Đề khảo sát học sinh lớp 11 Môn Toán

Trên nửa đường thẳng Ox vuông góc với mặt phẳng chứa hình vuông, ta lấy điểm S sao cho góc.. a Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng BC và SD.[r]

Sở GD & ĐT Hải Dương Trường THPT Phúc Thành o0o §Ò kh¶o s¸t häc sinh líp 11 m«n to¸n (Thêi gian lµm bµi : 150 phót ) §Ò chÝnh thøc CAÂU I ( ®iÓm ) Giải các phương trình và bất phương trình sau: 1) x   x   3x  x 2) x  x   x  3x   x  3) (1  2sin x) cos x   sin( x   ) CAÂU II ( ®iÓm )  3x   x x2 2) Cho m bông hồng trắng và n bông hồng nhung khác Tính xác suất để lấy bông hồng đó có ít bông hồng nhung ? Biết m, n là nghiệm hệ sau: 19  m2 Cm  Cn 3   Am 2   Pn 1  720 1) TÝnh giíi h¹n : I  lim x 0 3) Tam gi¸c ABC cã c¸c gãc tho¶ m·n: 1 1 1      sin A sin B sin C cos A cos B cos C 2 Chứng minh tam giác ABC là tam giác CAÂU III ( ®iÓm ) Cho hình vuông ABCD cạnh a Gọi O là giao điểm hai đường chéo Trên nửa đường thẳng Ox vuông góc với mặt phẳng chứa hình vuông, ta lấy điểm S cho góc ˆ  60 SCB a) Tính khoảng cách đường thẳng BC và SD ( theo a) b) Gọi   là mặt phẳng chứa BC và vuông góc với mặt phẳng (SAD) Tính diện tích thiết diện tạo   và hình chóp S.ABCD ( theo a) CAÂU IV ( ®iÓm ) Cho tứ diện OABC với OA = a, OB = b, OC = c và OA, OB, OC đôi vuông góc với Gọi  ,  ,  là góc OA, OB, OC với mặt phẳng (ABC) a) TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ABC theo a, b, c b) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña: Q = sin  sin   sin  sin   sin  sin  .HÕt Gi¸m thÞ coi thi kh«ng gi¶i thÝch g× thªm ! Lop12.net §¸p ¸n vµ biÓu ®iÓm to¸n 11 1) §iÒu kiÖn x  [2; 2] - ® §Æt t = x   x => t   x  x => x  x  0.25 t2  Khi đó phương trình có dạng: 3(t  4) t=2+ t   t    0.25 Víi t = ta cã x   x =   x   x => x = ; x = 4 Víi t = - 4/3 ta cã x   x = -   x    x => 3 2  14 2  14 x  12 x  10   x  x ( §èi chiÕu víi §K ) 3 2  14 KÕt luËn : Pt cã ba nghiÖm x = ; x = 2; x  x  4x   1 2) §iÒu kiÖn   x  (;   3;    1 2 2 x  x   C©u I NhËn xÐt x = lµ nghiÖm cña bpt ® NÕu x  chia c¶ hai vÕ cña BPT cho  x ta cã:  x  1 2x   1 x   x  1 x  1 2x 0.25 0.25 0.25 0.25   x  (3  x).(1  x)   x   (3  x).(1  x)  BPT đúng với x  NÕu x  chia c¶ hai vÕ cña BPT cho x  ta cã: x   2x 1  x 1  x   2x 1  x 1  x   x   (2 x  1).( x  1)  (2 x  1).( x  1)  1  x 0.25 V« lý vÕ tr¸i kh«ng ©m cßn vÕ ph¶i ©m 1 VËy BPT cã nghiÖm  x  (;   1 0.25 3) Pt đã cho tương đương với: (sinx + 1).( 2sin2x -1 ) = 0.5 2   sinx = -1  x    k 2 (k  Z ) 0.25   x   k  (k  Z )  sin2x    12  x   k  12 0.25 1) Cã Lop12.net 0.25   x  (1  x)  x  (1  x)  I  lim    x x2 x 0     x  (1  x)3  x  (1  x)  I  lim   x 0  x  (1  x )  (1  x )  x  (1  x )  x 1 2x 1 x      3  x 1  I  lim   2   x   x x 0  (1  x )  (1  x )  x  (1  x )    C©u II ®iÓm I  1        0.25 0.25 1  2 VËy I = - 0.25 2) XÐt hÖ 19  m2 Cm  cn 3   Am (1) 2   Pn 1  720(2) Từ (2): (n  1)! 720  6! n    n  Thay n = vào (1) m! 10! 19 m !     2!(m  2)! 2!8! 2 (m  1)! m(m  1) 19   45   m 2 2  m  m  90   19m 0.25 (3)  m  20m  99    m  11 vì m    m  10 0.25 Vậy m = 10, n = Vậy ta có 10 bông hồng trắng và bông hồng nhung, để lấy ít bông hồng nhung bông hồng ta có các TH sau: TH1: bông hồng nhung, bông hồng trắng có: C73 C102  1575 cách TH2: bông hồng nhung, bông hồng trắng có: C74 C101  350 cách TH3: bông hồng nhung có: C75  21 cách  có 1575 + 350 + 21 = 1946 cách Số cách lấy bông hồng thường 0.25 C  6188 17 P 3) Bổ đề : 1946  31,45% 6188 a, b > ta cã: 0.25 1   a b ab Lop12.net dÊu “ = ” a = b 0.25 1 2     sin A sin B sin A  sin B sin A  B cos A  B cos C 2 ¸p dông ta cã: ( Do gt) 1 Hay   sin A sin B cos C 1 1     Tương tự: vµ sin B sin C cos A sin C sin A cos B 2 1 1 1   Céng vÕ theo vÕ ta cã sin A  sin B  sin C  A B C cos cos cos 2 A B B C CA  cos  cos 1 2  A BC  Tam giác ABC => điều phải chứng minh a) Khoảng cách BC và SD 1.25 ( ® )   60 Ta coù SO laø truïc hình vuoâng ABCD vaø SCB  SA = SB = SC = SD = CB = a Vaø BC// (SAD) neân d(BC, SD) = d(I,(SAD)) Với I là trung điểm CB Gọi H là trung điểm AD, ta có: BC  ( SHI ) Veõ IJ  SH ta coù IJ  ( SAD)  d(BC, SD) = IJ SO.HI Tam giaùc SIH coù IJ   SH Vaäy d(BC, SD) = 2 a 3 a a.a BCFE Ta coù: HJ   EF   a (EF+BC).IJ 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 b) ( ) Caét hình choùp theo thieát dieän laø hình thang BCFE Do hình chóp neân BCFE laø hình thang caân: S 0.25  cos §¼ng thøc x¶y ra: C©u III ®iÓm 0.25 0.5 ( H×nh vÏ : 0.5 ® ) a a a ; SJ  , SH  a EF SJ    Do EF//AD neân: AD SH a 3 a 0.25 0.25 a    aa 2a 3   Vaäy S ( §vdt ) ( H×nh vÏ ch­a thËt chuÈn)   BCEF Lop12.net 0.25 A N H C©u IV ®iÓm O C M B Gäi H lµ h×nh chiÕu cña O xuèng mp(ABC) DÔ chøng minh H lµ trùc t©m cña 0.25 tam gi¸c ABC XÐt tam gi¸c vu«ng OBC ta cã Suy : OM  bc b2  c2 XÐt tam gi¸c vu«ng OAM cã AM  OA2  OM  AM  b c  a c  a 2b b2  c2 VËy diÖn tÝch tam gi¸c ABC : Tam gi¸c vu«ng OAM ta cã MÆt kh¸c sin   1 1    2 2 2 OM OB OC b c S= 1 2 AM * BC  a b  b2c  c a 2 1 1 1      (1) 2 2 OH OM OA OA OB OC OH OH OH 2 ;sin   ;sin   (2) OA2 OB OC Tõ (1) vµ (2) => sin   sin   sin   0.25 2 0.25 2 L¹i cã  sin   sin   sin   sin  sin   sin  sin   sin  sin  Từ đó giá trị lớn Q = Khi và a = b = c ( Kh«ng tÝnh ®iÓm vÏ h×nh ) Chó ý: Nếu thí sinh làm theo cách khác đúng, cho điểm tối đa! Lop12.net 0.25