Đề thi học kì 1 môn Toán lớp 12 (Đề số 1)

SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO KONTUM Trường THPT Ngọc Hồi Đề số 1.. Suy ra diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.[r]

SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO KONTUM Trường THPT Ngọc Hồi Đề số ĐỀ THI HỌC KÌ – Năm học 2009 – 2010 Môn TOÁN Lớp 12 Nâng cao Thời gian làm bài 90 phút Bài (3 điểm) x  x  x  (C ) b) Tìm m để đường thẳng (d ) : y  2mx  cắt (C ) điểm phân biệt? a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: y  f ( x )  ( điểm) ( điểm) Bài (3 điểm) a) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số: f (x)    cos x  2sin x  , với x   0;   2 b) Giải phương trình: log21 x  log9 x   ( điểm) ( điểm)  x  y   c) Giải hệ phương trình:  x y2 x  27   Bài (1 điểm) Cho hàm số y  ( điểm) x  (m  1) x  m  (Cm ) , m là tham số x 1 Chứng minh với m , đồ thị  Cm  luôn có cực đại, cực tiểu Tìm m để khoảng cách từ điểm cực đại đồ thị  Cm  đến đường thẳng () : x  y   4? ( điểm) Bài (3 điểm) Cho hình chóp S ABC có SA  ( ABC ) , đáy là  ABC vuông cân A Biết SA  2a, AB  a 3, AC  a a) Tính thể tích khối chóp S ABC (1,5 điểm) b) Xác định tâm I và tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC Suy diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC và thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC (1 điểm) c) Gọi M , N , P là trung điểm SB, SC , AC Mặt phẳng ( MNP ) cắt AB Q Tính diện tích toàn phần khối đa diện MNPQBC =========================== Lop12.net ( 0,5 điểm) ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC KÌ Môn TOÁN Lớp 12 Nâng cao Thời gian làm bài 90 phút Đề số Bài (3 điểm) a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: y  f ( x )  x  x  x  (C )  Tập xác định D  R  Giới hạn lim y  ; x  ( 0,25 điểm) lim y   ( 0,25 điểm) x   x  y   y '  x  x  3; y '   x  x       x   y  1  ( 0,25 điểm)  Bảng biến thiên ( 0,5 điểm) x  f ' x + f  x - +    1 Hàm số nghịch biến trên (1;3) , đồng biến trên (;1) và (3; )  1 Điểm cực tiểu I1 (3; 1) , điểm cực đại I  1;   3  1  Ta có y ''  x  4; y ''   x    x  Điểm uốn I  2;   3  (0,25 điểm)  Đồ thị: ( 0,5 điểm)  1 Điểm đặc biệt: A  0; 1 , B  4;   3 y -2 -1  -1 A -2 I 2 I .B .I  1 Đồ thị hàm số nhận điểm uốn I  2;   làm tâm đối xứng 3  Lop12.net x b) Tìm m để đường thẳng (d ) : y  2mx  cắt  C  điểm phân biệt? Phương trình hoành độ giao điểm (C ) và (d ) là: x  x  x  = 2mx   x  1  x  x  x   2m      x  x   2m  3  3 x  x   2m ( 0,5 điểm) Để PT đã cho có nghiệm phân biệt thì PT g( x )  có nghiệm phân biệt khác Đặt g  x    1  (3  2m)  m        g(0)  m  m   ( 0,5 điểm) Bài ( điểm) a) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số: f (x)  Ta có f ( x )    cos x  2sin x  , với x   0;   2   1 1  2sin2 x   2sin x    sin2 x  2sin x  , x   0;   2 Đặt t  sin x ,  t   g(t )  t  2t  , t   0;1 (0,25 điểm) (0,25 điểm) g (t )  2t  2, g (t )   t  1, t   0;1 (0,25 điểm) Ta có: g(0)   ; g(1)  6 5  Giá trị lớn là: max g(t )  g(1)  t   max f ( x )  x     0;1 6 0;  2   Giá trị nhỏ là: g(t )  g(0)    0;1 Vậy max f ( x )     0;    1 t   f  x    x    6 0;  2    x  , f  x    x   0;  ( 0,25 điểm)  2   b) Phương trình log21 x  log9 x    log32 x  3log3 x   (0,25 điểm) Đặt t  log3 x , ta có phương trình: (0,25 điểm) x   log3 x  t    4t  3t    1   x   log3 x   t      Lop12.net (0,5 điểm)  x  y   c) Giải hệ phương trình  x x  27  3y  (1) (2) (2)  27 x  3y x  3y  3x  x  y , thay vào phương trình (1) ta được: y   y  1  x   y 1 y2  y       x  y 2 y   y  2 ( 0,5 điểm) Vậy hệ phương trình có nghiệm (1;1); (1; 1); (4;2); (4; 2) ( 0,5 điểm) Bài (1 điểm)  Tập xác định D  R \ 2 ( 0,25 điểm) (2 x  m  1)( x  1)   x  (m  1) x   m   y'  ( x  1)2  x2  2x ( x  1)2 x  y  m 1 y '   x2  2x      x  2  y  m  2  x f ' x + f  x ( 0,25 điểm) 1 - -  +  m3 m 1  Dựa vào BBT  điểm cực đại là: I1 (2; m  3) (0,25 điểm) Khoảng cách từ điểm cực đại I1 (2; m  3) đến đường thẳng () : x  y   là: d ( I1 ,())   4m  m  3   2m  5  m  Bài (3 điểm)  Vẽ hình đúng (0,5 điểm) Do SA  ( ABC ) nên SA là đường cao (0,25 điểm) S hình chóp S ABC V  SA.S ABC (0,25 điểm) Mà  ABC vuông cân C S ABC 1 3a2  AC AB  a 3.a  2 ( 0,25 điểm) Suy V  2a.a2  a3 d N K E M P I C A ( 0,5 điểm) H Q B Lop12.net b) Gọi H là trung điểm BC Ta có: HA  HB  HC (do  ABC vuông A ) Từ H dựng đường thẳng d  ( ABC ) Suy d là trục mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC Dựng mặt phẳng trung trực cạnh SA qua trung điểm E SA , cắt d điểm I Ta có IA  IS (1) Tương tự, dựng mặt phẳng trung trực các cạnh SB, SC Ta có: IC  IB  IS (2) Từ (1),(2) suy I là tâm mặt cầu ngoại tiếp S ABC Bán kính R  IA Ta có IA  IH  AH  a 10 (0,5 điểm) Diện tích mặt cầu là: S  4 R  10 a2 10 a Thể tích khối cầu là: V   R3  (0,5 điểm) 3 c) Mặt phẳng ( MNP ) cắt ( ABC ) theo giao tuyến PQ song song với BC , với Q là trung điểm AB (0,25 điểm) Diện tích toàn phần khối đa diện MNPQBC bằng: dt  MNPQ   dt  BMQ   dt  PNC   dt  BCPQ   dt  MNBC   a2 a2 a2 9a2 a2 33  33           a  2 4 8 8   ============================= Lop12.net (0,25 điểm)