Gọi I là tâm hình chữ nhật ABCD, biết rằng bán kính đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD bằng bán kính đường tròn đáy của hình trụ.. Chứng minh rằng I thuộc mặt cầu đường kính OO'.[r]
(1)ĐỀ THI HỌC KÌ – Năm học Môn TOÁN Lớp 12 Thời gian làm bài 90 phút Đề số 16 I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm) Bài 1: (3 điểm) Cho hàm số y x x x 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 2) Biện luận theo m số nghiệm phương trình: Bài 2: (2 điểm) Giải các phương trình sau: 1) 2.4 x x 1 x3 x2 x m 2) 3log29 x log9 x Bài 3: (2 điểm) Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy là a và cạnh bên là 2a 1) Chứng minh SA vuông góc với BC 2) Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC II PHẦN RIÊNG (3 điểm) A Theo chương trình nâng cao Bài 4a: (1 điểm) Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ hàm số y sin x.cos x trên đoạn [0; ] Bài 5a: (1 điểm) Tìm tất các giá trị tham số m để phương trình sau có nghiệm phân biệt: log32 x log3 x m Bài 6a: (1 điểm) Cho hình trụ có trục là OO' Một mặt phẳng (P) song song với trục OO' cắt hình trụ theo thiết diện là hình chữ nhật ABCD Gọi I là tâm hình chữ nhật ABCD, biết bán kính đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD bán kính đường tròn đáy hình trụ Chứng minh I thuộc mặt cầu đường kính OO' B Theo chương trình chuẩn Bài 4b: (1 điểm) Cho hàm số y esin x , chứng minh rằng: y.sin x y '.cos x y '' Bài 5b: (1 điểm) Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ hàm số sau trên đọan [–1; 1] : x 1 y e2 x 2 4 Bài 6b: (1 điểm) Cho hình trụ có trục là OO' và có chiều cao bán kính đáy và 50cm Một đoạn thẳng AB dài 100cm với A thuộc đường tròn (O) và B thuộc đường tròn ( O' ) Tính khoảng cách AB và OO' ––––––––––––––––––––Hết––––––––––––––––––– Họ và tên thí sinh: SBD : Lop12.net (2) ĐỀ THI HỌC KÌ – Năm học Môn TOÁN Lớp 12 Thời gian làm bài 90 phút Đề số 16 Bài 1.1 ĐÁP ÁN TÓM TẮT y f (x) x x x TXĐ: D = R lim f ( x ) ; lim f ( x ) x ĐIỂM 0,25 x x y’= x x ; y’= x BBT: 0,25 0.25 1 Hàm số tăng trên (; ),(1; ) và giảm trên ( ;1) 3 59 Đồ thị hàm số có điểm cực đại là ( ; ) và điểm cực tiểu là (1;1) 27 1 43 Điểm uốn: y’’= 6x – ; y’’=0 x , f ( ) 3 27 43 Điểm uốn đồ thị hàm số là I ( ; ) 27 0.25 0,25 0.25 0,5 Đồ thị hàm số nhận điểm uốn làm tâm đối xứng 1.2 x x x m x x x m (1) Số nghiệm (1) là số giao điểm đường thẳng y m và đồ thị hàm số y f ( x) x3 x2 x m m 1 : (1) có nghiệm m m 1 : (1) có nghiệm phân biệt 59 59 m m 1 : (1) có nghiệm phân biệt 27 27 Lop12.net 0,25 0,5 (3) 59 59 m : (1) có nghiệm phân biệt 27 27 59 59 m m : (1) có nghiệm 27 27 m 1 Vậy: 59 : (1) có nghiệm m 27 m 1 59 : (1) có nghiệm phân biệt m 27 59 m 1 : (1) có nghiệm phân biệt 27 2.1 m 2.4 x x 1 2.22 x 2.2 x t 1 (loai) Đặt t x , t ta có phương trình: 2t 2t t Với t x x Vậy nghiệm phương trình đã cho là : x = 2.2 0,25 0.5 0,5 3log29 x log9 x Điều kiện: x > 3.1 3.2 t Đặt t log9 x , t ta có phương trình: 3t 2t t (loai) x log x Với t log9 x log9 x 1 x Đối chiếu điều kiện, nghiệm phương trình là: x 1, x Chứng minh SA BC Gọi M là trung điểm BC, ta có: AM BC SM BC Suy BC (SAM ) Nên BC SA Gọi O là tâm tam giác ABC, ta có : SO ( ABC ) Trong mặt phẳng (SAO), đường trung trực đoạn SA cắt SO I Ta có: IA IB IC (vì I SO ); IA IS Vặy I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC Trong tam giác ABC , ta có: AM 0,5 0,5 1,0 0.25 a a ; AO AM 3 Gọi K là trung điểm SA thì SK = a 3a2 a 33 Tam giác SAO vuông O: SO SA OA 4a 3 Lop12.net 2 0.25 (4) SKI ~ SOK (g.g), suy ra: SA.SK 2a.a 6a SI SK SI SA SO SO 33 33 a 0,25 144 a2 S 4 SI 33 0,25 Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là: 4a y sin x.cos x sin x.(1 2sin2 x ) Với x [0; ] đặt t sin x , t [0;1] ta có: y f (t ) t 2t f '(t ) 6t ; f '(t ) t f (0) ; f (1) 1 ; f ( ) Giá trị lớn hàm số là: 0,25 0,25 6 Giá trị nhỏ hàm số là: –1 5a 0,25 0,25 log32 x log3 x m (1) Đặt t log3 x , t ta có phương trình: Xét f (t ) 2t t ; m 2t t (2) f '(t ) 4t ; f '(t ) t 0,25 0,25 0,25 (1) có nghiệm phân biệt (2) có nghiệm dương phân biệt m 0,25 6a C O' Chứng minh: OIO 90 Gọi M là trung điểm AB Chứng minh tam giác IMO’ vuông cân, D 1,0 nên IMO 45 Chứng minh IO IO ' , nên IOO' vuông cân I I B O M A 4b y esin x y cos x.esin x ; y sin x.esin x cos2 x.esin x Thay vào vế trái, ta đpcm Lop12.net 1,0 (5) 5b x 1 y e2 x y ' x.e2 x ; y ' x 2 4 y(1) 1,0 e2 ; y(1) ; y(0) 4 4e Giá trị lớn hàm số là: e2 ; Giá trị nhỏ hàm số là: 4 6b B O' Vẽ đường sinh AC, gọi H là trung điểm BC Khoảng cách cần tìm là O’H = 25 cm H 1,0 C I D O A ============================ Lop12.net (6)