Bản đồ tư duy Chương I Cơ học

[r]

UBND TỉNH Thừa Thiên Huế kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh Sở Giáo dục đào tạo lớp thCS năm học 2006 - 2007

Môn : Toán

Đề thức Thời gian làm bài:150 phút Đề thi gồm 02 trang

Bài 1: (3 ®iĨm)

Cho biĨu thøc:

3

6 3

3

3

3

x x x

A x

x x x

x

 

   

     

  



   

1 Rót gän biĨu thøc A

2 Tìm giá trị nguyên x để biểu thức A nhận giá trị nguyên Bài 2: (4,0 điểm)

Cho parabol (P): 2

y  x đường thẳng d y:   2x m (m tham số) Với giá trị m (P) d có điểm chung? Khi d gọi

tiếp tuyến parabol (P), vẽ tiếp tuyến

2 Vẽ parabol (P) đường thẳng d y:   2x m đồ thị Từ đồ

thị suy ra, tập giá trị m để d cắt (P) điểm có hồnh độ

dương

3 Tìm giá trị m để phương trình x44x22m0 có nghiệm phân biệt Tính nghiệm theo m

Bµi 3: (3,5 ®iĨm)

1 Tìm số có hai chữ số biết phân số có tử số số đó, mẫu số tích hai chữ số có phân số tối giản 16

9 hiệu số cần tìm với số có chữ số với viết theo thứ tự ngược lại 27

2 Hãy tìm chữ số a b c d, , , biết số a ad cd abcd, , , số phng

Bài 4: (4,5 điểm)

Cho đường tròn (O; R) đường thẳng d không qua O cắt đường tròn (O) hai điểm A B Từ điểm M tùy ý đường thẳng d đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến MN MP với đường tròn (O) (M, N hai tiÕp ®iĨm )

1 Chøng minh r»ng 2

MN MP MA MB

2 Dùng vị trí điểm M đường thẳng d cho tứ giác MNOP hình vuông

Bài 5: (2,0 điểm)

Trong mt phng ta cho ba điểm A(1; 0), B(0; 2),C( 3; 0) Điểm D đoạn BC cho DA = DC E điểm tùy ý đoạn AC, đường thẳng d qua E song song với đường thẳng AD cắt đường thẳng BA F Đoạn BE cắt đoạn DA G Chứng minh tia CG CF đối xứng với qua CA

Bài 6: (3,0 điểm)

1) Trong cỏc tm bỡa trình bày đây, có mặt ghi chữ mặt ghi số:

+ Chứng tỏ để kiểm tra câu sau có khơng: "Nếu bìa mà mặt chữ nguyên âm mặt số chẵn" , cần lật mặt sau tối đa bìa, bìa ?

2) Để thành lập đội tuyển học sinh giỏi khối 9, nhà trường tổ chức thi chọn mơn Tốn, Văn Ngoại ngữ tổng số 11 học sinh Kết có: 70 học sinh giỏi Toán, 65 học sinh giỏi Văn 62 học sinh giỏi Ngoại ngữ Trong đó, có 49 học sinh giỏi mơn Văn Tố n, 32 học sinh giỏi mơn Tốn Ngoại ngữ, 34 học sinh giỏi môn Văn Ngoại ngữ Hãy xác định số học sinh giỏi ba môn Văn, Tốn Ngoại ngữ Biết có học sinh không đạt yêu cầu ba môn

HÕt

UBND TỉNH Thừa Thiên Huế kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh Sở Giáo dục đào tạo lớp thCS năm học 2006 - 2007

Môn : toán Đáp án thang điểm:

Bài 1 ý Nội dung Điểm

(2 điểm)

1. 1.1 (2 ®)

3

3

6 3

3

3

3

x x x

A x

x x x

x                    

Ta có: 3x2 3x 4  3x12 3 0;1 3x  0, x , nên điều kiện để A có nghĩa

 3    4

3 3 0,

3

x   x x x  x  x    x

   

3

3

1

6

3

3

3

x

x x

A x

x x x

x                              

6 3

3 3

3 3

x x x

A x x x

x x x

    

 

   

    

 

 4  3 1

3 3

x x

A x x

x x x

   

 

  

    

 

 2

3 x A x    ( x   ) 0,50 0,25 0,50 0,25 0,50 1.2 (1,0 ®)       2

3 2 1

3

3 3

x x x

A x

x x x

    

   

  

Với x số nguyên không âm, để A số nguyên

3 3

3

3 x x x x x x                

 (vì x x0) Khi đó: A4

2 2.1

(1,5đ) Phương trình cho hồnh độ giao điểm (P) d là:1 2 2

2

2x x m x x m

        (1)

Phương trình (1) phương trình bậc hai nên để (P) d có điểm chung phương trình (1) có nghiệm kép, tương đương với:

' 2m m

     

Khi đường thẳng d tiếp tuyến (P) có phương trình y  2x Vẽ tiếp tuyến

0,25 0,50 0,25 0,25 0,25 2.2

(1,25 đ)

+ V ỳng (P)

+ Đường th¼ng d y:   2x m song song víi đường thẳng y 2x cắt trục Oy điểm B(0; m)

+ Da vo th ta có: Để d cắt (P) hai điểm có hồnh độ dươ ng

0 m

0,25 0,50 0,50

2.3 (1,25®)

4

4

x  x  m (2)  X24X2m0 (X x20) (3) Để phương trình (2) có nghiệm phân biệt phương trình (3) phải có nghiệm dương phân biệt Từ câu ta suy 0 m

Khi nghiệm (2) là: x1,2   2 2 m x3,4   2 2 m

0,25 0,50 0,50

3. 3.1

(1,25 ®) Gọi số cần tìm xy với x y, ;1x y, 9

Theo gi¶ thiÕt:

 

10 16

3

90 16

10 10 27

x y

x y xy

x y xy x y y x



 

  

 

   



    



Gi¶i hƯ ta cã 1 9; 2 16

x  x  (loại) Suy y6 Vâỵ số cần tìm 96

0,25 0,50

Nếu a1 d6và c1 c3, abcd1 16b hay b1 36  2  2

1 6bc  x4 hay x6

Ta cã: 2 2

26 676; 34 1156; 36 1296; 44 1936; 46 2126 Chỉ chọn 1936

Nu a4 d9 c4, abcd 4 49b  x3 2hay x 7

Ta cã: 2

63 3969; 67 4489; 73 5329 Kh«ng chọn số Vậy có chữ số a1,b9, c3,d6 thỏa mÃn điều kiện toán

0,25 0,25 0,25 0,25 0,25

4 4.1

(1,25 ®)

Ta có: MN = MP (Tính chất tiếp tuyến cắt nhau) Chứng minh tam giác MAN MNB đồng dạng

Suy ra: 2

MA MN

MN MP MA MB

MN  MB   

0,25 0,50 0,50 4.2

(1,25 đ) Để MNOP hình vuông đường chéoDựng điểm M: Ta dựng hình vuông OACD, dựng đường tròn tâm O quaOM ON 2R

điểm D, cắt (d) M

Chứng minh: Tõ M vÏ tiÕp tuyÕn MN vµ MP Ta cã

2

MN MO ON R, nên Tam giác ONM vuông cân N Tương tự, tam giác OPM vng cân P Do MNOP l hỡnh vuụng

Bài toán có nghiệm h×nh v× OM R R

0,25 0,25 0,50 0,25 4.3

(2,0 đ) đường tròn đường kính OM Tâm trung điểm H OM Suy tam giác+ Ta có: MN MP tiếp tuyến (O), nên MNOP tứ giác nội tiếp cân MPQ nội tiếp đường tròn đường kính OM, tâm lµ H

+ Kẻ OEAB, E trung điểm AB (cố định) Kẻ HL( )d HL // OE, nên HL đường trung bình tam giác OEM, suy ra:

2

HL OE (khơng đổi)

+ Do đó, M động (d) H ln cách dều (d) đoạn không đổi, nên H chạy đường thẳng (d') // (d) (d') qua trung điểm đoạn OE

0,25 0,5

+ Ta có: OM phân giác góc NMP (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) Kẻ tia phân giác góc PNM cắt đường trịn (O) điểm F,

 

NF FP (øng víi gãc néi tiếp góc tạo tiếp tuyến dây cung b»ng nhau)

+ Suy F OM, F tâm đường trịng nội tiếp tam giác MNP + Vậy M động (d) tâm đường trịn nội tiếp tam giác MNP chạy đường tròn (O)

0,5 0,25 0,25

5 (2,0 ®)

+ Đường thẳng BC có phương trình dạng: yax2 (đi qua B(0; 2) qua C(-3; 0) nên

3

a Do phương trình đường thẳng BC là:

2

y x

+ Tam giác ADC cân D (gt), nên CAD DCA, suy hệ số góc AD số đối hệ số góc BC, nên phương trình AD có dạng

2

y  x b Mµ AD ®i qua A(1; 0) nªn

3

b , suy ra, phng trỡnh ca

đường thẳng AD lµ: 2

3

y  x

+ Gọi E(m; 0) thuộc đoạn CA ( m 1) Đường thẳng d song song víi AD nªn d:

3

y  x b , d qua E nên: : 2

3

m d y  x

+ Phương trình đường thẳng BE: yax2 BE qua E(m; 0) nên

a m

  m0; cịn m0 BEOy Do phương trình

BE lµ: y x

m

   (m0) vµ x0 (m = 0)

0,25

0,25

hệ phương trình:

2( 1)

3

9

2 2( 1)

6( 1)

3

9 m

a b a

m ma m m b b m m m                          

Suy hÖ sè góc đường thẳng CG 2( 1) m a m    0,25

+ Phương trình đường thẳng AB: y  2x

+Phương trình cho hoành độ giao điểm F AB d là:

2

2

3

m m

x x x 

       ; suy tung độ F là: y m

+ Phương trình đường thẳng CF có dạng: ya x b'  ', CF qua C F nên:

 

2( 1)

3 ' ' '

9 ' 6( 1) ' ' m

a b a

m m a m b m b m                        

Suy hƯ sè gãc cđa ®­êng thẳng CF là: ' 2( 1) m a a m     

+ Hai đường thẳng CG CF hai phía CA có hệ số góc đối nhau, nên tạo với CA (trục Ox) góc nhọn nhau, suy ra: CG CF đối xứng qua CA

0,25 0,25 + Trường hợp m0: BE: x =0, nên 0;2

3

G 

 , hƯ sè gãc cđa CG lµ

2

a ; đường thẳng d:

3

y  x, tọa độ điểm 3;

F  

 , hƯ sè gãc cđa CF lµ

2 '

9

a   , tốn cịn 0,25

6

6.1

(1,25 đ) + Câu: "Nếu bìa mà mặt chữ nguyên âm mặt số chẵn"đúng kiểm tra bìa mặt chữ nguyên âm mặt sau phải số chẵn, cịn bìa có mặt chữ phụ âm mặt số số chẵn lẻ không ảnh hưởng

Do lật bìa chữ A mà mặt sau số lẻ, khẳng định câu khơng đúng, ngược lại mặt sau số chẵn phải lật tiếp mặt sau bìa có chữ số 3, mặt phụ âm câu hồn tồn đúng, ngược lại sai Cịn mặt sau bìa chữ M số chẵn lẻ được, mặt sau bìa số nguyên âm phụ âm được, câu Vậy cần lật tối đa bìa chữ A số kiểm chứng câu

6.2

(1,75 đ) + Gọi x số học sinh giỏi mơn Văn,Tốn, Ngoại ngữ (x > 0), dựa vào biểu đồ

ta cã:

Sè học sinh giỏi môn Toán là:



70 49  32x

Sè häc sinh giỏi môn Văn là:

65 49  34x

Sè häc sinh chØ giái môn Ngoại ngữ là:

62 34  32x

0,25 0,25 0,25 0,25 + Có học sinh không đạt yêu cầu nên:

     

111 6 70 49  32 x 65 49  34 x 62 34  32 x

   

49 32 x 34 x

    

82 x 105 x 23

    

VËy cã 23 häc sinh giái c¶ m«n

http://quyndc.blogspot.com