1. Trang chủ
  2. » Cao đẳng - Đại học

Phương pháp tích phân từng phần - Giáo viên: Nguyễn Thành Long

20 12 0

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 20
Dung lượng 1,13 MB

Nội dung

Phương pháp 1: Sử dụng các phép biến đổi đại số, các công thức đại số, lượng giác đưa về các dạng trên và tính tích phân một lần Bài tập giải mẫu: 1... Giáo viên: Nguyễn Thành Long..[r]

(1)Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 0973 329 800 or 01694 013 498 PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN I Công thức tích phân phần: Cho hai hàm số u ( x ), v( x) liên tục và có đạo hàm trên đoạn [a; b] Ta có  uv  ' '  u ' v  uv '   uv  dx  u ' vdx  uv' dx b b b  d  uv   vdu  udv   d (uv)   vdu   udv a  uv b a b b a a b   vdu   udv   udv  uv a a b a a b b   vdu a b b Ta có công thức:  udv  uv a   vdu (1) a a Công thức (1) còn viết dạng: b b  a b f ( x) g ' ( x)dx  f ( x) g ( x) a   f ' ( x) g ( x)dx (2) a II Phương pháp giải toán: b Bài toán: Sử dụng CT.TPTP xác định: I =  f ( x)dx a Phương pháp chung: Cách 1: b Bước 1: Biến đổi TP dạng: I = b  f ( x) dx = a u  f1 ( x) du Bước 2: Đặt:   dv  f ( x)dx v b  f ( x) f ( x)dx a (Chọn C  ) b Bước 3: Khi đó: I =  udv  uv ba   vdu (công thức (1)) a a Chú ý: Việc đặt u  f ( x), dv  g ( x)dx (hoặc ngược lại) cho dễ tìm nguyên hàm v( x) và vi phân du  u ' ( x)dx b không quá phức tạp Hơn nữa, tích phân  vdu phải tính a Cách 2: b Hoặc: phân tích  a b f1 ( x) f ( x)dx   f1 ( x) f ' ( x)dx và sử dụng trực tiếp công thức (2) a Các dạng toán thường gặp: Pn  x   Dạng 1: Tính tích phân: I    cos  ax  b  dx u  Pn  x   Đặt:   dv  cos  ax  b  dx  Pn  x   Dạng 2: Tính tích phân: I    sin  ax  b  dx -“ Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình “ Lop12.net (2) Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 0973 329 800 or 01694 013 498 u  Pn  x   Đặt:   dv  sin  ax  b  dx    Dạng 3: Tính tích phân: I   Pn  x  ln  ax  b  dx I   Pn  x  log m  ax  b  dx    ln  ax  b  u   Đặt:  log m  ax  b    dv  P  x  dx  TQ 1: I   Pn  x  ln m  ax  b  dx  ln  f  x   dx Pn  x     TQ 2: I   Pn  x  ln  f  x   dx I    u  ln  f  x   Đặt:   Trong đó Pn  x  là đa thức hàm lượng giác sin  ax  b       cos  ax  b   Dạng 4: Tính tích phân: I   Pn  x    dx ax  b e     a bx  c  u  Pn  x   sin  ax  b       Đặt:  cos  ax  b    dv   ax b  dx e      a bx  c    TQ: I   Pn  x  f  e x  dx  e ax b   ax b  sin  ax  b   Dạng 5: Tính tích phân: I   c  dx   cos  ax  b       ln  ax  b     ln  ax  b       cos  ax  b   dx Dạng 6: Tính tích phân: I   e ax b      ax  b  c    sin  ax  b    -“ Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình “ Lop12.net (3) Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 0973 329 800 or 01694 013 498  l n  ax  b    axb u   e   c ax b    Đặt:      cos  ax  b      dx  dv         sin  ax  b    Dạng 7: Tính tích phân: I   Pn  x  f  x  m dx với f  x    ax  b  ; e ax b ; r  ax  b  m u  P  x   Đặt:  dx  dv  f  x   sin  ln x     cos ln x     Dạng 8: Tính tích phân  x k   dx sin log x   a   cos  log x   a    sin  ln x        cos  ln x   u    Đặt:  sin  log a x     cos  log x   a     dv  x k dx  CÁC PHƯƠNG PHÁP CHÍNH: Phương pháp 1: Sử dụng các phép biến đổi đại số, các công thức đại số, lượng giác đưa các dạng trên và tính tích phân lần Bài tập giải mẫu: Bài 1: Tính tích phân sau: I   xe x dx Giải: Cách 1: u  x du  dx Đặt:  (chọn C  )  x x  dv  e dx v  e 1   xe x dx  xe x   e x dx  ( x  1)e x 0  Cách 2: 1 / 1 x x x / x x  xe dx   x  e  dx  xe   x e dx  ( x  1)e 0  Vậy I  e Bài 2: Tính tích phân sau: I   x ln xdx Giải: -“ Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình “ Lop12.net (4) Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 0973 329 800 or 01694 013 498 Cách 1: dx  du   u  ln x  x Đặt    dv  xdx v  x  e e e x2 e2    x ln xdx  ln x   xdx  2 1 Cách 2: e e / e e  x2  x2 e2  x ln xdx  ln x dx  ln x  xdx  1 1   2 1 e2  Vậy I   Bài 3: Tính tích phân I   e x sin xdx Giải: Cách 1: u  sin x du  cos xdx Đặt   x x  dv  e dx v  e   I   e x sin xdx  e x sin x      e x cos xdx  e  J 0 u  cos x du   sin xdx Đặt   x x  dv  e dx v  e     J   e x cos xdx  e x cos x   e x sin xdx  1  I 0    I  e  ( 1  I )  I  e 1 Cách 2:  I   sin x  e x /  dx  e x sin x     /   e x cos xdx  e   cos x  e x  dx 0       x  x  e  e cos x   e sin xdx   I  e   1  I  0     e2 1 Vậy I   Bài 4: Tính tích phân sau: I   cosx ln  sin x  dx  -“ Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình “ Lop12.net (5) Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 0973 329 800 or 01694 013 498 cosx  dx u  ln  sin x  du  Đặt:   sin x  dv  cosdx v  sin x Áp dụng công thức tính tích phân phần:    2 I   cosx ln  sin x  dx  sin x ln  sin x    cosxdx  in x ln  sin x     6    sin x     ln  1  xdx sin x Bài 6: Tính tích phân sau: I    Giải: u  x  du  dx  Đặt  dx   v   cot x  dv  sin x Áp dụng công thức tính tích phân phần    3 xdx  I     x cot x   cot xdx    ln sin x   3  sin x 4  3  94   ln  36 2   Bài 1: Tính tích phân sau: I   (2 x  1)e x dx Giải: u  x  du  2dx Đặt   x x  dv  e dx v  e I  (2 x  1)e x 1   2e x dx  3e   2e x  3e   (2e  2)  e  Cách 2: ' ' I   (2 x  1)e x dx    x  1  e x  dx (2 x  1)e x    x  1 e x dx  Bài 2: Tính tích phân sau: I   ( x  2)e2 x dx Giải:  du  2dx u  x   Đặt   2x 2x  dv  e dx v  e  1 e2 I  ( x  2)e2 x 10   ( e x ) dx     e2 x 2 ln x Bài 3: Tính tích phân sau: I   dx x Giải: dx  du  u  ln x    x Đặt   dx 2 1  dv  x  x dx v  x   1 x   e2 e2  3e 1 (  )  4 -“ Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình “ Lop12.net (6) Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 0973 329 800 or 01694 013 498 dx 2 dx 1 I   ln x   ( )   ln     ln   x 2 dx x 1 x x x 2 1 x 12 1   ln    ln    ln  1 x1 2 Bài 4: Tính tích phân sau: I   (2 x  1) ln xdx Giải: dx  u  ln x  du  Đặt   x  dv  (2 x  1)dx v  x  x  2 x  x  x2  I  ( x  x) ln x 12   dx  2ln   ( x  1)dx  2ln    x  1 x   Bài tập hướng dẫn: Bài 1: Tính tích phân sau:   ln   x 14 x  I dx   dx   ln 2  cos x cos x HD:  Ta có I      x 1   dx   xd (tgx)  ( xtgx   tgxdx)  (  ln cos x 04 )   ln 2 20 2 cos x  Bài 2: (ĐH TK1 – B 2003) Tính tích phân sau:  I e  2x x e 1 dx   e x e x x dx  e 1 20 HD: ln Ta có: I   e x d ( e x  1)  e x e x  ln ln =16   ln ln ln ln   e x e x  1dx ln ln 20 e  1d ( e  1)  16  (e x  1) e x   3 ln x x ln Bài 3: Tính tích phân sau: I  x.e x dx ex  1 ln  x  1 Bài 4: Tính tích phân sau: I   dx   ln  ln 3  x  2  ln   x x Bài 5: Tính tích phân sau: I   dx   dx  sin x 0  sin x  cos x    12 Bài 6: Tính tích phân sau: I   x.sin x cos xdx   x  sin x  sin x dx   20  xdx  sin x Bài 7: Tính tích phân sau: I   -“ Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình “ Lop12.net (7) Giáo viên: Nguyễn Thành Long Cách 1: Đặt t  DĐ: 0973 329 800 or 01694 013 498  x   Cách 2: Biến đổi  sin x   cos(2 x  )  cos ( x  ) , tích phân phần  x dx cos x Bài 8: Tính tích phân sau: I   Giải: u  x du  dx  Đặt:  dx   v  tan x  dv  co s x Áp dụng công thức tính tích phân phần:       3 x  sin x  3 d  cosx    I  dx  x tan x   tan xdx   dx     ln cosx   ln 2 cos x cosx cosx 3 0 0 0 Phương Pháp 2: Sử dụng các phép biến đổi đại số, các công thức đại số, lượng giác đưa các dạng trên và tích phân phần nhiều lần Bài tập giải mẫu: Bài 1: Tính tích phân sau: 1 I   x sin 2 x.dx   4 Giải: 1 1  cos2 x 1 I   x sin 2 xdx   x dx   x dx   x cos2 x.dx 20 20 0 x3    4  x d (sin2 x)  1  x sin2 x  2 xsin2 x.dx 4   1 1 1  1 1    xd (cos2 x)    x cos2 x   cos2 xdx     sin(2 x)   4 4  0 4 8  4 Bài 3: Tính tích phân sau: I   xe x dx Đặt t  x  dt  dx  dx  2tdt x 1  t1   t1 t  t t Suy I   t e dt   t e   te dt   2e   te   e dt    e   0 0      e2 Bài 4: Tính tích phân sau: I   cos (ln x)dx Giải: Ta có: I  Đặt J   e2   e2 e2 2 1  cos(2ln x ) dx  (e  1)    1 2  cos(2lnx)dx  x cos(2 ln x)  e2  e2   cos(2lnx)dx  sin(2lnx)dx -“ Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình “ Lop12.net (8) Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 0973 329 800 or 01694 013 498  e2    e2   (e  1)  x sin(2 ln x)   cos(2lnx)dx   (e  1)  J 2     1 1 Suy ra: J   (e  1)  I  (e  1)  (e  1)  (2e  3) 10 10 Bài tập tự giải: Bài 1: Tính tích phân sau: I   e2 e2  cos  ln x  dx  1   2   c os ln x  dx     2e    1  5  Bài 2: Tính I   x e x dx HD: du  xdx u  x Đặt:   x x  dv  e dx v  e Áp dụng công thức tính tích phân phần: I   x e x dx  x e x 1   xe x dx  e   xe x dx 0 Tiếp tục tính: J   xe x dx u  x  du  dx Đặt   x x  dv  e dx v  e Áp dụng công thức tính tích phân phần: 1 J   xe x dx  xe x   xe x dx  0 Vậy I  e  Phương pháp 3: Sử dụng các phép biến đổi đại số, các công thức đại số, lượng giác đưa các dạng trên và tính tích phân xuất lại tích phân ban đầu Bài tập giải mẫu:  Bài 1: Tính tích phân: I   e x sin xdx Giải: u  sin x du  cos xdx Đặt   x x  dv  e dx v  e   I   e x sin xdx  e x sin x      e x cos xdx  e  J 0 u  cos x du   sin xdx Đặt   x x  dv  e dx v  e   J   e x cos xdx  e x cos x  0   I  e  ( 1  I )  I     e x sin xdx  1  I  e 1 -“ Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình “ Lop12.net (9) Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 0973 329 800 or 01694 013 498  Bài 1: Tính tích phân sau: I   cos3 x cos3 x.dx   HD:   I   cos3 x cos3 x.dx  cos3 xd (sin3x)  30     1   cos x sin x  3 cos x sin x sin3 x.dx    cos x sinx sin3x.dx 3      1 cos x(cos2 x  cos4x) dx   cos x cos2 xdx   cos x cos4x) dx  20 20 20     1   (1  cos 2x) cos2 xdx   cos x(cos3 xcos x  sin3 x sin x)dx 40 20  1   (1  cos 2x) cos2 xdx   cos3 x cos3 x.dx   cos x sin x sin3 x.dx 40 20 20    1 1   (1  cos 2x) cos2 xdx – I  I   cos2 xdx   (1  cos4x)dx 40 2 40 80      sin2 x   sin8 x  8 32 0 Bài 2: Tính tích phân sau: I   e x sin 2 x.dx  2 (e  1)  4 HD: x x 1 Ta có: I   sin  x.de  e sin  x   2 sin x cos x.e dx    sin 2 x.de x 2 x 0 x x 1 x x J   sin 2 x.de  e sin2 x  2  cos 2 x.de  2 e cos2 x  4 0 0 x  e sin2 xdx 2 (1  e) 2 (e  1)  2  e  1  4 J  J   I   4  4  Bài 3: Tính tích phân sau: I   e x cos xdx Giải: u  e x du  e x dx Đặt    dv  cos xdx v  sin x     x x  I   e cos xdx  e sin x   e x sin xdx  e  I 0 Tính I2 u  e x du  e x dx Đặt    dv1  sin xdx v1   cos x     e 1 I  e x cos x   e x cos xdx   I  I  e   I  I  0 -“ Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình “ Lop12.net (10) Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 0973 329 800 or 01694 013 498 Bài tập tự giải:  Bài 3: Tính tích phân sau: I   ln 1  tan x dx   ln  x sin x dx  cos x Bài 4: Tính tích phân: I     (  t )sint sin x dx    dx    I 2  cos t  cos x Đặt x    t  I   I  sin x  dx   cos x  dt   2   1  t 2 Phương pháp 4: Tích phân phần xuất làm triệt tiêu tích phân khác Bài tập giải mẫu: Bài 1: (ĐH DHN – A 2000) Tính tích phân sau: Đặt cos x  t  I   I  1  sin x  e x  cos x  dx   o  ex cos x  e x sin x dx  e  cos x dx   Giải: Cách 1:      2  sin x x e x dx sin x e x dx sin x Ta có: I   e dx    e x dx    e x dx x  c osx  c osx  c osx  c osx 0 0 cos   I2  I1  e x dx x 0 cos 2 x u  e  du  e x dx   dx Đặt:  dv   x v  tan x   cos   Áp dụng công thức tính tích phân phần      2 e x dx x x x I1    e x tan   tan e x dx  e   tan e x dx x 20 2 cos 0    x x co s 2 2sin sin x 2 e x dx  tan x e x dx Tính: I   e x dx   0 x  cosx 0 2cos 2 Tính: I1  Vậy I  e Cách 2:  -“ Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình “ Lop12.net 10 (11) Giáo viên: Nguyễn Thành Long     2 e x sin x x x Ta có: I   dx   dx   e x d (tan )   e x tan dx x  cos x 2 cos 0  ex DĐ: 0973 329 800 or 01694 013 498     x2 x x x x2  e tan   e tan dx   e x tan dx  e x tan  e2 20 2 20 Sử dụng định nghĩa: ' ' 1  sin x  e x ex e x sin x ex x x  x x x x '  x x Ta có     tan e   tan  e  tan  e    e tan  x  cos x x  cos x 2 2   2cos 2cos 2 Hoặc ta biến đổi: x x  sin  cos   1  sin x   x x 2 1   1  tan  tan  x  cos x 2 2 cos x  Vậy I    x x x 1  tan dx   tan e dx  0 2 20  x Tính I1   tan e x dx Bài tập tự giải: e2 Bài 2: (GTVT – 1998) Tính tích phân sau: I   ( e 1 e2  ) dx  e  ln x ln x Bài 3: (ĐHSPV – A 2001) Tính tích phân sau:  I   ln 1 cos x 1  sin x   cos x 4 dx  ln    ln  e  x t Phương pháp 5: Kết hợp với phương pháp biến đổi số để tính tích phân phần Bài tập giải mẫu: x 4e Bài 1: Tính tích phân sau: I   dx x Giải: dx Đặt t  x  dt  dx  2dt  x x x  t  Đổi cận:    x  t  2 2 Khi đó: I   et (2dt )   et dt  2et  2e2  2e1  2e  1 Đặt  Bài 2: Tính tích phân sau: I   esin x sin xdx Giải: -“ Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình “ Lop12.net 11 (12) Giáo viên: Nguyễn Thành Long  DĐ: 0973 329 800 or 01694 013 498  Ta có: I   esin x sin xdx   esin x sin xcosxdx 0 Đặt t  sin x  dt  cosxdx x  t   Đổi cận:    t   x   Khi đó: I   esin x sin xcosxdx   tet dt 0 u  t  du  dt Đặt:   t t  dv  e dt v  e Áp dụng công thức tính tích phân phần:  tet dt  tet 1 t 1   e dt  tet  et  0 0 Vậy I  Bài 3: Tính tích phân sau: I   x ln  x  1 dx Giải: Đặt t  x   dt  xdx  x  t  Đổi cận:   x  t  Khi đó: I   x ln  x  1 dx  ln tdt 1 dx  u  ln t du  Đặt:   t  dv  dt v  t Áp dụng công thức tính tích phân phần:  ln tdt  t ln t 1 2  dt  ln  1 1 Vậy I   x ln  x  1 dx  ln  Bài 4: Tính tích phân sau: I   x5 e x dx Giải: Đặt: t  x3  dt  x dx  x dx  dt  x  t  Đổi cận:   x  t  1 1 1 1 e 1 Khi đó: I   x5 e x dx   tet dt  tet   et dt   et  30 30 3 Bài 2: Tính tích phân sau: I   (1  x)(1  x  x ) dx Giải: t   x  x  dt  (2  x) dx  dt  2(1  x) dx  dt  (1  x) dx -“ Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình “ Lop12.net 12 (13) Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 0973 329 800 or 01694 013 498  x  t  Đổi cận:   x  t  10 6t dt t 11 611 111 611 I   t 10   dt     1 1 2 22 22 22 22  Bài 3: Tính tích phân sau I   tgx dx cos x Giải: dx cos x x   t   Đổi cận:    x   t  1 t2 1 I   tdt   2 Bài tập tự giải: Đặt t  tan x  dt      3 Bài 1: (ĐHKTHN – 2001) Tính tích phân sau: I  sin xdx  3    2 Bài 2: (ĐHKT HN – 1999) Tính tích phân sau: I   esin x sin x.cos3 xdx   e  1 2 Bài 3: (ĐHDB – B 2005) Tính tích phân sau: I   x sin xdx  2  Bài 4: (ĐHDB – D 2003) Tính tích phân sau: I   x3e x dx  Bài 5: Tính tích phân sau: I   x3e 2 x 1 x2  dx 2 Bài 6: Tính tích phân sau: I   cos xdx HD:  Đặt t  x  I   t cos tdt    Bài 7: (TN – 2007) Tính tích phân sau: I   x ln xdx 1 Bài 8: (TN – 2008) Tính tích phân sau: I   (4 x  1)e x dx  Bài 9: (TN – 2009) Tính tích phân sau: I   x(1  cos x)dx  Bài 10: (TN – 2005) Tính tích phân sau: I   ( x  sin x) cos xdx -“ Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình “ Lop12.net 13 (14) Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 0973 329 800 or 01694 013 498 Bài 11: (TN – 2008 PB) Tính tích phân sau: I   (1  e x ) xdx Bài tập giải mẫu tổng hợp: e Bài 1: Tính tích phân I   x ln xdx Giải: dx  du  x u  ln x Đặt    dv  xdx v  x  e e e x e2 x2 e e2  I   x ln xdx  ln x   xdx    21 2 4 Bài 2: Tính các tích phân sau: ln x a I   dx x Giải: dx  du  u  ln x    x Đặt   dv  dx  v   x5  4x4 2 2 ln x ln x dx ln   15  ln Do đó: I   dx           64  x  256 4x x x  b I   x cos xdx Giải: u  x du  dx Đặt  Do đó:   dv  cos xdx v  sin x       I   x cos xdx   x sin x    sin xdx   cos x   2 0 0 c I   xe x dx Giải: u  x  du  dx Đặt   x x  dv  e dx v  e 1 x x Do đó: I   xe dx  xe   e x dx  e  e x  e   e  1  0 0 Bài 3: Tính tích phân: I   (2 x  1)e x dx Giải: u  x  du  dx Đặt   x x  dv  e dx v  e -“ Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình “ Lop12.net 14 (15) Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 0973 329 800 or 01694 013 498 1   2e x dx  3e   2e x  e  0 Bài 7: Tính các tích phân sau: I  (2 x  1)e x  e a I   x cos xdx b I   ln xdx Giải: u  x du  xdx a Đặt:    dv  cos xdx v  sin x   2 Vậy: I1   x.e x dx   x cos x   x sin xdx  2  x sin xdx 0  1  Ta tính tích phân  x sin xdx u  x du  dx Đặt:    dv  sin xdx v   cos x  Vậy:      x sin xdx   x cos x   cos xdx   x cos x 02  sin 02  0 Thế vào (1) ta : I1   x.e x dx  2 8  u  ln x  du  dx b Đặt:   x  dv  dx v  x e e e e e Vậy: I   ln xdx  x ln x   dx  x ln x  x  1 Bài 8: Tính các tích phân sau :   e x b I   dx cos x x a I1   e sin xdx c I   cosln x dx Giải: u  e x  du  e x dx a Đặt :    dv  sin xdx v   cos x    Vậy: I1   e x sin xdx   e x cos x   e x cos xdx  e   J 0 u  e x Đặt:   dv  cos xdx  1 du  e x dx  v  sin x   Vậy: J   e x cos xdx  e x sin x   e x sin xdx   I 0 Thế vào (1) ta được: I1  e   I1  e  -“ Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình “ Lop12.net 15 (16) Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 0973 329 800 or 01694 013 498 u  x  du  dx  b Đặt:    dv  cos x dx v  tan x  Vậy: I      x   dx  x tan x   tan xdx   ln cos x  04   ln cos x 4  u  cos  ln x  du   sin  ln x  dx c Đặt:   x  dv  dx v  x e e e Vậy: I   cosln x dx  x cosln x    sin ln x dx  e  1  J 1  u  sin  ln x  du  cos  ln x  dx Đặt:   x  dv  dx v  x e e e Vậy: I   sin ln x dx  x sin ln x    cosln x dx   I 1 Thế vào (1) ta : I3    e  1  I   e  ln( x  1) dx ( x  2) Bài 9: Tính tích phân: I   Giải:  u  ln( x  1) du  dx    x 1 dx Đặt:   dv     x  2 v   x   1 dx  1 Khi đó: I    ln  x  1      ln  I1  x2  0  x  1 x   1 dx dx dx x 1    ln  ln ( x  1)( x  2) x  x  x2 I1   Vậy I = – ln2 + ln 3  Bài 10: Tính tích phân: I   x.sinxcos xdx Giải:   I   x.sinxcos xdx  x  sin x  sinx  dx 0  x  du  dx  u   Đặt:    dv   sin x  sinx  dx v   cos3 x  cosx   -“ Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình “ Lop12.net 16 (17) Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 0973 329 800 or 01694 013 498   x  1 2   Khi đó: I   cos3 x  cosx      cos3x  cosx dx 2  0    x  1 1 1     cos3 x  cosx    sin x  sin x    2   18  Bài 11: Tính tích phân: I    x  1 e x dx Giải : u  x  du  dx Đặt   x x  dv  e dx v  e Khi đó: I   x  1 e x 1 1   e x dx   x  1 e x  2e x  e  0 0  Bài 12: Tính tích phân: I   ( x  1)sin xdx HD: du  dx u  x   Đặt   cos2 x  dv  sin xdx v     cos2 x 12  Khi đó I    x  1   cos2 xdx   20 Bài tập tổng hợp tự giải: Bài 1: Tính các tích phân sau:  a (HVKTQS – 1999) I   cos x.ln 1  cos x dx  b (ĐHHH TPHCM – 2000) I   ln 1  x  x  1 dx   ln  3ln 2  Bài 2: (ĐHTCKT – 1998) Tính tích phân sau: I   x  cos x  1 dx   2 Bài 3: (HVNH TPHCM – D 2000) Tính tích phân sau: I   x ln  x  1dx  ln  e Bài 4: (PVBCTT – 1998) Tính tích phân sau: I    x.ln x  dx  1 e3  27 27  Bài 5: (TCKT – 1998) Tính tích phân sau: I   x  2cos x  1 dx  Bài 6: (ĐHTL – 2001) Tính tích phân sau: I   ln 1  tan x  dx   ln HD: -“ Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình “ Lop12.net 17 (18) Giáo viên: Nguyễn Thành Long  Hoặc: I =    ln(1  tgx)dx =  ln(cos x  sin x )dx   lncos xdx = I  DĐ: 0973 329 800 or 01694 013 498  I2      Tính I1 =  ln 2dx   ln cos(  x )dx = ln +  ln cos(  x)dx 4 0     Tính J =  ln cos(  x )dx Đặt – x = t  J =  ln costdt = I2 4 0  Vậy: I = ln 10 50 99 Bài 7: (ĐHL – 2001) Tính tích phân sau: I   x lg xdx  50   ln10 ln 10 x Bài 8: (ĐHLN – 2001) Tính tích phân sau: I    x  1 e Bài 9: Tính tích phân sau: I   e ln x  x  1  1 e x 2 dx dx  Bài 10: (HVKTQS – 1997) Tính tích phân sau: I   x ln  x  x  1 dx x 2 Bài 11: (HVKTQY – 1997) Tính tích phân sau: I   xe dx Bài 12: (ĐHCĐ – 1998) Tính tích phân sau: I   1  x  e2 x dx  5e2   Bài 13: (ĐHNN І – B 1998) Tính tích phân sau: I   e2 x sin 3x.dx   e 13    sin x x e dx  e  cos x Bài 14: (ĐHDHN – 2000) Tính tích phân sau: I   Bài 15: (ĐHTN – D 2000) Tính tích phân sau: I   e x2  sin x  e x x dx 1 Bài 16: Tính các tích phân sau: a (HVKTMM – 2000) I   x tan xdx  tan1  ln  cos1   b (ĐHBKHN – 1994) I   x cos xdx  2    16  Bài 17: (HVNH TPHCM – A 2000) Tính tích phân sau: I   e Bài 18: ( ĐH – D 2007) Tính tích phân sau: I   x ln xdx  x  sin x  dx   ln  cos x 5e4  32 ln x  ln  16 x Bài 19: (ĐH – D 2008) Tính tích phân sau: I   -“ Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình “ Lop12.net 18 (19) Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 0973 329 800 or 01694 013 498 Bài 20: (ĐH – D 2004) Tính tích phân sau: I   ln  x  x  dx  3ln  2 e Bài 21: (ĐHDB – B 2005) Tính tích phân sau: I   x ln xdx  2e3  Bài 22: (ĐH – D 2006) Tính tích phân sau: I    x   e2 x dx   3e 32  Bài 23: (ĐHDB – D 2005) Tính tích phân sau: I    x  1 cos xdx  2     x  dx   ln  cos x Bài 24: (ĐHDB – A 2003) Tính tích phân sau: I   Bài 25: (ĐHDB – B 2002) Tính tích phân sau: I   x e 2x   x  dx  1 Bài 26: (ĐH – B 200) Tính tích phân sau: I   Bài 27: Tính tích phân sau: I   ln 1  x  x  ln x  x  1 dx  ln dx   4e 1  ln 3  ln 3  Bài 28: (ĐHAN – D 1999) Tính tích phân sau: I   x sin xdx     Bài 29: (ĐHSPV – A 2001) Tính tích phân sau: I      x sin x 4 2 dx   ln cos x 2 Bài 30: (ĐHBKHN – 1994) Tính tích phân sau: I   x.cos xdx HD: 1 Tách I   2   Tính I1     xdx    x.cos xdx  x.cos xdx    u  x Đặt:   dv  cos xdx e Bài 31: (ĐH Ngoại ngữ - 1997) Tính tích phân sau: I   e ln xdx 0 ( x  1)2  e x (sin x  cos x  1) dx (1  cos x)2 Bài 32: (BCVT – 1998) Tính tích phân sau: I   HD:    4 e x (sin x  cos x  1) ex e x sin xdx I  dx  dx  0  cos x 0 (1  cos x)2  I1  I (1  cos x) -“ Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình “ Lop12.net 19 (20) Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 0973 329 800 or 01694 013 498 u  e x  du  e x dx e sin xdx   sin xdx   Với I   đặt  dv  v (1  cos x )   1  cos x    cos x   x e Bài 33: (ĐH HP – 1997) Tính tích phân sau: I   1  ln x  dx  Bài 34: Tính tích phân sau: I    sin x ln  tan x  dx cos x HD:  I   sin x tan x ln tan x dx     cos2 x ln  tan x  dx cos x Đặt tan x  t  e Bài 35: Tính tích phân sau: I   Bài 36: Tính tích phân sau: I    tan x sin x e tan x tan x dx  0 cos2 x dx cos3 x x3  x2 dx  x2 x   x2 dx u  x  HD: Đặt  x dx  dv   x2   Bài 37: Tính tích phân sau: I   cos x ln  tan x dx   Bài 38: Tính tích phân sau: I   cos x ln 1  sin x dx  Bài 39: Tính tích phân sau: I    Bài 40: Tính tích phân sau: I    Bài 41: Tính tích phân sau: I   ln  cos x  cos x dx ln  cos x  dx sin x e4x e2 x  dx  Bài 42: Tính tích phân sau: I   cos x ln  cot x dx   2 Bài 43: Tính tích phân sau: I   ecos x cos x sin xdx ln  x  1 dx  x2 Bài 44: Tính tích phân sau: I   -“ Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình “ Lop12.net 20 (21)

Ngày đăng: 01/04/2021, 03:00

w