T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc P... Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P.[r]
(1)tµi liÖu tham kh¶o bất đẳng thức đại số I.KiÕn thøc c¬n b¶n: 1.C¸c bÊt d¼ng thøc th«ng dông: a) A : A , A A b)Cho a , ta cã: A a a A a A a A a A a c) a, b : a b a b a b 2.§¼ng thøc liªn quan: (a b) (b c) (c a ) 3 b) a b c 3abc (a b c)(a b c ab bc ca) a) a b c ab bc ca II.C¸c vÝ dô : VÝ dô 1: Chøng minh r»ng a, b , ta cã : a b ab Vµ a b ab a b (Bất đẳng thức Cô-Si) Chøng minh: Ta cã a b ab ( a b ) Suy a b ab VËy a b ab Vµ a b ab a b ab ( a b ) a b a b VÝ dô 2: Chøng minh r»ng a, b, c , ta cã : a b c 33 abc Vµ a b c 33 abc a b c (Bất đẳng thức Cô-Si) Chøng minh: Ta cã a b c 33 abc (3 a b c ) 3 a b 3 b c 3 c a Suy a b c abc VËy a b c 33 abc Vµ a b c 33 abc a b c VÝ dô 3: Chøng minh r»ng : (a b )(c d ) (ac bd ) , a, b, c, d DÊu “=” x¶y nµo ? (Bất đẳng thức Bunhiacôxki ) Chøng minh: Ta cã (a b )(c d ) (ac bd ) a d b c 2acbd (ad bc) Suy (a b )(c d ) (ac bd ) VËy (a b )(c d ) (ac bd ) DÊu “=” x¶y vµ chØ ad bc VÝ dô 4: Chøng minh r»ng : ( x12 y12 z12 )( x 22 y 22 z 22 ) ( x1 x y1 y z1 z ) , x1 , x , y1 , y , z1 , z DÊu “=” x¶y nµo ? (Bất đẳng thức Bunhiacôxki ) 2 0 Lop12.net (2) Chøng minh: ( x12 y12 z12 )( x 22 y 22 z 22 ) ( x1 x y1 y z1 z ) x12 y 22 y12 x 22 x12 z 22 z12 x 22 y12 z 22 z12 y 22 x1 x y1 y x1 x z1 z y1 y z1 z : luôn đúng VÝ dô 5: Cho a, b, c lµ c¸c sè thùc Chøng minh r»ng : a) a2 b2 a b ab a3 b3 a b b) ,víi a b a2 b2 c2 a b c ab bc ca c) 3 a3 b3 c3 a b c d) abc 3 DÊu “=” xÈy nµo ? VÝ dô 6: Cho a b Chøng minh r»ng : a b Chøng minh: Ta cã (a b) 2(a b ) Suy (a b) a b VËy a b VÝ dô 7:Chøng minh r»ng a, b ta cã : a b ab DÊu “=” x¶y nµo ? Chøng minh: 3 Ta cã a b ab a ab b b a b b 4 a b 2 a b Suy a b ab DÊu “=” x¶y vµ chØ b 2 III.C¸c bµi tËp: Bài Cho x, y, z là các số thực dương Chứng minh : 1 x y x y 1 b) DÊu “=” xÈy nµo ? x y z x yz Bµi 2.Cho a b Chøng minh r»ng : a b a) Bµi Cho a, b Chøng minh r»ng: a b b a a b Bài 4.Chứng minh với số dương a, b, c bất kì, ta luôn có a3 b3 c3 abc 2 2 2 a ab b b bc c c ca a a3 2a b (Hướng dẫn: Ta có ) a ab b Bµi Cho x, y, z tháa m·n ®iÒu kiÖn x y z Chøng minh r»ng : xy yz zx 2 Lop12.net (3) Bµi Cho sè a, b, c bÊt k×, chøng minh r»ng : a) (ab bc ca) 3acb(a b c) b) a b c d (a c)2 (b d )2 Hướng dẫn: a b c d (a c)2 (b d )2 a b c d ac bd , DÊu “=” xÈy ad bc c) a b3 c3 6abc (a b c)(ab bc ca) ; d) (a b c)3 9abc 4(a b c)(ab bc ca) Bµi 7.Cho a, b,c > Chøng minh r»ng : a ab b b bc c c ca a (a b c) (a b) ) 1 Bµi 8.a)Cho ab Chøng minh r»ng : 2 ab 1 a 1 b 1 b)Cho a, b, c Chøng minh r»ng : 3 abc 1 a 1 b 1 c (Hướng dẫn: Ta có a ab b Hướng dẫn: 1 (b a ) (ab 1) a) a b ab (1 a )(1 b )(1 ab) 1 1 b)¸p dông c©u a) cho biÓu thøc 3 abc 1 a 1 b 1 c áp dụng bất đẳng thức Cô si : Bài 9.Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab cb DÊu “=” xÈy nµo? 2a b 2c b 1 Chøng minh r»ng a c b Hướng dẫn: 1 2ac Suy b a c b ac ab c b a 3c 3a c c a ( ) DÊu “=” xÈy a=b=c Vµ 2a b 2c b 2a 2c a c Ta cã Bài 10.Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn xyz=1 Chứng minh 2 3 1 x 1 y 1 z 1 x 1 y 1 z vµ DÊu “=” xÈy nµo? Bµi 11.Cho x, y, z thuéc ®o¹n [0; 1] Chøng minh r»ng : x y z 1 2 2 1 x 1 y 1 z 1 x 1 y 1 z Hướng dẫn: x 2 1 x 1 vµ 1 x 1 y 1 z x y z Bài 12.Cho số dương a, b, c Chứng minh : Ta cã Lop12.net (4) 1 abc 2abc a bc b ca c ab Hướng dẫn: bc b c a bc 2abc 4abc bc 1 1 Chøng minh r»ng : abc Bµi 13 Cho a, b, c vµ 1 a 1 b 1 c Ta cã a bc 2a bc 2abc Suy Hướng dẫn: 1 1 b c bc 2 2 1 a 1 b 1 c 1 a 1 b 1 c (1 b)(1 c) 8abc Suy (1 a )(1 b)(1 c) (1 a )(1 b)(1 c) Bµi 14 Cho a, b, c tháa m·n ®iÒu kiÖn a b c Chøng minh r»ng : 1 1 1 64 a b c Hướng dẫn: a a b a c ab ac 44 a bc a a a a a Bµi 15.Cho a, b Chøng minh r»ng : a b b a ab 1 Hướng dẫn: a b b a ab a 1 b 1 1 a b a 1 a 11 a 2a Bµi 16 Cho a, b, c Chøng minh r»ng : 1 11 1 2a b c 2b c a 2c a b a b c 1 Hướng dẫn: áp dụng (x, y >0 ) x y x y Bµi 17 Cho a, b, c Chøng minh r»ng : 1 11 1 ab bc ca 2a b c 1 Hướng dẫn: áp dụng (x, y >0 ) x y x y mµ Bµi 18 Cho a, b, c Chøng minh r»ng : a b c ; bc ca ab a2 b2 c2 abc b) bc ca ab a b c d c) bc cd d a ab a) Lop12.net (5) d) a b c b c c a a b 15 bc ca ab a b c Hướng dẫn: a b c 1 (a b c)( ) bc ca ab bc ca ab 1 (2a 2b 2c)( ) : luôn đúng bc ca ab a2 b2 c2 abc a b c (a b c)( ) (a b c) b) bc ca ab bc ca ab a a 2a c) bc a (b c) a b c a) Bµi 19 Cho a, b vµ a b Chøng minh r»ng : a) 1 6 ; ab a b b) Hướng dẫn: 14 ab a b 1 a b ab 6ab(a b ) 12a b ab ab a b Đặt t ab , với t Suy f (t ) 12t 7t : luôn đúng Bµi 20.(§H2011A)Cho x, y, z lµ ba sè thùc thuéc ®o¹n [1; 4] vµ x y, x z x y z T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc P 2x 3y y z z x a) Hướng dẫn: P y 23 x z 1 y x 1 z (áp dụng bất đẳng thức : y 23 x 1 x y 1 ( ab ) DÊu “=” xÈy vµ chØ a b ab a b hoÆc ab ) DÊu “=” xÈy vµ chØ x y hoÆc x z (1) §Æt t2 x t , víi t 1;2 Ta cã P y 2t t t2 , víi t 1;2 Ta cã f ' (t ) 2t t x 34 Suy f (t ) f (2) DÊu “=” xÈy vµ chØ t x 4, y (2) y 33 34 Suy P Tõ (1) vµ (2) suy dÊu “=” xÈy vµ chØ : x 4, y 1, z 33 34 VËy P , : x 4, y 1, z 33 XÐt hµm sè f (t ) Bài 21.(ĐH2011B)Cho a và b là các số thực dương thỏa mãn 2(a b ) ab (a b)(ab 2) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc a3 b3 a b2 P 4 9 a b a b Lop12.net (6) Hướng dẫn: §Æt t , ta cã P 4t 3t 9t 2 4t 9t 12t 18 a b b a Víi 2(a b ) ab (a b)(ab 2) 2 (ab 2) a b b a b a 2 a b a b 1 1 a b 2 (ab 2) 2 a b 2 ( ) a b b a b a b a b a a b a b 2 2 ( ) 2t 2 t 4t 4t 15 t b a b a Bµi 22.(§H2009D)Cho c¸c sè thùc kh«ng ©m x, y tháa m·n x y T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc S (4 x y )(4 y 3x) 25 xy Bài 23.(ĐH2009B)Cho các số thực x, y thay đổi thỏa mãn ( x y ) xy Tìm giá trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A 3( x y x y ) 2( x y ) Hướng dẫn: ( x y ) 2( x y ) DÊu “=” xÈy vµ chØ x y §Æt t x y , víi ( x y ) xy ( x y ) ( x y ) x y A ( x y) 1 DÊu “=” xÈy vµ chØ x y 2 1 Suy t DÊu “=” xÈy vµ chØ x y 2 9 Vµ A t 2t XÐt hµm sè f (t ) t 2t , ta cã f ' (t ) t 4 1 Suy f (t ) f ( ) DÊu “=” xÈy vµ chØ t x y 16 2 Suy A DÊu “=” xÈy vµ chØ x y 16 VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A b»ng ; x y 16 Suy x y Bài 24.(ĐH2009A)Chứng minh với số thực dương x, y, z thỏa mãn x( x y z ) yz , ta cã ( x y ) ( x z ) 3( x y )( x z )( y z ) 5( y z ) Hướng dẫn: Ta cã x( x y z ) yz ( x y )( x z ) yz ( x y ) ( x z ) ( x y )( x z ) ( y z ) Suy 3( x y )( x z )( y z ) 3.4 yz.( y z ) 3( y z ) ( y z ) 3( y z ) vµ ( x y ) ( x z ) (2 x y z )( y z ) 2( y z ) (v× x y z 2( y z ) ) Bài 25.(ĐH2005D)Cho các số dương x, y, z thỏa mãn xyz=1 Chứng minh x3 y3 1 y3 z3 z x3 3 xy yz zx Bài 26.(ĐH2005A)Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn r»ng 1 Chøng minh x y z 1 1 2x y z x y z x y 2z Hướng dẫn: Lop12.net (7) Ta cã 1 1 2 1 DÊu “=” xÈy vµ chØ x y z x y x z 16 x y z x=y=z Tương tự ta có : 1 1 1 , x y z 16 x y z 1 1 2 x y z 16 x y z 1 11 1 2x y z x y z x y 2z x y z Bài 27.(ĐH2006A)Cho hai số thực x 0, y thay đổi thỏa mãn điều kiện 1 ( x y ) xy x y xy T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc A x y Suy Hướng dẫn: 1 1 1 Ta cã ( x y ) xy x y xy x y x y xy 2 2 1 1 1 1 31 1 x y x y xy x y DÊu “=” xÈy vµ chØ x=y 1 1 1 1 1 Suy 4 DÊu “=” xÈy vµ chØ x y x y x y x y 1 1 1 1 Vµ A 64 DÊu “=” xÈy vµ chØ xy x y x y x y x y VËy gi¸ trÞ lín nhÊt cña A b»ng 64; x y Bài 28.Cho a là số cố định, còn x, y là các số thay đổi Hãy tìm giá trị nhỏ biÓu thøc A ( x y 1) (2 x ay 5) Hướng dẫn: x y cã nghiÖm a 4 2 x ay a) A b)Với a 4 Khi đó A ( x y 1) (2 x y 5) 9 §Æt t x y Ta cã A t (2t 3) 5t 12t 5 t 5 5 Suy A DÊu “=” xÈy vµ chØ t 5 Suy A t 5 VËy nÕu a 4 th× gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A b»ng 0, vµ nÕu a 4 th× gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A b»ng 2 Lop12.net (8) Bài tương tự: Cho các số thực x, y thỏa mãn x y Tìm giá trị lớn biÓu thøc H x 20 y 20 xy 22 x 44 y 26 Bµi 29 Cho c¸c sè thùc x, y tháa m·n x y xy T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc T x y x y Hướng dẫn: Ta cã x y xy xy vµ x y xy 2 xy Suy xy vµ T ( x y ) 3x y (1 xy) 3x y 2 x y xy ; T Bµi 30.Cho c¸c sè thùc x, y tháa m·n x , y T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc A (3 x)(4 y )(2 x y ) §Æt t xy Suy max T Hướng dẫn: 1 x 12 y x y Ta cã A (6 x)(12 y )(2 x y ) 36 6 DÊu “=” xÈy vµ chØ 6-2x=12-3y=2x+3y hay x=0, y=2 VËy maxA=36; x=0, y=2 Bµi 31.Cho c¸c sè thùc x, y, z tháa m·n x , y , z T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc F x3 x y4 y z2 z Hướng dẫn: Ta cã: x ( x 3).3 x x 3 x3 DÊu “=” xÈy vµ chØ x x-3=3 hay x=6 Tương tự y4 DÊu “=” xÈy vµ chØ y=8 y z2 DÊu “=” xÈy vµ chØ z=4 z 2 Bµi 32.Cho c¸c sè thùc x, y, z tháa m·n xy yz zx T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc F x y z Hướng dẫn: Ta cã x y z xy yz zx DÊu “=” xÈy vµ chØ x=y=z= F x4 y4 z4 ( x y z ) 16 3 Bµi 33.Cho x, y, z > vµ x+y+z=1 T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña P x y z x 1 y 1 z 1 Hướng dẫn: 1 ) x 1 y 1 z 1 1 1 1 )9( ) Mµ ( x y z 3)( x 1 y 1 z 1 x 1 y 1 z 1 DÊu “=” xÈy vµ chØ x=y=z= Ta cã P ( Lop12.net (9) Suy P DÊu “=” xÈy vµ chØ x=y=z= Bài 34.Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn abc=1 Tìm giá trị nhỏ biểu bc ac ab 2 a b a c b a b c c a c 2b 1 Hướng dẫn: Đặt x , y , z Ta có xyz=1 và a b c 2 x y z x yz P DÊu “=” xÈy vµ chØ x=y=z=1 yz zx x y 2 thøc P Bµi 35.(HSG TØnh NA 2007) sin x a)Chøng minh r»ng : cos x, x 0; x 2 b)Cho hai sè thùc x, y tháa m·n x 0, y 1, x y T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt , gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc P x y 3x xy x Bµi 36.(HSG TØnh NA 2006)Cho c¸c sè thùc x, y tháa m·n x y Chøng minh r»ng ( x x) sin y ( y y ) sin x Bµi 37.(HSG TØnh NA 2000)Cho hai sè thùc x, y tháa m·n x 0, y 0, x y vµ m là số dương cho trước Tìm giá trị lớn tổng S m xy x y Bài 38.(HSG Tỉnh NA 2008)Cho các số thực dương a, b, c Tìm giá trị lớn biÓu thøc P bc a bc ca b ca ab c ab Hướng dẫn: a Ta cã 3P ( b c ) a bc b ca c ab a b c §Æt Q Ta cã a bc b ca c ab a b c ( )(a bc b ca c ab ) ( a b c ) a bc b ca c ab ( a b c )2 Q DÊu “=” xÈy vµ chØ a b c ( a b c ) ab bc ca Suy P DÊu “=” xÈy vµ chØ a b c VËy gi¸ trÞ lín nhÊt cña P b»ng ; a b c Bài 39.(HSG Tỉnh NA 2009)Cho các số thực dương x, y, z Chứng minh 1 36 2 x y z x y y2 z2 x2 z2 Hướng dẫn: Ta cã 1 36 ( xy yz zx)(9 x y y z z x ) 36 xyz 2 2 2 x y z 9 x y y z x z 3 xyz 9 3 xyz 36 xyz xyz 43 xyz Lop12.net (10) DÊu “=” xÈy vµ chØ x y z Đặt t xyz , với t>0 Ta có t 4t (t 1) (t 2t 3) : luôn đúng Bµi 40.(HSG TØnh NA 2010B) a)Cho x, y lµ c¸c sè thùc tháa m·n log ( x y ) log ( x y ) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc P x y b)Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a b c Chứng minh ab bc ca ab c bc a ca b Hướng dẫn: ab bc ca ab bc ca Ta cã A 3 DÊu “=” ab c bc a ca a ab c bc a ca b xÈy a b c Suy A b)§Æt A Bµi 41.(HSG TØnh NA2010A) a)Cho x, y lµ c¸c sè thùc tháa m·n log ( x y ) log ( x y ) Chøng minh r»ng x y 15 b)Cho các số thực a, b, c không đồng thời bẳng 0, thỏa mãn (a b c) 2(a b c ) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc P a3 b3 c3 (a b c)(ab bc ca) Hướng dẫn: b)Ta cã (a b c) 2(a b c ) ab bc ca (a b c) Suy 3 4(a b c ) a b c P (a b c) a b c a b c a b c a b c §Æt x , y , z Ta cã abc abc abc x y z y z 1 x 1 xy yz zx yz x x Vµ ( y z ) yz 3x x x Suy P 4( x y z ) 4 x (1 x) (1 x) x x x x x XÐt hµm sè f ( x) x x x , víi x 0; Ta cã 3 f ' ( x) 12 x x x Bài 42.Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x y z Tìm giá trị nhỏ x y z biÓu thøc P x y z Hướng dẫn: 10 Lop12.net (11) 1 1 1 §Æt t x y z Ta cã ( x y z )( ) Víi t 0; x y z x y z t 2 t Suy P t DÊu “=” xÈy vµ chØ x=y=z=1 Bài 43.Cho các số thực dương x, y thỏa mãn T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu x y thøc S x y Bµi 44.Cho c¸c sè thùc kh«ng ©m x, y tháa m·n x y T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt vµ gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc P x y y 1 x 1 Bài 45.Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x y z Chứng minh x y z 3 2 2 y z z x x y Hướng dẫn: x2 y2 z2 3 x y z 3 2 2 2 2 2 y z z x x y x(1 x ) y (1 y ) z (1 z ) XÐt hµm sè f (t ) t (1 t ) , víi t (0;1) Ta cã f (t ) 3 Ta cã n an bn a b Bµi 46.Cho n lµ sè tù nhiªn lín h¬n Chøng minh r»ng Hướng dẫn: c XÐt hµm sè f ( x) x n (c x) n , víi c>0 Ta cã f ( x) f ( ) §Æt a x , b c x Suy a b n an bn a b VËy Bµi 47.(HSG12A-NA:2011-2012) Cho ba sè thùc x , y , z tháa m·n x y z xyz và x 1, y 1, z T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc P x 1 y 1 z 1 y2 z x Hướng dẫn: x 1 y 1 y 1 z 1 z 1 x 1 1 1 1 P (1) 2 y z x y z x y z x x 1 y 1 y 1 z 1 z 1 x 1 Mà y2 z2 x2 1 1 1 x 1 y 1 z 1 y z z x x y 2 (2) x 1 y 1 z 1 xy yz xz Tõ (1) và (2) suy 11 Lop12.net (12) 1 1 1 1 2 x y z x y z xy yz zx 1 Tõu gi¶ thiÕt ta cã 1 xy yz zx 1 1 1 Mà (5) 1 x y z xy yz zx P (3) (4) 1 1 1 1 x y z xy yz zx x y z Tõ (3), (4), (5) và (6) suy P DÊu b»ng xÈy x y z (6) VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P là Bµi 48.(HSG12B-NA:2011-2012) Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn xyz=1 Tìm giá trị lớn biểu thức P 1 x2 1 y2 1 z2 _ khai thác số bất đẳng thức quen thuộc i.Phương pháp biến đổi tương đương: a Bài toán 1: Cho a, b là các số thực dương Chứng minh rằng: 1.1)Cho a, b là các số thực dương Chứng minh a b b a b b a a b a b Hướng dẫn: Ta cã a b b a a b Suy a b b a a b a b a b 1.2)Cho a, b, c là các số thực dương Chứng minh a2 b2 c2 bc ca ab abc Hướng dẫn: a2 b2 c2 abc ThËt vËy: bc ca ab a2 b2 c2 abc a2 b2 c2 b c (a b c) a bc ca ab bc ca a b Ta chøng minh abc abc abc a b c (a b c) bc ca ab a b c a b c 1 1 1 bc ca ab bc ca ab 12 Lop12.net (13) Mµ a b c 1 1 1 (a b c) : luôn đúng bc ca ab ab bc ca 1.3)Cho x, y, z là số thực dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức P x y y z z x z x y x y z 1.4)Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x y z Tìm giá trị nhỏ x y z biÓu thøc P x y z Hướng dẫn: 1 1 1 §Æt t x y z Ta cã ( x y z )( ) Víi t 0; x y z x y z t 2 t Suy P t DÊu “=” xÈy vµ chØ x=y=z=1 Bµi to¸n 1.5: a)Cho a, b, c lµ c¸c sè thùc tháa m·n a b c Chøng minh r»ng a3 b3 c3 (a b c) b)Cho a, b, c lµ c¸c sè thùc Chøng minh r»ng a2 b2 c2 (a b c) 1.6)Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn xy yz xz xyz Chứng minh x y z 81 Hướng dẫn: ( x y z)3 1 Mµ xy yz xz xyz x y z 1 Suy ( x y z )( ) x y z x y z 3 VËy x y z 81 1.7)Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a b c Tìm giá trị nhỏ Ta cã x y z biÓu thøc P 3 1 a 1 b 1 c Hướng dẫn: 1 1 1 , y , z Ta cã Suy x y z x y z 1 a 1 b 1 c DÊu “=” xÈy vµ chØ x y z hay a b c 81 Suy P x y z DÊu “=” xÈy vµ chØ x y z hay 64 abc 81 VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P b»ng , a b c 64 §Æt x 1.8)Cho a, b, c là các số thực dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức 13 Lop12.net (14) 3 a b c P bc ca a b Hướng dẫn: §Æt x 1 a b c , y , z Ta cã Suy x y z x y z bc ca ab Bài toán 1.9: Cho a, b, c là các số thực dương Chứng minh a2 b2 c2 abc bc ca ab Hướng dẫn: a2 b2 c2 abc a b c (a b c)( ) (a b c) bc ca ab bc ca ab a b c 1 (a b c)( ) bc ca ab bc ca ab 1 (2a 2b 2c)( ) : luôn đúng bc ca ab 1.10)Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab bc ca Chứng minh a2 b2 c2 bc ca ab Hướng dẫn: (a b c) 3(ab bc ca) a b c 1.11)Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x y z Tìm giá trị nhỏ biÓu thøc P ( x y ) ( y z ) ( z x) 1 z 1 x 1 y Hướng dẫn: §Æt a x y, b y z, c z x Ta cã a b c vµ P a2 b2 c2 abc 1 bc ca ab Bài toán 1.12:Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn xyz=1 Chứng minh 2 3 1 x 1 y 1 z 1 x 1 y 1 z vµ DÊu “=” xÈy nµo? 1.13)Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn xyz Chứng minh a) x y 2 y z 2 z x 2 12 b) x y 3 y z 3 z x 3 24 1.14)Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x y z Chứng minh x2 y2 z2 1 vµ x y z 1.15)Cho x, y, z lµ c¸c sè thùc tháa m·n x y z T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc P x y z 1.16)Cho x, y lµ c¸c sè thùc tháa m·n x y T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc P x3 y3 Bµi to¸n 1.17: Cho a, b, c Chøng minh r»ng : 14 Lop12.net (15) 1 11 1 ab bc ca 2a b c 1 Hướng dẫn: áp dụng (x, y >0 ) x y x y 1.18)Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 1 Chøng minh r»ng a b c 1 1 ab bc ca 1.19)Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a b c Chứng minh ab bc ca ab bc ca 1.20)Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a b c Tìm giá trị lớn biÓu thøc A ab bc ca ab bc ca Hướng dẫn: ab bc ca ab bc ca ( a b b c c a) ab bc ca ab bc ca ( a b b c c a ) 6(a b c) a b b c c a A Suy A DÊu “=” xÈy a b c Bài toán 1.21.Chứng minh với số dương a, b, c bất kì, ta luôn có a3 b3 c3 abc 2 2 2 a ab b b bc c c ca a a3 2a b (Hướng dẫn: Ta có ) a ab b 1.22)Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a b c Chứng minh a3 b3 c3 2 2 a ab b b bc c c ca a 1.23)Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc Chứng minh a3 b3 c3 a ab b b bc c c ca a Bµi to¸n 1.24:Cho a, b,c > Chøng minh r»ng : a ab b b bc c c ca a (a b c) (Hướng dẫn: Ta có a ab b (a b) ) 1.25)Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a b c Chứng minh : a ab b b bc c c ca a 1.26)Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc Chứng minh : a ab b b bc c c ca a 3 Bµi to¸n 1.27:Cho a, b, c Chøng minh r»ng : a2 b2 c2 abc bc ca ab Hướng dẫn: 15 Lop12.net (16) a b c 1 (a b c)( ) bc ca ab bc ca ab 1 (2a 2b 2c)( ) : luôn đúng bc ca ab a2 b2 c2 abc a b c (a b c)( ) (a b c) vµ bc ca ab bc ca ab 1.28)Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a b c Chứng minh : a2 b2 c2 bc ca ab 1.29)Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc Chứng minh : a2 b2 c2 bc ca ab Ta cã II.Phương pháp đưa hàm số biến: 2.1)Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn thøc H x y T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu x y x y Hướng dẫn: §Æt t x y , víi 9 Ta cã : ( x y )( ) 25 x y t x y x y t Vµ H t 2.2)Cho c¸c sè thùc x, y, z tháa m·n xy yz zx T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc P x y z x y4 z4 Hướng dẫn: §Æt t x y z , víi x y z xy yz zx Suy x4 y4 z4 (x2 y z )2 3 2.3)Cho c¸c sè thùc a, b tháa m·n a b T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc P (a b)(2ab a b) Hướng dẫn: Ta cã P (a b)(a b) (a b) 1 (a b) (a b) (a b) §Æt t a b , víi a b Suy (a b) 2(a b ) a b hay t [ ; ] Vµ P t t t , víi t [ ; ] 2.4)Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn x y xy Tìm giá trị nhỏ biểu thøc P x y xy Hướng dẫn: Ta cã P ( x y )( x y ) 3xy xy ( x y ) 3( x y ) 9( x y ) §Æt t x y , víi x y xy ( x y ) x y t Vµ P t 3t 9t , víi t 16 Lop12.net (17) 2.5)Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn thøc P x y 1 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu x y x y Hướng dẫn: 1 §Æt t x y Víi ( x y )( ) x y x y x y 1 2.6)Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn Chứng minh x y z P ( x y ) 2( x y ) x2 y2 z 33 DÊu “=” xÈy nµo ? x y z Hướng dẫn: x2 y2 z ( x y) z DÊu “=” xÈy x y 2 x y x y z 2z 1 x y x y hay t DÊu “=” xÈy x y z §Æt t Víi x y z z z XÐt hµm sè f (t ) t2 , víi t t 2.7)Cho x, y, z là các số thực dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức P x2 y2 z2 x yz Hướng dẫn: P ( x y z) 2 DÊu “=” xÈy x y z x yz t2 §Æt t x y z Ta cã P f (t ) víi t t 2.8)Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn xyz Tìm giá trị nhỏ biểu thøc P x y z x yz Hướng dẫn: P ( x y z) 2 DÊu “=” xÈy x y z x yz §Æt t x y z Ta cã x y z 33 xyz t vµ P f (t ) t2 víi t t 2.9)Cho x, y là các số thực dương Chứng minh xy ( x y ) x y xy Hướng dẫn: xy ( x y ) x y xy 4( x y ) 4( x y ) 1 x y 1 2( x y ) x y x y t §Æt t x y XÐt hµm sè f (t ) 2t , víi t 17 Lop12.net (18) 2.10)Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn x y xy( x y ) Tìm giá trị nhỏ cña biÓu thøc P x y xy Hướng dẫn: P ( x y ) 3( x y ) §Æt t x y Víi x y xy( x y ) Ta cã xy( x y ) ( x y) ( x y) x2 y2 vµ ( x y) ( x y) Suy hay x y Vµ P t 3t , víi t 2.11)Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn x y xy( x y ) Tìm giá trị nhỏ cña biÓu thøc P x y 9( x y ) xy 2.12)Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a (b c) a(b c)(a b c) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc P a b c 3(bc 2a)(b c) 9(a b c) Hướng dẫn: §Æt x a, y b c 2.13)Cho x, y, z lµ c¸c sè thùc tháa m·n x y z T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc P xy yz zx xy yz zx Hướng dẫn: §Æt t xy yz zx , víi x y z xy yz zx hay t ;1 Ta cã P f (t ) t 1 , víi t ;1 t2 t 4t f ' (t ) t (t 2) (t 2) 13 f (0) 2, f ( ) , f (1) Suy Pmax f (1) t hay x y z 3 vµ Pmin f (0) t hay xy yz zx vµ x y z 1 2.14)Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn Chứng minh x y z x y z 17 DÊu “=” xÈy nµo ? z x y 1 2.15)Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ x y z x y z biÓu thøc P z x y 2.16)Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x y z biÓu thøc P z x 1 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña x y z y 18 Lop12.net (19) 2.17)Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x y z biÓu thøc P z x y 2.18)Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn biÓu thøc P x y z 1 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña x y z 1 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña x y z z x y 2.19)Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn x y 2( x y ) xy Tìm giá trị lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A xy xy x y Hướng dẫn: Ta cã ( x y ) 2( x y ) 4( x y ) xy 5( x y ) ( x y ) 5( x y ) x y vµ xy xy ( x y ) 2( x y ) Suy §Æt t x y , víi t 1;4 x y Khi đó A f (t ) t 2t ,với t 1;4 t 2t 2t 2(t 1)(t 2t 2) f ' (t ) 2t t t2 t2 A ( x y ) 2( x y ) Suy max A f (4) x=y=2; vµ A f (1) x y 2.20)Cho x, y lµ c¸c sè thùc tháa m·n x y xy T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A xy 3x y xy( x y ) ( x y ) Hướng dẫn: ( x y) ( x y ) ( x y) xy x y 2 4( x y ) ( x y ) ( x y ) 2 x y Vµ A ( x y ) 2( x y ) §Æt t x y , víi t 2;2 Ta cã Khi đó A f (t ) t 2t ,với t 2;2 f ' (t ) 4t 4t t 0, t 1 f (0) 0, f (1) 1, f (2) Suy max A x y 1 A 1 1 x hoÆc ,y 2 x 1 1 1 1 1 1 hoÆc x hoÆc ,y ,y 2 2 x 1 1 1 1 ,y 2 19 Lop12.net (20) 2.21)Cho c¸c sè thùc x 0, y tháa m·n x y 2( x y ) xy T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A x y xy x y2 Hướng dẫn: ( x y ) x y 2( x y ) xy ( x y ) 2 2 2 2 ( x y ) 5( x y ) x y vµ A ( x y ) 2( x y ) 2 §Æt t x y , víi t 1;4 x y Ta cã 2.22)Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn 2( x y ) x y x y Tìm giá trị lớn 1 1 nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A 4 x y xy Hướng dẫn: 1 12 Ta cã 2( x y ) x y x y 4 vµ xy y x 1 1 1 1 12 4 3 xy y x y x y x 1 1 1 1 1 Suy 3 x y x y x y 1 1 §Æt t , víi t 1;1 Ta cã A 4t t t = t 3t x y 2t 2t XÐt hµm sè f (t ) = t 3t ,víi t 1;1 2t 2 f ' (t ) 2t 0 (2t 2) 19 Suy A f (1) x y ; max A f (1 ) x y 20 Lop12.net (21)