Gọi I là trung điểm của BC, hình chiếu vuông góc H của S lên mặt đáy ABC thỏa mãn: IA 2 IH , góc giữa SC và mặt đáy ABC bằng 60 0 .Hãy tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ [r]
(1)BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THAM KHẢO ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2013 Môn: TOÁN; Khối A Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian phát đề ĐỀ SỐ PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH(7 điểm) Câu I ( điểm) Cho hàm số y x (1 2m) x (2 m) x m (1) m là tham số Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số (1) với m=2 Tìm tham số m để đồ thị hàm số (1) có tiếp tuyến tạo với đường thẳng d: x y góc , biết cos 26 Câu II (2 điểm) 2x log 21 4 x Giải bất phương trình: sin x.2 cos x 1 cos x cos x cos x Giải phương trình: Câu III (1 điểm) Tính tích phân: I 1 x 1 2x dx Câu IV(1 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh A, AB a Gọi I là trung điểm BC, hình chiếu vuông góc H S lên mặt đáy (ABC) thỏa mãn: IA 2 IH , góc SC và mặt đáy (ABC) 60 Hãy tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ trung điểm K SB tới (SAH) Câu V(1 điểm) Cho x, y, z là ba số thực dương thay đổi và thỏa mãn: x y z xyz Hãy tìm giá trị lớn biểu thức: P x y z x yz y zx z xy PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm): Thí sinh chọn làm hai phần ( phần A phần B ) A Theo chương trình chuẩn: Câu VI.a (2 điểm) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC biết A(3;0), đường cao từ đỉnh B có phương trình x y , trung tuyến từ đỉnh C có phương trình: 2x-y-2=0 Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A(-1;1;0), B(0;0;-2) và C(1;1;1) Hãy viết phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm A và B, đồng thời khoảng cách từ C tới mặt phẳng (P) Câu VII.a (1 điểm) Cho khai triển: 1 x x x a a1 x a x a14 x 14 Hãy tìm giá trị a B Theo chương trình nâng cao: Câu VI.b (2 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC biết A(1;-1), B(2;1), diện tích 5,5 và trọng tâm G thuộc đường thẳng d: x y Tìm tọa độ đỉnh C 10 2.Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P) x y z ,đường thẳng d: x y 1 z 1 1 3 Gọi I là giao điểm d và (P) Viết phương trình đường thẳng nằm (P), vuông góc với d và cách I khoảng Câu VII.b (1 điểm) zi Giải phương trình ( ẩn z) trên tập số phức: i z Lop12.net (2) ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ ĐÁP ÁN –THANG ĐIỂM ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2010 MÔN:TOÁN, Khối A PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH Câu I(2đ) ý 1(1đ) Nội dung Điểm Khảo sát hàm số m = Khi m = 2, hàm số trở thành: y = x3 3x a) TXĐ: R b) SBT •Giới hạn: lim y ; lim y x +4 0,25 x •Chiều biến thiên: Có y’ = 3x2 6x; y’=0 x =0, x =2 x + y’ + + + y Hàm số ĐB trên các khoảng ( ; 0) và (2 ; +), nghịch biến trên (0 ; 2) •Hàm số đạt cực đại x = 0, yCĐ = y(0) = 4; Hàm số đạt cực tiểu x = 2, yCT = y(2) = c) Đồ thị: Qua (-1 ;0) Tâm đối xứng:I(1 ; 2) y 0,25 0,25 I 0,25 -1 2(1đ) x Tìm m Gọi k là hệ số góc tiếp tuyến d: có véctơ pháp tiếp tuyến có véctơ pháp n1 (k ;1) 0,5 n2 (1;1) k1 12k 26k 12 Ta có cos 26 k 1 k n1 n2 / / Yêu cầu bài toán thỏa mãn ít hai phương trình: y k1 (1) và y k (2) n1 n2 k 1 có nghiệm x 3 x 2(1 2m) x m 3 x 2(1 2m) x m có nghiệm / / có nghiệm 1 m ;m 8m 2m 1 m m m ; m 4m m 0,25 0,25 Lop12.net (3) II(2đ) 1(1đ) Giải bất phương trình log Bpt log 12 2x 40 4 x 2x 9 4 x 2x log x 2(1) 2x 3(2) 2 log 4 x 0,25 3x x 2x 16 8 x Giải (1): (1) 4 x x 16 x 17 x x 2x 4 x Giải (2): (2) 4 x 17 9x x 4 16 Vậy bất phương trình có tập nghiệm ; ; 17 2(1đ) 0,25 0,25 0,25 Giải PT lượng giác Pt sin x(2 cos x 1) (cos x cos x) (cos x 1) (2 cos x 1) sin x(2 cos x 1) 4 sin x cos x sin x (2 cos x 1) 0,5 (2 cos x 1)( sin x sin x 1) • sin x sin x sin x cos x 2 sin( x x ) 1 k 2 x k 2 (k Z ) • cos x x k 2 2 2 Vậy phương trình có nghiệm: x k 2 ; x k 2 và x k (k Z ) 3 III(1đ) 1(1đ) 0,25 0,25 Tính tích phân I 1 x 1 2x dx t 2t dx (t 1)dt và x •Đặt t x dt 2x dx Đổi cận x t 0,25 4 4 (t 2t 2)(t 1) t 3t 4t 2 •Ta có I = dt dt t dt 2 22 22 2 t t t t 0,5 Lop12.net (4) = t2 2 3t ln t 2 t = ln IV (1đ) 0,25 Tính thể tích và khoảng cách •Ta có S IA 2 IH H thuộc tia đối tia IA và IA = 2IH BC = AB 2a ; AI= a ; IH= IA a = 2 3a AH = AI + IH = 0,25 K A B I H C •Ta có HC AC AH AC AH cos 45 HC 2 Vì SH ( ABC ) SH HC tan 60 • VS ABC • a ( SC ; ( ABC )) SCH 60 a 15 1 a 15 a 15 S ABC SH (a ) 3 2 (1đ) 0,25 BI AH BI (SAH ) BI SH d ( K ; ( SAH )) SK 1 a d ( K ; ( SAH )) d ( B; ( SAH ) BI Ta có d ( B; ( SAH )) SB 2 2 V 0,25 0,25 Tim giá trị lớn P x y z x xy y zx z xy x y z Vì x; y; z , Áp dụng BĐT Côsi ta có: P = x yz y zx z xy P 0,25 Lop12.net (5) 2 yz zx xy 1 1 1 yz zx xy x y z y z z x x y xyz xyz 2 xyz xyz Dấu xảy x y z Vậy MaxP = 0,5 0,25 PHẦN TỰ CHỌN: Câu VIa(2đ) ý 1(1đ) Nội dung Viết phương trình đường tròn… KH: d : x y 0; d : x y20 Điểm 0,25 d1 có véctơ pháp tuyến n1 (1;1) và d có véctơ pháp tuyến n2 (1;1) n1 (1;1) phương trình AC: x y x y C AC d Tọa độ C là nghiệm hệ: C (1;4) 2 x y • AC qua điểm A( 3;0) và có véctơ phương xB yB ; ) ( M là trung điểm AB) 2 xB y B Ta có B thuộc d và M thuộc d nên ta có: B(1;0) yB x B • Gọi B( x B ; y B ) M ( 0,25 • Gọi phương trình đường tròn qua A, B, C có dạng: x y 2ax 2by c Thay tọa độ ba điểm A, B, C vào pt đường tròn ta có 6a c 9 a 1 b Pt đường tròn qua A, B, C là: 2a c 1 2a 8b c 17 c 3 0,5 x y x y Tâm I(1;-2) bán kính R = 2 2(1đ) Viết phương trình mặt phẳng (P) •Gọi n (a; b; c) O là véctơ pháp tuyến (P) Vì (P) qua A(-1 ;1 ;0) pt (P):a(x+1)+b(y-1)+cz=0 0,25 Mà (P) qua B(0;0;-2) a-b-2c=0 b = a-2c Ta có PT (P):ax+(a-2c)y+cz+2c =0 • d(C;(P)) = 3 2a c a (a 2c) c 2 2a 16ac 14c 0,5 Lop12.net (6) a c a 7c •TH1: a c ta chọn a c Pt (P): x-y+z+2=0 0,25 TH2: a 7c ta chọn a =7; c = Pt (P):7x+5y+z+2=0 VII.a (1 đ) Tìm hệ số khai triển (2 x 1) nên 4 1 x 10 ( x x 1) (1 x)14 (1 x)12 (1 x)10 16 16 14 6 • Trong khai triển 1 x hệ số x là: C14 • Ta có x x Trong khai triển 1 x 12 Trong khai triển 1 x 10 • Vậy hệ số a VI.b(2đ) 1(1đ) hệ số x là: C126 6 0,25 0,5 10 hệ số x là: C 0,25 6 6 C14 C12 C106 41748 16 16 Tìm tọa độ điểm C • Gọi tọa độ điểm x 31 C C ( xC ; y C ) G (1 xC y C ; ) Vì G thuộc d 3 yC y C 3 xC C ( xC ;3 xC 3) •Đường thẳng AB qua A và có véctơ phương 0,25 AB (1;2) ptAB : x y xC xC 11 11 11 AB.d (C ; AB) d (C ; AB) 2 5 xC 1 xC 11 xC 17 • S ABC xC 1 C (1;6) 17 17 36 TH2: xC C ( ; ) 5 • TH1: 2(1đ) 0,5 0,25 Viết phương trình đường thẳng • (P) có véc tơ pháp tuyến n( P ) (1;1;1) và d có véc tơ phương I d ( P ) I (1;2;4) .u (1;1;3) 0,25 • vì ( P); d có véc tơ phương u n( P ) ; u ( 4;2;2) 2(2;1;1) • Gọi H là hình chiếu I trên H mp (Q ) qua I và vuông góc Phương trình (Q): 2( x 1) ( y 2) ( z 4) 2 x y z Lop12.net (7) Gọi n d1 ( P) (Q) d1 có vécto phương (P) ; n( Q ) Ta có • x (0;3;3) 3(0;1;1) và d1 qua I ptd1 : y t z t 0,5 H d1 H (1;2 t ;4 t ) IH (0; t ; t ) t IH 2t t 3 x 1 y z 2 1 x 1 y 1 z 1 TH2: t 3 H (1;1;1) pt : 2 1 • TH1: t H (1;5;7) pt : VII.b 1đ 0,25 Giải phương trình trên tập số phức ĐK: z i zi ta có phương trình: w ( w 1)( w w 1) iz w w 1 i w w w w i zi • Với w 1 z iz 1 i z i 1 i • Với w (1 i ) z 3i z iz • Đặt w 0,5 0,5 1 i z i 1 i (1 i ) z 3i z iz Vậy pt có ba nghiệm z 0; z và z • Với w -Hết - Lop12.net (8) BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THAM KHẢO ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2013 Môn: TOÁN; Khối A Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian phát đề ĐỀ SỐ PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm): Câu I: (2 điểm) Cho hàm số y 2x (C) x 1 Khảo sát hàm số Tìm m để đường thẳng d: y = 2x + m cắt đồ thị (C) điểm phân biệt A, B cho AB = Câu II: (2 điểm) cos x cos 3x sin x cos x , (x R) Giải phương trình: x y x y y Giải hệ phương trình: (x, y R) x y Câu III: (1 điểm) Tính diện tích hình phẳng giới hạn các đường y e x ,trục hoành, x = ln3 và x = ln8 Câu IV: (1 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi ; hai đường chéo AC = 3a , BD = 2a và cắt O; hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Biết khoảng cách từ a điểm O đến mặt phẳng (SAB) , tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a x3 y3 x2 y Câu V: (1 điểm) Cho x,y R và x, y > Tìm giá trị nhỏ P ( x 1)( y 1) PHẦN RIÊNG (3 điểm) : Thí sinh làm hai phần ( phần A B) A Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a (2 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x2 + y2 - 2x - 2my + m2 - 24 = có tâm I và đường thẳng : mx + 4y = Tìm m biết đường thẳng cắt đường tròn (C) hai điểm phân biệt A,B thỏa mãn diện tích tam giác IAB 12 Lop12.net (9) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: x 1 y 1 z 1 ; 1 d2: x 1 y z 1 và mặt phẳng (P): x - y - 2z + = Viết phương trình chính tắc đường thẳng , 1 biết nằm trên mặt phẳng (P) và cắt hai đường thẳng d1 , d2 log2 x 2log x Câu VII.a (1 điểm) Giải bất phương trình 2 x 20 B Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b (2 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có phương trình cạnh AB: x - y - = 0, phương trình cạnh AC: x + 2y - = Biết trọng tâm tam giác G(3; 2) Viết phương trình cạnh BC x 1 y z Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : M(0 ; - ; và điểm 1 0) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M song song với đường thẳng đồng thời khoảng cách đường thẳng và mặt phẳng (P) 25 Câu VII.b (1 điểm) Giải phương trình nghiệm phức : z 6i z … Hết … Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh: ………………………………………………; Số báo danh: ……… ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC - NĂM: 2012 -2013 CÂU NỘI DUNG ĐIỂM Tập xác định D = R\- 1 Sự biến thiên: -Chiều biến thiên: y ' 0, x D ( x 1) 0,25 Hàm số nghịch biến trên các khoảng (- ; - 1) và (- ; + ) - Cực trị: Hàm số không có cực trị - Giới hạn vô cực, giới hạn vô cực và tiệm cận: I-1 (1 điểm) 2x 2x ; lim Đường thẳng y = là tiệm cận ngang x x x x 2x 2x lim ; lim Đường thẳng x = - là tiệm cận đứng x 1 x 1 x 1 x 1 lim -Bảng biến thiên: x - y’ -1 0,25 + + + + y 0,25 - Lop12.net (10) Đồ thị: -Đồ thị hàm số cắt trục Ox điểm (1;0) -Đồ thị hàm số cắt trục Oy điểm (0;- 2) - Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là giao điểm hai tiệm cận I(- 1; 2) y -1 y=2 0,25 O x -2 x= -1 I-2 (1 điểm) Phương trình hoành độ giao điểm: 2x2 + mx + m + = , (x≠ - 1) (1) d cắt (C) điểm phân biệt PT(1) có nghiệm phân biệt khác -1 m2 - 8m - 16 > (2) Gọi A(x1; 2x1 + m) , B(x2; 2x2 + m Ta có x1, x2 là nghiệm PT(1) m x1 x2 Theo ĐL Viét ta có x1 x2 m 0,25 0,25 0,25 AB2 = ( x1 x2 ) 4( x1 x2 ) ( x1 x2 ) x1 x2 m2 - 8m - 20 = 2 0,25 m = 10 , m = - ( Thỏa mãn (2)) KL: m = 10, m = - 10 Lop12.net (11) PT cos2x + cos8x + sinx = cos8x 1- 2sin2x + sinx = II-1 (1 điểm) sinx = v sin x x 0,25 0,25 k 2 ; x 0,25 k 2 ; x 7 k 2 , ( k Z ) 0,25 ĐK: x + y , x - y 0, y 0,25 PT(1) x x y y II-2 (1 điểm) y x (3) x2 y2 y x 5 y xy (4) 0,25 Từ PT(4) y = v 5y = 4x Với y = vào PT(2) ta có x = (Không thỏa mãn đk (3)) 0,25 x 2 x 3 x 1 4 KL: HPT có nghiệm ( x; y ) 1; 5 0,25 Với 5y = 4x vào PT(2) ta có ln Diện tích S e x 1dx ; Đặt t e x t e x e x t 0,25 ln III (1 điểm) Khi x = ln3 thì t = ; Khi x = ln8 thì t = 3; Ta có 2tdt = exdx dx Do đó S = 2t dt t 1 0,25 2t 2 dt dt t 1 t 0,25 t 1 3 2t ln t ln (đvdt) 0,25 2a ; BD = 2a và AC ,BD vuông góc với trung điểm O đường chéo.Ta có tam giác ABO vuông O và AO = a ; BO = a , đó A BD 600 Từ giả thiết AC = Hay tam giác ABD Từ giả thiết hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) nên giao tuyến chúng là SO (ABCD) 0,25 Do tam giác ABD nên với H là trung điểm AB, K là trung điểm HB ta có DH AB và DH = a ; OK // DH và OK a OK AB AB (SOK) DH 2 0,25 Gọi I là hình chiếu O lên SK ta có OI SK; AB OI OI (SAB) , hay OI là khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SAB) IV (1 điểm) 1 a SO 2 OI OK SO 2 Diện tích đáy S ABC D 4S ABO 2.OA.OB 3a ; a đường cao hình chóp SO Tam giác SOK vuông O, OI là đường cao S 0,25 Thể tích khối chóp S.ABCD: VS ABC D S ABC D SO 3a 3 I D O C A0,25 3a a H B K 11 Lop12.net (12) Đặt t = x + y ; t > Áp dụng BĐT 4xy (x + y)2 ta có xy P t2 0,25 t t xy (3t 2) t2 Do 3t - > và xy nên ta có xy t t (3t 2) t2 P t2 t2 t 1 t2 t 4t ; f '(t ) ; f’(t) = t = v t = Xét hàm số f (t ) t2 (t 2) 0,25 t3 t2 V (1 điểm) t f’(t) - + + + 0,25 + f(t) x y x xy y Do đó P = f (t ) = f(4) = đạt (2; ) 0,25 Đường tròn (C) có tâm I(1; m), bán kính R = 0,25 Gọi H là trung điểm dây cung AB Ta có IH là đường cao tam giác IAB IH = d ( I , ) VI.a -1 (1 điểm) | m 4m | m 16 AH IA2 IH 25 Diện tích tam giác IAB là SIAB | 5m | m 16 A (5m ) m 16 20 m 16 12 2S IAH 12 m 3 d ( I , ) AH 12 25 | m | 3( m 16) 16 m VI.a -2 (1 điểm) I 0,25 H B 0,25 0,25 Gọi A = d1(P) suy A(1; ; 2) ; B = d2 (P) suy B(2; 3; 1) 0,25 Đường thẳng thỏa mãn bài toán qua A và B 0,25 Một vectơ phương đường thẳng là u (1; 3; 1) x 1 y z Phương trình chính tắc đường thẳng là: 1 Điều kiện: x> ; BPT 24log2 x x 2log2 x 20 0,25 0,25 0,25 Đặt t log x Khi đó x t VII.a (1 điểm) BPT trở thành 42 t 22 t 20 Đặt y = 22 t ; y BPT trở thành y2 + y - 20 - y Đối chiếu điều kiện ta có : 22 t 2t t - t 2 0,25 0,25 Do đó - log x x2 0,25 12 Lop12.net (13) Tọa độ điểm A là nghiệm HPT: VI.b- (1 điểm) x - y - A(3; 1) x y - 0,25 Gọi B(b; b- 2) AB, C(5- 2c; c) AC 0,25 3 b 2c 1 b c Một vectơ phương cạnh BC là u BC ( 4; 1) Do G là trọng tâm tam giác ABC nên b Hay B(5; 3), C(1; 2) c Phương trình cạnh BC là: x - 4y + = 0,25 0,25 Giả sử n ( a; b; c ) là vectơ pháp tuyến mặt phẳng (P) Phương trình mặt phẳng (P): ax + by + cz + 2b = VI.b-2 (1 điểm) Đường thẳng qua điểm A(1; 3; 0) và có vectơ phương u (1;1; 4) n.u a b 4c (1) / /( P ) | a 5b | Từ giả thiết ta có 4 (2) d ( A; ( P )) 2 a b c 2 2 Thế b = - a - 4c vào (2) ta có ( a 5c ) (2a 17c 8ac ) a - 2ac 8c a a 4 v 2 c c a Với chọn a = 4, c = b = - Phương trình mặt phẳng (P): 4x - 8y + z - 16 = c a Với 2 chọn a = 2, c = - b = Phương trình mặt phẳng (P): 2x + 2y - z + = c Giả sử z = a +bi với ; a,b R và a,b không đồng thời Khi đó z a bi VII.b (1 điểm) ; 1 a bi z a bi a b2 25 25( a bi ) 6i a bi 6i z a b2 2 2 a ( a b 25) 8( a b ) (1) Lấy (1) chia (2) theo vế ta có b a vào (1) 2 2 b( a b 25) 6( a b ) (2) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Khi đó phương trình z 0,25 Ta có a = v a = Với a = b = ( Loại) Với a = b = Ta có số phức z = + 3i 0,25 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THAM KHẢO ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2013 Môn: TOÁN; Khối A Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian phát đề ĐỀ SỐ I.Phần chung cho tất thí sinh (7 điểm) Câu I (2 điểm) Cho hàm số y 2x có đồ thị là (C) x2 13 Lop12.net (14) 1.Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 2.Chứng minh đường thẳng d: y = -x + m luôn luôn cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt A, B Tìm m để đoạn AB có độ dài nhỏ Câu II (2 điểm) 1.Giải phương trình 9sinx + 6cosx – 3sin2x + cos2x = log 22 x log x (log x 3) dx Câu III (1 điểm) Tìm nguyên hàm I sin x cos x 2.Giải bất phương trình Câu IV (1 điểm) Cho lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 có tất các cạnh a, góc tạo cạnh bên và mặt phẳng đáy 300 Hình chiếu H điểm A trên mặt phẳng (A1B1C1) thuộc đường thẳng B1C1 Tính khoảng cách hai đường thẳng AA1 và B1C1 theo a Câu V (1 điểm) Cho a, b, c và a b c Tìm giá trị nhỏ biểu thức a3 b3 c3 P b2 c2 a2 II.Phần riêng (3 điểm) 1.Theo chương trình chuẩn Câu VIa (2 điểm) 1.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn (C) có phương trình (x-1)2 + (y+2)2 = và đường thẳng d: x + y + m = Tìm m để trên đường thẳng d có điểm A mà từ đó kẻ hai tiếp tuyến AB, AC tới đường tròn (C) (B, C là hai tiếp điểm) cho tam giác ABC vuông 2.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(10; 2; -1) và đường thẳng d có phương trình x 2t y t Lập phương trình mặt phẳng (P) qua A, song song với d và khoảng cách từ d tới (P) là lớn z 3t Câu VIIa (1 điểm) Có bao nhiêu số tự nhiên có chữ số khác và khác mà số luôn luôn có mặt hai chữ số chẵn và hai chữ số lẻ 2.Theo chương trình nâng cao (3 điểm) Câu VIb (2 điểm) 1.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn (C): x2 + y2 - 2x + 4y - = và đường thẳng d có phương trình x + y + m = Tìm m để trên đường thẳng d có điểm A mà từ đó kẻ hai tiếp tuyến AB, AC tới đường tròn (C) (B, C là hai tiếp điểm) cho tam giác ABC vuông 2.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(10; 2; -1) và đường thẳng d có phương trình x 1 y z 1 Lập phương trình mặt phẳng (P) qua A, song song với d và khoảng cách từ d tới (P) là lớn Câu VIIb (1 điểm) Có bao nhiêu số tự nhiên có chữ số khác mà số luôn luôn có mặt hai chữ số chẵn và ba chữ số lẻ -HếtĐÁP ÁN ĐỀ SỐ ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN KHỐI A – MÔN TOÁN I.Phần dành cho tất các thí sính Câu Đáp án Điểm (1,25 điểm) I 14 Lop12.net (15) (2 điểm) a.TXĐ: D = R\{-2} b.Chiều biến thiên +Giới hạn: lim y lim y 2; lim y ; lim y x x x 2 x 2 0,5 Suy đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = -2 và tiệm cận ngang là y = + y' x D ( x 2) 0,25 Suy hàm số đồng biến trên khoảng ( ;2) và ( 2;) +Bảng biến thiên x y’ y -2 + + 0,25 c.Đồ thị: Đồ thị cắt các trục Oy điểm (0; 1 ) và cắt trục Ox điểm( ;0) 2 Đồ thị nhận điểm (-2;2) làm tâm đối xứng 0,25 y x -2 O (0,75 điểm) Hoành độ giao điểm đồ thị (C ) và đường thẳng d là nghiệm phương trình x 2 2x x m x2 x (4 m) x 2m (1) Do (1) có m va ( 2) ( m).(2) 2m 3 m nên đường thẳng d luôn luôn cắt đồ thị (C ) hai điểm phân biệt A, B Ta có yA = m – xA; yB = m – xB nên AB2 = (xA – xB)2 + (yA – yB)2 = 2(m2 + 12) suy AB ngắn 0,25 nhỏ m = Khi đó AB 24 (1 điểm) Phương trình đã cho tương đương với 9sinx + 6cosx – 6sinx.cosx + – 2sin2x = 6cosx(1 – sinx) – (2sin2x – 9sinx + 7) = 6cosx(1 – sinx) – (sinx – 1)(2sinx – 7) = (1-sinx)(6cosx + 2sinx – 7) = 0,5 AB2 II (2 điểm) 0,5 0,25 1 sin x 6 cos x sin x (VN ) x 0,25 k 2 (1 điểm) ĐK: x 2 log x log x 15 Lop12.net (16) Bất phương trình đã cho tương đương với đặt log 22 x log x (log x 3) (1) t = log2x, BPT (1) t 2t (t 3) (t 3)(t 1) (t 3) t 1 log x 1 t 1 t 3 t 3 log x (t 1)(t 3) 5(t 3) x Vậy BPT đã cho có tập nghiệm là: (0; ] (8;16) 8 x 16 III điểm 0,5 I 0,25 dx dx 8 3 sin x cos x cos x sin x cos x 0,5 đặt tanx = t dx 2t ; sin x cos x 1 t2 dt (t 1) I 8 dt 2t t3 ( ) 1 t2 t 3t 3t dt t3 3 (t 3t t 3 )dt tan x tan x ln tan x C t 2 tan x dt Câu IV điểm Do 0,5 AH ( A1 B1C1 ) nên góc AA1 H là góc AA1 và (A1B1C1), theo giả thiết thì góc AA1 H 300 Xét tam giác vuông AHA1 có AA1 = a, góc AA1 H =300 A1 H Do tam giác A1B1C1 là tam giác cạnh a, H thuộc B1C1 và A1 H với B1C1 Mặt khác AH B1C1 nên B1C1 ( AA1 H ) a a nên A1H vuông góc A 0,5 B C K A1 C H B1 Kẻ đường cao HK tam giác AA1H thì HK chính là khoảng cách AA1 và B1C1 0,25 16 Lop12.net (17) A1 H AH a AA1 Ta có AA1.HK = A1H.AH HK Câu V điểm a3 Ta có: P + = P 1 b b2 a 1 b2 b3 1 c a c2 2 1 b2 c3 1 a a2 b3 b2 c2 1 b2 4 2 c2 c2 a6 b6 c6 1 a2 33 33 33 16 16 16 2 1 a2 1 a2 3 P (a b c ) 2 23 2 c3 c2 0,25 0,5 3 P 2 2 2 2 0,5 Để PMin a = b = c = PhÇn riªng 1.Ban c¬ b¶n C©u VIa ®iÓm 1.( ®iÓm) Từ phương trình chính tắc đường tròn ta có tâm I(1;-2), R = 3, từ A kẻ tiếp tuyến AB, AC tíi ®êng trßn vµ AB AC => tø gi¸c ABIC lµ h×nh vu«ng c¹nh b»ng IA 0,5 m 1 m 5 m 1 m 0,5 (1 điểm) Gọi H là hình chiếu A trên d, mặt phẳng (P) qua A và (P)//d, đó khoảng cách d và (P) là khoảng cách từ H đến (P) Giả sử điểm I là hình chiếu H lên (P), ta có AH HI => HI lớn A I 0,5 Vậy (P) cần tìm là mặt phẳng qua A và nhận AH làm véc tơ pháp tuyến H d H (1 2t ; t ;1 3t ) vì H là hình chiếu A trên d nên AH d AH u (u (2;1;3) là véc tơ phương d) 0,5 H (3;1;4) AH (7;1;5) Vậy (P): 7(x – 10) + (y – 2) – 5(z + 1) = 7x + y -5z -77 = Câu VIIa điểm Từ giả thiết bài toán ta thấy có C 42 cách chọn chữ số chẵn (vì không có số 0)và C 52 10 cách 0,5 chọn chữ số lẽ => có C C = 60 số thỏa mãn bài toán Mỗi số có 4! số thành lập Vậy có tất C 42 C 52 4! = 1440 số 0,5 2.Ban n©ng cao C©u VIa ®iÓm 1.( ®iÓm) Từ phương trình chính tắc đường tròn ta có tâm I(1;-2), R = 3, từ A kẻ tiếp tuyến AB, AC tới AB AC => tø gi¸c ABIC lµ h×nh vu«ng c¹nh b»ng IA m 1 m 5 m 1 m ®êng trßn vµ 0,5 0,5 (1 điểm) 17 Lop12.net (18) Gọi H là hình chiếu A trên d, mặt phẳng (P) qua A và (P)//d, đó khoảng cách d và (P) là khoảng cách từ H đến (P) Giả sử điểm I là hình chiếu H lên (P), ta có AH HI => HI lớn A I 0,5 Vậy (P) cần tìm là mặt phẳng qua A và nhận AH làm véc tơ pháp tuyến H d H (1 2t ; t ;1 3t ) vì H là hình chiếu A trên d nên AH d AH u (u (2;1;3) là véc tơ phương d) H (3;1;4) AH (7;1;5) 0,5 Vậy (P): 7(x – 10) + (y – 2) – 5(z + 1) = 7x + y -5z -77 = Câu VIIa điểm Từ giả thiết bài toán ta thấy có C 10 cách chọn chữ số chẵn (kể số có chữ số đứng đầu) và 0,5 C 53 =10 cách chọn chữ số lẽ => có C 52 C 53 = 100 số chọn Mỗi số có 5! số thành lập => có tất C C 5! = 12000 số 0,5 Mặt khác số các số lập trên mà có chữ số đứng đầu là C C 4! 960 Vậy có tất 12000 – 960 = 11040 số thỏa mãn bài toán BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THAM KHẢO ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2013 Môn: TOÁN; Khối A Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian phát đề ĐỀ SỐ PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7.0 điểm) Câu I (2.0 điểm) Cho hàm số y = (C) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C), biết khoảng cách từ tâm đối xứng đồ thị (C) đến tiếp tuyến là lớn Câu II (2.0 điểm) Giải phương trình 2cos6x+2cos4x- 3cos2x = sin2x+ 2 x x y 2 Giải hệ phương trình y y x y 2 Câu III (1.0 điểm) Tính tích phân (x sin x3 x )dx 1 x Câu IV (1.0 điểm) Cho x, y, z là các số thực dương lớn và thoả mãn điều kiện 1 2 x y z Tìm giá trị lớn biểu thức A = (x - 1)(y - 1)(z - 1) Câu V (1.0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thoi SA = x (0 < x < ) các cạnh còn lại Tính thể tích hình chóp S.ABCD theo x PHẦN RIÊNG ( 3.0 điểm) Thí sinh làm hai phần A B A Theo chương trình nâng cao 18 Lop12.net (19) Câu VIa (2.0 điểm) 1 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai đường thẳng (d1) : 4x - 3y - 12 = và (d2): 4x + 3y - 12 = Tìm toạ độ tâm và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác có cạnh nằm trên (d1), (d2), trục Oy Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh Gọi M là trung điểm đoạn AD, N là tâm hình vuông CC’D’D Tính bán kính mặt cầu qua các điểm B, C’, M, N log ( x 1) log ( x 1)3 0 Câu VIIa (1.0 điểm) Giải bất phương trình x2 5x B Theo chương trình chuẩn Câu VIb (2.0 điểm) Cho điểm A(-1 ;0), B(1 ;2) và đường thẳng (d): x - y - = Lập phương trình đường tròn qua điểm A, B và tiếp xúc với đường thẳng (d) Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho điểm A(1 ;0 ; 1), B(2 ; ; 2) và mặt phẳng (Q): x + 2y + 3z + = Lập phương trình mặt phẳng (P) qua A, B và vuông góc với (Q) Câu VIIb (1.0 điểm) Giải phương trình Cxx 2Cxx 1 Cxx Cx2x23 ( Cnk là tổ hợp chập k n phần tử) HẾT Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh số báo danh ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7.0 điểm) CÂU Câu I (2.0đ) (1.0đ) NỘI DUNG THANG ĐIỂM 0.25 TXĐ : D = R\{1} Chiều biến thiên lim f ( x) lim f ( x) nên y = là tiệm cận ngang đồ thị hàm số x 0.25 x lim f ( x) , lim nên x = là tiệm cận đứng đồ thị hàm số x 1 x 1 0 y’ = ( x 1) Bảng biến thiên x - 0.25 + - y' - + y - Hàm số nghịc biến trên ( ;1) và (1; ) Hàm số không có cực trị Đồ thị.(tự vẽ) Giao điểm đồ thị với trục Ox là (0 ;0) Vẽ đồ thị Nhận xét : Đồ thị nhận giao điểm đường tiệm cận I(1 ;1) làm tâm đối xứng 0.25 19 Lop12.net (20) 2.(1.0đ) Giả sử M(x0 ; y0) thuộc (C) mà tiếp tuyến với đồ thị đó có khoảng cách từ tâm đối xứng đến tiếp tuyến là lớn Phương trình tiếp tuyến M có dạng : y 0.25 x ( x x0 ) ( x0 1) x0 x02 x y 0 ( x0 1) ( x0 1) Ta có d(I ;tt) = ( x0 1) 1 Xét hàm số f(t) = 0.25 x0 2t (t 0) ta có f’(t) = 1 t4 f’(t) = t = Bảng biến thiên từ bảng biến thiên ta c d(I ;tt) lớn và t = hay x0 x0 x0 (1 t )(1 t )(1 t ) (1 t ) t 0.25 x f'(t) + 2.(1.0đ) 4cos5xcosx = 2sinxcosx + - f(t) + Với x0 = ta có tiếp tuyến là y = -x + Với x0 = ta có tiếp tuyến là y = -x+4 Câu II(2.0đ) (1.0đ) + 0.25 0.25 cos2x cos x=0 2cos5x =sinx+ cos x 0.25 cos x cos5x=cos(x- ) 0.25 x k k x 24 x k 2 42 ĐK : y 0.25 0.5 20 Lop12.net (21)