VẤN ĐỀ 3: Tính giá trị lượng giác của biểu thức bằng các cung liên kết Sử dụng công thức các góc cung có liên quan đặc biệt cung liên kết... Tính các GTLG của các góc sau:..[r]
Trang 1I Giá tr ị lượng giác của góc (cung) lượng giác
1 Định nghĩa các giá trị lượng giác
Cho (OA OM, )=α Giả sử M x y( ; )
x OH
y OK
cos sin
sin tan
cos cot
sin
α α
α α
α
= =
= =
Nh ận xét
:
•
• tanα xác định khi k k Z,
2
π
α ≠ + π ∈ • cotα xác định khi α ≠k k Zπ, ∈
• sin(α+k2 ) sinπ = α • tan(α+kπ) tan= α
cos(α+k2 ) cosπ = α cot(α+kπ) cot= α
2 D ấu của các giá trị lượng giác
3 Giá tr ị lượng giác của các góc đặc biệt
0
6
π
4
π
3
π
2
3
4
00 300 450 600 900 1200 1350 1800 2700 3600
2
2 2
3
3 2
2
2
2 2
1
1 2
2
3 3
CHƯƠNG VI
Phần tư
cosin
O
cotang
M
K
B S
α
T
Trang 24 H ệ thức cơ bản:
sin α+ cos α = ; 1 tan cotα α = 1; 2 2
5 Giá tr ị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt
II Công th ức lượng giác
1 Công thức cộng
2 Công th ức nhân đôi
sin 2α =2sin cosα α
cos2α =cos α −sin α =2 cos α− = −1 1 2sin α tan 2 2 tan2 ; cot 2 cot2 1
2 cot
1 tan
α α
−
sin(a b+ ) sin cos= a b +sin cosb a
sin(a b− ) sin cos= a b−sin cosb a
cos(a b+ ) cos cos= a b −sin sina b
cos(a b− ) cos cos= a b+sin sina b
tan tan tan( )
1 tan tan
a b
+
− tan tan tan( )
1 tan tan
a b
−
+
Góc hơn kém π Góc hơn kém π2
2
cos(π α+ )= −cosα cos sin
2
2
2
Góc đối nhau Góc bù nhau Góc ph ụ nhau
2
sin( )−α = −sinα cos(π α− ) = −cosα cos sin
2
tan( )−α = −tanα tan(π α− ) = −tanα tan cot
2
cot( )−α = −cotα cot(π α− )= −cotα cot tan
2
Trang 33 Công th ức biến đổi tổng thành tích
4 Công th ức biến đổi tích thành tổng
V ẤN ĐỀ 1: Dấu của các giá trị lượng giác
Công th ức hạ bậc Công th ức nhân ba (*)
2 2 2
1 cos2 sin
2
1 cos2 cos
2
1 cos2 tan
1 cos2
α α
α α
α α
α
−
= +
=
−
= +
3 3
3 2
sin3 3sin 4sin cos3 4 cos 3cos
3tan tan tan3
1 3tan
α
α
−
=
−
cos cos 2 cos cos
sin sin 2sin cos
sin sin 2 cos sin
sin( ) tan tan
cos cos
a b
+
sin( ) tan tan
cos cos
a b
−
sin( ) cot cot
sin sin
a b
+
b a
sin( ) cot cot
sin sin
−
α+ α = α + = α−
α− α = α− = − α+
1
2 1
2 1
2
Trang 4cung (tia cu ối của góc) thuộc góc phần tư nào và áp dụng bảng xét dấu các GTLG
Bài 1 Xác định dấu của các biểu thức sau:
a) A = sin 50 cos( 300 )0 − 0 b) B = sin 215 tan0 21
7 π
c) C = cot3 .sin 2
−
Bài 2 Cho 00 < <α 900 Xét dấu của các biểu thức sau:
a) A = sin(α +90 )0 b) B = cos(α −45 )0
c) C = cos(2700−α) d) D = cos(2α +90 )0
Bài 3 Cho 0
2
π α
< < Xét dấu của các biểu thức sau:
a) A = cos(α π+ ) b) B = tan(α π− )
c) C = sin 2
5
π α
+
3 cos
8
π α
−
Bài 4 Cho tam giác ABC Xét dấu của các biểu thức sau:
a) A = sinA+sinB+sinC b) B = sin sin sinA B C
c) C = cos cos cosA B C
Bài 5
a)
VẤN ĐỀ 2: Tính các giá trị lượng giác của một góc (cung)
Ta s ử dụng các hệ thức liên quan giữa các giá trị lượng giác của một góc, để từ giá trị lượng giác đã biết suy ra các giá trị lượng giác chưa biết
I Cho bi ết một GTLG, tính các GTLG còn lại
1 Cho bi ết sinα, tính cosα, tanα, cotα
• Từ sin2α +cos2α =1 ⇒ cosα = ± −1 sin2α
– N ếu α thuộc góc phần tư I hoặc IV thì cosα = 1 sin− 2α – N ếu α thuộc góc phần tư II hoặc III thì cosα = − −1 sin2α
• Tính tan sin
cos
α α
α
tan
α
α
2 Cho biết cosα, tính sinα, tanα, cotα
• Từ sin2α +cos2α =1 ⇒ sinα = ± −1 cos2α
– N ếu α thuộc góc phần tư I hoặc II thì sinα = 1 cos− 2α – N ếu α thuộc góc phần tư III hoặc IV thì sinα = − −1 cos2α
• Tính tan sin
cos
α α
α
tan
α
α
3 Cho bi ết tanα, tính sinα, cosα, cotα
• Tính cot 1
tan
α
α
Trang 5• Từ 12 1 tan2
1 cos
1 tan
α
α
= ±
– N ếu α thuộc góc phần tư I hoặc IV thì
2
1 cos
1 tan
α
α
=
– Nếu α thuộc góc phần tư II hoặc III thì
2
1 cos
1 tan
α
α
= −
• Tính sinα =tan cosα α
4 Cho bi ết cotα, tính sinα, cosα, tanα
• Tính tan 1
cot
α
α
• Từ 12 1 cot2
1 sin
1 cot
α
α
= ±
– N ếu α thuộc góc phần tư I hoặc II thì
2
1 sin
1 cot
α
α
=
– N ếu α thuộc góc phần tư III hoặc IV thì
2
1 sin
1 cot
α
α
= −
II Cho biết một giá trị lượng giác, tính giá trị của một biểu thức
• Cách 1: Từ GTLG đã biết, tính các GTLG có trong biểu thức, rồi thay vào biểu thức
• Cách 2: Biến đổi biểu thức cần tính theo GTLG đã biết
III Tính giá trị một biểu thức lượng giác khi biết tổng – hiệu các GTLG
Ta thường sử dụng các hằng đẳng thức để biến đổi:
A2+B2 =(A B+ )2−2AB A4+B4 =(A2+B2 2) −2A B2 2
A3+B3 =(A B A+ )( 2−AB B+ 2) A3−B3 =(A B A− )( 2+AB B+ 2)
IV Tính giá tr ị của biểu thức bằng cách giải phương trình
• Đặt t=sin , 02x ≤ ≤ ⇒ t 1 cos2x t= Th ế vào giả thiết, tìm được t
Bi ểu diễn biểu thức cần tính theo t và thay giá trị của t vào để tính
• Thiết lập phương trình bậc hai: t2− + =St P 0 v ới S x y P xy= + ; = T ừ đó tìm x, y
Bài 1 Cho biết một GTLG, tính các GTLG còn lại, với:
a) cosa 4, 2700 a 3600
5
2 5
π
α = − < < α
c) sina 5 , a
13 2
= < < d) sin 1, 1800 2700
3
α = − < <α
e) tana 3, a 3
2
π π
2
π
α = − < < α π
2
π
α = π α< <
Bài 2 Cho biết một GTLG, tính giá trị của biểu thức, với:
cot tan sin 3, 0
π +
Trang 6b) B a a khi a a
2
sin 2 cos
+
6
3
2 cos sin
+
13
cos sin
+
Bài 3 Cho sina cosa 5
4 + = Tính giá trị các biểu thức sau:
a) A=sin cosa a b) B=sina−cosa c) C=sin3a−cos3a
ĐS: a) 9
7 4
128
±
Bài 4 Cho tana−cota=3 Tính giá trị các biểu thức sau:
a) A=tan2a+cot2a b) B=tana+cota c) C=tan4a−cot4a
Bài 5
a) Cho 3sin4x cos4x 3
4
+ = Tính A=sin4x+3cos4x ĐS: A 7
4
=
b) Cho 3sin4x cos4x 1
2
− = Tính B=sin4x+3cos4x ĐS: B = 1
c) Cho 4sin4x 3cos4x 7
4
+ = Tính C=3sin4x+4 cos4x ĐS: C 7 C 57
Bài 6
a) Cho sinx cosx 1
5 + = Tính sin , cos , tan , cotx x x x b) Cho tanx+cotx=4 Tính sin , cos , tan , cotx x x x
ĐS: a) 4; 3; 4; 3
5 −5 −3 − 4 b)
2
−
−
ho ặc 2 3; 2 3; 2 3; 1
−
−
Bài 7
a)
V ẤN ĐỀ 3: Tính giá trị lượng giác của biểu thức bằng các cung liên kết
S ử dụng công thức các góc (cung) có liên quan đặc biệt (cung liên kết)
Trang 7Bài 1 Tính các GTLG của các góc sau:
a) 120 ; 135 ; 150 ; 210 ; 225 ; 240 ; 300 ; 315 ; 330 ; 390 ; 420 ; 495 ; 2550 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
b) 9 ; 11 ; 7 ;13 ; 5 ; 10 ; 5 ;11 ; 16 ;13 ; 29 ; 31
Bài 2 Rút gọn các biểu thức sau:
2
b) B 2 cosx 3cos( x) 5sin 7 x cot 3 x
Bài 3 Rút gọn các biểu thức sau:
a) A sin( 328 ).sin 9580 0 0 cos( 508 ).cos( 1022 )0 0 0
b) B sin( 234 ) cos216 tan3600 00 0
sin144 cos126
=
c) C=cos200+cos400+cos600+ + cos1600+cos1800 ĐS: C= −1 d) D=cos 102 0+cos 202 0+cos 302 0+ + cos 1802 0 ĐS: D 9=
e) E=sin 200+sin 400+sin 600+ + sin3400+sin3600 ĐS: E 0=
f) 2sin(7900+ +x) cos(12600− +x) tan(6300+x).tan(12600− x) ĐS: F= +1 cosx
Trang 8V ẤN ĐỀ 4: Rút gọn biểu thức lượng giác – Chứng minh đẳng thức lượng giác
S ử dụng các hệ thức cơ bản, công thức lượng giác để biến đổi biểu thức lượng giác Trong khi bi ến đổi biểu thức, ta thường sử dụng các hằng đẳng thức
Chú ý: Nếu là biểu thức lượng giác đối với các góc A, B, C trong tam giác ABC thì:
A B C+ + =π và A B C
π
Bài 1 Chứng minh các đẳng thức sau:
a) sin4x−cos4x = −1 2 cos2x
b) sin4x+cos4x = −1 2 cos sin2x 2x
c) sin6x+cos6x = −1 3sin cos2x 2x
d) sin8x+cos8x = −1 4sin cos2x 2x+2sin cos4x 4x
e) cot2x−cos2x =cos cot2x 2x
f) tan2x−sin2x = tan sin2x 2x
g) 1 sin+ x+cosx+tanx = +(1 cos )(1 tan )x + x
h) sin tan2x x+cos cot2x x+2sin cosx x = tanx+cotx
x
2
2 2
1 sin
−
Bài 2 Chứng minh các đẳng thức sau:
tan tan tan tan
cot cot
+
=
2 2
+
1 cot 1 tan
2
2
+
2 2
1 cos 1 (1 cos ) 2 cot
=
2
2
=
6
sin cos
sin +cos = 1 , , > 0
+
Bài 4 Rút gọn các biểu thức sau:
a) (1 sin )cot− 2x 2x+ −1 cot2x b) (tanx+cot )x 2−(tanx−cot )x 2
+ + d) ( sinx a y− cos )a 2+( cosx a y+ sin )a 2
Trang 9e) x x
−
g) sin (1 cot ) cos (1 tan )2x + x + 2x + x h) x x x
π π
− + k) cosx tan2x sin ;2x x ;3
2 2
π π
Bài 5 Chứng minh các biểu thức sau độc lập đối với x:
a) 3(sin4x+cos ) 2(sin4x − 6x+cos )6x ĐS: 1
b) 3(sin8x−cos ) 4(cos8x + 6x−2sin ) 6sin6x + 4x ĐS: 1
c) (sin4x+cos4x−1)(tan2x+cot2x+ 2) ĐS: –2
d) cos cot2x 2x+3cos2x−cot2x+2sin2x ĐS: 2
3
ĐS: 2
2
Bài 6 Cho tam giác ABC Chứng minh:
a) sinB=sin(A C+ ) b) cos(A B+ )= −cosC
c) sin A B cosC
d) cos(B C− )= −cos(A+2 )C
e) cos(A B C+ − )= −cos2C f) cos 3A B C sin 2A
2
= −
g) sin A B 3C cosC
2
h) tanA B 2C cot3C
Bài 7
a)
Trang 10V ẤN ĐỀ 5: Công thức cộng
sin(a b+ ) sin cos= a b + sin cosb a
sin(a b− ) sin cos= a b−sin cosb a
cos(a b+ ) cos cos= a b −sin sina b
cos(a b− ) cos cos= a b+ sin sina b
tan tan tan( )
1 tan tan
a b
+
− tan tan tan( )
1 tan tan
a b
−
+
Bài 1 Tính các giá trị lượng giác của các góc sau:
a) 15 ; 75 ; 105 0 0 0 b) ; 5 ; 7
12 12 12
Bài 2 Tính giá trị của biểu thức lượng giác, khi biết:
a) tan khi sin 3,
c) cos(a b).cos(a b khi) cosa 1, cosb 1
d) sin(a b− ), cos(a b+ ), tan(a b+ ) khi sina 8 , tanb 5
= = và a, b là các góc nhọn
ĐS: 21 140; ; 21
221 221 220 e) tana+tan , tan , tanb a b khi 0 a b, ,a b
< < + = và tan tana b= −3 2 2 Từ đó suy
ra a, b ĐS: 2 2 2− ; tana tanb 2 1,a b
8
π
Bài 3 Tính giá trị của các biểu thức lượng giác sau:
a) A = sin 202 o+sin 1002 o+sin 1402 o ĐS: 32
b) B = cos 102 o+cos110o+cos 1302 o ĐS: 3
2 c) C = tan 20 tan80o o+tan80 tan140o o+tan140 tan 20o o ĐS: –3
d) D = tan10 tan 70o o+tan 70 tan130o o+tan130 tan190o o ĐS: –3
e) E =
cot 225 cot 79 cot 71
cot 259 cot 251
−
g) G =
o
0
1 tan15
1 tan15
−
3
HD: 400 =600−20 ; 800 0 =600+200; 500 =600−10 ; 700 0=600+100
Trang 11Bài 4 Chứng minh các hệ thức sau:
a) sin(x y+ ).sin(x y− ) sin= 2x−sin2y
2sin( ) tan tan
cos( ) cos( )
+
e) (cos70o+cos50 )(cos230o o+cos290 )o +(cos40o+cos160 )(cos320o o+cos380 ) 0o =
tan tan3
1 tan 2 tan
−
=
−
Bài 5 Chứng minh các hệ thức sau, với điều kiện cho trước:
a) 2 tana=tan(a b khi+ ) sinb=sin a cos a b( + )
b) 2 tana=tan(a b khi+ ) 3sinb=sin(2a b+ )
c) tan tana b 1 khi cos(a b) 2 cos(a b)
3
k
1
1
−
+
HD: a) Chú ý: b = (a+b)–a b) Chú ý: b = (a+b)–a; 2a+b=(a+b)+a
c) Khai tri ển giả thiết d) Chú ý: a+2b=(a+b)+a; a=(a+b)–b
Bài 6 Cho tam giác ABC Chứng minh:
a) sinC=sin cosA B+sin cosB A
c) tanA+tanB+tanC=tan tan tan ( , ,A B C A B C≠90 )0
d) cot cotA B+cot cotB C+cot cotC A=1
e) tan tanA B tan tanB C tan tanC A 1
f) cot A cotB cotC cot cot cotA B C
h) cos cos cosA B C sin sin cosA B C sin cos sinA B C cos sin sinA B C
i) sin2 A sin2 B sin2C 1 2sin sin sinA B C
HD: a, b, c, d) Sử dụng (A + B) + C = 180 0 e, f) Sử dụng A B C 900
g) VT = VP = tanA h) Khai tri ển cos A B C
2 2 2
+ +
i) Khai tri ển sin A B C
2 2 2
+ +
Chú ý: Từ cosB C sinA ⇒ cos cosB C sin A sin sinB C
Trang 12⇒ sin cos cosA B C sin2 A sin sin sinA B C
Bài 7 Cho tam giác A, B, C Chứng minh:
a) tanA+tanB+tanC ≥3 3,∀∆ABC nhọn
b) tan2A+tan2B+tan2C ≥9,∀∆ABC nhọn
c) tan6 A+tan6B+tan6C≥81,∀∆ABC nhọn
d) tan2 A tan2B tan2C 1
e) tanA tanB tanC 3
HD: a, b, c) S ử dụng tanA+tanB+tanC=tan tan tanA B C và BĐT Cơ–si
d) S ử dụng a2+b2+c2 ≥ab bc ca+ +
và tan tanA B tan tanB C tan tanC A 1
e) Khai tri ển A B C
2
Trang 13V ẤN ĐỀ 6: Công thức nhân Công th ức nhân đôi
sin 2α =2sin cosα α
cos2α =cos α −sin α =2 cos α− = −1 1 2sin α tan 2 2 tan2 ; cot 2 cot2 1
2 cot
1 tan
α α
−
Bài 6 Tính giá trị của biểu thức lượng giác, khi biết:
a) cos2 , sin 2 , tan 2 khi cos 5 , 3
π
b) cos2 , sin 2 , tan 2α α α khi tanα =2
c) sin , cos khi sin 2 4, 3
α α α = − < <α
d) cos2 , sin 2 , tan 2 khi tan 7
8
Bài 7 Tính giá trị của biểu thức sau:
a) A cos20 cos40 cos60 cos80= o o o o ĐS: 1
16
8 c) C cos cos4 cos5
8
8 e) E sin 6 sin 42 sin 66 sin 78= o o o o ĐS: 1
16 f) G cos2 cos4 cos8 cos16 cos32
32 h) H sin 5 sin15 sin 25 sin 75 sin85= o o o o o ĐS: 2
512 i) I =cos10 cos20 cos30 cos70 cos800 0 0 0 0 ĐS: 3
256 k) K 96 3 sin cos cos cos cos
l) L cos cos2 cos3 cos4 cos5 cos6 cos7
128
Công thức hạ bậc Công thức nhân ba (*)
2 2 2
1 cos2 sin
2
1 cos2 cos
2
1 cos2 tan
1 cos2
α α
α α
α α
α
−
= +
=
−
= +
3 3
3 2
sin3 3sin 4sin cos3 4 cos 3cos
3tan tan tan3
1 3tan
α
α
−
=
−
Trang 14m) M sin cos cos
Bài 8 Chứng minh rằng:
n
P
a
sin cos cos cos cos
2
n Q
cos cos cos
Bài 9 Chứng minh các hệ thức sau:
a) sin cos4 4x 3 1cos4x
4 4
8 8
c) sin cosx 3x cos sinx 3x 1sin 4x
4
− = d) sin6 x cos6 x 1cos (sinx 2x 4)
e) 1 sinx 2sin2 x
4 2
π
x
2 2
2 cot cos
g)
x x
x
1 cos
2
2
π π
π
x
1 sin 2 tan
π
x
π
tan tan3
1 tan tan 2
−
=
−
x
2 cot tan
sin 2
π
Bài 10
a)
Trang 15V ẤN ĐỀ 7: Công thức biến đổi
1 Công thức biến đổi tổng thành tích
2 Công th ức biến đổi tích thành tổng
Bài 1 Biến đổi thành tổng:
a) 2sin(a b+ ).cos(a b− ) b) 2 cos(a b+ ).cos(a b− )
c) 4sin3 sin 2 cosx x x d) 4sin13x.cos cosx x
e) sin(x+30 ).cos(o x−30 )o f) sin sin2
g) 2sin sin 2 sin3 x x x h) 8cos sin 2 sin3x x x
Bài 2 Chứng minh:
a) 4 cos cosx x cos x cos3x
Áp dụng tính:
A sin10 sin 50 sin 70= B cos10 cos50 cos70= o o o
C =sin 20 sin 40 sin800 0 0 D=cos20 cos40 cos800 0 0
Bài 3 Biến đổi thành tích:
cos cos 2 cos cos
sin sin 2sin cos
sin sin 2 cos sin
sin( ) tan tan
cos cos
a b
+
sin( ) tan tan
cos cos
a b
−
sin( ) cot cot
sin sin
a b
+
b a
sin( ) cot cot
sin sin
−
1
2 1
2 1
2
α + α = α+ = α −
α− α = α− = − α+
Trang 16g) 1 sin 2 –cos2 –tan 2+ x x x h) sin (2 x+90 ) 3cos (o − 2 x−90 )o
i) cos5x+cos8x+cos9x+cos12x k) cosx+sinx+1
Bài 4 Rút gọn các biểu thức sau:
cos7 cos8 cos9 cos10
sin 7 sin8 sin 9 sin10
=
B
sin 2 2sin3 sin 4 sin3 2sin 4 sin 5
=
1 cos cos2 cos3
cos 2 cos 1
=
D
sin 4 sin 5 sin 6 cos4 cos5 cos6
=
Bài 5 Tính giá trị của các biểu thức sau:
a) A cos cos2
c) C =sin 70 sin 50 sin 102 o 2 o 2 o d) D = sin 172 o+sin 432 o+sin17 sin 43o o
o
2sin10
g)
cot 25 cot 75 tan 25 tan 75
h) H = tan 90−tan 270−tan 630+tan810
ĐS: A 1
2
64
4
=
E = 1 F = 4 G = 1 H = 4
Bài 6 Tính giá trị của các biểu thức sau:
a) sin sin7 sin13 sin19 sin25
32 b) 16.sin10 sin30 sin 50 sin 70 sin 90o o o o o ĐS: 1
c) cos24o+cos48o−cos84o−cos12o ĐS: 1
2 d) cos2 cos4 cos6
ĐS: − 12
e) cos cos2 cos3
2 f) cos cos5 cos7
ĐS: 0
g) cos2 cos4 cos6 cos8
h) cos cos3 cos5 cos7 cos9
Bài 7 Chứng minh rằng:
a) tan 9o−tan 27o−tan 63o+tan81o = 4
b) tan 20o−tan 40o+tan80o =3 3
c) tan10o−tan 50o+tan 60o+tan 70o = 2 3
d) tan30o tan 40o tan 50o tan 60o 8 3.cos20o
3
e) tan 20o+tan 40o+tan80o+tan 60o =8sin 40o
Trang 17f) tan 206 o−33tan 204 o+27tan 202 o− = 3 0
Bài 8 Tính các tổng sau:
a) S1= cosα+cos3α+cos5α + cos(2+ n−1)α (α ≠kπ)
2 sinπ sin2π sin3π sin( −1)π.
3 =cosπ +cos3π +cos5π + cos(2 −1)π .
π
ĐS: S1 sin 2n
2sin
α α
n
2 cot
2
π
n
3= −cos π ;
S
a
4 tan 5 tan 1 5
sin
−
S
x
1
5 tan 2 tan 2
−
=
Bài 9
a) Chứng minh rằng: sin3x 1(3sinx sin3 ) (1)x
4
n
x vào (1), tính S sin3 3sin3 2 3 1sin3
3
−
ĐS: S n 1 3 sinn a n sin a
Bài 10
a) Chứng minh rằng: a a
a
sin 2 cos
2sin
2
cos cos cos
n n
x P
x
sin .
2 sin 2
=
Bài 11
a) Chứng minh rằng: x x
x
n
sinα sin 2α sin 2 − α − α π
2
Bài 12
a) Chứng minh rằng: tan tan 22x x = tan 2x−2 tanx
S tan2 tana 2 tan2 2.tan 2 1tan2 tan 1
ĐS: S n tana 2 tann a n
2
Bài 13 Tính sin 2 , biết: 2 x
tan +cot +sin +cos = ĐS: 8
9
Trang 18a) cotx−tanx−2 tan 2x =4 cot 4x b) x x
2
1 2sin 2 1 tan 2
1 sin 4 1 tan 2
2 6
x
1 sin 2 cos2 tan 4
cos4 sin 2 cos2
−
+ e) tan 6x−tan 4x−tan 2x = tan 2 tan 4 tan 6x x x
x
sin 7 1 2 cos2 2 cos4 2 cos6
g) cos5 cos3x x+sin 7 sinx x=cos2 cos4x x
Bài 15
a) Cho sin(2a b+ ) 5sin= b Chứng minh: a b
a
2 tan( ) 3 tan
+
= b) Cho tan(a b+ ) 3tan= a Chứng minh: sin(2a+2 ) sin 2b + a =2sin 2b
Bài 16 Cho tam giác ABC Chứng minh:
a) sinA sinB sinC 4 cos cos cosA B C
b) cosA cosB cosC 1 4sin sin sinA B C
c) sin 2A+sin 2B+sin 2C =4sin sin sinA B C
d) cos2A+cos2B+cos2C = − −1 4 cos cos cosA B C
e) cos2A+cos2B+cos2C = −1 2 cos cos cosA B C
f) sin2A+sin2B+sin2C = +2 2 cos cos cosA B C
Bài 17 Tìm các gĩc của tam giác ABC, biết:
a) B C vàsin sinB C 1
π
b) B C 2 và sin cosB C 1 3
Bài 18 Chứng minh điều kiện cần và đủ đê tam giác ABC vuơng:
a) cos2A+cos2B+cos2C= −1 b) tan 2A+tan 2B+tan 2C =0
cos +cos =sin sin d)
B a c b
cot 2
+
=
Bài 19 Chứng minh điều kiện cần và đủ đê tam giác ABC cân:
a) atanA btanB (a b)tan A B
2
+ + = + b) 2 tanB+tanC=tan tan2B C
sin sin 1 (tan tan )
C
2sin sin cot
2 = sin
Bài 20 Chứng minh bất đẳng thức, từ đĩ suy ra điều kiện cần và đủ đê tam giác ABC đều: a) sinA sinB sinC 3 3
2 + + ≤ HD: C ộng sinπ3 vào VT
b) cosA cosB cosC 3
2
3
π
vào VT
c) tanA+tanB+tanC≥3 3 (với A, B, C nhọn)
d) cos cos cosA B C 1
8
≤ HD: Biến đổi cos cos cosA B C 1
8
− về dạng hằng đẳng thức