Nhaèm thöû nghieäm phöông phaùp daïy hoïc töï choïn theo hình thöùc “Hoïc sinh töï nghieân cöùu taøi lieäu theo söï höôùng daãn cuûa giaùo vieân” nhaèm giuùp hoïc sinh lôùp 9 haïn cheá t[r]
(1)Đề tài:
NHỮNG SAI LẦM THƯỜNG MẮC PHẢI KHI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ
A/ ĐẶT VẤN ĐỀ:
Phương trình mà ẩn nằm dấu ta cịn gọi phương trình vơ tỷ, là một phương trình quen thuộc quan trọng học sinh phổ thông Trong nhiều năm qua giải phương trình dạng này, tơi thấymột số học sinh chưa nắm vững kiến thức thức phép biến đổi tương đương phương trình nên mắc phải số sai lầm giải phương trình vơ tỷ này.
Nhằm thử nghiệm phương pháp dạy học tự chọn theo hình thức “Học sinh tự nghiên cứu tài liệu theo hướng dẫn giáo viên” nhằm giúp học sinh lớp hạn chế tối đa sai lầm gặp dạng toán này, giúp học sinh mở rộng, đào sâu kiến thức học phương trình vơ tỷ Tơi đa xây dựng chủ đề tự chọn toán “Những sai lầm thường mắc phải giải phương trình vơ tỷ”
B/ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ:
CHỦ ĐỀ TỰ CHỌN TOÁN 9
LOẠI : NÂNG CAO Chủ đề:
“Những sai lầm thường mắc phải giải phương trình vơ tỷ” I/ MỤC TIÊU: Sau học xong chủ đề học sinh có khả năng:
- Phát chổ sai giải phương trình vơ tỷ. - Hạn chế tối đa sai sót giải phương trình vơ tỷ.
- Biết nhận dạng loại phương trình để đưa phương pháp giải tối ưu nhất. II/ THỜI LƯỢNG: tiết
III/ HÌNH THỨC:
Tự nghiên cứu tài liệu với hướng dẫn giáo viên.
- Cho học sinh hoạt động nhóm, nhóm gồm em (4 nhóm). - Giáo viên phát tài liệu giao nhiệm vụ cho nhóm.
- Học sinh nhóm nghiên cứu lời giải tài liệu, phát chổ sai để rút nhận xét cho lời giải.
(2)- Cả lớp kiểm tra lời giải nhóm.
IV/ TIẾN TRÌNH: Tiết + 2: Hoạt động 1:
Nêu tình huống: Trong luyện tập dạng tốn: Giải phương trình vơ tỷ” Thầy giáo u cầu học sinh giải số phương trình vơ tỷ, nhóm học sinh giải phương trình, tất đầu giải xong Nhưng kiểm tra ngẩu nhiên bài, thầy giáo nhận xét rằng: Các em bị mắc “bẫy” chưa nắm vững phép biến đổi tương đương phương trình có chứa bậc hai Vì sao thầy nhận xét vậy? Cả lớp ngạc nhiên, khơng tìm lời giải sai trong Trong tiết học xem xét lại lời giải của từng bạn để giúp bạn tìm lời giải sai đồng thời giúp chúng ta lời giải tối ưu nhất.
Hoạt động 2: Nghiên cứu tài liệu
- Kiểm tra lời giải bạn Lan, Minh, Hùng, An, Loan (Các nhóm kiểm tra theo phân công giáo viên)
- Nêu lời giải sai, tìm chổ sai để rút nhận xét. - Lập công thức tổng quát.
- Đưa lời giải đúng.
Hoạt động 3: Kiểm tra lời giải bài CÁC VÍ DỤ:
1/ Bài tốn 1: Giải phương trình: (x+3)√x −1=0
a/ Lời giải bạn Lan:
Ta coù: (x+3)√x −1=0 <=>
x+3=0
¿ √x −1=0
¿ ¿ ¿ ¿
<=>
x=−3
¿
x=1
¿ ¿ ¿ ¿ Giáo viên nêu câu hỏi gợi ý
- Kiểm tra x = -3 có phải nghiệm phương trình khơng. - Lời giải bỏ sót điều kiện nào?
- √A2=B <=>
(3)c/ Ghi nhớ rằng:
A√B=0 <=> B ≥0 A=0
¿ √B=0
¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ d/ Lời giải đúng:
(x+3)√x −1=0 <=>
x −1≥0 x+3=0
¿
x −1=0
¿ ¿ ¿
{
¿ ¿ ¿
<=>
x ≥1 x ≥ −3
¿
x=1
¿ ¿ ¿
{
¿ ¿ ¿
<=> x = 1
2/ Bài tập 2: Giải phương trình √x+4=x+2
a/ Lời giải Minh: √x+4=x+2 <=>
¿
x+4=0 x+4=(x+2)2
¿{
¿ <=>
¿
x ≥ −4 x+4=x2+4x+4
¿{
¿
<=>
¿
x ≥−4 x(x+3)=0
¿{
¿
<=>
x ≥ −4 x=0
¿
x=−3
¿ ¿ ¿
{
¿ ¿ ¿
<=>
x=0
¿
x=−3
¿ ¿ ¿ ¿
b/ Nhận xét: Rõ ràng x = - nghiệm phương trình c/ Ghi nhớ rằng:
√A=B<=> B ≥0 A=B2
(4)d/ Lời giải đúng: √x+4=x+2 <=>
¿
x+2≥0 x+4=(x+2)2
¿{
¿
<=>
x ≥−2 x=0
¿
x=−3
¿ ¿ ¿
{
¿ ¿ ¿
<=>x=0
3/ Bài tập 3: Giải phương trình: √2x −x+25=1 a/ Lời giải Hùng: √2x+5
x −2 =1 <=>
√2x+5
√x −2 =1 <=> √2x+5=√x −2
<=>
¿
x −2≥0 2x+5=x −2
¿{
¿
<=> ¿
x ≥2 x=−7
¿{
¿ Vậy phương trình cho vô nghiệm
b/ Nhận xét: Các em nghĩ phương trình cho thực có nghiệm -7?
c/ Ghi nhớ rằng:
¿ √− A
√− BKhiA≤0;B<0 √A
√BKhiA≥0;B>0
¿√A
B={
¿
Như lời giải bỏ sót trường hợp: KhiA≤0;B<0 nên nghiệm
x= -7
d/ Lời giải đúng: √2x+5
x −2 =1 <=>
¿ √2x+5
√x+2 =1 −√−2x -
√− x −2 =1
¿{
¿ <=>
¿
√2x+5=√x −2 √−2x −5=√− x+2
¿{
¿ <=>
¿
2x+5=x −2 −2x −5=− x −2
¿{
¿
<=> x = -7
Khi 2x+5 ≥ vaø x – >
Khi 2x+5 ≤0 vaø x <
Khi x > Khi x ≤ −5
2 Khi x > Khi x ≤ −5
(5)4/ Bài tập 4: Giải phương trình: √x −x+21=x+1 x −1 a/ Lời giải An
Ta coù: √ x+2
x −1= x+1
x −1 <=>
√(x+2)(x −1) x −1 =
x+1
x −1 <=>
¿
x −1≠0
√(x+2)(x −1)=x+1
¿{
¿
<=>
x −1≠0
x+1≥0
x+1¿2 ¿ ¿ ¿{ {
x2
+x −2=¿
<=> ¿
x ≠0 x ≥ −1 x=−3
¿{ {
¿ Vậy phương trình cho vơ nghiệm
b/ Nhận xét: Dễ dàng nhận lời giải sai từ lời giải đầu tiên, nuốn trục mẫu số vế trái, đưa bình phương khỏi bậc hai mà không để ý dấu giá trị tuyệt đối
c/ Ghi nhớ rằng:
¿ √AB
B khiA≥0; B>0 −√AB
B khiA<0;B<0
¿√A
B= √AB
|B| ={
¿
Do xét thiếu trường hợp A<0; B<0 nên lời giải làm nghiệm x = - d/ Lời giải đúng:
√x+2
x −1=
x+1
x −1 <=>
√(x+2)(x −1) (x −1)2 =
x+1 x −1
<=> |√(x+2)(x −1)
|x −1| |=
x+1 x −1
<=>
¿
√(x+2)(x −1)=x+1 khix>1(1)
√(x+2)(x −1)=−(x+1)khó<1(2)
¿{
¿
(1) <=>
x>1 x+1¿2
¿ ¿ ¿{ (x+2)(x −1)=¿
<=>
¿
x=−1 x2
+x −2=x2+2x+1
¿{
(6)<=> ¿
x>−1 x=−3
¿{
¿
(Loai)
(2) <=>
x<1 −(x+1)<0
x+1¿2 ¿ ¿ ¿{ { (x+2)(x −1)=¿
<=>
¿
x=−1 x2+x −2=x2+2x+1
¿{
¿
<=> ¿
x<−1 x=−3
¿{
¿
(Thỏa mãn) Vậy phương trình có nghiệm x = -3
Tiết + 4 Hoạt động 1: Nghiên cứu tài liệu
- Kiểm tra lời giải bạn Hưng, Bình, Thúy, Xuân (Theo phân công giáo viên)
Hoạt động 2:
- Kiểm tra lời giải học sinh - Rút nhận xét
- Kiểm tra nhận xét nhóm - Rút cơng thứ tổng qt
Bài tập 5 Giải phương trình: 2√x −4+√x −1=√2x −3+√4x −16
a/ Lời giải Loan: Ta có
2√x −4+√x −1=√2x −3+√4x −16
<=> 2√x −4+√x −1=√2x −3+√4(x −4)
<=> 2√x −4+√x −1=√2x −3+2√x −4
<=> √x −1=√2x −3
<=>
¿
x −1>0 x −1=2x −3
¿{
¿
<=> ¿
x ≥1 x=2
¿{
¿
b/ Nhận xét: Ta thấy x = nghiệm phương trình c/ Ghi nhớ rằng:
√A+√B=√A+√C<=> A ≥0
√A=√C
(7)d/ Lời giải đúng:
2√x −4+√x −1=√2x −3+√4(x −4)
<=> 2√x −4+√x −1=√2x −3+2√x −4
<=>
¿
x −4≥0 √x −1=√2x −3
¿{
¿
<=>
x −4≥0 x −1≥0 2x −3≥0 x −1=2x −3
<=> ¿
x ≥4 x=2
¿{
¿
(không thỏa mãn) Vậy phương trình vô nghiệm
Do đó, lời giải sai thiếu điều kiện x – ≥
Bài tập 5: Giải phương trình: √x(x −1)+√x(x −2)=2√x(x −3)
a/ Lời giải Hưng:
Phương trình <=> √x√x −1+√x√x −2=2√x√x −3
<=> √x −1+√x −2=2√x −3
Căn thức có nghĩa <=> x ≥ ta có: ¿
√x −1>√x −3 √x −2>√x −3
¿{
¿
=> √x −1+√x −2>2√x −3
=> √x −1+√x −2>2√x −3 nên phương trình (5) vô nghiậm
b/ Nhận xét: Có thể thấy x = nghiệm phương trình Việc chia hai vế cho √x làm nghiệm
c/ Mặc khác cần ghi nhớ:
¿
√A.√BkhiA≥0; B≥0 √− A.√− BkhiA≤0; B ≤0
¿√A.B={
¿
do lời giải phải bổ sung trường hợp √x = trường hợp x <0 d/ Lời giải đúng:
Ta coù: ¿
x ≥0 x −1≥0 x −2≥0 x −3≥0
¿{ { {
¿
<=> x ≥ vaø ¿
x ≤0 x −1≤0 x −2≤0 x −3≤0
¿{ { {
¿
<=> x ≤
Neáu x ≥ 3:
Phương trình <=> √x√x −1+√x√x −2=2√x√x −3
<=> √x(√x −1+√x −2−2√x −3)=0 (*)
(8)¿ √x −1>√x −3
√x −2>√x −3
¿{
¿
=> √x −1+√x −2>2√x −3
hay √x −1+√x −2−2√x −3≠0
do phương trình (*) <=> √x =0
<=> x = (Thỏa mãn điều kiện) Nếu x ≤ 0:
Phương trình <=> √x√x −1+√x√x −2=2√x√x −3
Vì √x < nên => √x −1+√x −2=2√x −3
Với x < thì: ¿ √x −1>√x −3
√x −2>√x −3
¿{
¿
=> √x −1+√x −2<2√x −3
Do x < khơng thỏa mãn phương trình Vậy phương trình có nghiệm x = Bài tập 6: Giải phương trình: √4x2−4x+1=x+2
a/ Lời giải Bình:
Ta có phương trình (6) <=> 2x −1¿
2
¿ ¿
√¿
<=> 2x −1=x+2
<=> x =
Vaäy phương trình (6) có nghiệm x = b/ Nhận xét: Các bạn nghó x = −1
3 nghiệm phương trình (6)
Như lời giải bỏ sót trường hợp nào? c/ Ghi nhớ rằng:
√A2=b<=>|A|=B<=> B ≥0
A=± B
¿{
Như lời giải bỏ sót điều kiện B≥0 xét thiếu trường hợp A = -B d/ Lời giải đúng:
Ta có phương trình (6) <=> 2x −1¿
2
¿ ¿
√¿
ÑKXD x + ≥ <=> x ≥ - 2x −1¿2
¿ ¿
√¿
(9)<=>
2x −1=x+2
¿
2x −1=− x −2
¿ ¿ ¿ ¿
<=>
x=3
¿
x=−1
¿ ¿ ¿ ¿
(thỏa mãn điều kiện)
Vậy phương trình (6) có nghiệm x = x = −1
Bài tập 7:Giải phương trình: √(x −3)(x2− x −6)=x2−7x+12
a/ Lời giải Thúy:
Ta có phương trình (7) tương đương với: √(x −3)(x −3)(x+2)=(x −3)(x −4)
<=> x −3
¿2(x+2)
¿ ¿
√¿
<=> (x −3)√x+2=(x −3)(x −4)
<=> (x −3)(√x+2− x −4)=0 <=>
x=3
¿ √x+2=x −4
¿ ¿ ¿ ¿
√x+2=(x −4) <=>
x −4≥0
¿
x+2=(x −4)2
¿ ¿ ¿ ¿
<=>
x ≥0
¿
x2−9x+14=0
¿ ¿ ¿ ¿
<=> x = Vậy phương trình (7) có nghiệm x = x =
b/ Nhận xét: Lời giải thỏa mãn với nghiệm tìm mà khơng ngờ phương trình (7) cịn có nghiệm x =
c/ Ghi nhớ rằng:
¿
0 khiA=0 A√BkhiA>0 − A√BkhiA<0
¿√A2B=|A|√B={ {
¿ d/ Lời giải đúng:
Ta có phương trình (7) tương đương với:
|x −3|√x+2=(x −3)(x −4)(∗)
(10)Nếu x > phương trình (*) <=> (x −3)√x+2=(x −3)(x −4)
Vì x – ≠ nên chia hai vế phương trình cho x – ta √x+2=(x −4)
<=> x + = x2 – 8x + 16 vaø x ≥ 4 <=> x2 – 9x + 14 = vaø x ≥ 4 <=> (x-3)(x-7) = vaø x ≥
<=>
x=3(Loai)
¿
x=7(T/m)
¿ ¿ ¿ ¿
Nếu x < phương trình (*) <=> (x −3)√x+2=(x −3)(x −4)
Vì x – ≠ nên chia hai vế phương trình cho – x ta √x+2=(x −4)
<=> x + = (4-x)2
<=>
x=3(T/m)
¿
x=7(Loai)
¿ ¿ ¿ ¿
Vậy phương trình (7) có nghiệm x = 3, x = x = Như lời giải thiếu trường hợp A ≤ Bài tập 8:
Bài tập 9: Giải phương trình: (x+5)√x −2
x+5=x+2 a/ Lời giải Xuân:
Ta có (9) tương đương với √(x+5)(x −2)=x+2
<=>
x+2≥0
¿
x+2¿2 ¿ ¿
(x+5)(x −2)=¿ ¿
¿
<=>
x ≥−2
¿
x2+3x −10=x2+4x+4
(11)<=>
x ≥ −2
¿
3x −4x=4+10
¿ ¿ ¿ ¿
<=>
x ≥ −2
¿
x=14
¿ ¿ ¿ ¿
Vậy phương trình vơ nghiệm
b/ Nhận xét: Lời giải làm cho phương trình có nghiệm trở thành có nghiệm Nghiệm x = -14
c/ Ghi nhớ rằng:
¿
√AB khiA≥0;B>0
−√AB khiA≤0;B<0
¿B√A
B={
¿
Như lời giải xét thiếu trường hợp A <0; B<0 d/ Lời giải đúng:
(x+5)√x −2
x+5=x+2 (9)
Khi x ≥ phương trình (9) tương đương √(x+5)(x −2)=x+2
<=> x2 + 3x – 10 = x2 + 4x+ 4 <=> x = -14 (Loại)
Khi x <-5 phương trình (9) tương đương - √(x+5)(x −2)=x+2
<=> x = -14 (Thỏa mãn)
Vậy phương trình có nghiệm x = -14
Như tất tập giải sai
Qua rút dạng phép biến đổi tương
đương
1
A√B=0 <=> B ≥0 A=0
¿ √B=0
(12)2
√A=B<=> B ≥0 A=B2
¿{
3
¿ √− A
√− BKhiA≤0;B<0 √A
√BKhiA≥0;B>0
¿√A
B={
¿
√A+√B=√A+√C<=> A ≥0
√A=√C
¿{
5
¿
√A.√BkhiA≥0; B≥0 √− A.√− BkhiA≤0; B ≤0
¿√A.B={
¿
√A2=b<=>|A|=B<=> B ≥0
A=± B
¿{
7
¿
0 khiA=0 A√BkhiA>0 − A√BkhiA<0
¿√A2B=|A|√B={ {
¿
8
¿ √AB
B khiA≥0; B>0 −√AB
B khiA<0;B<0
¿√A
B= √AB
|B| ={
¿
9
¿
√AB khiA≥0; B>0
−√AB khiA≤0; B<0
¿B√A
B={
¿
Hướng dẫn nhà:
(13)Baøi 2: a/ √x2−2x+1+√x2−4x+4=3
b/ √3x2−18x+28+√4x2−24x+45=−5− x2+6x
Baøi 3: a/ √5x+7
x+3 =4
b/ √x −1+√x+2=√x+35−√x+7
2/ Một phương trình vơ tỷ thường có nhiều cách giải, emhãy nghiên cứu xem xét ta thương áp dụng phương pháp để giải phương trình Hãy giải tập 3b nhiều cách
C/ KEÁT LUẬN:
Chúng ta biết: Giải phương trình vơ tỷ dạng tốn có nhiều “Bẫy” Vì vậy, việc phải nắm kiến thức, cẩn thận yếu tố quan trọng giúp học sinh tránh sai lầm đáng tiết
Chủ đề dạy sau học sinh lớp học xong chương I Đại số Học chủ đề
- Học sinh hiểu rõ phép biến đổi tương đương phương trình có chứa bậc hai
- Rèn luyện tính cẩn thận
- Nắm vững dạng phương trình vơ tỷ