Đề tài Một số phương pháp giải toán cực trị

4 - Tiểu kết Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một hàm số hoặc những biểu thức có thể đưa về hàm số bằng phương pháp miền giá trị thường được đưa về phương trình và tìm điều kiện để p[r]

A LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI I - Cơ sở thưc tiễn Bất kể lĩnh vực nào sống có yếu tố vượt trội, cá nhân điển hình hay thành tích cao hay kỷ lục nào đó mà không vượt qua đó là cái "nhất".Trong toán học lĩnh vực lại có đại lượng "lớn nhất" hay "nhỏ nhất" người ta thường gọi là các bài toán cực trị, các bài toán này phổ biến các đề thi vào lớp 10 THPT, hay thi vào các trường Cao đẳng, Đại học các đề thi học sinh giỏi nhiều năm… Nội dung các bài toán cực trị phong phú đòi hỏi phải vận dụng kiến thức cách hợp lý, nhiều khá độc đáo và bất ngờ Ở bậc THCS THPT (chủ yếu học sinh khá, giỏi) đã làm quen với loại toán này Tuy nhiên, tìm hiểu thêm thì thấy nó không dễ dàng với học sinh Với lí tôi đã tìm hiểu xây dựng đề tài “Một số phương pháp giải toán cực trị” Với mong muốn trình bày vài kinh nghiệm giảng dạy mình để các đồng nghiệp tham khảo, mong đóng góp chân thành để đề tài phát huy hiệu B NỘI DUNG Chương I: KIẾN THỨC CƠ BẢN I - Định nghĩa: 1/ Định nghĩa 1: Cho biểu thức f ( x, y, ) xác định trên miền D , ta nói M là giá trị lớn f ( x, y, ) trên D điều kiện sau thoả mãn: i) Với x, y thuộc D thì f ( x, y, )  M với M là số ii) Tồn x0 , y thuộc D cho f ( x, y, )  M 2/ Định nghĩa 2: Cho biểu thức f ( x, y, ) xác định trên miền D , ta nói m là giá trị nhỏ f ( x, y, ) trên D điều kiện sau thoả mãn: i) Với x, y thuộc D thì f ( x, y, )  m với m là số Lop12.net ii) Tồn x0 , y thuộc D cho f ( x, y, )  m Chú ý: Để tranh sai lầm thường mắc phải làm loại bài toán này, ta cần nhấn mạnh và khắc sâu điều kiện định nghĩa: Rèn phản xạ sau: + Chứng tỏ f ( x, y, )  M f ( x, y, )  m ) với x, y, thuộc D + Chỉ tồn x0 , y thuộc D để f ( x, y, ) đạt cực trị Chú y đến miền giá trị biến Ta ký hiệu MaxA là giá trị lớn A, MinA là giá trị nhỏ A II - Một số tính chất giá trị lớn và giá trị nhỏ hàm số 1/ Tính chất 1: Giả sử A  B đó ta có: f ( x)  max f ( x) a/ Max x A xB f ( x)  f ( x) b/ Min xB xA 2/ Tính chất 2: Nếu f ( x, y )  với x thuộc D , ta có: a/ Max f ( x)  max f ( x) xD Min f ( x)  f ( x) xD xD xD 3/ Tính chất 3: a / Max f ( x)  g ( x))  Max f ( x)  Max f ( x) (1) b / Min f ( x)  g ( x))  Min f ( x)  Min f ( x) (2) xD xD1 xD xD2 xD1 xD2 Dấu (1) xẩy có ít điểm x0 mà đó f (x) và g (x) cùng đạt giá trị lớn Tương tự tồn x0 thuộc D mà đó f , g cùng đạt giá trị nhỏ thì (2) có dấu 4/ Tính chất 4: Max f ( x)   ( f ( x)) xD1 xD 5/ Tính chất 5: f ( x) thì Max f ( x)  MaxM , m  Nếu đặt M  Max f (x) , m  xD xD xD 6/ Tính chất 6: Lop12.net xD Giả sử D1  x  D; f ( x)  0 và D2  x  D; f ( x)  0 thì Min f ( x)  Min max f ( x); f ( x) xD xD1 xD2 Khi dạy phần này, giáo viên nên hướng dẫn học sinh chứng minh các tính chất (dựa vào định nghĩa), tránh áp đặt để học sinh nắm vững kiến thức và tránh đợc sai lầm vận dụng giải bài tập Chú ý: Khi nói đến giá trị lớn hay nhỏ hàm số, phải tìm TXĐ Cùng hàm số f (x) xét trên hai TXĐ khác thì nói chung giá trị lớn tương ứng khác Để cho phù hợp với chương trình các lớp phổ thông sở, ta giả thiết là các bài toán xét tồn giá trị cực trị trên tập hợp nào đó III - Những sai lầm thường gặp giải toán cực trị: 1/ Sai lầm chứng minh điều kiện 1: Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn biểu thức: A 4x  4x  Lời giải sai: Phân thức A có tử số là số không đổi nên A có giá trị lớn mẫu nhỏ Ta có: x  x   (2 x  1)   4, x 3   , x 4x  4x   Max A   x  Phân tích sai lầm: Tuy đáp số không sai khẳng định “ A có tử số là số không đổi nên A có giá trị lớn mẫu nhỏ nhất” mà chưa đưa nhận xét tử mẫu là các số dương Ta đưa ví dụ: Xét biểu thức B  x 4 Với lập luận “phân thức B có tử không đổi nên có giá trị lớn mẫu nhỏ nhất” mẫu nhỏ  x  , ta đến: max B   phải là giá trị lớn B , chẳng hạn với x  thì Lop12.net không 1  Mắc sai lầm trên là không nắm vững tính chất bất đẳng thức: Đã máy móc áp dụng quy tắc so sánh phân số có tử số và mẫu số là số tự nhiên sang hai phân số có tử và mẫu là số nguyên Lời giải đúng: Bổ sung thêm nhận xét: x  x   (2 x  1)   nên tử và mẫu A là các số dương Hoặc từ nhận xét trên suy A  , đó A lớn và nhỏ  x  x  nhỏ A Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ của: A  x  y biết x  y  Lời giải sai: Ta có: A  x  y  xy Do đó A nhỏ  x  y  xy x y2 Khi đó MinA  2  2  Phân tích sai lầm: Đáp số không sai lập luận mắc sai lầm Ta chứng minh f ( x, y )  g ( x, y ) , chưa chứng minh f ( x, y )  m với m là số Ta đưa vị dụ: Với lập luận trên, từ bất đẳng thức đúng x  x  suy ra: x nhỏ  x  x   ( x  2)   x  Dẫn đến: Minx   x  Dễ thấy kết đúng phải là: x   x  Cách giải đúng: Ta có: ( x  y )   x  xy  y  16 (1) Ta lại có: ( x  y )   x  xy  y  (2) Từ (1) , (2) : 2( x  y )  16  x  y  Vậy MinA   x  y  2/ Sai lầm chứng minh điều kiện Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ của: A  x  x Lời giải sai: 1  1  A  x  x  x  x     x    4  2  Vậy MinA   4 Phân tích sai lầm: Sau chứng minh f ( x)   , chưa trường hợp Lop12.net xẩy dấu đẳng thức f ( x)   Xẩy dấu đẳng thức và lý x  vô Lời giải đúng: Để tồn x phải có x  Do đó A  x  x  Min A   x  Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn của: A  xyz ( x  y )( y  x)( z  x) , với x, y, z  và x  y  z  Lời giải sai: áp dụng bất đẳng thức: 4ab  (a  b) 4( x  y ) z  ( x  y  z )  4( x  z ) x  ( y  z  x)  4( x  x) y  ( z  x  y )  Nhân vế (do hai vế không âm) 64 xyz ( x  y )( y  x) z  x)  MaxA  64 Phân tích sai lầm: Sai lầm chỗ chưa trường hợp xảy dấu đẳng thức Điều kiện để A  là: 64 x  y  z y  z  x   z  x  y x  y  z     x, y , z   x  y  z   x  y  z   x, y , z   mâu thuẩn Cách giải đúng: áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số không âm:  x  y  z  3.3 xyz (1)  ( x  y )  ( y  z )  ( z  x)  3.3 ( x  y )( y  z )( z  x) (2) Nhân vế (1) với (2) vế không âm) Lop12.net 2  A  A    9 3 2 MaxA     x  y  z  9 Chương II: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM CỰC TRỊ I/ Phương pháp tam thức bậc hai - Nội dung Sử dụng trực tiếp định nghĩa cực trị thông qua việc biến đổi tam thức bậc hai dạng bình phương biểu thức chứa biến và số hạng tự - Các ví dụ Dạng 1: Tìm cực trị tam thức bậc hai 1/ Tìm giá trị nhỏ A  x  x  2/ Tìm giá trị nhỏ B  x  x  3/ Tìm giá trị có C  3x  x  4/ Cho tam thức bậc hai P  ax  bx  c Tìm giá trị nhỏ P a  Tìm giá trị lớn P a  HD giải: Nhận xét: Các biểu thức dạng tam thức bậc hai 1/ A  x  x   ( x  4)  15  15  A  15  x  2/ B  x  x   2( x  1)   1  B  1  x  2 7 3/ C  3x  x   3 x     3 3   max C  x 3 c b  b  4ac  b  4/ P  ax  bx  c  a x  x    a x    a a 2a  4c   Lop12.net + Nếu a  : P   b  4ac b x 4a 2a + Nếu a  : max P   b  4ac b x 4a 2a Dạng 2: Tìm giá trị lớn và nhỏ đa thức bậc cao: Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ A  ( x  x  1) HD: MinA  Min( x  x  1) Bài toán trên là dạng đặc biệt bài toán sau: B   f ( x)2 k (k  N ) Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ C  x( x  3)( x  4)( x  7) HD: Dùng phương pháp đổi biến Dạng 3: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ phân thức mà có tử là số, có mẫu là tam thức bậc hai Ví dụ: Tìm giá trị lớn M  4x  4x  Dạng này phải chú ý đến dấu tử thức Dạng 4: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ phân thức có mẫu là bình phương nhị thức: Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ P  HD: P   x2  x 1 ( x  1) 1  x  ( x  1) 2 1 3  , có P  y  y    y     Đặt y  x 1 2 4  MinP   y   x 1 Cách 2: Viết N dạng tổng số với biểu thức không âm: Lop12.net 4x  4x   x     P     2( x   4( x  1) MinP   x 1 Dạng 5: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn biểu thức quan hệ các biến: Ví dụ: Tìm giá trị lớn biểu thức A  xy  x  y Biết x, y là nghiệm phương trình: x  y  10 Giải: Ta có: x  y  10  y   A  10  x (59 x  160 x  100) 59  160   x    25  59  59   80  6400     x      25   59  3481  59  80  1600   x     25  59  59 125 59  80  125  A  x    59  59  59 80  x  125  59  Vậy max A  59  y  95  59 - Một số bài tập tự giải: 1/ Tìm giá trị nhỏ (lớn nhất) biểu thức sau: a/ A  x  20 x  35 b/ B  2 x  3x  2/ Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: a/ A  ( x  1)( x  2( x  3)( x  5) b/ B  x  x  y  y  Lop12.net - Tiểu kết Loại toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ phương pháp tam thức bậc hai là nhất, giúp học sinh dễ làm quen với toán cực trị Rèn kỹ giải toán, đổi biến cách linh hoạt phù hợp với loại toán để biến đổi các bài toán dạng khác dạng tam thức bậc hai II/ Phương pháp miền giá trị hàm số: - Nội dung phương pháp Xét bài toán sau: Tìm giá trị lớn và nhỏ hàm số f (x) với x  D Gọi y là giá trị tuỳ ý hàm số xét trên miền đã cho, tức là hệ phương trình (ẩn x ) sau có nghiệm: f ( x)  y (1) xD (2) Tuỳ dạng hệ (1) , (2) mà ta có các điều kiện có nghiệm thích hợp Trong nhiều trường hợp, điều kiện đưa dạng a  y  b (3) Vì y là giá trị f (x) từ (3) ta thu được: Min f ( x)  a và Max f ( x)  b đó x  D Như thực chât phương pháp này là đưa phương trình bậc hai và sử dụng điều kiện   - Các ví dụ Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn của: A x2  x 1 x2  x 1 Giải Biểu thức A nhận giá trị a và phương trình ẩn x sau đây có nghiệm: a x2  x 1 (1) x2  x 1 Do x  x   nên (1)  ax  ax  a  x  x  · Lop12.net  )(a  1) x  (a  1) x  (a  1)  0(2) + TH1: Nếu a  thì (2) có nghiệm x  + TH2: Nếu a  thì để (2) có nghiệm, cần và đủ là   , tức là: (a  1)  4(a  1)   (a   2a  2)(4   2a  2)   (3a  1)(a  3)    a  (a  1) a  thì nghiệm (2) là:  (a  1) (a  1) x  2(a  1) 2(1  a ) Với a  thì x  1, với a  thì x  1 Với a  Gộp hai trường hợp và ta có: MinA   x 1 MaxA   x  1 Cách khác: A 3x  3x   x  x  2( x  1)   3 x2  x 1 x2  x 1  max A   x  1 A 3x  3x  x2  x 1 2( x  x  1) 2( x  1)      2 2 x  x  3( x  x  1) 3( x  x  1) 3( x  x  1)  MinA   x 1 Mở rộng: Bài toán còn có thể cho dạng khác, đó là: 1/ Chứng minh: x2  x 1  3 x2  x 1 2/ Tìm điều kiện để phương trình sau có nghiệm (vô nghiệm): x2  x 1 m 0 x2  x 1 3/ Cho phương trình: ( 3m  2m  1) x  (2m  10m  3) x   có nghiệm x1 , x Tìm giá trị lớn tổng x1  x Lop12.net - Bài tập tự giải Tìm giá trị lớn và nhỏ các hàm số sau: a/ y  x2  x 1 x2 1 b/ y  x2  x 1 x2 1 - Tiểu kết Tìm giá trị lớn và nhỏ hàm số biểu thức có thể đưa hàm số phương pháp miền giá trị thường đưa phương trình và tìm điều kiện để phương trình có nghiệm Phương pháp này có ưu điểm là tìm cực trị thông qua việc tìm điều kiện để phương trình có nghiệm, thông qua việc này giúp cho học sinh rèn kỹ giải phương trình III/ Phương pháp sử dụng các bất đẳng thức quen thuộc – Nội dung phương pháp Dựa trực tiếp vào định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số  f ( x)  M , x  D M  Maxf ( x)   x0  D : f ( x0  M  f ( x)  M , x  D m  Min f ( x)   x0  D : f ( x0  m Như vậy, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số f (x) trên miền D nào đó, ta tiến hành theo hai bước: + Chứng minh bất đẳng thức + Tìm x0  D cho ứng với giá trị ấy, bất đẳng thức tìm trở thành đẳng thức Nếu sử dụng các bất đẳng thức Côsi, Trêbưsep, Bunhia côpxki thì các điểm thường tìm thấy nhờ phần cách phát dấu đẳng thức ấy, cần có nhận xét thích hợp - Các bất đẳng thức thường dùng 1/ a  Tổng quát a k  0, k nguyên dương Xẩy dấu đẳng thức  a  2/  a  Tổng quát (a) k  0, k nguyên dương Lop12.net Xẩy dấu đẳng thức  a  3/ a  Xẩy dấu đẳng thức  a  4/  a  a  a Xẩy dấu đẳng thức  a  5/ a  b  a  b Xẩy dấu đẳng thức  ab  (a, b cùng dấu) a  b  a  b Xẩy dấu đẳng thức  ab  (a, b cùng dấu) a  b  c  a  b  c Xẩy dấu đẳng thức  ab  0; bc  0; ac  ; 6/ a  b; ab   7/ 1  Xẩy dấu đẳng thức  a  b a b a b   với a, b cùng dấu Xẩy dấu đẳng thức  a  b b a 8/ Bất đẳng thức Côsi: + Đối với số dương a, b ab  ab (hoặc a  b  2ab) Xẩy dấu đẳng thức  a  b + Đối với a1  0; i  1, , n : a1  a   a n n  a1 a a n 9/ Bất đẳng thức Bunhia côpxki: Nếu (a1 , a , a n ) và (b1 , b2 , bn ) là số tuỳ ý, ta có: 2 2 2 (a1  a ,  a n ) (b1  b2 ,  bn )  (a1b1  a b2   a n bn ) Dấu xẩy  a j (với quy ước  thì bi  )  bi b j 10/ Bất đẳng thức Trêbưsép + Nếu a1  a   a n b1  b2   bn thì n(a1b1  a b2 a n bn )  (a1  a  a n ).(b1  b2  bn ) Dấu xẩy   a j bi  b j ; , b j tuỳ ý + Nếu a1  a   a n b1  b2   bn thì Lop12.net n(a1b1  a b2 a n bn )  (a1  a  a n ).(b1  b2  bn ) Dấu xẩy   a j bi  b j ; , b j tuỳ ý - Các ví dụ Ví dụ 1: Cho biểu thức xy  yz  zx  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  x  y  z Giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhia côpxki ( x, y, z ) và ( y, z, x)  ( xy  yz  zx)  ( x  y  z )( y  z  x )   ( x  y  z ) (1) Mặt khác, (1, 1, 1) và x , y , z ), ta có: (1.x  y  1.z )  (12  12  12 ) ( y  z  x ) Từ (1) và (2) suy ra:  3( y  z  x )  3P  P  x y z y  x  x  Vậy MinP    1    y x z (2) x yz Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn của: a/ A  x   y  biết x  y  b/ B  x 1  x y2 y Giải: a/ Điều kiện: x  1; y  Bất đẳng thức Côsi cho phép làm giảm tổng: ab  ab Ở đây lại muốn làm tăng tổng Ta dùng bất đẳng thức: a  b  2(a  b ) A  x   y   2( x   y  2)  Lop12.net x   y  MaxA    x  y   x  1,5   y  2,5 Cách khác: Xét A dùng bất đẳng thức Côsi b/ Điều kiện: x  1; y  Bất đẳng thức Côsi cho phép làm trội tích: Ta xem các biểu thức: ab  ab x  1, y  là các tích: x   1.( x  1) y2  2.( y  2) Theo bất đẳng thức Côsi: 1.( x  1)  x  1 x 1    x x 2x y2  y MaxB  2( y  2) y  2 y2 2y 2 2   4 .  2 x    x   2 x   y  Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A  x   x  Giải Ta có: A  x   x   x    x   MinA   ( x  2)(3  x)   x  Chú ý: Giải bài toán linh hoạt biến đổi x    x để áp dụng bất đẳng thức giá trị tuyệt đối Cách khác: Xét khoảng giá trị x Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ hàm số: y  x   x    x  2000 Dạng hàm số khiến ta nghĩ đến áp dụng bất đẳng thức: a  b  a  b 1000 cặp giá trị tuyệt đối Ta có: y  ( x   x  2000 )  ( x   x  1999 )   ( x  999  x  1000 ) Lop12.net  y1  ( x   x  2000 )  1999  y1  1999  x  ; 2000   y  ( x   x  1999 )  1997  y  1997  x  ; 2000  Y1000  ( x  999  x  1000 )   Y1000   x  999, 1000   Vậy Min y      1999  1000  1000000 Mở rộng: Từ bài toán trên ta có thể các bài toán sau: 1/ Tìm miền giá trị hàm số: y  x   x     x  2004 2/ Chứng minh bất đẳng thức: y  x   x    x  2004  10 3/ Tìm giá trị nhỏ hàm số: y  x   x    x  2002 - Bài tập tự giải 1/ Tìm giá trị lớn biểu thức: A  (1  x) (1  x) với x  HD: áp dụng bất đẳng thức Côsi với số không âm: 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x ; ; ; ; 2 3 2/ Tìm giá trị nhỏ hàm số: y  3x   x HD: áp dụng bất đẳng thức Bunhia với (1;1); (3x;  x ) 3/ Tìm giá trị nhỏ biểu thức: M  51  x  4/ Tìm giá trị nhỏ biểu thức: N  x  x  5/ Tìm giá trị nhỏ biểu thức: a/ A  x  x   x  x  b/ B  x   x  x   x - Tiểu kết Sử dụng các bất đẳng thức bài đòi hỏi tính linh hoạt cao, bài có nét riêng biệt, không có quy tắc chung để vận dụng Vì cần cho học sinh làm quen với nhiều loại bài tập này Lop12.net KẾT QUẢ ÁP DỤNG Quá trình nghiên cứu, trực tiếp giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi, phần chuyên đề “Toán cực trị” đã phát huy tính tích cực sáng tạo học sinh - học sinh không còn cảm thấy ngại mà ngược lại còn hứng thú gặp bài toán cực trị Các đồng nghiệp trường coi nó kinh nghiệm quý quá trình giảng dạy “toán cực trị” Từ đó giúp nâng cao chất lượng giảng dạy giáo viên học tập học sinh Kết thi học sinh giỏi nâng cao rõ rệt Lop12.net