Công thức Newton-Leibnitz có một tiện lợi là cho chúng ta một cách tính chính xác giá trị tích phân xác định của một hàm không cần thông qua phép tính giới hạn nếu đoán nhận được nguyên [r]
(1)GIÁO TRÌNH GIẢI TÍCH II Huỳnh Thế Phùng, Khoa Toán, ĐHKH Huế Ngày 26 tháng năm 2006 Lop12.net (2) Mục lục Chương Tích phân 1.1 Tích phân xác định 1.1.1 Định nghĩa 1.1.2 Điều kiện khả tích 1.1.3 Tính chất tích phân xác định 1.2 Cách tính tích phân xác định 1.2.1 Nguyên hàm - Công thức Newton Leibnitz 1.2.2 Phương pháp đổi biến số 1.2.3 Phương pháp tích phân phần 1.3 Tích phân suy rộng 1.3.1 Tích phân suy rộng với cận vô hạn 1.3.2 Tích phân suy rộng với cận hữu hạn 10 1.4 Ứng dụng tích phân xác định 12 1.4.1 Tính diện tích hình phẳng 12 1.4.2 Tính độ dài đường cong phẳng 12 1.4.3 Tính thể tích vật thể 12 1.4.4 Tính diện tích mặt tròn xoay 13 1.5 Thực hành tính toán trên Maple 13 1.5.1 Xấp xỉ diện tích hình thang cong 13 Rb 1.5.2 Tính tích phân xác định a f (x)dx 13 1.5.3 Ứng dụng tích phân xác định 15 1.5.4 Tìm nguyên hàm hàm y = f (x) 16 1.6 Bài tập 16 Chương Dãy hàm và Chuỗi hàm 19 2.1 Dãy hàm 19 2.1.1 Các định nghĩa 19 2.1.2 Tính chất dãy hàm hội tụ 20 Lop12.net (3) 2.2 Chuỗi hàm 21 2.2.1 Định nghĩa - Các tiêu chuẩn hội tụ 21 2.2.2 Tính chất chuỗi hội tụ 22 2.2.3 Chuỗi lũy thừa 22 2.2.4 Khai triển hàm thành chuỗi lũy thừa 24 2.3 Chuỗi Fourier 26 2.3.1 Chuỗi lượng giác 26 2.3.2 Chuỗi Fourier 27 2.3.3 Sự hội tụ chuỗi Fourier 28 2.4 Thực hành tính toán trên Maple 29 2.4.1 Tính giới hạn dãy hàm và tổng chuỗi hàm 29 2.4.2 Khai triển hàm thành chuỗi 29 2.5 Bài tập 30 Chương Không gian Rn 32 3.1 Không gian vectơ Rn 32 3.1.1 Định nghĩa 32 3.1.2 Tích vô hướng 33 3.1.3 Độ dài vectơ 33 3.2 Hàm khoảng cách và hội tụ 34 3.2.1 Hàm khoảng cách Rn 34 3.2.2 Sự hội tụ dãy 34 3.3 Tôpô trên Rn 35 3.3.1 Các khái niệm 35 3.3.2 Tập liên thông - Tập compact 37 3.4 Thực hành tính toán trên Maple 38 3.4.1 Vec-tơ và ma trận 38 3.4.2 Các phép toán trên vectơ 39 3.4.3 Các phép toán trên ma trận 40 3.5 Bài tập 41 Lop12.net (4) Chương TÍCH PHÂN 1.1 Tích phân xác định 1.1.1 Định nghĩa Giả sử [a, b] là đoạn hữu hạn R Ta chia đoạn này thành các đoạn các điểm chia a = x0 < x1 < · · · < xn = b Lúc đó tập hợp P = {x0 , x1 , · · · , xn } gọi là phân hoạch đoạn [a, b] Ta dùng ký hiệu P[a, b] để tập hợp tất các phân hoạch đoạn [a, b] Một phân hoạch Q ∈ P[a, b], với Q = {y0 , y1 , · · · , yk }, gọi là thô phân hoạch P (hay P là mịn Q) Q ⊂ P , tức là với j, tồn i cho yj = xi Độ mịn phân hoạch P thường đặc trưng giá trị δ(P ) = max{xi − xi−1 | ≤ i ≤ n} Dễ thấy δ(P ) ≤ δ(Q) P mịn Q Giả sử f là hàm bị chặn trên [a, b] Với phân hoạch P = {x0 , x1 , · · · , xn } đoạn [a, b] ta đặt Mi := sup{f (x) | x ∈ [xi−1 , xi ]}, mi := inf{f (x) | x ∈ [xi−1 , xi ]}; ≤ i ≤ n Lúc đó, các tổng S ∗ (f ; P ) := n X Mi (xi − xi−1 ), S∗ (f ; P ) := n X mi (xi − xi−1 ) i=1 i=1 gọi là tổng Darboux trên và tổng Darboux f trên [a, b] tương ứng với phân hoạch P Lop12.net (5) Ta gọi tích phân trên và tích phân hàm f trên đoạn [a, b] là các giá trị sau Z + Z − ∗ f (x)dx := inf S (f ; P ), f (x)dx := sup S∗ (f ; P ) P ∈P [a,b] P ∈P [a,b] Mệnh đề sau cho ta đánh giá các đại lượng này Mệnh đề 1.1 Nếu hàm f bị chặn m và bị chặn trên M trên đoạn [a, b], thì Z − Z + m(b − a) ≤ f (x)dx ≤ f (x)dx ≤ M (b − a) [a,b] [a,b] Để chứng minh định lý này ta cần các bổ đề sau Bổ đề 1.1 Giả sử P, Q ∈ P[a, b] cho Q ⊂ P Lúc đó S∗ (f ; Q) ≤ S∗ (f ; P ) ≤ S ∗ (f ; P ) ≤ S ∗ (f ; Q) Bổ đề 1.2 Với P, Q ∈ P[a, b], ta luôn có S∗ (f ; P ) ≤ S ∗ (f ; Q) Ta nói hàm f là khả tích Riemann trên đoạn [a, b] Z + Z − f (x)dx = f (x)dx [a,b] [a,b] Lúc đó, ta ký hiệu giá trị chung này Z b f (x)dx a và gọi là tích phân hàm f trên đoạn [a, b] Z a Trong trường hợp a = b dễ thấy f (x)dx = Ngoài ra, b < a ta định nghĩa a Z Z b a f (x)dx := − a f (x)dx (1.1) b Ví dụ 1.1 Z b + Hàm f (x) = c khả tích Riemann trên đoạn và cdx = c(b − a) a + Hàm Dirichlet ( f (x) := x ∈ Q, x ∈ R \ Q không khả tích trên đoạn [a; b] với a < b Lop12.net (6) 1.1.2 Điều kiện khả tích Định lý 1.2 Hàm bị chặn f trên [a, b] là khả tích và khi, với ² > 0, tồn phân hoạch P ∈ P[a, b] cho S ∗ (f ; P ) − S∗ (f ; P ) < ² Hệ 1.1 Mọi hàm liên tục trên [a, b] khả tích Hệ 1.2 Mọi hàm bị chặn, liên tục trên [a, b], ngoại trừ số hữu hạn điểm, khả tích Hệ 1.3 Mọi hàm xác định và đơn điệu trên [a, b] khả tích Định lý 1.3 Một hàm f bị chặn trên [a, b] là khả tích và lim (S ∗ (f ; P ) − S∗ (f ; P )) = δ(P )→0 Giả sử P = {x0 , x1 , · · · , xn } là phân hoạch đoạn [a, b] Ta chọn tập các điểm T = {t1 , t2 , · · · , tn } với ti ∈ [xi−1 , xi ] và lập tổng S(f ; P, T ) = n X f (ti )(xi − xi−1 ) i=1 Hệ 1.4 Hàm f khả tích trên [a, b] và giới hạn sau tồn không phụ thuộc vào T : lim S(f ; P, T ) δ(P )→0 1.1.3 Tính chất tích phân xác định Định lý 1.4 Nếu f , g là các hàm khả tích trên đoạn [a, b] và λ là số thực thì các hàm f ± g, λ.f khả tích và ta có Z b Z b Z b a) (f (x) ± g(x))dx = f (x)dx ± g(x)dx; Z a b) a Z b a b λf (x)dx = λ f (x)dx a a Định lý 1.5 Cho hàm f bị chặn trên đoạn [a, b] và c ∈ (a, b) Lúc đó f khả tích trên [a, b] và f khả tích trên hai đoạn [a, c], [c, b], nữa, Z b Z c Z b f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx (1.2) a a c Thật ra, cách sử dụng (1.1), công thức (1.2) còn đúng với các vị trí khác a, b, c Lop12.net (7) Định lý 1.6 Giả sử f và g là các hàm khả tích trên đoạn [a, b] Lúc đó, Rb a) Nếu f ≥ thì a f (x)dx ≥ Rb Rb b) Nếu f ≥ g thì a f (x)dx ≥ a g(x)dx Hệ 1.5 Giả sử f khả tích trên [a, b] cho m ≤ f (x) ≤ M với x ∈ [a, b] Lúc đó Z b m(b − a) ≤ f (x)dx ≤ M (b − a) a Hệ 1.6 (Định lý giá trị trung bình) Giả sử f là hàm liên tục trên [a, b] Lúc đó tồn c ∈ (a, b) cho Z b f (x)dx = f (c)(b − a) a Định lý 1.7 Nếu f khả tích trên [a, b] thì |f | khả tích Lúc đó ¯Z b ¯ Z b ¯ ¯ ¯ ¯≤ f (x)dx |f (x)|dx ¯ ¯ a a 1.2 Cách tính tích phân xác định 1.2.1 Nguyên hàm - Công thức Newton Leibnitz Cho hàm f bị chặn, khả tích trên đoạn [a, b] Lúc đó, với t ∈ [a, b], f khả tích trên [a, t] Ta định nghĩa hàm Z t Φ(t) := f (x)dx, t ∈ [a, b] a Định lý sau cho ta thấy các tính chất quan trọng hàm Φ Định lý 1.8 a) Hàm Φ liên tục trên [a, b] b) Nếu f liên tục x0 ∈ [a, b] thì Φ khả vi điểm đó và Φ0 (x0 ) = f (x0 ), đây, x0 trùng với a b thì đạo hàm Φ hiểu là đạo hàm phía Ta định nghĩa nguyên hàm hàm f trên khoảng [a, b] là hàm F khả vi và có đạo hàm đúng f trên khoảng đó Dễ thấy f có nguyên hàm là F trên khoảng thì nó có vô số nguyên hàm trên khoảng đó; nữa, tất các nguyên hàm f có dạng F (x) + C, với C là số tuỳ ý Từ Định lý 1.8 ta nhận các hệ sau Lop12.net (8) Hệ 1.7 Mọi hàm liên tục trên khoảng (đóng mở) có nguyên hàm trên khoảng đó Hệ 1.8 (Công thức Newton-Leibnitz) Nếu f là hàm liên tục trên [a, b] và F là nguyên hàm f thì Z b ¯b ¯ f (x)dx = F (x)¯ := F (b) − F (a) a a Công thức Newton-Leibnitz có tiện lợi là cho chúng ta cách tính chính xác giá trị tích phân xác định hàm không cần thông qua phép tính giới hạn đoán nhận nguyên hàm nó Để minh hoạ cho điều đó ta xét ví dụ sau Ví dụ 1.2 Z 1.2.2 Z x dx = ; Z b e sin(x)dx = cos(a) − cos(b); a dx = x Phương pháp đổi biến số Định lý 1.9 Giả sử hàm x = ϕ(t) thoả mãn a) ϕ(t) có đạo hàm liên tục trên đoạn [α, β], b) ϕ(α) = a, ϕ(β) = b, ϕ(t) ∈ [a, b] với t ∈ [α, β] Khi đó, f liên tục trên [a, b] thì Z Z b β f (x)dx = a f [ϕ(t)]ϕ0 (t)dt α Ví dụ 1.3 Z π Z n cos (x)dx = π Đặc biệt, Z π 2 √ π cos ( − t)(−1)dt = Z π cos (x)dx = Z π − x2 dx = Z π n Z sin (x)dx = Z π 2 sinn (t)dt dx = Z q π 2 − sin (t)2 cos(t)dt = π cos2 (t)dt = π Định lý 1.10 Cho hàm f liên tục trên [a, b] và phép đổi biến t = ϕ(x) thoả mãn: a) ϕ đơn điệu và có đạo hàm liên tục trên đoạn [a, b], Lop12.net (9) b) Tồn hàm g liên tục trên ϕ([a, b]) cho f (x) = g(ϕ(x)).ϕ0 (x) với x ∈ [a, b] Lúc đó Z Z b ϕ(b) f (x)dx = a g(t)dt ϕ(a) Ví dụ 1.4 Với phép đổi biến t = sin(x), x ∈ [0, π2 ] ta Z π 1.2.3 cos(x) dx = + sin2 (x) Z ¯1 π dt ¯ = arctan(t) ¯ = + t2 Phương pháp tích phân phần Định lý 1.11 Nếu f và g là các hàm khả vi liên tục trên đoạn [a, b] thì Z Z b b f (x)g (x)dx = f (b)g(b) − f (a)g(a) − a Ví dụ 1.5 f (x)g(x)dx a Z e ¯e Z e ¯ ln(x)dx = x ln(x)¯ − x dx = x 1 1.3 Tích phân suy rộng 1.3.1 Tích phân suy rộng với cận vô hạn Giả sử f là hàm xác định trên khoảng [a, ∞) và khả tích trên khoảng hữu hạn [a, b] với b > a Lúc đó ta định nghĩa tích phân suy rộng hàm f trên khoảng [a, ∞) là giới hạn sau Z Z ∞ b f (x)dx := lim b→+∞ a f (x)dx (1.3) a R∞ Ta nói tích phân suy rộng a f (x)dx là hội tụ giới hạn (1.3) tồn hữu hạn, R∞ phân kỳ ngược lại, hội tụ tuyệt đối a |f (x)|dx hội tụ Tương tự ta có các định nghĩa hội tụ, phân kỳ, hội tụ tuyệt đối các tích phân suy rộng Z b Z b f (x)dx f (x)dx := lim Z a→−∞ −∞ Z ∞ f (x)dx := −∞ a Z ∞ f (x)dx + −∞ Lop12.net f (x)dx (10) Nếu F là hàm có giới hạn (có thể vô cùng) x → ∞ thì ta ký hiệu giới hạn này F (∞) Vậy F (∞) := lim F (x) x→∞ Từ định nghĩa, ta thấy F là nguyên hàm f trên khoảng [a, ∞) thì Z ∞ ¯∞ ¯ f (x)dx = F (∞) − F (a) = F (x)¯ a a Đẳng thức hiểu là vế trái tồn và vế phải vế phải tồn Ví dụ 1.6 Z ∞ ¯∞ ¯ dx = ln(x)¯ = ∞; x (1.4) Với α 6= −1, ta có Z ∞ ¯∞ ( α+1 ¯ ∞ x ¯ xα dx = ¯ = α + 1¯ − α+1 Z α > −1 α < −1 (1.5) ¯∞ π ¯ dx = arctan(x) ¯ = + x 0 Z ∞ ¯∞ ¯ cos(x)dx = sin(x)¯ ( không hội tụ) ∞ 0 Sau đây là số tiêu chuẩn hội tụ tích phân suy rộng Định lý 1.12 (Tiêu chuẩn Cauchy) Tích phân (1.3) hội tụ và ¯Z c ¯ ¯ ¯ ¯ ∀² > 0, ∃M > a, ∀b ≥ M ; ∀c ≥ M : ¯ f (x)dx¯¯ < ² b Hệ 1.9 Nếu tích phân ¯Z ¯ ¯ ¯ R∞ f (x)dx hội tụ tuyệt đối thì hội tụ Hơn ¯ Z ∞ ∞ ¯ f (x)dx¯¯ ≤ |f (x)|dx a a a Định lý 1.13 Cho f và g là các hàm có tích phân suy rộng hội tụ trên khoảng [a, ∞) Lúc đó, các hàm f ± g, λf (λ ∈ R) có tích phân suy rộng hội tụ trên khoảng đó Hơn nữa, Z ∞ Z ∞ Z ∞ (f (x) ± g(x))dx = f (x)dx ± g(x)dx, a a a Z ∞ Z ∞ λf (x)dx =λ f (x)dx a a Lop12.net (11) 10 Định lý 1.14 Cho f là hàm không âm trên [a, ∞), khả tích trên khoảng [a, b] R∞ Rb với b > a Lúc đó, a f (x)dx hội tụ và tập { a f (x)dx | b > a} bị chặn Hệ 1.10 Cho f , g là các là hàm khả tích trên khoảng R ∞ [a, b] với b > a Hơn nữa, f (x) ≥ g(x) ≥ với x ∈ [a, ∞) Lúc đó, a f (x)dx hội tụ thì R∞ g(x)dx hội tụ a Hệ 1.11 Cho f , g là các là hàm không âm, khả tích trên khoảng [a, b] với b > a Hơn nữa, tồn giới hạn f (x) ∈ (0, ∞) x→∞ g(x) R∞ R∞ Lúc đó, các tích phân a f (x)dx, a g(x)dx đồng thời hội tụ hay phân kỳ lim Định lý 1.15 Cho f là hàm không âm, đơn điệu giảm trên [1, ∞) Lúc đó, Z ∞ ∞ X f (x)dx và f (n) 1 đồng thời hội tụ phân kỳ Từ định lý này và từ (1.4)-(1.5) ta suy chuỗi số ∞ X nβ n=1 hội tụ và β > 1.3.2 Tích phân suy rộng với cận hữu hạn Giả sử f là hàm xác định trên khoảng bị chặn [a, b), khả tích trên khoảng [a, b − ²] với a < b − ² < b không bị chặn lân cận b (ta nói b là điểm bất thường f ) Lúc đó ta định nghĩa tích phân suy rộng hàm f trên khoảng [a, b] là giới hạn sau Z b−² Z b f (x)dx (1.6) f (x)dx := lim a ²→0+ a Rb Ta nói tích phân suy rộng a f (x)dx là hội tụ giới hạn (1.6) tồn hữu hạn, Rb phân kỳ ngược lại, hội tụ tuyệt đối a |f (x)|dx hội tụ Tương tự ta có các định nghĩa hội tụ, phân kỳ, hội tụ tuyệt đối các tích phân suy rộng trên [a, b] với a là điểm bất thường a và b bất thường: Z b Z b f (x)dx f (x)dx = lim ²→0+ a Lop12.net a+² (12) 11 Z Z b f (x)dx = a Z c b f (x)dx + a f (x)dx với c ∈ (a, b) c Trường hợp hàm f có điểm bất thường c ∈ (a, b) ta định nghĩa tích phân suy Rb Rc Rb rộng a f (x)dx là tổng hai tích phân suy rộng a f (x)dx và c f (x)dx Nếu F , nguyên hàm f trên khoảng (a, b), có giới hạn (có thể vô cùng) x → a (x → b) thì ta ký hiệu giới hạn này F (a) (F (b)) Với cách ký hiệu ta có công thức Newton-Leibnitz mở rộng: Z b ¯b ¯ f (x)dx = F (b) − F (a) = F (x)¯ a a Đẳng thức hiểu là vế trái tồn và vế phải vế phải tồn Ví dụ 1.7 Z √ ¯¯1 √ dx = x¯ x 0 Z ¯1 ¯ dx = − ln(1 − x)¯ 1−x Z0 ¯ dx ¯ √ = arcsin(x)¯ −1 1−x −1 Rb Định lý 1.16 Nếu tích phân a f (x)dx hội tụ tuyệt = 2, = +∞, = π đối thì hội tụ Hơn ¯Z b ¯ Z b ¯ ¯ ¯ f (x)dx¯¯ ≤ |f (x)|dx ¯ a a Định lý 1.17 Cho f là hàm không âm trên [a, b), khả tích trên khoảng [a, b − ²] Rb với a < b − ² < b Lúc đó, a f (x)dx hội tụ và tập hợp sau bị chặn R b−² { a f (x)dx | < ² < b − a} Hệ 1.12 Cho f , g là các là hàm khả tích trên khoảng [a, b − ²] với a < Rb b − ² < b Hơn nữa, f (x) ≥ g(x) ≥ với x ∈ [a, b) Lúc đó, a f (x)dx hội Rb tụ thì a g(x)dx hội tụ Hệ 1.13 Cho f , g là các là hàm không âm, khả tích trên khoảng [a, b − ²] với a < b − ² < b Hơn nữa, tồn giới hạn f (x) ∈ (0, ∞) x→b− g(x) lim Lúc đó, các tích phân Rb a f (x)dx, Rb a g(x)dx đồng thời hội tụ hay phân kỳ Lop12.net (13) 12 1.4 Ứng dụng tích phân xác định 1.4.1 Tính diện tích hình phẳng Diện tích hình phẳng giới hạn các đường y = f1 (x); y = f2 (x); x = a và x = b tính theo công thức sau: Z b S := |f2 (x) − f1 (x)|dx a 1.4.2 Tính độ dài đường cong phẳng Cho C là đường cong phẳng có phương trình tham số ( x = ϕ(t); t ∈ [α, β] y = ψ(t), Trong đó, ϕ và ψ là các hàm khả vi liên tục trên [α, β] Độ dài đường cong C lúc đó tính công thức sau: Z βp l(C) = ϕ0 (t)2 + ψ (t)2 dt α Trường hợp đường cong là đồ thị hàm y = f (x) trên đoạn [a, b] thì độ dài đường cong lúc đó là: Z bp l(C) = + f (x)2 dx a 1.4.3 Tính thể tích vật thể Công thức tổng quát Cho (T ) là vật thể không gian nằm gọn hai mặt phẳng x = a và x = b (a < b) Giả sử với t ∈ [a, b] mặt phẳng x = t cắt vật thể (T ) theo thiết diện có diện tích S(t) Nếu S(t) là hàm liên tục trên đoạn [a, b] thì thể tích vật thể (T ) tính công thức: Z b V (T ) = S(t)dt a Trường hợp vật thể tròn xoay Giả sử vật thể (T ) tạo thành quay hình phẳng D = {(x, y) | a ≤ x ≤ b; ≤ y ≤ f (x)} quanh trục Ox Lúc đó, với t ∈ [a, b] diện tích thiết diện là S(t) = πf (t)2 Do đó, f là hàm liên tục thì tích phân vật thể (T ) tính Z b V (T ) = π f (t)2 dt a Lop12.net (14) 13 1.4.4 Tính diện tích mặt tròn xoay Giả sử F là mặt tạo thành quay cung C = {(x, f (x)) | a ≤ x ≤ b} quanh trục Ox Lúc đó, cung C trơn, tức hàm f khả vi liên tục, diện tích mặt F tính công thức: Z b ¯ ¯p ¯f (x)¯ + f (x)dx S(F) = 2π a 1.5 Thực hành tính toán trên Maple 1.5.1 Xấp xỉ diện tích hình thang cong Trước thực hành các phép tính tích phân chúng ta nên trở lại khảo sát việc xấp xỉ diện tích hình thang cong tổng diện tích các hình chữ nhật Ta đã biết, f khả tích (và đặc biệt là liên tục) thì các phân hoạch cho xấp xỉ tốt Maple cho phép chúng ta dùng ba lệnh rightbox/leftbox/middlebox để minh hoạ việc xấp xỉ hàm f trên đoạn [a, b] Cụ thể, Cú pháp: [> rightbox(f(x), x=a b, n, ’shading’=m1, color=m2); (tương tự, leftbox, middlebox) Lệnh này minh hoạ việc xấp hình thang cong giới hạn các đường y = f (x), y = 0, x = a và x = b xấp xỉ gồm n hình chữ nhật có đáy (= (b − a)/n) và chiều cao hình giá trị hàm f mút phải đoạn (đối với leftbox là mút trái và middlebox là điểm giữa) m1 là màu tô các hình chữ nhật còn m2 là màu vẽ đường cong (điều này thấy trên màn hình, giáo trình này thấy màu đen) Mặc định n = Chú ý rằng, trước thực lệnh này cần khởi động gói lệnh student Ví dụ: [> with(student); [> leftbox(exp(x)-2*x∧2, x=-1 1, ’shading’=cyan, color=green); Kết cho Hình 4.1 [> middlebox(exp(x)-2*x∧2, x=-1 1, 10, ’shading’=red, color=blue); 1.5.2 Tính tích phân xác định Rb a f (x)dx Cú pháp: [> int(f(x), x=a b); (nếu dùng Int thì cho công thức hình thức) Ví dụ: [> int(x∧2, x=-1 2); Lop12.net (15) 14 0.5 0.2 0.4 x 0.6 0.8 –1 –0.8 –0.6 –0.4 –0.2 –0.5 –1 –1.5 Hình 1.1: Xấp xỉ tích phân xác định hình chữ nhật 0.5 0.2 0.4 x 0.6 0.8 –1 –0.8 –0.6 –0.4 –0.2 –0.5 –1 –1.5 Hình 1.2: Xấp xỉ tích phân xác định 10 hình chữ nhật [> int(sin(x)/x, x=0 2); Si(2) Điều này có nghĩa là máy đã định nghĩa hàm Si(t) = tính xem Si(2) bao nhiêu ta viết tiếp Rt sin(x) dx x Muốn [> evalf(%,20); 1.6054129768026948486 Lệnh này có nghĩa là hãy tính giá trị biểu thức vừa tính với độ chính xác 20 chữ số lẻ (nếu không định rõ độ chính xác, máy tính với 10 chữ số lẻ) Lưu ý là câu lệnh tính tích phân xác định trên dùng để tính các tích phân suy rộng Ví dụ: [> int(1/sqrt(x*(1-x)), x=0 1); π Lop12.net (16) 15 [> int(1/x∧2,x=1 infinity); [> int(1/x∧2,x=0 1); ∞ 1.5.3 Ứng dụng tích phân xác định a) Tính diện tích hình phẳng Để tính diện tích hình phẳng giới hạn các đường y = f (x), y = 0, x = a và x = b ta tính tích phân xác định trên đoạn [a, b] hàm |f (x)| (ký hiệu là abs(f(x)) Còn muốn tính diện tích hình phẳng giới hạn các đường y = f (x), y = g(x), x = a và x = b ta dùng lệnh [> int(abs(f(x)-g(x)), x=a b); b) Tính độ dài đường cong phẳng Cho đường cong C mặt phẳng có phương trình tham số: ( x = u(t), t ∈ [a, b] y = v(t), Ở đây, u và v là các hàm khả vi liên tục trên đoạn [a, b] Để tính độ dài C, trước tiên ta cần tính đạo hàm u, v, sau đó áp dụng công thức cho Mục 1.4.2 Cụ thể, ta thực ba lệnh [> f(t):=diff(u(t), t); [> g(t):=diff(v(t), t); [> int(sqrt(f(t)∧2+g(t)∧2), t=a b); c) Tính thể tích hình tròn xoay Cho hình phẳng S giới hạn các đường y = 0, y = f (x), x = a, x = b Hình phẳng này quay quanh trục Ox tạo nên vật thể tròn xoay T Ta có thể dùng công thức 4.4.3 để tính thể tích vật thể này Cụ thể, ta thực lệnh [> Pi*int(f(x)∧2,x=a b); Ví dụ: Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo quay cung parabol y = x2 −x, −2 ≤ x ≤ quanh trục Ox Ta dùng lệnh [> Pi*int((x∧2-x)∧2,x=-2 1); 171 π 10 d) Tính diện tích mặt tròn xoay Lop12.net (17) 16 Cho mặt tròn xoay F, tạo thành quay cung C = {(x, f (x)) | x ∈ [a, b]} quanh trục Ox Nếu f khả vi liên tục, ta dùng công thức 4.4.4 để tính diện tích F Cụ thể, ta thực hai lệnh: [> g(x):=diff(f(x), x); [> 2*Pi*int(abs(f(x))*sqrt(1+g(x)∧2), x=a b); Chẳng hạn, mặt cầu đơn vị là mặt tròn xoay tạo hàm f (x) = Ta viết √ − x2 [> f:=x->sqrt(1-x∧2): [> g(x):=diff(f(x),x): > 2*Pi*int(abs(f(x))*sqrt(1+g(x)∧2),x=-1 1); 4π 1.5.4 Tìm nguyên hàm hàm y = f (x) Ta đã biết hàm, khả tích, có vô số nguyên hàm, sai khác các số Vì cần biết nguyên hàm nào đó nó là đủ Maple cho phép tìm nguyên hàm hàm f (x) thông qua lệnh int Cú pháp: [> int(f(x), x); (Nếu dùng Int hiển thị công thức hình thức) 1.6 Bài tập 1.1 Giả sử Pn là phân hoạch đoạn [0, 1] Hãy tính các tổng Darboux S ∗ (f ; Pn ), S∗ (f ; Pn ) hàm f (x) = x2 và tính giới hạn các tổng này n → ∞ 1.2 Khảo sát tính khả tích các hàm số sau trên [0, 1]: ( ( x; x ∈ [0, 1] ∩ Q, x2 ; x ∈ [0, 1] ∩ Q, g(x) := ; f (x) := 1; x ∈ [0, 1] \ Q 0; x ∈ [0, 1] \ Q 1.3 Cho hàm f xác định ( |x2 − 1|; x ∈ [−3, −1] ∪ [1, 2], f (x) := 1; x ∈ (−1, 1) Hàm f có khả tích trên đoạn [−3, 2] hay không? 1.4 Cho hàm f xác định ( f (x) := |x|; x ∈ [−2, −1] ∪ [1, 2], 0; x ∈ (−1, 1) Hàm f có khả tích trên đoạn [−2, 2] hay không? Lop12.net (18) 17 1.5 Chứng minh tồn c ∈ [0, 2] cho Z c dx = 17 1+x 1.6 Chứng minh tồn c ∈ [2, 3] cho Z c 1 dx = − 26 1−x 1.7 Sử dụng Hệ 1.4 để tính các giới hạn sau lim n→∞ n X i=1 ; n+i lim n→∞ n X i=1 √ ; 4n2 − i2 1.8 Cho f liên tục, không âm trên [a, b] thoả lim n→∞ n X i=1 n2 + i2 Rb f (x)dx = Chứng minh f ≡ Rb 1.9 Giả sử f là hàm liên tục trên [a, b] (a < b) và a f (x)dx = Chứng minh tồn c ∈ (a, b) cho f (c) = R1 1.10 Cho hàm f khả vi liên tục trên đoạn [−1, 1] cho −1 f (x)dx = Chứng minh tồn c ∈ (−1, 1) cho f (c) = a 1.11 Giả sử f là hàm khả tích trên đoạn [a, b] và g là hàm khác f số hữu hạn điểm Chứng minh g khả tích 1.12 Chứng minh hàm xác định trên [a, b], có tập các điểm gián đoạn không quá đếm được, thì khả tích Riemann 1.13 Cho f và g là các hàm khả tích trên [a, b] cho g(x) ≥ và m ≤ f (x) ≤ M , với x ∈ [a, b] Chứng minh tồn µ ∈ [m, M ] và c ∈ [a, b] cho Z b Z b Z c Z b f (x)g(x)dx = µ g(x)dx = m g(x)dx + M g(x)dx a a 1.14 Cho f liên tục trên [0, 1] và |f (x)| ≤ f ≡ Rx a c f (t)dt với x ∈ [0, 1] Chứng minh 1.15 Tìm nguyên hàm các hàm sau + 3x2 sin(2x) 1 1 √ ; ; sin4 x; ; √ x ; ; 2 x (1 + 2x ) + cos x sin x cos x e −1 1+ 1−x 1.16 Tính đạo hàm các hàm số Z sin(x)+cos(x) F (x) := arctan(es + s2 + sin(s))ds; x ∈ R Z ln(x2 +1) G(x) := sin(3 arctan(t) − cos(t) + 5et )dt; Lop12.net x ∈ R (19) 18 1.17 Cho các hàm Z x3 F (x) := Z − cos t dt, t2 x3 G(x) := sin t dt t a) Chứng minh F , G là các hàm lẻ , xác định trên R b) Chứng minh F , G khả vi trên R và tính F , G0 c) F và G có phải là các hàm đơn điệu hay không? 1.18 Tính các tích phân xác định sau Z 16 √ √ dx; x+9+ x Z πp sin x − sin3 x dx; Z π dx; + sin x Z ln x √ x e e +1 dx ex + 1.19 Cho f là hàm số dương, liên tục trên [0, 1] Chứng minh ¶ µZ µZ ¶ f (x)dx dx ≥ f (x) 1.20 Khảo sát hội tụ và tính (nếu tồn tại) các tích phân suy rộng sau Z +∞ ln x dx; x µ ¶ Z +∞ tan dx; x Z Z +∞ e sin x dx; x2 ln2 x dx; x 1.21 Cho Z √ In := Z Z π − π2 sin x dx; cos3 x +∞ 1 dx; x −1 xn dx, − x2 Z Z +∞ 1 dx; x ln2 x dx − x2 n ∈ N a) Tính I0 , I1 b) Khảo sát hội tụ In c) Thiết lập mối quan hệ In và In−2 Từ đó, tính I2 , I3 , · · · 1.22 Tính các tích phân suy rộng Z Z π/2 π/2 ln(sin x)dx; 0 Lop12.net x dx; tan x Z arcsin x dx x (20) Chương DÃY HÀM VÀ CHUỖI HÀM 2.1 Dãy hàm 2.1.1 Các định nghĩa Cho E là tập R Dãy hàm trên E là họ đếm các hàm (fn )n xác định trên E Ta nói dãy hàm này hội tụ đơn giản (hay hội tụ điểm) đến hàm f trên E f (x) = lim fn (x); ∀x ∈ E n→∞ E Lúc đó, ta viết f = lim fn hay fn → f Như vậy: n→∞ E fn → f ⇐⇒ ∀x ∈ E, ∀² > 0, ∃n0 (², x) ∈ N, ∀n ≥ n0 : |fn (x) − f (x)| < ² Ví dụ 2.1 Dãy hàm: fn (x) := hội tụ đơn giản trên tập [0, ∞) đến hàm ( f (x) = nx nx + x = 0; x = Dãy hàm (fn ) gọi là hội tụ trên E đến hàm f và ký hiệu là E fn ⇒ f ∀² > 0, ∃n0 (²) ∈ N, ∀n ≥ n0 , ∀x ∈ E : |fn (x) − f (x)| < ² Rõ ràng, dãy hội tụ thì hội tụ Tuy điều ngược lại không đúng Thật vậy, ta có thẻ chứng minh dãy Ví dụ 2.1 không hội tụ trên [0, ∞) đến hàm f Định lý sau đây cho ta tiêu chuẩn để dãy hàm là hội tụ Lop12.net (21)