ðịnh nghĩa 2.2 Nếu X là một không gian tuyến tính ñịnh chuẩn trên K thì không gian LX,K tất cả các phiếm hàm tuyến tính liên tục xác ñịnh trên X ñược gọi là không gian liên hợp hay ñối n[r]
(1)Môn: LÍ THUYẾT HÀM BIẾN THỰC Giảng viên: PSG.TS Khuất Văn Ninh BÀI KIỂM TRA A2 Học viên: Nguyễn Văn Xá Lớp: cao học Toán Giải tích – K15ð2 Trường: ðHSP Hà Nội NỘI DUNG KHÔNG GIAN L(X,Y) DẠNG TỔNG QUÁT CỦA PHIẾM HÀM TUYẾN TÍNH LIÊN TỤC HÀM SỐ TUYỆT ðỐI LIÊN TỤC Lop12.net (2) KHÔNG GIAN L(X,Y) Cho hai không gian tuyến tính ñịnh chuẩn X,Y trên cùng trường số K ðịnh nghĩa 1.1 Ánh xạ A : X → Y ñược gọi là tuyến tính (khi ñó ta nói A là toán tử tuyến tính từ X tới Y) A(αx + β y) = αAx + βAy, ∀x, y ∈ X, ∀α, β ∈ K ðịnh nghĩa 1.2 Ánh xạ A : X → Y ñược gọi là liên tục x ∈ X với dãy phần tử (x n ) ⊂ X mà x n − x → n → ∞ luôn luôn kéo theo Ax n − Ax → n →∞ ðịnh nghĩa 1.3 Ánh xạ A : X → Y ñược gọi là liên tục trên X nó liện tục x ∈ X ðịnh nghĩa 1.4 Ánh xạ A : X → Y ñược gọi là bị chặn tồn số C > cho Ax ≤ C x , ∀x ∈ X ðịnh lí 1.5 Cho toán tử tuyến tính A : X → Y Khi ñó các mệnh ñề sau là tương ñương 1) A liên tục trên X 2) A liên tục x ∈ X 3) A liên tục ñiểm gốc ∈ X 4) A bị chặn Chứng minh 1) ⇒ 2) tức khắc 2) ⇒ 3) Giả sử x n → X Thế thì x n + x → x Mà A tuyến tính và liên tục x nên Ax n + Ax = A(x n + x ) → Ax hay Ax n → A0 = Y Vậy A liên tục ñiểm gốc ∈ X 3) ⇒ 4) Vì A tuyến tính và liên tục ∈ X nên với ε = tồn δ > cho Ax − A0 = Ax < ε = với x ∈ X, x − = x < δ Với tuỳ ý x ' ∈ X \ {0} ta ñặt x '' = δ δ x ' thì x '' ∈ X, x '' = < δ nên theo tính chất trên ta có Ax '' < ⇒ 2 x' δ Ax ' < ⇒ Ax ' < x ' Và bất ñẳng thức này ñúng với x ' = nên x' δ x ' , ∀x ' ∈ X, tức là A bị chặn δ 4) ⇒ 1) Hiển nhiên, vì Ax n − Ax = A(x n − x) ≤ C x n − x ta có Ax ' < Nguyễn Văn Xá Lop12.net (3) Lí thuyết Hàm biến thực Nhận xét 1.6 Ax Nếu A : X → Y là toán tử tuyến tính bị chặn thì tập | x ∈ X, x ≠ bị chặn x Ax | x ∈ X, x ≠ hữu hạn Ta gọi giá trị ñó là chuẩn trên và ñó tồn sup x Ax A, kí hiệu là A Như A = sup | x ∈ X, x ≠ và là số C nhỏ x thoả mãn bất ñẳng thức ñịnh nghĩa 1.4 Mặt khác A tuyến tính nên dễ thấy A = sup Ax = sup Ax và Ax ≤ A x , ∀x ∈ X, ∀A ∈ L(X, Y) x∈X, x =1 x∈X, x ≤1 ðịnh lí 1.7 Cho A : X → Y, B : X → Y là hai toán tử tuyến tính bị chặn, λ ∈ K, thì (λA) : X → Y, (A+B) : X → Y là các toán tử tuyến tính bị chặn và λA = λ A , A + B ≤ A + B ðịnh lí 1.8 Giả sử X, Y, Z là các không gian tuyến tính ñịnh chuẩn trên K và A : X → Y , B : Y → Z là các toán tử tuyến tính bị chặn thì BA : X → Z là toán tử tuyến tính bị chặn, ñồng thời ta có BA ≤ B A ðịnh ngghĩa 1.9 Ta ñịnh nghĩa L(X,Y) là tập hợp tất các toán tử tuyến tính liên tục (và ñó bị chặn) từ X vào Y ðịnh lí 1.10 L(X,Y) là không gian tuyến tính ñịnh chuẩn trên trường K, với chuẩn ñược xác ñịnh nhận xét 1.6 Chứng minh Trong L(X, Y) có thể ñịnh nghĩa các phép toán cộng và nhân với vô hướng sau: Ta gọi tổng hai toán tử A, B là toán tử A+B cho (A + B)x = Ax + Bx, ∀x ∈ X Và tích toán tử A với số λ ∈ K là toán tử λA cho (λA)x = λ.Ax, ∀x ∈ X Rõ ràng các toán tử A+B và λA tuyến tính và liên tục, tức là thuộc L(X,Y), và với các phép toán tuyến tính trên, L(X, Y) trở thành không gian vectơ trên K Hơn nữa, L(X, Y) ta ñã ñịnh nghĩa chuẩn Ax toán tử A ∈ L(X, Y) A = sup = sup Ax = sup Ax x x∈X\{0} x∈X, x =1 x∈X, x ≤1 Chuẩn thỏa mãn ñầy ñủ các tiên ñề chuẩn, cụ thể là: 1) Hiển nhiên A ≥ 0, ∀A ∈ L(X, Y) N ếu A =0 thì Ax ≤ A x , ∀x ∈ X, ∀A ∈ L(X, Y), ta có Ax = với x, tức A = (toán tử không) Ngược lại A = thì dĩ nhiên A = Nguyễn Văn Xá Lop12.net (4) Lí thuyết Hàm biến thực 2) αA = α A , ∀A ∈ L(X, Y), ∀α ∈ K, ñịnh lí 1.7 3) A + B ≤ A + B , ∀A, B ∈ L(X, Y), ñịnh lí 1.7 Như L(X, Y) là không gian ñịnh chuẩn Lưu ý 1.11 Cũng không gian ñịnh chuẩn, L(X, Y) ta có thể nói ñến hội tụ: dãy toán tử (A n ), A n ∈ L ( X, Y ) , ñược gọi là hội tụ tới toán tử A ∈ L ( X, Y ) L(X,Y) n → ∞ A n − A → n → ∞ Sự hội tụ này còn ñược gọi là hội tụ theo chuẩn, ñể phân biệt với hội tụ ñiểm ñược ñịnh nghĩa sau: dãy toán tử (A n ), A n ∈ L ( X, Y ) , ñược gọi là hội tụ ñiểm ñến A ∈ L ( X, Y ) L(X,Y) ∀x ∈ X ta có A n x → Ax (nghĩa là A n x − Ax → ) n → ∞ Rõ ràng hội tụ theo chuẩn kéo theo hội tụ ñiểm vì A n x − Ax ≤ A n − A x Nhưng ñiều ngược lại không ñúng ðịnh lí 1.12 Nếu X là không gian tuyến tính ñịnh chuẩn, Y là không gian Banach, trên K, thì không gian L(X,Y) là không gian Banach trên K Chứng minh Giả sử (A n ) ⊂ L(X, Y) là bản, ta có A n x − A m x = ( A n − A m ) x ≤ A n − A m x , cho nên với x ∈ X cho trước, A n x − A m x → ( n, m → ∞ ) Vậy dãy (A n x) là Y, mà theo giả thiết Y là không gian ñầy ñủ, nên tồn giới hạn lim A n x = Ax ∈ Y Y Rõ ràng toán tử A : X → Y, x ∈ X ֏ Ax = lim A n x, là n →∞ n →∞ tuyến tính Vả lại với ε > cho trước, ta có thể chọn N ñủ lớn ñể A n − A m ≤ ε với n, m ≥ N Khi dựa theo A n x − A m x = ( A n − A m ) x ≤ A n − A m x , ta có A n x − A m x ≤ ε x , và cho m → ∞ ta ñược A n x − Ax ≤ ε x , ∀n ≥ N , chứng tỏ A n − A ∈ L ( X, Y ) và A n − A ≤ ε, ∀n ≥ N, thành thử A = A n − ( A n − A ) ∈ L ( X, Y ) và bất ñẳng thức vừa chứng tỏ A n − A → n → ∞ Vậy dãy (A n ) có giới hạn là A ∈ L ( X, Y ) L(X,Y) Chứng tỏ L(X,Y) là không gian Banach trên K Lưu ý 1.13 Trong trường hợp X = Y, không gian L(X, X) gồm các toán tử tuyến tính liên tục X Khi ta có thể ñịnh nghĩa phép nhân hai toán tử sau: tích hai toán tử A, B X là toán tử AB X cho ABx=A ( Bx ) , ∀x ∈ X Rõ ràng AB là toán tử tuyến tính Vả lại vì ABx = A ( Bx ) ≤ A Bx ≤ A B x nên AB bị chặn (tức là liên tục) và AB ≤ A B Như không gian L(X, X) có xác ñịnh phép cộng và phép nhân hai phần tử Dễ kiểm tra lại phép cộng và phép nhân này thỏa mãn các tiên ñề vành Nghĩa là L(X, X) là: 1) Một vành; 2) Một không gian ñịnh chuẩn; Nguyễn Văn Xá Lop12.net (5) Lí thuyết Hàm biến thực 3) Thỏa mãn ñiều kiện AB ≤ A B ; 4) Có phần tử ñơn vị là toán tử ñồng I với I = Người ta nói L(X, X) là vành ñịnh chuẩn Trong vành L(X, X) , ñương nhiên có thể nói ñến các lũy thừa toán tử: A = I, A n = A n −1A ( n = 1, 2, ) , và hiển n nhiên A n ≤ A , ∀n ∈ ℕ * Vành ñịnh chuẩn L(X,X) còn ñược kí hiệu là L(X) ðịnh lí 1.14 Cho không gian Banach X và không gian tuyến tính ñịnh chuẩn Y trên K Giả sử dãy ( A n ) ⊂ L(X, Y) có tính chất với x ∈ X ñều tồn giới hạn Ax = lim A n x Khi ñó A ∈ L(X, Y) và A ≤ lim A n n →∞ n →∞ ðịnh lí 1.15 Cho toàn ánh tuyến tính A : X → Y , hai mệnh ñề sau tương ñương: 1) A có toán tử ngược A −1 bị chặn 2) Tồn m > cho Ax ≥ m x , ∀x ∈ X Nguyễn Văn Xá Lop12.net (6) DẠNG TỔNG QUÁT CỦA PHIỂM HÀM TUYẾN TÍNH 2.1 Không gian liên hợp ðịnh nghĩa 2.1 Nếu X là không gian tuyến tính ñịnh chuẩn trên K thì toán tử tuyến tính A : X → K ñược gọi là phiến hàm tuyến tính xác ñịnh trên X ðịnh nghĩa 2.2 Nếu X là không gian tuyến tính ñịnh chuẩn trên K thì không gian L(X,K) tất các phiếm hàm tuyến tính liên tục xác ñịnh trên X ñược gọi là không gian liên hợp (hay ñối ngẫu) X và ñược kí hiệu là X* ðịnh lí 2.3 Với X là không gian tuyến tính ñịnh chuẩn thì X* là không gian Banach (sự hội tụ xét ñến ñây là hội tụ theo chuẩn) ðịnh lí 2.4 Nếu X là không gian Banach thì X* là không gian ñầy ñủ ñối với hội tụ ñiểm ðịnh lí 2.5 Với phần tử x không gian tuyến tính ñịnh chuẩn X ta luôn có x = sup f (x) f ∈X*, f =1 ðịnh lí 2.6 Nếu không gian liên hợp X* là khả li thì không gian tuyến tính ñịnh chuẩn X khả li 2.2 Dạng tổng quát phiến hàm tuyến tính liên tục trên không gian Hilbert ðịnh lí 2.7 (F Riesz) Với véctơ a cố ñịnh thuộc không gian Hilbert ( H, , ) hệ thức f (x) = a, x xác ñịnh phiếm hàm tuyến tính liên tục f : H → K và f = a Ngược lại, với bất kì phiếm hàm tuyến tính liên tục f ∈ H * luôn tồn a ∈ H, a = f cho f (x) = a, x , ∀x ∈ H Chứng minh Rõ dàng f (x) = a, x là phiếm hàm tuyến tính trên H và f (x) = a, x ≤ a x , ∀x ∈ H, nên f bị chặn, tức là f ∈ H * ðể chứng minh phần ngược lại ta xét phiếm hàn tuyến tính liên tục f ∈ H * Tập hợp M = {x ∈ H : f ( x ) = 0} rõ ràng là không gian ñóng H Nếu M ⊥ = {0} thì dựa vào cách phân tích x = y + z, với y ∈ M, z ∈ M ⊥ ta thấy z = cho nên f ( x ) = f ( y ) = , ∀ x ∈ H, , ñó f biểu diễn ñược dạng f ( x ) = 0, x , với là Nguyễn Văn Xá Lop12.net (7) Lí thuyết Hàm biến thực véctơ “không” H Trong trường hợp M ⊥ ≠ {0} , tức là tồn x ∈ M ⊥ , x ≠ , ta f ( x0 ) có f ( x ) ≠ , nên véc tơ a = f ( y) = f ( x ) − = x, x − f (x) f ( x0 ) f (x) f ( x0 ) f ( x ) = a, x x0 , x0 x ≠ Với x ∈ H, y = x − f ( x ) = Mà x ∈ M ⊥ , nên x0 , x0 = ⇒ f ( x ) = f ( x0 ) x, x x , x = a, x là nhất, vì f ( x ) = a ', x a − a ', a − a ' = nghĩa là = y, x = x − f (x) f ( x0 ) f (x) f ( x0 ) Cách x ∈ M vì x0 , x0 = biểu diễn thì a − a ', x = 0, ∀ x ∈ H, , ñó a − a ' = ⇒ a ' = a Cuối cùng f (x) = a, x ≤ a x , ∀x ∈ H, nên f ≤ a , lại có f (a) = a, a = a ≤ f a nên a ≤ f , suy a = f ðịnh lí chứng minh xong Nhận xét 2.8 ðịnh lí trên cho phép lập tương ứng – các phiếm hàm tuyến tính liên tục f ∈ H * và các véc tơ a ∈ H Tương ứng – ñó là phép ñẳng cự cộng tính (và là tuyến tính K = ℝ ) từ H* lên H, cho nên ta ñồng phiếm hàm f với véc tơ a sinh nó thì ta có H* = H , nghĩa là không gian Hilbert trùng với không gian liên hợp nó Khi ta nói không gian Hilbert H là không gian tự liên hợp 2.3 Dạng tổng quát phiến hàm tuyến tính liên tục trên ℝ n Do ℝ n là không gian Hilbert trên trường số thực ℝ với tích vô hướng thông ( ) thường nên ℝ n * = ℝ n , nghĩa là phiến hàm tuyến tính liên tục trên ℝ n ñược ñồng với n số thực ( a1, , a n ) ∈ ℝ n 2.4 Dạng tổng quát phiếm hàm tuyến tính liên tục trên Lp ( p ≥ 1) ðịnh lí 2.9 1 Cho không gian ñộ ño (E, f, µ ), µ ( Ε ) < +∞ Giả sử p,q ∈ ℝ, p > 1,q > 1, + = p q và y ( t ) ∈ L p ( Ε, µ ) Khi ñó công thức sau f ( x ) = ∫ x(t).y(t)dµ , x ( t ) ∈ L p ( Ε, µ ) E xác ñịnh phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian Lp ( Ε, µ ) và f = y q Chứng minh Áp dụng bất dẳng thức tích phân Holder ta có Nguyễn Văn Xá Lop12.net (8) Lí thuyết Hàm biến thực 1 p q p q f ( x ) = ∫ x ( t ) y ( t ) dµ ≤ ∫ x ( t ) y ( t ) dµ ≤ ∫ x ( t ) dµ ∫ y ( t ) dµ < +∞ E E E E Suy f xác ñịnh Ta chứng minh f là phiếm hàm tuyến tính ∀x ( t ) , y ( t ) ∈ Lp ( Ε, µ ) và α,β∈ R ta có f ( αx1 + βx ) = ∫ αx1 ( t ) + β x ( t ) y ( t ) dµ = ∫ αx1 ( t ) y ( t ) + βx ( t ) y ( t ) dµ E E = α ∫ x1 ( t )y ( t ) dµ + β∫ x ( t )y ( t ) dµ = αf ( x1 ) + β f ( x ) E E Suy f là phiếm hàm tuyến tính Mặt khác áp dụng bất ñẳng thức Holder ta có f ( x ) = ∫ x ( t ) y ( t ) dµ ≤ ∫ x ( t ) y ( t ) dµ ≤ x E p y q < +∞, ∀x ( t ) ∈ L p ( Ε, µ ) E Từ ñó suy phiếm hàm f bị chặn và f ≤ y q Do ñó x0 ( t ) = y ( t ) q-1 f liên tục Chọn .sign y ( t ) , t ∈ E ta có x p = ∫ x ( t ) dµ = ∫ y ( t ) p p E ( q-1) p dµ = ∫ y ( t ) dµ = y q q E q E Nghĩa là x ( t ) ∈ L p ( E,µ ) thì f ( x ) = ∫ x ( t ) y ( t ) dµ = ∫ y ( t ) dµ = q E q 1− q q q = ∫ y ( t ) dµ ∫ y ( t ) dµ E E E = y q x q Do ñó f ≥ y q Suy f = y q ðịnh lí 2.10 Mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian Lp ( Ε, µ ) ,(p > 1) ñều có biểu diễn dạng f (x) = ∫ x(t).y(t)dµ , ∀x ( t ) ∈ L p ( Ε, µ ) Trong ñó E y ( t ) ∈ Lq ( Ε, µ ) , 1 + = ñược xác ñịnh phiếm hàm f và p q f = y q Chứng minh Trước hết ta kiểm tra với p = , ∀x ( t ) ,y( t ) ∈L2 ( Ε,µ) ñặt x, y = ∫ x ( t ) y ( t ) dµ E Ta chứng minh công thức trên xác ñịnh tích vô hướng trên L2 ( Ε, µ ) 1) ∀x ( t ) , y ( t ) ∈ L2 ta có ( y , x ) = ∫ y ( t ) x ( t ) d µ = ∫ x ( t ) y ( t )d µ = ( x, y ) E E ∀x ( t ) , y ( t ) ∈ L2 ta có ( x + y, z ) = ∫ ( x ( t ) + y ( t ) ) z ( t ) d µ E = ∫ x ( t ) z ( t ) d µ + ∫ y ( t ) z ( t ) d µ = ( x, z ) + ( y , z ) E E ∀x ( t ) , y ( t ) ∈ L2 ∀α ∈ ℝ ta có (αx, y) = ∫αx( t ) y( t ) dµ =α∫ x( t ) y( t ) dµ = ( x, y) E E Nguyễn Văn Xá Lop12.net (9) Lí thuyết Hàm biến thực Do x, y = ∫ x ( t ) y ( t ) dµ xác ñịnh tích vô hướng trên không gian L2 và E x = ( x, x ) = ∫ x ( t ) dµ Vậy L2 là không gian Hilbert E Giả sử f là phiếm hàm tuyến tính bất kì trên không gian Lp (p >1) *) Ta xét < p < Có L2 ⊂ Lp Có thể xem L2 là không gian ñóng L2 Theo ñó xem phiếm hàm f tác dụng trên L2 , theo ñịnh lí Riesz tồn hàm số y ( t ) ∈ L2 cho f ( x ) = ∫ x ( t ) y ( t ) dµ, ∀x ( t ) ∈ L ( Ε, µ ) Giả sử hàm số E y ( t ) tương ñương với trên E ðặt y ( t ) y ( t ) ≤ n yn ( t ) = n = 1,2,… n sign y t y t > n ( ) ( ) ( ) Ta có hàm số yn (t ) ( n = 1,2,…) ño ñược, bị chặn và y n (t) ≤ y(t) , ∀t ∈ Ε nên 1 q-1 y n ( t ) ∈ L q , + = 1, p > ðặt x n ( t ) = y n ( t ) sign y ( t ) , n = 1, 2, thì có các p q hàm số x n ño ñược, bị chặn trên E, ñó xn ( t ) ∈ L p và xn ( t ) ∈ L2 1 p q p q x n = ∫ x n ( t ) dµ = ∫ y n ( t ) dµ E E ðồng thời ta có f ( x n ) = ∫ x ( t ) y ( t ) dµ = ∫ y ( t ) E q-1 y ( t ) dµ ≥ ∫ y ( t ) dµ Mặt q E E p q q ⇒ y t d µ ≤ f y t dµ Vì y ( t ) không ( ) ( ) ∫ n ∫E n p E tương ñương với trên E nên yn ( t ) không tương ñương với trên E (n = khác f ( xn ) ≤ f xn E q 1,2,…) Ta có ∫ y n ( t ) dµ ≤ f Chuyển qua giới hạn bất ñẳng thức n→ ∞ q q q y t d µ Ta lập hàm ta ñược ( ) ∫ ≤ f ⇒ y ( t ) ∈ L q ( Ε, µ ) E g ( x ) = ∫ x ( t ) y ( t ) d µ , ∀x ( t ) ∈ Lp Theo chứng minh trên hệ thức này xác ñịnh E phiếm hàm tuyến tính liên tục trên L p và f = y q Hiển nhiên g ( x ) = f ( x ) , ∀x ( t ) ∈ L2 Vì không gian các hàm liên tục trên E là trù mật khắp nơi không gian L2 nên theo ñịnh lí thác triển liên tục, phiếm hàm tuyến tính liên tục g là thác triển f từ không gian L2 lên toàn không gian Lp , theo ñịnh lí Hahn - Bannach có g p = f = y q ⇒ g ( x ) = f ( x ) , ∀x ( t ) ∈ L2 Suy ñiều phải chứng minh Nguyễn Văn Xá Lop12.net (10) 10 Lí thuyết Hàm biến thực *) Trường hợp p > 2, ñược chứng minh tương tự Từ 1 + = ⇒ < q < ta p q cần ñổi vai trò p, q Lưu ý 2.11 Với < p < ∞ thì L p * ñẳng cự tuyến tính với Lq (p và q là cặp số mũ liên hợp) ( ) ( ) Nếu ñồng f(x) với y(t) ñịnh lí 2.10 thì ta có L p * = Lq , và ñó L p là ( ) không gian phản xạ < p < ∞ , tức là L p ** = L p ðặc biệt, với p = thì L là không gian Hilbert và ( L2 ) * = L (tự liên hợp) Khi p = 1, µ là ñộ ño σ − hữu hạn thì ( L1 ) * = L∞ 2.5 Dạng tổng quát phiếm hàm tuyến tính trên l p ( ) Tương tự 2.4, ta có l p * = lq , với p, q là cặp số mũ liên hợp, < p < ∞ 2.6 Dạng tổng quát phiếm hàm tuyến tính liên tục trên C [ a;b ] ðịnh lý 2.12 (F.Rizt) Mỗi phiếm hàm tuyến tính liên tục không gian C [ 0;1] có thể biểu diễn f ( x) = ( R − S ) ∫ x(t )dg (t ) dạng tích phân Sties theo công thức ñó g (t ) có biến phân hữu hạn , g (t ) ñược xác ñịnh theo phiếm hàm f Ngược lại giả sử h(t ) là hàm số có biến phân hữu hạn, ∀x ∈C[0,1] ,ñặt ϕ ( x) = ∫ x(t )dh(t ) thì ϕ là phiếm hàm tuyến tính Chứng minh Thật vậy: • ϕ ( x1 + x ) = ∫ [x1 (t ) + x (t )]dh(t ) = ϕ ( x1 ) + ϕ ( x ) • ϕ (λx) = λϕ ( x) • 1 0 ϕ ( x) = ∫ x(t )dh(t ) ≤ x V (h) và ϕ ≤ V (h) Vậy ϕ là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên C[0,1] Ta có thể thấy ngay: • Cho t là ñiểm ñoạn [a, b] Phiếm hàm f ( x) xác ñịnh trên C [a, b] f ( x) = x(t ) là tuyến tính và liên tục b • Tích phân f (x) = ∫ x(t)dt là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên C [a ,b ] a 10 Nguyễn Văn Xá Lop12.net (11) 11 Lí thuyết Hàm biến thực b • Tích phân Stieljes f ( x) = ∫ x(t )dg (t ) rong ñó g (t ) là hàm số cho trước có a biến phân bị chặn trên [a, b] , xác ñịnh phiếm hàm tuyến tính liên tục trên C [a ,b ] Thật vậy, ñó rõ ràng là phiếm hàm tuyến tính Mặt khác theo ñịnh n −1 nghĩa tích phân (2) giới hạn tổng S = ∑ x(ξ i )[g (t i +1 ) − g (t i )] i =0 max (t i +1 − t i ) → Ở ñây t = a < t1 < < t n = b là cách chia ñoạn [a, b] và ξ i là ñiểm ñoạn [t i +1 , t i ] Ta có n −1 S ≤ max x(t ) ∑ g (t i +1 ) − g (t i ) ≤ max x(t ) Vab ( g ) Cho nên qua giới hạn ta a ≤t ≤b a ≤t ≤ b i =0 ñược f ≤ V ( g ) x , chứng tỏ f bị chặn (do ñó liên tục) và f ≤ Vab (g ) Có thể chứng minh ngược lại phiếm hàm tuyến tính f trên không gian b a C [a ,b ] ñều có dạng (2) và có thể chọn g (t ) thích hợp ñể f = Vab (g ) Như có thể lập ánh xạ 1-1 từ tập các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên C [a ,b ] lên tập V0 không gian V[a ,b ] (không gian lập thành các hàm có biến phân bị chặn trên [a, b] ) Ánh xạ ñó vừa bảo toàn các phép tuyến tính, vừa bảo toàn chuẩn Do ñó có thể ñồng V0 với không gian liên hợp C [a ,b ] Xét φ : C[*0,1] → V [0,1] , C [0,1] ∋ f ֏ φ ( f ) = g (Theo ñịnh lý Ritz) Ta có φ tuyến tính • φ ( f1 + f ) = φ ( f1 ) + φ ( f ) • φ (λf ) = λφ ( f ) • φ( f ) = g = V (g) Nhưng f = g nên φ ( f ) = f ⇒ φ là phép nhúng ñẳng cấu tuyến tính, ñẳng cự từ C [*0,1] lên V[0,1] ⇒ ñồng C [*0,1] = V[0,1] Vậy không gian liên hợp không gian C[0,1] là không gian V[0,1] ñó ñồng ñây sai khác ñẳng cự tuyến tính Tổng quát ta có ( C [a;b]) * = V [a;b] 11 Nguyễn Văn Xá Lop12.net (12) HÀM SỐ TUYỆT ðỐI LIÊN TỤC ðịnh nghĩa 3.1 Cho f(x) là hàm hữu hạn, xác ñịnh trên ñoạn [a,b] giả sử với ε > , n tồn δ > cho ∑ {f ( bk ) − f ( ak )} < ε với tất a1 , b1 , , an , bn thỏa mãn k =1 n a1 < b1 ≤ a2 < b2 ≤ ≤ an < bn và ∑ ( bk − ak ) < δ Khi ñó hàm f(x) ñược gọi là k =1 tuyệt ñối liên tục Tập tất các hàm tuyệt ñối liên tục trên ñoạn [a;b] thường ñược kí hiệu là AC [ a; b ] Nhận xét 3.2 Rõ ràng hàm tuyệt ñối liên tục thì liên tục theo nghĩa thông thường, ñó AC [ a; b ] ⊂ C [ a; b ] Hơn nữa, hàm tuyệt ñối liên tục thì có biến phân bị chặn, nên AC [ a; b ] ⊂ V [ a; b ] 12 Nguyễn Văn Xá Lop12.net (13)