Ứng dụng của tích phân trong hình học

DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG : 1.Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị C y=fx và trục hoành: Cho hàm số y=fx có đồ thị C liên tục, nhận giá trị không âm fx  0 trên đoạn [a;b]... ứng dụng của[r]

ứng dụng tích phân § ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC I DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG : 1.Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị (C) y=f(x) và trục hoành: Cho hàm số y=f(x) có đồ thị (C) liên tục, nhận giá trị không âm f(x)  trên đoạn [a;b] Diện tích hình phẳng giới hạn (C) ,trục hoành và hai đường thẳng x = a, b x = b tính công thức : S   f(x)dx a Trường hợp f(x)  trên đoạn [a;b].,ta có f(x)  và diên tích hình thang cong aABb diện tích hình thang cong aA’B’b ,là hình đối xứng hình thang aABb qua trục hoành Do đó b S  SaABb  SaA'B'b   (f(x))dx a Tổng quát ,diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị (C) hàm số f(x) liên tục ,trục hoành và hai đường thẳng x = a,x = b tính theo công thức b S   f(x)dx A B a b  Nếu f(x)  0, x  [a;b] thì : S   f(x)dx a b  Nếu f(x)  0, x  [a;b] thì : S    f(x)dx a a S aABb b S aA' B'b A' B  Nếu f(x) = có nghiệm c thuộc [a;b] thì b c b S=  f(x)dx =  f(x) dx+  f(x) dx a a c c b   f(x)dx +  f(x)dx a c  Nếu f(x) = có nghiệm c ,d thuộc [a;b] thì GV:Nguyễn Thanh Trung -1Lop12.net 1/20/2010 6:52:00 AM ứng dụng tích phân b c d b S=  f(x)dx =  f(x) dx+  f(x) dx+  f(x) dx a a c d c d b =  f(x)dx +  f(x)dx +  f(x)dx a c d b Chú ý :Cách tính  f(x)dx : a a) Giải phương trình f(x) = 0, giả sử có nghiệm x  c  [a;b] b c b b) Áp dụng tính chất:  f(x)dx   f(x)dx   f(x)dx a a c Ví dụ: Tính DTHP giới hạn đồ thị hàm số y  x3 ,trục hoành và hai đường thẳng x =-1,x =2 Phương trình x3   x   [1;2] 2 3 x4 x4 S   x dx   x dx   x dx   4 1 1 1 24 17    (dvdt) 4 2.Diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị (C) :y=f(x) và (C’):y=g(x) Cho hai hàm số y=f(x) liên tục trên [a;b]có đồ thị (C) và y=g(x) liên tục trên [a;b] có đồ thị (C’) Diện tích hình phẳng giới hạn (C) , (C’) và hai đường thẳng x = a,x = b tính công thức : b S   f(x)  g(x)dx a b  Nếu f(x)  g(x), x  [a;b] thì:  [f(x)  g(x)]dx a b  Nếu f(x)  g(x), x  [a;b] thì:  [g(x)  f(x)]dx a  Nếu f(x) = có nghiệm c thuộc [a;b] thì GV:Nguyễn Thanh Trung -2Lop12.net 1/20/2010 6:52:00 AM ứng dụng tích phân b c b S=  f(x)-g(x)dx =  f(x)-g(x) dx+  f(x)-g(x) dx a a c c b   [f(x)-g(x)]dx +  [f(x)-g(x)]dx a c  Nếu f(x) = có nghiệm c ,d thuộc [a;b] thì b c d b S=  f(x)-(x)g dx =  f(x)-g(x) dx+  f(x)-g(x) dx   f(x)-g(x) dx a a c d c d b   [f(x)-g(x)]dx +  [f(x)-g(x)]dx   [f(x)-g(x)]dx a c d Ví dụ: Tính DTHP giới hạn đồ thị hai hàm số y  cosx và y  sin x và hai đường thẳng x  0,x   Phương trình hoành độ giao điểm : cosx  sin x   x   [0; ] Vậy DTHP là :    S   cosx  sin x dx   cosx  sin xdx   cosx  sin xdx  0    (sin x  cosx) 04  sin x  cosx   2(dvdt) Ví dụ: Tính DTHP giới hạn đồ thị hai hàm số y  x3  x và y  x  x2 Phương trình hoành độ giao điểm : x3  x  x  x2  x3  x2  2x   x  2   x  x   Vậy DTHP là : S 37 (dvdt) 12 - GV:Nguyễn Thanh Trung -3Lop12.net 1/20/2010 6:52:00 AM ứng dụng tích phân Bài Tập: Tính DTHP giới hạn các đường : a) y  x2 ,y  x  b) y  ln x ,y  c) y  (x  6)2 ,y  6x  x2 Đs: a) (dvdt) b) b)  e  (dvdt) c) c) (dvdt) e Tính DTHP giới hạn đường cong y  x2  ,tiếp tuyến với đường cong điểm M(2;5) và trục Oy Đs: a) (dvdt) 3 x2 Parabol y  chia hình tròn có tâm gốc tọa độ O,bán kính 2 thành hai phần.Tìm tỉ số diện tích chúng Đs: a) 9  3  Cho hàm số ; y  x3  3x  (C) Tính DTHP giới hạn (C) ,trục hoành ,trục tung và đường thẳng x = -1 Đs: (dvdt) Tính DTHP giới hạn đồ thị (C) : y  x  2x2  và trục 16 hoành Đs: (dvdt) 15  Tính DTHP giới hạn các đường y  cosx;y  0;x   ;x   Đs: (dvdt) Tính DTHP giới hạn các đường y  x ln2 x;y  0;x  1;x  e e2  Đs: (dvdt) Tính DTHP giới hạn (P): y  x2  và đường thẳng y = x Đs: (dvdt) Tính DTHP giới hạn (P): y  x2  2x  ,tiếp tuyến (P) M(3;5) và trục tung Đs: (dvdt) GV:Nguyễn Thanh Trung -4Lop12.net 1/20/2010 6:52:00 AM ứng dụng tích phân 10.Cho (P): y  x2  4x  a) Viết phương trình tiếp tuyến ( (d1) và (d ) với (P) M(0;-3) và N(3;0) b) Tính DTHP giới hạn (P) và hai tiếp tuyến (d1) , (d ) Đs: (dvdt) 11.Tính DTHP giới hạn các đường : y  2x  x2 và y = Đs: (dvdt) x2 (C) x2 Tính DTHP giới hạn (C ,đường tiệm cận ngang và x=3;x=4 Đs: ln (dvdt) 2x  (C) 13.Cho hàm số: y  x4 Tính DTHP giới hạn (C) ,tiếp tuyến A(3;-2) và trục tung 12.Cho hàm số: y  14.Tính DTHP giới hạn (C) y  GV:Nguyễn Thanh Trung x2 x2 -5Lop12.net Đs:  8ln (dvdt) trục Ox ; Oy Đs: ln  (dvdt) 1/20/2010 6:52:00 AM