Chứng minh M là trung điểm của SA và 4 tính thể tích khối tứ diện SMBC theo a.. Xác định toạ độ đỉnh C, biết C có hoành độ dương.[r]
(1)ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2010 Môn : TOÁN - Khối : D PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số y x x Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số đã cho Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C), biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y x 1 Câu II (2,0 điểm) Giải phương trình sin x cos x 3sin x cos x Giải phương trình 42 x x2 x 42 x2 2x x4 e ( x ) 3 Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân I x ln xdx x 1 Câu IV (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA = a; hình chiếu vuông góc đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc đoạn AC, AC AH Gọi CM là đường cao tam giác SAC Chứng minh M là trung điểm SA và tính thể tích khối tứ diện SMBC theo a Câu V (1,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ hàm số y x x 21 x x 10 PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh làm hai phần (phần A B) A Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a (2,0 điểm) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(3;-7), trực tâm là H(3;-1), tâm đường tròn ngoại tiếp là I(-2;0) Xác định toạ độ đỉnh C, biết C có hoành độ dương Trong không gian toạ độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x + y + z = và (Q): x y + z = Viết phương trình mặt phẳng (R) vuông góc với (P) và (Q) cho khoảng cách từ O đến (R) Câu VII.a (1,0 điểm) Tìm số phức z thoả mãn z và z2 là số ảo B Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b (2,0 điểm) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm A(0;2) và là đường thẳng qua O Gọi H là hình chiếu vuông góc A trên Viết phương trình đường thẳng , biết khoảng cách từ H đến trục hoành AH x t x y 1 z Trong không gian toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng 1: y t và 2: 2 z t Xác định toạ độ điểm M thuộc 1 cho khoảng cách từ M đến 2 x x y Câu VII.b (1,0 điểm) Giải hệ phương trình ( x, y ) 2 log ( x 2) log y Lop12.net (2) BÀI GIẢI GỢI Ý PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I: y x x (C ) 1/ Khảo sát, vẽ (C) TXĐ : D = R; y ' 4 x3 x; y ' 2 x(2 x 1) x 0; y y " 12 x hàm số lồi trên R lim y lim y x x y' y 2/ x - 0 + + - - Hàm số đồng biến trên khoảng (-;0), nghịch biến trên khoảng (0;+) y đạt cực đại x = 0, yCĐ = (C) Ox : A ( 2;0) Tiếp tuyến vuông góc d : y x Pt () : y = 6x + b x x 6 x b x tiếp xúc (C) hệ sau có nghiệm : 4 x x 6 b 10 Vậy : y = 6x + 10 Câu II: 1/ Giải phương trình : sin x cos x 3sin x cos x 2sin x cos x 2sin x 3sin x cos x cos(2sin x 1) 2sin x 3sin x cos x(2sin x 1) (2sin x 1)(sin x 2) (2sin x 1)(cos x sin x 2) x k 2 sin x x 5 k 2 (k Z ) cos x sin x 2 (VN ) 2/ 42 x x2 x 42 x2 2x x4 (*); đk : x 42 x (24 x 1) x (24 x 1) (24 x 1)(42 24 x x x 24 x2 x2 2x ) x x3 x x3 2( x 2) ( x 2)( x x 4) x20 x 2( x 2) x22 x22 VT = x x ( x 1) Phương trình vô nghiệm Vậy : Nghiệm (*) : x = 1; x = VP = x22 x2 2x Lop12.net (3) Câu III : e e e 3 I x ln xdx x ln xdx 3 ln x dx x x 1 1 I1 I2 e I1 x ln xdx ; Đặt u ln x du e e x2 dx ; dv xdx v x e x2 e2 x e2 I1 ln x xdx 2 1 1 dx Tính I2 : Đặt t = lnx dt x t2 e2 x = ; t = 0; x = e ; t = I tdt Vậy I 0 Câu IV: a 2 a 14 Ta có SH a 2 14a 3a 32a SC a = AC 16 16 Vậy SCA cân C nên đường cao hạ từ C xuống SAC chính là trung điểm SA Từ M ta hạ K vuông góc với AC, nên MK = SH a 14 a 14 Ta có V ( S ABC ) a 3 24 a 14 Nên V(MABC) = V(MSBC) = V(SABC) = 48 Câu V: 49 y ( x 2) 25 x ; đk : 2 y' 2( x 2) ( x 2) 25 3 2 x 2 49 x 2 x x 21 3 x 2 x 2 x x x 10 3 x 2 49 x 2 3 49 y ' x ( x 2) 25 ( x 2) x 2 2 3 x ( x 2) 2 x ( x 2) 25 ( x 2) x 49 2 2 Lop12.net x2 ( x 2) 25 (4) x x 3 10 x 7( x 2) 25 x 49 ( x 2) 2 3 10 x 7( x 2) 2 x x2 x (nhan) 10 x 15 x 14 3x 10 x 15 7 x 14 17 x 29 x 29 (loai ) 17 x 2 1/3 y' + y y(1/3) 1 y 2; ymin 3 Cách khác: có thể không cần bảng biến thiên, cần so sánh y(-2), y(1/3) và y(5) PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh làm hai phần (phần A B) A Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a: 1/ * C1: Nối dài AH cắt đường tròn (C) tâm I điểm H' BC qua trung điểm HH' Phương trình AH : x = Đường tròn (C) có pt : ( x 2) y 74 H' là giao điểm AH và đường tròn (C) H' (3; 7) Đường thẳng BC có phương trình : y = cắt đường tròn (C) điểm C có hoành độ là nghiệm phương trình : ( x 2) 32 74 x 65 (lấy hoành độ dương); y = Vậy C ( 65 ; 3) * C2: Gọi (C) là đường tròn tâm I(2;0), bán kính R = IA 74 Pt đường tròn (C) : ( x 2) y 74 Gọi AA1 là đường kính BHCA1 là hình bình hành HA1 qua M trung điểm BC Ta có IM là đường trung bình A1AH x 2 Nên : IM AH M M (2;3) yM Pt BC qua M và vuông góc AH : y = Lop12.net (5) ( x 2) y 74 x 2 65 Toạ độ C thoả hệ phương trình : y Vậy C ( 65 ; 3) y x 2/ PVT nP (1;1;1) ; PVT mQ (1; 1;1) ; PVT k R n m (2;0; 2) 2(1;0; 1) Phương trình (R) có dạng : x z + D = Ta có : d (0;(R)) = D D 2 Phương trình (R) : x z 2 hay x z 2 Câu VII.a: Đặt z a bi z a b 2abi a b a z1 i , z2 i Ta có hệ phương trình Vậy : 2 z3 1 i , z4 1 i a b b B Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b: 1/ * C1 : Gọi H(x0; y0) là hình chiếu A xuống Ta có : AH ( x0 ; y0 2), OH ( x0 ; y0 ) x02 y0 ( y0 2) x02 y02 y0 AH OH Do gt : 2 AH d ( H , Ox) x0 ( y0 2) y0 x0 y0 y0 y0 1 x02 y02 y0 y0 x0 y0 x0 y0 x0 1 8 1 8 (loai ) x H 8; 1 Phương trình : ( 1) x y y0 1 * C2 : Oy H A : không thoả AH = d(H, Ox) Ox H O : không thoả AH = d(H, Ox) Pt : y = kx (k 0) AH y x2 k AH qua A Toạ độ H = AH thoả hệ 2k x y kx 2k 2k k 1 H ; 2 k 1 k 1 y k x y 2k k 1 2 2k 2k 2k AH d ( H ; Ox) 2 k k 1 k k k 1 k 22 k 1 (loai ) k Lop12.net (6) 22 x 2/ M 1 M(3+t; t; t) qua A(2;1;0) 2 co VTCP a2 (2;1; 2) Ta có : AM (1 t ; t 1; t ) [a2 , AM ] (2 t ; 2; t 3) ; d(M; 2) = Vậy : y (2 t ) (t 3) 1 1 t M (4;1;1) 2t 10t 17 2t 10t t M (7; 4; 4) Câu VII.b: x x y (1) ; đk: x > 2, y > 2 log ( x 2) log y (2) y x 2 (2) ( x 2) y y 2 x x (loai ) * y x (1) x x x x x2 4x x * y x (1) x 1(loai ) x 5x x x = 3; y = x = 4; y = Trần Minh Quang, Trần Minh Thịnh (Trung tâm BDVH và LTĐH Vĩnh Viễn) Lop12.net (7)