Tìm điểm M thuộc trục tung sao cho qua M kẻ được hai tiếp tuyến với C mà góc giữa hai tiếp tuyến đó bằng 600.. Theo chương trình Nâng cao Câu VIb.[r]
(1)BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THAM KHẢO ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG Môn thi : TOÁN, khối A PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số y = x3 3x2 + mx + 4, đó m là tham số thực Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho, với m = Tìm tất các giá trị tham số m để hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (0 ; + ) Câu II (2,0 điểm) Giải phương trình: (2cos2x + cosx – 2) + (3 – 2cosx)sinx = Giải phương trình: log (x 2) log (x 5) log Câu III (1,0 điểm) Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = e x , trục hoành và hai đường thẳng x = ln3, x = ln8 Câu VI (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = SB = a, mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD Câu V (1,0 điểm) Xét các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P x (y z) y (z x) z (x y) yz zx xz I PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chọn làm hai phần (phần phần 2) Theo chương trình Chuẩn: Câu VIa (2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình: x2 + y2 – 6x + = Tìm điểm M thuộc trục tung cho qua M kẻ hai tiếp tuyến với (C) mà góc hai tiếp tuyến đó 600 x 2t Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(2 ; ; 0) và đường thẳng d có phương trình: y 1 t z t Viết phương trình tham số đường thẳng qua điểm M, cắt và vuông góc với đường thẳng d Câu VIIa (1,0 điểm) Tìm hệ số x2 khai triển thành đa thức biểu thức P = (x2 + x – 1) Theo chương trình Nâng cao Câu VIb (2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình: x2 + y2 – 6x + = Tìm điểm M thuộc trục tung cho qua M kẻ hai tiếp tuyến với (C) mà góc hai tiếp tuyến đó 600 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(2 ; ; 0) và đường thẳng d có phương trình: x 1 y 1 z 1 Viết phương trình chính tắc đường thẳng qua điểm M, cắt và vuông góc với đường thẳng d Câu VIIb (1,0 điểm) Tìm hệ số x3 khai triển thành đa thức biểu thức P = (x2 + x – 1)5 ……………………Hết…………………… Thí sinh không sử dụng tài liệu, cán coi thi không giải thích gì thêm Lop12.net (2) Họ và tên thí sinh: ………………………………………… Số báo danh: …………………… ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM Câu I (2,0 điểm) Đáp án Điểm (1,25 điểm) Với m = 0, ta có hàm số y = – x3 – 3x2 + Tập xác định: D = Sự biến thiên: x 2 y’ = x Chiều biến thiên: y’ = – 3x2 – 6x, 0,50 x 2 y’ < x y’ > – < x < Do đó: + Hàm số nghịch biến trên khoảng ( ; 2) và (0 ; + ) + Hàm số đồng biến trên khoảng ( ; 0) Cực trị: + Hàm số y đạt cực tiểu x = – và yCT = y(–2) = 0; + Hàm số y đạt cực đại x = và yCĐ = y(0) = Giới hạn: lim , lim x 0,25 x Bảng biến thiên: x y' 2 0 0,25 y y Đồ thị: Đổ thị cắt trục tung điểm (0 ; 4), cắt trục hoành điểm (1 ; 0) và tiếp xúc với trục hoành điểm ( ; 0) 0,25 3 2 O x (0,75 điểm) Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (0 ; + ) y’ = – 3x2 – 6x + m 0, x > 3x2 + 6x m, x > (*) Ta có bảng biến thiên hàm số y = 3x + 6x trên (0 ; + ) x y Từ đó ta : (*) m II (2,0 điểm) 0,25 0,50 (1,0 điểm) Phương trình đã cho tương đương với phương trình : 2sin x sin x sin x cos x sin x cos x n x (1) n, n x k , k Lop12.net 0,50 0,50 (3) Câu Đáp án Điểm (1,0 điểm) Điều kiện: x > – và x (*) Với điều kiện đó, ta có phương trình đã cho tương đương với phương trình: 0,50 log (x 2) x log (x 2) x (x 3x 18)(x 3x 2) x 3x 18 17 x 3; x 6; x x 3x Đối chiếu với điều kiện (*), ta tất các nghiệm phương trình đã cho là: x và x III (1,0 điểm) 0,50 17 Kí hiệu S là diện tích cần tính ln Vì e x x [ln ; ln 8] nên S 0,25 e x 1dx ln 2tdt t2 1 Khi x = ln3 thì t = 2, và x = ln8 thì t = Đặt e x = t, ta có dx 0,25 3 3 3 2t dt dt dt dt dt ln t ln t ln 2 t 1 t 1 t 1 t 1 2 2 2 Vì vậy: S IV (1,0 điểm) V (1,0 điểm) Do SA = SB = AB (= a) nên SAB là tam giác Gọi G và I tương ứng là tâm tam giác SAB và tâm hình vuông ABCD Gọi O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABD Ta có OG (SAB) và OI (ABCD) S a Suy ra: + OG = IH = , đó H là trung điểm AB + Tam giác OGA vuông G Kí hiệu R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABD, G O ta có: A H a 3a a 21 I R OA OG GA B Ta có : P x x y2 y2 z2 z2 y z z x x y Tương tự, ta có : 0,50 0,25 D C hay 0,50 2 x y x y x, y > y x y2 z2 y z y, z > z y z2 x z x x, z > x z Cộng vế ba bất đẳng thức vừa nhận trên, kết hợp với (*), ta được: P 2(x + y + z) = x, y, z > và x + y + z = 1 Hơn nữa, ta lại có P = x = y = z = Vì vậy, minP = VI.a (2,0 điểm) 0,25 (*) Nhận thấy : x2 + y2 – xy xy x, y Do đó : x3 + y3 xy(x + y) x, y > 0,50 0,50 (1,0 điểm) Viết lại phương trình (C) dạng: (x – 3)2 + y2 = Từ đó, (C) có tâm I(3 ; 0) và bán kính R = 0,25 Suy trục tung không có điểm chung với đường tròn (C) Vì vậy, qua điểm bất kì trên tục tung luôn kẻ hai tiếp tuyến (C) 0,25 Lop12.net (4) Câu Đáp án Xét điểm M(0 ; m) tùy ý thuộc trục tung Qua M, kẻ các tiếp tuyến MA và MB (C) (A, B là các tiếp điểm) Ta có: 600 (1) AMB Góc đường thẳng MA và MB 60 1200 (2) AMB nên : Vì MI là phân giác AMB 300 MI (1) AMI IA MI 2R m m sin 30 600 MI (2) AMI IA 2R MI m2 (*) sin 60 3 Điểm 0,25 0,25 Dễ thấy, không có m thỏa mãn (*) Vậy có tất hai điểm cần tìm là: (0 ; ) và (0 ; 7) (1,0 điểm) Gọi H là hình chiếu vuông góc M trên d, ta có MH là đường thẳng qua M, cắt và vuông góc với d Vì H d nên tọa độ H có dạng : (1 + 2t ; + t ; t) Suy : MH = (2t ; + t ; t) Vì MH d và d có vectơ phương là u = (2 ; ; 1), nên : 2 2.(2t – 1) + 1.( + t) + ( 1).(t) = t = Vì thế, MH = ; ; 3 3 3 x t Suy ra, phương trình tham số đường thẳng MH là: y 4t z 2t VII.a (1,0 điểm) Theo công thức nhị thức Niu-tơn, ta có: P = C06 (x 1)6 C16 x (x 1)5 C6k x 2k (x 1)6 k C56 x10 (x 1) C66 x12 Suy ra, khai triển P thành đa thức, x2 xuất khai triển C06 (x 1)6 và C16 x (x 1)5 Hệ số x2 khai triển C (x 1) là : 6 C C Hệ số x2 khai triển C x (x 1) là : C16 C50 Vì vậy, hệ số x2 khai triển P thành đa thức là : C06 C62 C16 C50 = VI.b (2,0 điểm) 0,25 0,50 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 (1,0 điểm) Xem phần Câu VI.a (1,0 điểm) Gọi H là hình chiếu vuông góc M trên d, ta có MH là đường thẳng qua M, cắt và vuông góc với d x 2t d có phương trình tham số là: y 1 t z t Vì H d nên tọa độ H có dạng : (1 + 2t ; + t ; t) Suy : MH = (2t ; + t ; t) Vì MH d và d có vectơ phương là u = (2 ; ; 1), nên : 2 2.(2t – 1) + 1.( + t) + ( 1).(t) = t = Vì thế, MH = ; ; 3 3 3 Suy ra, phương trình chính tắc đường thẳng MH là: x y 1 z 4 2 Lop12.net 0,25 0,50 0,25 (5) Câu VII.b (1,0 điểm) Đáp án Điểm Theo công thức nhị thức Niu-tơn, ta có: P = C50 (x 1)5 C15 x (x 1) C5k x 2k (x 1)5 k C54 x (x 1) C55 x10 0,25 Suy ra, khai triển P thành đa thức, x3 xuất khai triển C50 (x 1)5 và C15 x (x 1) Hệ số x3 khai triển C50 (x 1)5 là : C50 C53 Hệ số x3 khai triển C15 x (x 1) là : C15 C14 Vì vậy, hệ số x3 khai triển P thành đa thức là : C50 C53 C15 C14 = 10 0,25 0,25 0,25 Đề này trích từ cuốn: “Cấu trúc đề thi môn TOÁN, VẬT LÍ, HÓA HỌC, SINH HỌC dùng để ôn thi tốt nghiệp và thi tuyển sinh đại học cao đẳng năm 2009” Nhà xuất giáo dục Tôi gửi lên cho các thầy cô và học sinh tham khảo Lop12.net (6)