Tính thể tích khối chóp B¢.A¢MCN và cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng A¢MCN và ABCD.. Chứng minh bất đẳng thức:.[r]
(1)Trường THPT MINH KHAI HÀ TĨNH Đề số ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC VÀ CAO ĐẲNG NĂM 2010 Môn thi: TOÁN Thời gian: 180 phút (không kể thời gian phát đề) I PHẦN CHUNG (7 điểm) Câu I (2 điểm): Cho hàm số y = x + 2mx + (m + 3) x + (Cm) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số m = 2) Cho điểm I(1; 3) Tìm m để đường thẳng d: y = x + cắt (Cm) điểm phân biệt A(0; 4), B, C cho DIBC có diện tích Câu II (2 điểm): 1) Giải hệ phương trình: ïì x - y - xy = í ïî x - + y - = 2(cos x - sin x ) = tan x + cot x cot x - cos x sin x - tan x Câu III (1 điểm): Tính giới hạn: A = lim x ®0 x sin x 2) Giải phương trình: Câu IV (1 điểm): Cho hình lập phương ABCD.A¢B¢C¢D¢ cạnh a Gọi M, N là trung điểm AB và C¢D¢ Tính thể tích khối chóp B¢.A¢MCN và cosin góc tạo hai mặt phẳng (A¢MCN) và (ABCD) Câu V (1 điểm): Cho x, y, z là số dương thoả mãn: x + y + z2 = xyz Chứng minh bất đẳng thức: x x + yz + y y2 + xz + z z2 + xy £ II PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm) Theo chương trình chuẩn Câu VI.a (2 điểm): 1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hai đường tròn (C1): x + y = 13 và (C2): ( x - 6)2 + y = 25 Gọi A là giao điểm (C1) và (C2) với yA > Viết phương trình đường thẳng d qua A và cắt (C1), (C2) theo hai dây cung có độ dài 2) Giải phương trình: ( x x - 1) + ( + 1) - x+ =0 n Câu VII.a (1 điểm): Chứng minh với "n Î N*, ta có: 2C22n + 4C24n + + nC22nn = n 2 Theo chương trình nâng cao Câu VI.b (2 điểm): æ9 3ö è2 2ø 1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có diện tích 12, tâm I ç ; ÷ và trung điểm M cạnh AD là giao điểm đường thẳng d: x - y - = với trục Ox Xác định toạ độ các điểm A, B, C, D biết yA > 2) Giải bất phương trình: log3 x - x + + log x - > log 3 Câu VII.b (1 điểm): Tìm a để đồ thị hàm số y = x +3 -x + x + a (C) có tiệm cận xiên tiếp xúc với đồ thị hàm số (C¢): x+a y = x3 - x2 + 8x - ============================ Trần Sĩ Tùng Lop12.net (2) Hướng dẫn: I PHẦN CHUNG Câu I: 2) Phương trình hoành độ giao điểm (Cm) và d: x + mx + (m + 3) x + = x + (1) é x = ( y = 4) Û x ( x + mx + m + 2) = Û ê ë x + 2mx + m + = (2) ì é m < -1 ìD¢ = m2 - m - > ï (1) có nghiệm phân biệt Û (2) có nghiệm phân biệt, khác Û í Û íêë m > îm + ¹ ïîm ¹ -2 (*) Khi đó xB, xC là các nghiệm (2) Þ x B + xC = -2m, x B xC = m + d ( I , d ).BC = Û ( x B - xC )2 = Û ( x B + xC )2 - xB xC - 128 = é - 137 êm = Û m2 - m - 34 = Û ê (thoả (*)) + 137 ê êë m = ìx = ìï x + y ìx = 4y ïì x - y = x -2 y = ï Ûí Û í Câu II: 1) Hệ PT Û í Û í y = ïî x - + y - = î 4y - = ïî x - + y - = ïî ìsin x ¹ ï p Û x = - + k2p 2) Điều kiện: ícos x ¹ PT Û cos x = ïîcot x ¹ SDIBC = Û ( Câu III: A = lim x ®0 )( cos x sin x - tan x x sin x ) = lim x®0 (cos2 x - 1)sin x x sin x.cos x = lim x®0 - sin x x cos x = -1 Câu IV: A¢MCN là hình thoi Þ MN ^ A¢C, DB¢MN cân B¢ Þ MN ^ B¢O Þ MN ^ (A¢B¢C) ·V MA¢ B¢C 1 a a3 a3 = MO.SD A¢ B¢C = ÞV ¢ ¢ = V = a.a = B A MCN MA¢ B¢C 3 2 · Gọi j là góc hai mặt phẳng (A¢MCN) và (ABCD), P là trung điểm CD Þ NP ^ (ABCD) SDMCN = S a2 a2 6 , SDMCP = Þ cos j = D MCP = 4 SDMCN x y z 1 + + = và xyz = x + y + z2 ³ xy + yz + zx Þ + + £ yz xz xy x y z 1 · Chú ý: Với a, b > 0, ta có: £ + a+b a b x 1æ1 x ö y 1æ1 y ö z 1æ1 z ö Þ = £ ç + ÷ (1) Tương tự: £ ç + ÷ (2), £ ç + ÷ (3) x + yz x + yz è x yz ø y + xz è y xz ø z2 + xy è z xy ø x x y z z ö 1æ1 1 x y Từ (1), (2), (3) Þ + + £ ç + + + + + ÷ £ (1 + 1) = x + yz y + xz z2 + xy è x y z yz xz xy ø Câu V: · Từ giả thiết Þ ì x + y + z2 = xyz ï Dấu "=" xảy Û í x = y = z Û x = y = z = 2 ï x = yz; y = xz; z = xy î II PHẦN TỰ CHỌN Theo chương trình chuẩn Câu VI.a: 1) (C1) có tâm O(0; 0), bán kính R1 = 13 (C2) có tâm I2(6; 0), bán kính R2 = Giao điểm A(2; 3) Giả sử d: a( x - 2) + b( y - 3) = (a2 + b2 ¹ 0) Gọi d1 = d (O, d ), d2 = d (I , d ) Trần Sĩ Tùng Lop12.net (3) 2 (6 a - a - 3b)2 Từ giả thiết, ta suy được: R1 - d1 = R2 - d2 Û d22 - d12 = 12 Û a2 + b2 - (-2 a - 3b)2 a2 + b2 = 12 éb = Û b2 + 3ab = Û ê ë b = -3a · Với b = 0: Chọn a = Þ Phương trình d: x - = · Với b = –3a: Chọn a = 1, b = –3 Þ Phương trình d: x - y + = x x é x = log æ -1 ö æ +1 ö 2) PT Û ç ÷ +ç ÷ =2 Û ê ê x = log è ø è ø ë ( ( -1 -1 - 1) + 1) Câu VII.a: Xét (1 + x )2 n = C20n + C21n x + C22n x + C23n x + C24n x + + C22nn x n (1) (1 - x )2 n = C20n - C21n x + C22n x - C23n x + C24n x - + C22nn x n (2) (1 + x )2 n + (1 - x )2 n Lấy đạo hàm vế ta được: 2C22n x + 4C24n x + + nC22nn x n -1 = n éë(1 + x )2 n -1 - (1 - x )2 n -1 ùû Từ (1) và (2) Þ C20n + C22n x + C24n x + + C22nn x n = n Với x = 1, ta được: 2C22n + 4C24n + + nC22nn = n2 n-1 = n 2 Theo chương trình nâng cao Câu VI.b: 1) Tìm M(3; 0) Þ MI = Þ AB = Þ AD = 2 Phương trình AD: x + y - = Giả sử A(a; – a) (với a < 3) Ta có AM = Û a = Þ A(2; 1) Từ đó suy ra: D(4; –1), B(5; 4), C(7; 2) 2) Điều kiện: x > BPT Û log3 x - x + + log3 x + > log3 x - Û x - > Û x > 10 Câu VII.b: Điều kiện: a ¹ Tiệm cận xiên d: y = - x + a + d tiếp xúc với (C¢) Û Hệ phương trình sau có nghiệm: ìï x - x + x - = - x + a + ìx = Û í Kết luận: a = –4 í îa = -4 ïî3 x - 12 x + = -1 ===================== Trần Sĩ Tùng Lop12.net (4)