PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ Vấn đề này xuất hiện nhiều trong các đề thi toán vào Đại học, Cao đẳng.. Ngay từ lớp 10 các bạn cần nắm vững những phương pháp để giải quyết các phư[r]
(1)www.truongthi.com.vn Lớp học qua mạng PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ Vấn đề này xuất nhiều các đề thi toán vào Đại học, Cao đẳng Ngay từ lớp 10 các bạn cần nắm vững phương pháp để giải các phương trình, bất phương trình vô tỷ Phương pháp lũy thừa Những điều cần lưu ý: - Phải đảm bảo các bậc chẵn có nghĩa - Chỉ bình phương hai vế phương trình, bất phương trình hai vế không âm - Một số phép biến đổi tương đương b = a = b a= b ; a =b a = a = b b > a < b = a < b ; a < b a < b a = b < a = a >b b = a > b - Thận trọng trước định lũy thừa hai vế làm tăng bậc ẩn Có phương trình, bất phương trình đưa dạng tích Thí dụ 1: (Đề ĐHXD - 1997) Giải phương trình x + x + = (*) Giải: Ta có (*) x +1 = 1− x2 −1 = x = (x + 1)[1 − (1 − x) (1 + x) ] = 1 − x > x + = (1 − x )2 −1 = x = x(x + 1)(x − x − 1) = −1 = x = x = x = x = −1 x = −1 1− x = ± x = Thí dụ 2: Giải phương trình Môn Toán Tiến sĩ Lê Thống Nhất Nhà xuất Giáo dục Lop10.com (2) www.truongthi.com.vn Lớp học qua mạng 3x + − 2x + = x Giải: Ta có ( 3x + − 2x + = (3x + 1) − (2x + 1) 3x + − 2x + ) [ 3x + + 2x + − 1] = 3x + = 2x + 3x + = 2x + = Trường hợp 2: 3x + + 2x + = 1 x = − x = − 3 5x + + (3x + 1)(2x + 1) = 2 6x + 5x + = −5x − − = x = − x = 5−2 x − 10x − = Tóm lại pt có nghiệm x = x = − Chú ý: Nếu các bạn dùng phương pháp lũy thừa từ đầu mà không đưa dạng tích thì lời giải phức tạp nhiều Thí dụ 3: (Đề thi Tài chính Kế toán - 1997) Trường hợp 1: 51 − 2x − x < (*) 1− x 1 − x < x > 2 51 − 2x − x = x + 2x − 51 = x < 1 − x > 2 51 2x x (1 x) − − < − x − 25 > 51 − 2x − x > x + 2x − 51 = Giải bất phương trình: Giải: (*) Giải hệ ta có nghiệm x (1;− + 13 ] [ − − 13; − 5] Chú ý: Nhiều bạn và nhiều sách luyện thi sử dụng phép biến đổi: 3a + b = c (1) a = b + 3 a b ( a + b ) = c3 Sau đó a + b c để được: a + b + 33 a b c = c3 (2) Lưu ý các nghiệm (2) chưa hẳn đã là nghiệm (1) Ta thử tìm mối liên hệ tập nghiệm (1) và (2) Ta có: (2) a + b + (−c)3 − 33 a b (−c) = Dùng kết quả: x + y3 + z3 − 3xyz = (x + y + z)(x + y + z − xy − yz − zx) ta dẫn đến: Môn Toán Tiến sĩ Lê Thống Nhất Nhà xuất Giáo dục Lop10.com (3) www.truongthi.com.vn Lớp học qua mạng ( a + b − c ) ( a − b ) + ( a + c )2 + ( b + c )2 = (2) a + b = c (1) a = b = −c (3) Như vậy: y Nếu (3) vô nghiệm thì (1) và (2) tương đương y Nếu (3) có nghiệm x = α thì (2) có nghiệm x = α Nghiệm này thỏa mãn (1) x = α là nghiệm hệ a + b = c a=b=c=0 3 a = b = −c Nghiệm này không thỏa mãn (1) x = α không thỏa mãn : a = b = c = y Nếu x = α là nghiệm (2), không là nghiệm (3) là nghiệm (1) Thí dụ 4: Giải phương trình: 2x + + x + = 3x − (1) Giải: a = 2x + 1; b = x + 1; c = 3x − Ta có phương trình (2) 2x + + x + + 33 (2x + 1)(x + 1)(3x − 1) = 3x − (2x + 1)(x + 1)(3x − 1) 6x + 7x = = −1 x = x = − Ta có (3) là 2x + = x + = − 3x − x = Vậy x = − không là nghiệm 93) nên là nghiệm (1) Mặt khác x = không thỏa mãn 2x + = x + = 3x − = nên không thỏa mãn (1) Tóm lại phương trình có nghiệm x = − Chú ý: Các bạn giải bài đề 48 Bộ đề thi tuyển sinh cần lưu ý (3) vô nghiệm nên (1) và (2) tương đuowng Phương pháp đặt ẩn phụ Điều cần lưu ý các bạn là điều kiện ẩn phụ phải thật chính xác, kẻo chuyển bài toán ban đầu bài toán không tương đương Các hướng đặt ẩn phụ thể qua các thí dụ: Thí dụ 5: (Đề thi ĐHKTQD - 1998) Xác định a để phương trình + x + − x = a − (1 + x)(8 − x) (*) có nghiệm Giải: Đặt t = + x + − x Môn Toán Tiến sĩ Lê Thống Nhất Nhà xuất Giáo dục Lop10.com (4) www.truongthi.com.vn ⇒ t'= Lớp học qua mạng − x − 1+ x − 2x = (1 + x)(8 − x) (1 + x)(8 − x)( − x + + x ) Lập bảng biến thiên t: x -1 t' − + t 3 Khi đó: t2 − t2 − = (1 + x)(8 − x) nên (*) trở thành t = a − 2 t2 + t − = a (**) 2 Phương trình (*) có nghiệm (**) có nghiệm thỏa mãn t [3; ] đường thẳng y = a có điểm chung với đồ thị t2 + t − với t [3; 2] 2 Vì f'(t) = t + nên ta có bảng biến thiên: t −1 f'(t) + + − y = f (t) = + +3 2 f(t) Do đó a 3; + Thí dụ 6: Giải phương trình: (4x − 1) x − = 2x + 2x + Giải: Đặt t = x + = thì x = t − Phương trình đưa dạng (4x − 1).t = 2(t − 1) + 2x + 2t − (4x − 1)t + 2x − = Giải t theo x ta có t = t = 2x − Môn Toán Tiến sĩ Lê Thống Nhất Nhà xuất Giáo dục Lop10.com (5) www.truongthi.com.vn Lớp học qua mạng Vì t = nên t = 2x − x = 3x − 4x = x= x + = 2x −1 x = x + = (2x − 1)2 Thí dụ 7: Giải phương trình: x + = 2x −1 Giải: Đặt t = 2x − t + = 2x , đó phương trình đã cho trở thành x + = 2t Vậy ta có hệ: x + = t 3 t + = x Nếu x > t ⇒ x + > t + ⇒ 2t > 2x ⇒ t > x mâu thuẫn Nếu x < t ⇒ x + < t + ⇒ 2t < 2x ⇒ t < x mâu thuẫn Vậy t = x Phương trình đã cho tương đương với x + = 2x x − 2x + = ⇒ (x − 1)(x + x − 1) = x = ⇒ x = −1 ± Thí dụ 8: Giải phương trình x + 17 − x = Giải: Đặt u = x u + v = 4 u + v = 17 = ; v = 17 − x = , dẫn đến hệ: u + v = 2 [(u + v) − 2uv] − 2(uv) = 17 u + v = uv = uv = 16 Theo định lý Viet thì u, v là các nghiệm phương trình: u + v = (uv) − 18(uv) + 32 = t − 3t + = Do đó: t = và t = t − 3t + 16 = (vô nghiệm) Môn Toán Tiến sĩ Lê Thống Nhất Nhà xuất Giáo dục Lop10.com (6) www.truongthi.com.vn Lớp học qua mạng x = 17 − x = x = x = x = 16 17 − x = Sử dụng bất đẳng thức và tính chất hàm số Thí dụ 9: Giải phương trình 2000 + x + 2000 − x = Giải: Điều kiện thức có nghĩa: −1 = x = Gọi vế trái là f(x) Nếu x > thì 2000 + x > nên f(x) > 1, không thỏa mãn Nếu x < thì 2000 − x nên f(x) > không thỏa mãn Tóm lại phương trình vô nghiệm u = v = u = v = Thí dụ 10: (ĐH Ngoai thương - 1997) Giải phương trình: x + 15 = 3x − + x + Giải: Viết phương trình dạng: x + 15 − x + = 3x − Gọi vế trái là f(x) thì f(x) > với x nên 3x − > ⇒ x > Lưu ý: f ( x) = ta có: x + 15 + x + + f(1) = = 3.1 − nên x = là nghiệm + Nếu x > thì f(x) < f(1) = < 3x − nên không thỏa mãn + Nếu < x < thì f(x) > f(1) = > 3x − nên không thỏa mãn Tóm lại: PT có nghiệm x = Chú ý: Các bạn lớp 12 có thể thấy f'(x) < với x > nên f(x) 2 nghịch biến trên ; + 3 Thí dụ 11: Tìm m để phương trình: + x + − x + + x + − x = m có nghiệm Giải: Gọi vế trái là f(x) thì f(x) là hàm số chẵn trên [−1; 1] Điều kiện cần: Giả sử phương trình có nghiệm x = α, vì f(x) là hàm số chẵn nên f(α) = f(−α) ⇒ x = −α là nghiệm Vì nghiệm là nên α = −α ⇒ α = Thay x = vào phương trình ta có m = f(0) = Môn Toán Tiến sĩ Lê Thống Nhất Nhà xuất Giáo dục Lop10.com (7) www.truongthi.com.vn Lớp học qua mạng Điều kiện đủ: Với m = 4, ta có phương trình f(x) = Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpski ta ( + x + − x ) = 2(1 + x + − x) = ⇒ + x + − x = (1) Tương tự: ( + x + − x ) = ( + x + − x ) = ⇒ + x + − x = (2) Từ (1), (2) suy ra: f(x) = Vậy f(x) = thành đẳng thức + x = − x + x = − x Do đó m = là giá trị thỏa mãn Thí dụ 12 Giải bất phương trình (1), (2) đồng thời trở x + x − x + > − x 99 + Gọi vế trái là f(x) và vế phải là g(x) f '(x) = (x + ) x2 − x +1 ' x + x2 − x +1 > 1+ = (2x − 1) + + 2x − x2 − x +1 = x + x − x + x + x − x + x − 2x + | 2x − 1| +2x − 2x − = x x + x − x +1 x − x +1 ⇒ f(x) đồng biến trên R Mặt khác g'(x) = −99x = x nên f(x) nghịch biến trên R Ta có: f(1) = g(1) = Nếu x > thì f(x) > f(1) = g(1) g(x) ⇒ x > thỏa mãn Nếu x < thì f(x) < f(1) = g(1) < g(x) nên không thòa mãn Tóm lại: Nghiệm bất phương trình là x > Phương pháp lượng giác hóa Nhiều phương trình, bất phương trình có thể lượng giác hóa để lợi dụng các công thức lượng giác rút gọn các biểu thức vô tỷ Thí dụ 13: Giải phương trình ( ) 1+ 1− x2 = x 1+ 1− x2 Giải: Để thức có nghĩa thì x [−1; 1] Đặt x = sinα với π π α − ; Phương trình trở thành: 2 Môn Toán Tiến sĩ Lê Thống Nhất Nhà xuất Giáo dục Lop10.com (8) www.truongthi.com.vn Lớp học qua mạng + cos α = sin α(1 + cos α) α α 3α α cos = sin α + sin 2α <> cos = 2sin cos 2 2 α π π Vì α − ; nên cos 2 3α = 2 3α 3π 3π 3α π 3α 3π = = = Vì − ; nên 4 4 π α = x = x = 2 Thí dụ 14: Tìm m để bất phương trình: Do đó sin α= π m + x + m − x = có nghiệm Giải: Với m < thì m − x vô nghĩa với x nên bất PT vô nghiệm Với m = thì dễ thấy bất phương trình có nghiệm x = Với m > thì điều kiện thức có nghĩa là x = 0= m π Đặt x = m cos α với α 0; thì bất phương trình trở thành: 2 α π cos − = m(1 + cos α) + m(1 − cos α) = Với 4 m π α π α 0; thì = cos − = 2 4 Vậy bất phương trình có nghiệm: = = m = Tóm lại: = m = 2 m Bài tập: Giải phương trình a) x + = 2(x + 2) b) x−2 = 5x − 10x + x + 6x − 11 1 c) x + x + + x + = 2000 d) 3x + − x + = 2x Tìm m cho: a) 3x − mx + m − + = 2x có nghiệm Môn Toán Tiến sĩ Lê Thống Nhất Nhà xuất Giáo dục Lop10.com (9) www.truongthi.com.vn Lớp học qua mạng b) x − 2x + m = + 2x − x thỏa mãn với x [− 1; 3] Giải bất phương trình: 1 x −1 a) x − − − > x x x b) 3x − + x + > 4* Giải phương trình: + − x (1 + x)3 − (1 − x)3 = + − x Môn Toán Tiến sĩ Lê Thống Nhất Nhà xuất Giáo dục Lop10.com (10)