2 Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị C sao cho tiếp tuyến này cắt các trục Ox , Oy lần lượt tại các điểm A và B thỏa mãn OA = 4OB.. Tính thể tích của khối tứ diện MA¢BC¢.[r]
(1)TRƯỜNG THPT CHUYÊN – ĐHSP HÀ NỘI Đề số 18 ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC VÀ CAO ĐẲNG NĂM 2010 Môn thi: TOÁN Thời gian: 180 phút (không kể thời gian phát đề) I PHẦN CHUNG (7 điểm) Câu I (2 điểm): Cho hàm số y = 2x -1 x -1 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) cho tiếp tuyến này cắt các trục Ox , Oy các điểm A và B thỏa mãn OA = 4OB Câu II (2 điểm): sin x + cos x + tan x + cos x = sin x - cos x ìï x y (1 + y ) + x y (2 + y ) + xy - 30 = 2) Giải hệ phương trình: í ïî x y + x (1 + y + y ) + y - 11 = 1+ x Câu III (1 điểm): Tính tích phân: I= ò dx + x 1) Giải phương trình: Câu IV (1 điểm): Cho lăng trụ đứng ABC.A¢B¢C¢ có đáy ABC là tam giác vuông với AB = BC = a, cạnh bên AA¢ = uuur uuur AA ' Tính thể tích khối tứ diện MA¢BC¢ Câu V (1 điểm): Cho các số thực dương a, b, c thay đổi luôn thỏa mãn a + b + c = Chứng minh rằng: a + b b2 + c c + a + + ³ b+c c+a a+b a M là điểm trên AA¢ cho AM = II PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm) Theo chương trình chuẩn Câu VI.a (2 điểm): 1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm E(–1; 0) và đường tròn (C): x + y – x – y – 16 = Viết phương trình đường thẳng qua điểm E cắt (C) theo dây cung MN có độ dài ngắn 2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(0; 0; 4), B(2; 0; 0) và mặt phẳng (P): x + y - z + = Lập phương trình mặt cầu (S) qua O, A, B và có khoảng cách từ tâm I mặt cầu đến mặt phẳng (P) Câu VII.a (1 điểm): Có bao nhiêu số tự nhiên gồm chữ số, biết chữ số có mặt đúng hai lần, chữ số có mặt đúng ba lần và các chữ số còn lại có mặt không quá lần? Theo chương trình nâng cao Câu VI.b (2 điểm): 1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC cân A, biết phương trình đường thẳng AB, BC là: x + y – = và x – y + = Viết phương trình đường thẳng AC, biết AC qua điểm F(1; -3) 2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 5; 0), B(3; 3; 6) và đường thẳng D: Tìm toạ độ điểm M trên D cho DMAB có diện tích nhỏ x +1 y -1 z = = -1 Câu VII.b (1 điểm): Tìm tất các giá trị tham số a để phương trình sau có nghiệm nhất: log5 (25 x – log5 a) = x ============================ Trần Sĩ Tùng Lop12.net (2) Hướng dẫn: I PHẦN CHUNG Câu I: 2) Giả sử tiếp tuyến d (C) M ( x0 ; y0 ) cắt Ox A và Oy B cho OA = 4OB Do DOAB vuông O nên: tan A = OB 1 = Þ Hệ số góc d - OA 4 é æ 3ö x0 = -1 ç y0 = ÷ ê 1 1 è 2ø Hệ số góc d M là: y¢ ( x0 ) = < Þ y¢ ( x ) = - Û =- Û ê 2 æ 4 êx = y = ö ( x0 - 1) ( x0 - 1) ç ÷ êë è 2ø Vậy có hai tiếp tuyến thoả mãn là: y = - ( x + 1) + y = - ( x - 3) + 4 Câu II: 1) Điều kiện: cos2 x ¹ PT Û -(sin x + cos x )2 + 2sin2 x + cos2 x = Û sin 2 x - sin x = p ésin x = Û ê Û x=k ësin x = (loại) 2 ì ì xy( x + y)( x + y + xy) = 30 2) Hệ PT Û í xy( x + y) + x y ( x + y) = 30 Û í î xy( x + y) + xy + x + y = 11 î xy( x + y) + xy + x + y = 11 ìuv(u + v) = 30 ìuv(11 - uv) = 30 (1) éuv = Từ (1) Þ ê íuv + u + v = 11 Û íuv + u + v = 11 (2) î î ëuv = æ - 21 + 21 ö æ + 21 - 21 ö · Với uv = Þ u + v = Giải ta các nghiệm (x; y) là: ç ; ; ÷ và ç ÷ è 2 ø è 2 ø · Với uv = Þ u + v = Giải ta các nghiệm (x; y) là: (1;2) và (2;1) ìx + y = u Đặt í Hệ trở thành î xy = v æ - 21 + 21 ö ; Kết luận: Hệ PT có nghiệm: (1;2) , (2;1) , ç ÷, ø è æ + 21 - 21 ö ; ç ÷ ø è æ 11 t +t ö - ln dt = ò ç t - t + ÷dt = 1+ t ø t +1 0è Câu III: Đặt t = x Þ dx = 2t.dt I = ò Câu IV: Từ giả thiết suy DABC vuông cân B Gọi H là trung điểm AC thì BH ^ AC và BH ^ (ACC¢A¢) 2 Do đó BH là đường cao hình chóp B.MA¢C¢ Þ BH = a Từ giả thiết Þ MA¢ = a , A¢C¢ = a 1 a3 Do đó: VB MA ' C ' = BH SMA ' C ' = BH MA¢ A¢C ¢ = a2 + b a(1 - b - c) + b a + b = = -a b+c b+c b+c a+b b+c c+a a+b b+c c+a Tương tự, BĐT trơt thành: -a+ -b+ -c³2 Û + + ³3 b+c c+a a+b b+c c+a a+b a+b b+c c+a a+b b+c c+a Theo BĐT Cô–si ta có: + + ³ 33 = Dấu "=" xảy Û a = b = c = b+c c+a a+b b+c c+a a+b II PHẦN TỰ CHỌN Theo chương trình chuẩn Câu VI.a: 1) (C) có tâm I(4; 2) và bán kính R = Ta có IE = 29 < = R Þ E nằm hình tròn (C) Giả sử đường thẳng D qua E cắt (C) M và N Kẻ IH ^ D Ta có IH = d(I, D) ≤ IE Như để MN ngắn thì IH dài Û H º E Û D qua E và vuông góc với IE Khi đó phương trình đường thẳng D là: 5( x + 1) + y = Û x + y + = Câu V: Ta có: 2) Giả sử (S): x + y + z2 - 2ax - by - 2cz + d = ìa = ï · Từ O, A, B Î (S) suy ra: íc = Þ I (1; b;2) ïîd = · d ( I ,( P )) = Û b+5 Vậy (S): x + y + z2 - x - z = (S): x + y + z2 - x + 20 y - z = Câu VII.a: Gọi số cần tìm là: x = a1a2 a3a4 a5 a6 a7 (a1 ¹ 0) Trần Sĩ Tùng Lop12.net = éb = Û ê ë b = -10 (3) · Giả sử a1 có thể 0: + Số cách xếp vị trí cho hai chữ số là: C72 + Số cách xếp vị trí cho ba chữ số là: C53 + Số cách xếp cho vị trí còn lại là: 2! C82 · Bây ta xét a1 = 0: + Số cách xếp vị trí cho hai chữ số là: C62 + Số cách xếp vị trí cho ba chữ số là: C43 + Số cách xếp cho vị trí còn lại là: Vậy số các số cần tìm là: C7 C5 2!C8 - C62 C43 = 11340 (số) Theo chương trình nâng cao r r r Câu VI.b: 1) Gọi VTPT AB là n1 = (1;2) , BC là n2 = (3; -1) , AC là n3 = (a; b) với a2 + b ¹ Do DABC cân A nên các góc B và C nhọn và r r r r n n n n 3a - b é2 a = b Suy ra: cos B = cos C Þ r r2 = r r2 Û = Û 22a2 + b2 - 15ab = Û ê n1 n2 n3 n2 ë11a = 2b a2 + b2 r · Với 2a = b , ta có thể chọn a = 1, b = Þ n3 = (1;2) Þ AC // AB Þ không thoả mãn r · Với 11a = 2b , ta có thể chọn a = 2, b = 11 Þ n3 = (2;11) Khi đó phương trình AC là: 2( x - 1) + 11( y + 3) = Û x + 11y + 31 = ì x = -1 + 2t ï 2) PTTS D: í y = - t Gọi M (-1 + 2t;1 - t;2t ) Î D ïîz = 2t uuur uuur Diện tích DMAB là S = éë AM , AB ùû = 18t - 36t + 216 = 18(t - 1)2 + 198 ≥ Vậy Min S = 198 t = hay M(1; 0; 2) ìït = x , t > Câu VII.b: PT Û 25 x - log5 a = x Û 52 x - x - log5 a = Û í ïît - t - log5 a = 198 (*) PT đã cho có nghiệm Û (*) có đúng nghiệm dương Û t - t = log5 a có đúng nghiệm dương æ1ö 1 f ç ÷ = - , f (0) = è2ø éa ³ é log a ³ ê ê Dựa vào BBT ta suy phương trình f (t ) = log5 a có đúng nghiệm dương Û Û êa = ê log a = ë ëê ===================== Xét hàm số f (t ) = t - t với t Î [0; +∞) Ta có: f ¢ (t ) = 2t - Þ f ¢ (t ) = Û t = Trần Sĩ Tùng Lop12.net (4)