự ta có uur uur uur ìï aIM = ( p - c)IB + ( p - b)IC ïï uur uur uur uur uur uur uur uur ïï uur bIN = ( p a ) IC + ( p c ) IA Þ aIM + bIN + cIP = aIA + bIB + cIC (*) í ïï uur uur uur ïï cIP = ( p - b)IA + ( p - a)IB ïî uur uur uur r HB c Ta c/m aIA + bIB + cIC = thaät vaäy Goïi H=AI Ç BC ta coù = HC b uur uur uur uur uur uuur uur uuur vaø aIA + bIB + cIC = aIA + b( IH + HB) + c( IH + HC ) uur uur uuur uuur r =aIA + (b + c)IH + bHB + cHC 144442r 44443 = ( Do a+b+c ¹ vaø I, A, H thaúng haøng) BT 12 Cho tam giaùc ABC, ñieåm M baát kì tam giaùc Ñaët S(MBC)= Sa , S(MCA)= Sb , uuur uuur uuur r S(MAB) = Sc CMR: Sa MA + Sb MB + Sc MC = Gọi H là giao điểm MA với BC Ta có uuur HC uuur HB uuur MH = MB + MC BC BC HC S( MHC ) S( MAC ) Sb Nhöng = = = HB S( MHB) S( MAB) Sc Lop10.com Trường THPT Cẩm Bình Bµi gi¶ng luyÖn thi ìï ïï ïï Þ ïí ïï ïï ïïî Sb HC = BC Sb + Sc Sc HB = BC Sb + Sc uuur HC uuur HB uuur Sb uuur Sc uuur Þ MH = MB + MC = MB + MC (*) BC BC Sb + Sc Sb + Sc Sa MH S( MHB) S( MHC ) S( MHB) + S( MHC ) = = = = MA S( MAB) S( MAC ) S( MAB) + S( MAC ) Sb + Sc uuur Sa uuur Þ MH = MB (**) Sb + Sc Maët khaùc Từ (*), (**) ta có đpcm BT 13 Cho tam giác ABC tâm O, M bất kì nằm tam giác D, E, F lần lươt là chân đường cao hạ từ M xuống BC, CA, AB và H, I, K là điểm đối xứng với M qua BC, CA, AB CMR: uuur uuur uuur uuur a) MD + ME + MF = MO b) Tam giaùc ABC vaø tam giaùc HIK coù cuøng troïng taâm? Gọi AT, BS, CV là ba đường cao tam giaùc ABC Ñaët S(MBC)= Sa , S(MCA)= Sb , S(MAB) = Sc , S(ABC)= S ta coù uuur uuur uuur r Sa MA + Sb MB + Sc MC = (1) Maët khaùc uuur r r r S uuu MD uuu Sa uuu MD = AT = a AT = AO AT S S uuur uu u r S b Tương tự ME = BO S uuur r Sc uuu MF = CO S uuur uuur uuur Þ MD + ME + MF uuu r uuu r uuu r = Sa AO + Sb BO + Sc CO 2S ( ) é uuur uuur êS MO - MA + Sb 2S ë a uuur = MO (Sa + Sb + Sc )2S = ( uuur uuur uuur uuur ù MO - MB + Sc MO - MC ú û uuu r uuu r uuu r 3 uuur Sa MA + Sb MB + Sc MC = MO 2S 144444444442 44444444443 ) ( ) ( ( ) ) r uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur b) MH + MI + MK = MD + ME + MF = 3MO suy O laø troïng taâm tam giaùc HIK ( ) BT 14 Cho hai tam giác ABC và A’B’C’; A’’, B’’, C’’ theo thứ tự là trọng tâm các tam giác BCA’, CAB’, ABC’ G, G’, G’’ theo thứ tự là trọng tâm các tam giác ABC, A’B’C’, A’’B’’C’’ CMR G, G’, G’’ thaúng haøng BT 15 Cho tứ giác ABCD; X, Y, Z, T theo thứ tự là trọng tâm các tam giác BCD, CDA, DAB, ABC CMR: AX, BY, CZ, DT đồng quy trọng tâm tứ giác BT 16 Cho tứ giác ABCD Tìm tập hợp các điểm M cho uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur a) MA + MB + MC + MD = MA + MB - MC uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur b) MA - MB + 3MC - MD = MB + 3MC - MD Lop10.com Trường THPT Cẩm Bình Bµi gi¶ng luyÖn thi $2 PHAÂN TÍCH MOÄT VEÙC TÔ THEO HAI VEÙC TÔ KHOÂNG CUØNG PHÖÔNG I Kiến thức       * a, b không cùng phương Khi đó x tồn cặp số (m, n) cho: x=ma+nb m  m '       * a, b khoâng cuøng phöông thì: ma+nb=m'a+n'b   n  n '   *M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k  MA  k MB      OA  kOB * MA  k MB (k  1), O baát kì ta coù: OM  1 k II Baøi taäp BC  n  AC  BD  O Phaân tích veùc tô Bài Cho hình thang ABCD (BC, AD là hai đáy), AD    AO theo caùc veùc tô AB vaø AD Do BOC và AOD đồng dạng, ta có:    BC  nAD OC BC    n     AO AD OC  nAO       Maët khaùc AC  AO  OC  AO  nAO   1  n AO      AO  AC  AB  BC 1 n 1 n    AB  nAD 1 n  n   AB  AD 1 n 1 n     Bài Cho tam giác ABC có trọng tâm G, H đối xứng với B qua G       a) CMR: AH  AC  AB vaø CH   AB  AC 3    b) M laø trung ñieåm BC CMR: MH  AC  AB 6  a)    * AH  AB  AG     AM  AB  AC 3     AH  AC  AB 3   3 * CH  CB  2CG     CN  CB  CA 3     CH  CA  CB 3     CA  CA  AB 3     AB  AC         Lop10.com  Trường THPT Cẩm Bình Bµi gi¶ng luyÖn thi            b) MH  MC  CH  BC  CH  BA  AC  AB  AC   AB  AC 2     Bài Cho tam giác ABC D, I là các điểm xác định hệ thức 3DB  DC  và     IA  3IB  IC    a) Tính AD theo AB, AC b) CMR: A, I, D thaúng haøng   c) M là trung điểm AB, N là điểm cho AN  k AC Xác định k để AD, MN, BC đồng quy? HD: Ta coù:    3DB  DC     DB  DC    DB  BC  3  DB  BC                IA  3IB  IC   IA  IB  IC  IB  IM  BC  DB M laø trung ñieåm AB  I laø trung ñieåm cuûa AD          a) DB  BC  DA  AB  BA  AC  AD  AB  AC       b) AI  AM  MI  AB  BD  AD  A, I , D thaúng haøng 2 c) Ta coù AD  BC=D   Để AD, BC, MN đồng quy thì D, M, N thẳng hàng  DM  mDN (1)             Từ gt ta có DM  DA  DB   DA  DC    DA  DC  DA  2 3  23       DA  AC (2)  3     DN  DA  AN  AB  k AC (3)          m           k2 Từ (1),(2),(3) suy ra: DA  AC  m AB  mk AC   m.k     Baøi Cho tam giaùc ABC, treân BC laáy ñieåm D cho BD  BC , goïi E laø ñieåm thoûa maõn heä     thức EA  EB  3EC     a) Tính ED theo EB, EC b) CMR: A, E, D thaún g haøng. c) F là điểm cho AF  k AC Xác định k để B, E, F thẳng hàng?     d) Hãy xác định điểm I và số thực m cho: MA  3MB  MC  mMI M Lop10.com Trường THPT Cẩm Bình Bµi gi¶ng luyÖn thi $3 TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VÉCTƠ I Kiến thức      Ñònh nghóa a.b  a b cos(a, b ) Tính chaát   * a.b  b a      * a b  c  a.b  a.c   a       * a.b    b   a  b   a  b   2 * a   a     * OA.OB  OA.OB ' ( B ' laø hình chieáu vuoâng goùc cuûa B leân OA)   I Baøi taäp Baøi Cho tam giaùc ABC coù AB = 2.a, AC = a, goùc A = 1200 M laø trung ñieåm AC a) Tính BC vaø BM?    b) Goïi N laø ñieåm treân BC cho BN = x Tính AN theo AB vaø AC ? c) Tìm x để AN vuông góc với BM? HD: a)   BC2  AC  AB    AC  AB  AB AC.cos1200  7a  BC  a      Tương tự BM  AM  AB  AC  AB a  BM  21 b) BN  x , CN  a  x     x.NC  a  x NB         NB  NC     AN  AC  AB  x AC  a  x AB BC BC a   3a c) AN  BM  AN BM    x  Bài Cho tam giác ABC đều, độ dài cạnh 3.a Lấy M, N, P trên các cạnh BC, CA, AB cho BM = a,  CN = 2.a, AP  = x(0  < x < 3.a) a) Tính AM theo AB vaø AC ?    x   b) CMR: PN   AC  AB  3 a  c) Tìm x để AM vuông góc với PN? Bài Cho tam giác ABC đều, nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R a) CMR : M  (O )  MA2  MB  MC  R     b) Ñaët P=MA  MB  3MC cmr : P  MO OA  2OB  3OC  c) Tìm M trên (O) để P đạt GTLN, GTNN Tìm các giá trị đó? Lop10.com  Trường THPT Cẩm Bình Bµi gi¶ng luyÖn thi            HD: c) P=2 MO OA  2OB  3OC  R OA  2OB  3OC cos MO, OA  2OB  3OC        2 R OA  2OB  3OC  P  R OA  2OB  3OC (*)          Maët khaùc OA  2OB  3OC  OA  OC  OB  OC  CA  2CB      CA  2CB  CA2  4CB  4CACB  7CA2    CA  2CB  a  R 21(ñònh lí sin) (**)           Từ (*), (**) ta có -2R 21  P  R 21 Baøi Cho tam giaù ABC, G là trọng tâm Tìm tập hợp các điểm M cho:  c a) MBMC  MBMG  AB     b) MA  3MB MA  MB       c) MA  3MB MA  MB  MC   d ) MB  MC  3MBMC       e) MA2  MB  MC Bài Gọi a, b, c là độ dài cạnh BC, CA, AB tam giác ABC a2  b2  c cos A cos B cos C a) CMR :    2abc a b c     AB AC  b) CMR : M naèm treân tia phaân giaùc Ax cuûa goùc A  AM   0  c b   c) A ' laø trung ñieåm BC CMR: A'  Ax  b  c Bài Cho hình chữ nhật ABCD H là hình chiếu A lên BD; M, N là trung điểm BH, CD CMR: MA vuông góc với MN HD :      AM  AB  AH      MN  BC  HD     AM MN       Bài Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn  (O, R).   a) CMR: H là trực tâm và OH  OA  OB  OC b) Khi tam giác ABC không Tìm điểm M thuộc (O, R) cho MA2  MB  MC đạt GTLN, GTNN Bài Tam giác ABC cân A nội tiếp đường tròn (O) D là trung điểm AB, E là trọng tâm tam giác ADC CMR: OE vuông góc với CD       CD  CA  CD  OA  OB  2OC 2           OE  OA  OD  OC  OA  OA  OB  OC  3         3OA  OB  2OC 6  CD.OE             Lop10.com Trường THPT Cẩm Bình Bµi gi¶ng luyÖn thi Bài Cho tứ giác ABCD, hai đường chéo cắt O H, K là trực tâm tam giác AOB và COD I, J là trung điểm AD, BC CMR: HK vuông góc với IJ HD     HK  OK  OH      IJ  AB  DC        HK IJ  OK AB  OH DC        OK OB  OA  OH OC  OD          OK OB  OH OD  OK OA  OH OC (1)             OK  CK  CO  DK  DO Maët khaùc ta coù:       suy OH  BH  BO  AH  AO        OK OB  CK  CO OB  OB.OC          *          OK OB  OH OD  OB.OC  OA.OD (2) OH OD  AH  AO OD  OA.OD         OK OA  DK  DO OA  OA.OD          *          OK OA  OH OC  OA.OD  OB.OC (3) OH OC  BH  BO OC  OB.OC  Từ (1), (2), (3) ta có đpcm Baøi 10 Cho tam giaùc ABC caân taïi A, M laø trung ñieåm BC, H laø hình chieáu cuûa M treân AC vaø E là trung điểm MH CMR: AE vuông góc với BH HD    2 AE  AM  AH      BH  BM  MH        AE.BH  AM  AH BM  MH      AM MH  AH BM       AM MH  AM  MH MC      AM MH  MH MC      HM MH  MH MH               (ñpcm)   Bài 11 Cho tam giác ABC cạnh a Điểm E xác định AE  AB Tìm trên AC điểm M cho BM vuông góc với CE HD      AE  AB  AE  BE     2CE  2CA  AE     CE  CA  CB     3 CE  CB  BE Lop10.com Trường THPT Cẩm Bình Bµi gi¶ng luyÖn thi    a  x AM  xCM     a  x BM  a  x BA  a  x AM  a  x  x   BM  BA  BC     a a  xBM  xBC  xCM     a Vaäy CE  BM  CE.BM   x   AM  AC 5 Bài 12 Cho tam giác ABC vuông cân A có AB = AC = a Gọi M, N, P là ba điểm AM BN CP thuoäc ba caïnh AB, BC, CA cho CMR: AN  PM vaø AN=PM   AB BC CA HD : AM BN CP Giả sử   k AB BC CA    AM  k AB      BN  kBC    CP  kCA  Ta laïi coù       MP  AP  AM  1  k AC  k AB           AN  AB  BN  AB  kBC  k AC  1  k AB    Suy MP AN  k 1  k AC  k 1  k AB   ñpcm   2    MP   k AC  k AB   1  k  AC  a2 AB   2k  2k a2       ñpcm      AN  1  k AB  k AC   1  k 2 AB  a2 AC   2k  2k a2    Bài 13 Cho hình thang vuông ABCD đường cao AB = h, cạnh đáy AD = a, BC = b Tìm mối liên hệ a, b, h để: i) AC vuông góc với DB ii) IA vuông góc với IB với I là trung điểm CD   AC  DB  AC.BD       AB  BC AD  AB         AB AD  AB AB  BC AD  BC AB     h2  BC AD     BC AD cos( BC , AD )  h2          a.b  h2   a.b  h2       IA  IB  AI BI   AD  AC BD  BC  2          AD.BD  AD.BC  AC BD  AC BC       AD  AD.BC  BC  AC BD         AD  AD.BC  BC  AB  BC BA  AD     2  AD  AD.BC  BC  AB  BC AD        a  b  h  2ab   a  b  h Lop10.com  Trường THPT Cẩm Bình Bµi gi¶ng luyÖn thi Bài 14 Cho tứ giác ABCD M, N là trung điểm AC, BD; P, Q là trung điểm cuûa BC, AD CMR: MN  PQ  AB  CD       MN  MA  AN   AC  AB  AD 2       AB  AD  AC       PQ  PA  AQ  AD  AB  AC 2       AD  AB  AC                 MN  PQ  MN  PQ  AB  AD  AC  AD  AB  AC     4    4     AB AD  AB AC  AD AC   AB AD  AD AC  AB AC      AB AD  AB AC        AB AD  AC   AB.CD   AB  CD       Bài 15 Cho tứ giác ABCD có các đường chéo vuông góc với nhau, nội tiếp đường tròn (O,R) Gọi M là trung điểm AB, S là giao hai đường chéo CMR: MS  CD Gọi E, F là trung điểm BD và AC; Gọi M,N là trung điểm AD và BC;        * OS  OE  OF  OB  OD  OA  OC    * OM  OA  OB        MS  OS  OM  OC  OD  ON      MS.CD  ON CD   ñpcm       Lop10.com Trường THPT Cẩm Bình Bµi gi¶ng luyÖn thi $ TOÁN QUỶ TÍCH I Kiến thức - Chọn đối tượng cố định cho trước, - Biểu diễn các vấn đề liên quan đến điểm cần tìm quỷ tích qua đối tượng cố định - Keát luaän II Baøi taäp Baøi Cho tam giaù ABC,G là trọng tâm Tìm tập hợp các điểm M cho:  c a) MBMC  MBMG  AB     b) MA  3MB MA  MB       c) MA  3MB MA  MB  MC   d ) MB  MC  3MBMC       e) MA2  MB  MC Baøi Cho hình vuông ABCD cạnh a Tìm tập hợp các điểm M cho:     a) MA.MC  MB.MD  a2 b) MA2  MB  MC  3MD      c) MA  MB  MC MC  MB  3a2    d )2 MA2  MB  MC  MD Gọi O là giao hai đường chéo, ta có     a) MA.MC  MB.MD  a2        MO  OA MO  OC  MO  OB        MO  OA MO  OA  MO  OB     MO  OA2  OB  a2  MO  a         MO  OD  a    MO   OB  a 2 Keát luaän b) MA2  MB  MC  3MD          MO  OA  MO  OB  MO  OC  MO  OD          MO OA  OB  OC  3OD   3MO.DG   MO  DG           Keát luaän          c) MA  MB  MC MC  MB  3a2  3MG.BC  3a2  MG.BC  a2 (*)    Gọi K, H là hình chiếu vuông góc M, G lên BC ta có:   a2 a2 MG.BC  a2  KH BC  a2  KH   M  ()  BC và cách H khoảng BC BC      d )Gọi I là điểm thoả mãn hệ thức IA  IB  IC  ID             IA  IA  ID  IB  IC   IA  DA  CB     IA  AD  I coá ñònh          2 MA2  MB  MC  MD  MI  IA  MI  IB  MI  IC  MI  ID      MI  IA2  IB  IC  ID   MI  6a2 Lop10.com      M  I , a   Trường THPT Cẩm Bình Bµi gi¶ng luyÖn thi Baøi Cho tam giaùc ABC vuoâng taïi A vaø AB = c, AC  = b,BC = a 2 a) Tìm điểm I thoả mãn hệ thức a IA  b IB  c IC  b) Tìm tập hợp điểm M thoả mãn hệ thức a2 MA2  b2 MB  c MC  2b2 c Goïi H laø hình chieáu vuoâng goùc cuûa A leân BC , ta coù: AB  BH BC , AC  CH BC 1   2 AH AB AC        AH  AB  BH  HC AH  HC AB  HCBH a)          AH  AC  CH HB AH  HB AC  HB CH          BC AH  HC AB  HB AC  BC AH  HC.BC AB  HB.BC AC         BC AH  AC AB  AB AC  a2 HA  b2 AB  c AC          a2 IH  IA  b2 IB  IA  c IC  IA  I baát kyø       a2 IA  b2 IB  c IC  a2 IH  b2  c IA        Vaäy a2 IA  b2 IB  c IC   a2 IH  b2  c IA   I laø trung ñieåm AH           b) Với I là trung điểm AH, ta có:       a2 MA2  b2 MB  c MC  a2 MI  IA  b2 MI  IB  c MI  IC         a2  b2  c MI  a2 IA2  b2 IB  c IC  (*) b2 c b2 c 2  IA  a2 4.a2 c  BH AH * IB   2 b  CH AH * IC   b2 c b2 c  b2 BH b2 AH b2 c  c 2CH c AH  a2 IA2  b2 IB  c IC      4 2 2 5b c a AH   CH BC.BH  BH BC.CH  4 2 AB AC BC =b2 c  CH BH BC  b2 c  2 BC 3b2 c  (**) 3b2 c Từ (*) và (**) ta a2 MA2  b2 MB  c MC  2b2 c  a2  b2  c MI   2b c 2  bc  b2 c2 bc  2a2 MI   MI   M  I,  2a  2a  * AH     Lop10.com  Trường THPT Cẩm Bình Bµi gi¶ng luyÖn thi Baøi Cho tam giaùc ABC vaø ñieåm M tuyø     a) CMR: m  MA  MB  3MC độc lập M   b) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC CMR: 2MA  MB  3MC  MO.m c) Tìm tập hợp điểm M cho 2MA  MB  3MC Baøi Cho tam giaùc ABC coù AB = c, AC = b, BC = a a2 a) Tìm tập hợp điểm N cho NB  NC  NA  2 2 b) Tìm tập hợp điểm M cho 3MA  MB  MC  l HD : a) NB  NC  NA 2 a2  AB  AC      AI AI  NA  2     a2 a2   NA  AB  NA  AC  NA  2       NA AB  AC   AI  NA AI       AI NI  NA   NK  AI          I laø trung ñieåm BC, K laø trung ñieåm AI.      A, B, C phaân bieät khoâng thaúng haøng, b)   ! I cho: 3IA  IB  IC  3+2-1          IA  IB  IB  IC   IN  3IM (*) M , N laø trung ñieåm AB, BC      Ta coù: 3MA  MI  IA  3MI  3IA2  MI IA     2MB2  MI  IB  MI  IB  MI IB     MC2  MI  IC  MI  IC  MI IC           3MA  MB  MC  MI  3IA  IB  IC (**)   3IA  IB  IC  IA  IB  IB  IC   AB   BC  AB BC 2 2   IM   IN   IM  IN         2  2 2 6b 18b 3c a Từ (*),(**),(***) suy ra: 3MA  MB  MC  MI     16 16 2 =4 MI  6c  3b2  2a2  1 Vaäy 3MA  MB  MC  l  MI  l  6c  3b2  2a2  4    (***)   Bài Cho tam giác ABC không nhọn Tìm tập hợp các điểm M cho MA2  MB  MC       HD : Goïi I laø ñieåm cho IA  IB  IC   IC  BA  ABIC h.b.h       MA2  MB  MC  MI  IA  MI  IB  MI  IC          A 0  MI  IA2  IB  IC  IA2  AC  IC  2.CA.CI cos ACI  MI   M  I Lop10.com Trường THPT Cẩm Bình Bµi gi¶ng luyÖn thi $ TOÁN TÍNH TOÁN VAØ CHỨNG MINH HỆ THỨC HÌNH HỌC Kiến thức: * Các phép toán véc tơ và các tính chất * Các quy tắc đã học * Hệ thức lượng tam giác, chú ý tam giác vuông * Cách xác định góc hai véc tơ, hai đường thẳng Baøi taäp Bài Gọi a, b, c là độ dài cạnh BC, CA, AB tam giác ABC a2  b2  c cos A cos B cos C a) CMR :    2abc a b c     AB AC  b) CMR : M naèm treân tia phaân giaùc Ax cuûa goùc A  AM   0  c  b   c) A ' laø trung ñieåm BC CMR: A'  Ax  b  c        HD:a) AB  BC  CA   AB  BC  CA         a2  b2  c  AB.BC  AB.CA  BC.CA         a2  b2  c  BA.BC  AB AC  2CB.CA     a2  b2  c  2a.c.cos B  2c.b.cos A  2b.a.cos C  a2  b2  c cos A cos B cos C    2abc a b c b)Goïi Ax laø tia phaân giaùc goùc A        AB AM AC AM AM  AB AC  A A M  Ax  cos BAM  cos CAM      0 AB AM AC AM AM  AB AC      AB AC   AM   0  c b         AB AC     AB AC  c) A '  Ax  AA '       AB  AC  0  c   c  b b           2 AB AB AC AC AB AC       c  b 1  cos A    c b c b Bài Trên đáy AB tam giác cân ABC cho điểm P Chứng minh rằng: PC  AC  AP.BP         HD : Ta coù AC  AP.PB  AC  AC  CP PC  CB         AC  AC.PC  AC.CB  CP  CP.CB         AC  AC.PC  CB AC  CP  CP         AC AC  PC  CB AC  CP  CP       AC  CP AC  CB  CP              AP AC  CB  CP   AP CA  CB  CP   AP.CI  CP  CP                    Nhận xét điểm P hay ngoài đoạn AB kết luận đẳng thức cần c/m Bài Cho I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC với các cạnh BC = a, CA = b, AB = c IA2 IB IC Chứng minh rằng:    bc ca ab Lop10.com Trường THPT Cẩm Bình Bµi gi¶ng luyÖn thi - HD: Dựng hình bình hành IA2CB2, ta có      IC  IB2  IA2   IB   IA   IB2 AC AC b    IB IB A1B c IA2 BC BC a    IA IA BA c      aIA  bIB  cIC     Ta coù aIA  bIB  cIC          a2 IA2  b2 IB  c IC  2abIAIB  2bcIBIC  2caICIA  Maët khaùc       IA  IB  BA  IA  IB  AB  IAIB  IA2  IB  c       IB  IC  CB  IB  IC  CB  IBIC  IB  IC  a2       IC  IA  AC  IC  IA  AC  ICIA  IC  IA2  b2              a2 IA2  b2 IB  c IC  ab IA2  IB  c  bc IB  IC  a2  ca IC  IA2  b2     a  b  c  aIA2  bIB  cIC  abc a  b  c  ñpcm Baøi Cho tam giaùc ABC coù caùc caïnh BC = a, CA = b, AB = c H laø tröc taâm vaø (O,R) laø đường tròn ngoại tiếp tam giác; I, J là trung điểm HA, BC a) cmr: OH vaø IJ coù chung trung ñieåm b) cmr: AH  R  a2   c) cmr với vị trí M ta có MA  MB  MC  MH  MO  const  d ) cmr: OH  R  a2  b2  c  a) Gọi B’ đối xứng với B qua O - C/M AHCB’ laø hình bình haønh - C/M 2.OJ= CB’= HA= 2HI - Keát luaän     b) Ta có OH  OA  OB  OC tự c / m       OH  OA  OB  OC     AH  OB  OC    AH  OB  OC  2OB.OC (*)    Maët khaùc OB  OC  CB    OB  OC  2OB.OC  BC    2OB.OC  OB  OC  BC (**) Từ (*),(**) Ta có đpcm Lop10.com Trường THPT Cẩm Bình Bµi gi¶ng luyÖn thi c) Ta coù    MA  MO  OA  MO  OA2  MO.OA    MB2  MO  OB  MO  OB  MO.OB    MC2  MO  OC  MO  OC  MO.OC    MH  MO  OH  MO  OH  MO.OH                2  VT  OA2  OB  OC  OH  MO  OA  OB  OC  OH    3R  OH  const          d ) Ta có OH  OA  OB  OC tự c / m            OH  OA  OB  OC  OA2  OB  OC  2OA.OB  2OB.OC  2OC.OA     c     OA2  OB  OC  OA2  OB  AB  OB  OC  BC  OA2  OC  AC   R  a2  b2  Baøi Cho tam giaùc ABC, treân caïnh AC laáy ñieåm M, treân caïnh BC laáy ñieåm N cho : AM = 3MC, NC = 2NB O laø giao ñieåm cuûa AN vaø BM Tính dieän tích tam giaùc ABC bieát dieän tích tam giaùc OBN baèng Ta coù OI NB SONB OI NO     x SANB AH NA AH NB SANB AH NB NB   3 SABC CB AH CB 3.SONB  SABC   x x  NO  AO    Ta laïi coù BO  BA  BN  x.BA  1  x BN NA NA  NB  NM    AO  AM  AB  y AM  1  y AB MB MB        AO  BO   y AM  1  y AB    x.BA  1  x BN            AB  y AM  1  y AB  x.BA  1  x BN      y AM  x  y AB  1  x BN     x   3y   AC  x  y  AC  CB  CB  ( gt )   3y  x    x  y AC  x  y CB   AC  CB   3y  x  10  x  y     x  x  y  y      Lop10.com Trường THPT Cẩm Bình Bµi gi¶ng luyÖn thi $.6 TOÁN VỀ BĐT, GTLN, GTNN CỦA CÁC ĐẠI LƯỢNG HÌNH HỌC I Kiến thức - Nắm các quy tắc đã học - Các bất đẳng thức tam giác, bất đẳng thức trị tuyệt đối và các bất đẳng thức cổ điển đã học - Hệ thức lượng tam giác II Baøi taäp Baøi Cho ABC, troïng taâm G CMR M, ta coù: MA  MB  MC  MA.GA  MB.GB  MC.GC  GA2  GB  GC HD :       * MA.GA  MA.GB  MA.GC  MA.GA  MA.GB  MA.GC          = MG  GA GA  MG  GB GB  MG  GC GC     =MG GA  GB  GC  GA2  GB  GC         =GA2  GB  GC 2 MA.GA  MA2  GA2  *Ta coù 2 MB.GB  MB  GB 2 MC.GC  MC  GC   MA.GA  MA.GB  MA.GC  MA2  MB  MC  GA2  GB  GC  MA2  MB  MC  MA.GA  MA.GB  MA.GC  MA.GA  MA.GB  MA.GC  MA2  MB  MC MA MB MC    Baøi Cho tam giaùc ABC, M tuyø yù CMR: T= a b c HD: * Trong tam giaùc ABC, ta coù: 4.m 2a =2b2 +2c2 -a2  2(a2 +b2 +c2 )=4m 2a +3a2  4.m 2a 3.a2 =4a.m a  a.ma  a2 +b2 +c2   2 a.ma a +b +c (1) Do đó:        MA MA.GA MA.GA 3 3    2 MG  GA GA  2 MG.GA  GA2 a a.GA a.GA a +b +c   a +b +c      MB MB.GB MB.GB 3 3    2 MG  GB GB  2 MG.GB  GB b b.GB b.GB a +b +c a +b +c        MC MC.GC MC.GC 3 3    2 MG  GC GC  2 MG.GC  GC c c.GC c.GC a +b +c a +b +c       3  VT  2 MG.GA  MG.GB  MG.GC  GA2  GB  GC  a +b +c m m m 3 Baøi Cho tam giaùc ABC CMR: T= a  b  c  a b c HD:     ma m2 3.ma2  a  a a.ma a  b2  c Tương tự Lop10.com           Trường THPT Cẩm Bình Bµi gi¶ng luyÖn thi A MA  MB  MC  AB  AC     A MB AB MC AC A MB AB MC AC HD: VT=2cos MA    2cos MA   AB AC AB AC       A MA  AB AB MA  AC AC =2cos   AB AC     AB AC  A =2cos MA  MA   (1)   AB  AC  AB AC       AB  AM     AB Dựng hình bình hành AMNP cho     AM  AP   AMNP laø hình thoi   AC  AP  AC    AB AC  A A Gọi I=AN  MP Khi đó:   AN  AI  AM cos  2.cos AB AC 2     AB AC    A A Ta coù: 2cos MA  MA     2cos MA  MA AN  AB AC  2       A  2cos MA  MA AN cos MA, AN   A =2MAcos  cos MA, AN  (2) Từ (1),(2) ta có đpcm Baøi Cho ABC, M tuyø yù CMR: 2cos      Baøi         Cho ABC, I là điểm xác định IA  IB  IC  a) Xaùc ñònh ñieåm I b) Tìm M để 2MA  MB  MC đạt GTNN c) Tính 2IA  IB  IC trường hợp ABC có độ dài cạnh a Baøi Lop10.com