Đang tải... (xem toàn văn)
Với các lí do nêu trên chúng tôi đã chọn đề tài nghiên cứu cho luận văn của mình là “Bài toán về tính nhiều nghiệm của bài toán biên cho phương trình elliptic suy biến phi tuyến”.. Kết q[r]
(1)Lời cảm ơn
Luận văn hồn thành Khoa Tốn học, Học viện Khoa học Công nghệ, hướng dẫn GS TSKH Nguyễn Minh Trí Sự giúp đỡ hướng dẫn tận tình, nghiêm túc thầy suốt trình thực đề tài giúp tác giả trưởng thành nhiều cách tiếp cận vấn đề Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, lòng kính trọng sâu sắc thầy
Tác giả xin trân trọng cảm ơn lãnh đạo Học viện, Phịng Đào tạo Sau đại học, Khoa Tốn học thầy giáo, giáo Viện Tốn học giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt q trình học tập hồn thành khóa luận
Hà Nội, ngày 10 tháng 10 năm 2020 Tác giả
(2)Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan Luận văn tự làm hướng dẫn GS TSKH Nguyễn Minh Trí Trong q trình nghiên cứu hồn thành luận văn, kế thừa thành nhà khoa học với trân trọng biết ơn Các kết trích dẫn luận văn trung thực rõ nguồn gốc
Hà Nội, ngày 10 tháng 10 năm 2020 Tác giả
(3)Bảng kí hiệu
N Tập số tự nhiên
R Tập số thực
C Tập số phức
∅ Tập rỗng
C0∞(Ω) Không gian hàm khả vi vô hạn giá compact
(4)Mục lục
Lời cảm ơn
Lời cam đoan
Bảng kí hiệu
Lời mở đầu
1 Kiến thức chuẩn bị
1.1 Không gian Lp bất đẳng thức
1.2 Không gian S1p(Ω) 10
1.3 Phương trình ellptic suy biến chứa tốn tử Grushin 12 Tính nhiều nghiệm toán biên elliptic suy biến 20 2.1 Đặt toán 20
2.2 Chứng minh định lý 22
2.3 Định lý 44
(5)(6)Lời mở đầu
Lí thuyết phương trình vi phân đạo hàm riêng nghiên cứu cơng trình J D’Alembert (1717 - 1783), L Euler (1707 1783), D Bernoulli (1700 1782), J Lagrange (1736 -1813), P Laplace (1749 - 1827), S Poisson (1781 - 1840) J Fourier (1768 - 1830), cơng cụ để mơ tả học mơ hình giải tích Vật lí Vào kỷ XIX với xuất cơng trình Riemann, lí thuyết phương trình vi phân đạo hàm riêng chứng tỏ công cụ thiết yếu nhiều ngành toán học Cuối kỷ XIX, H Poincaré mối quan hệ biện chứng lí thuyết phương trình vi phân đạo hàm riêng ngành tốn học khác Sang kỷ XX, lí thuyết phương trình vi phân đạo hàm riêng phát triển vơ mạnh mẽ nhờ có cơng cụ giải tích hàm, đặc biệt từ xuất lí thuyết hàm suy rộng S L Sobolev L Schwartz xây dựng
(7)Nguyên Minh Trí [D T Luyen and N M Tri, Infinitely many solu-tions for a class of perturbed degenerate elliptic equasolu-tions involv-ing the Grushin operator,Complex Variables and Elliptic Equations 2020, doi: 10.1080/17476933.2020.1730824]
Nội dung luận văn gồm chương: Chương Kiến thức chuẩn bị
Trong chương chúng tơi trình bày khái niệm, định lý sử dụng luận văn trình bày phương trình elliptic suy biến dạng Grushin
Chương Trong chương chúng tơi trình bày chi tiết phần chứng minh bổ đề định lý kết báo “In-finitely many solutions for a class of perturbed degenerate elliptic equations involving the Grushin operator"
(8)Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, chúng tơi trình bày số kiến thức khơng gian Lp, khơng gian Sobolev có trọng định lý nhúng Chương gồm ba phần:
- Phần thứ nhất: Trình bày khơng gian Lp vá số bất đắng thức liên quan đến không gian Lp.
- Phần thứ hai: Trình bày khơng gian Sobolev có trọng định lý nhúng
- Phần thứ ba: Trình bày phương trình elliptic suy biến chứa tốn tử Grushin
1.1 Khơng gian Lp và bất đẳng thức Định nghĩa 1.1.1 [1] Cho Ω miền đo theo nghĩa Lebesgue Rn. Họ hàm số f : Ω → R có lũy thừa bậc p
(1 ≤ p < +∞) mođun khả tích Ω, nghĩa R
Ω
|f|pdµ <
+∞ gọi khơng gian Lp(Ω, µ) hay Lp(Ω).
(9)µ độ đo thể tích, nghĩa
µ(A) = V ol(A),∀A ⊂ R3.
Khi với 1 ≤ p < +∞ khơng gian hàm đo Lp(Ω) =
{f : Ω → R} thỏa mãn R
Ω
|f|pdxdydz < +∞.
Định nghĩa 1.1.2 [1] Không gian Lp(Ω),1 ≤ p < +∞ không gian định chuẩn với chuẩn xác định sau
||f||Lp(Ω) :=
Z
Ω
|f|pdµ
1 p
.
Định lý 1.1.1 (Bất ng thc Hăolder) Cho Rn l b chn
với biên trơn,p, q ∈ R thỏa mãn 1 < p, q < +∞, 1p+1q = 1 f ∈
Lp(Ω),
g ∈ Lq(Ω) Khi có (i) f g ∈ L1(Ω).
(ii) ||f g||L1(Ω) ≤ ||f||Lp(Ω)||g||Lq(Ω).
Dấu “=" xảy ∃α, β ∈ R, α, β ≥ 0, α + β > 0
thỏa mãn α|f|p = β|g|q h k n trên Ω.
Định lý 1.1.2 (Bt ng thc Hăolder tng quỏt) Cho Rn là
miền bị chặn với biên trơn số thựcp1, p2, , pn ∈ (1,+∞), r ∈
[1,+∞) thỏa mãn
n
X
i=1
1
pi
= 1
r, fi ∈ L
pi(Ω),∀i = 1,2, , n.
(10)(i) f1f2 fn ∈ Lr(Ω).
(ii) ||f1f2 fn||Lr(Ω) ≤ ||f1||Lp1(Ω) ||fn||Lpn(Ω).
Định lý 1.1.3 (Bất đẳng thức Young) Cho Ω ⊂ Rn là miền bị
chặn với biên trơn số thực p1, p2, , pn ∈ (1,+∞) thỏa mãn
n
P
i=1
pi = 1 fi ∈ L
pi(Ω), với i = 1,2, , n. Khi ta có
n
Y
i=1
||fi||Lpi(Ω) ≤
n
X
i=1
||fi|| pi
Lpi(Ω)
pi .
Định lý 1.1.4 (Bất đẳng thức Poincaré) Cho Ω ⊂ Rn là miền
bị chặn với biên trơn số thực p ≥ 1 ∃c > 0 cho ||u||Lp(Ω) ≤ c
n
X
j=1
||Dju||Lp(Ω),∀u ∈ C∞
0 (Ω).
Định lý 1.1.5 (Định lý nhúng không gian Lp) Cho Ω ⊂ Rn
là miền bị chặn số thực p, q ∈ [1,+∞), p < q. Khi phép nhúng Lq(Ω) ,→ Lp(Ω) liên tục
1.2 Không gian S1p(Ω) Cho Ω ⊂ RN1 ×
RN2 miền bị chặn với biên trơn số thực α > 0.
Định nghĩa 1.2.1 (Xem [2]) Với 1 ≤ p < ∞, ta định nghĩa tập tất hàm u ∈ Lp(Ω) cho ∂x∂u
i,|x|
α ∂u
∂yj ∈ L
p(Ω) với mọi i = 1,2, , N1, j = 1,2, , N2 không gian S1p(Ω)
Chuẩn S1p(Ω) định nghĩa kukSp
1 (Ω) =
N1 X i=1 ∂u ∂xi p
Lp(Ω) + N2 X j=1
|x|α ∂u
∂yj p
Lp(Ω)
+kukpLp(Ω)
!1p
(11)Nếu p = 2 định nghĩa tích vơ hướng S1p(Ω) sau:
(u, v)S2
1(Ω) =
N1
X
i=1
∂u
∂xi, ∂v ∂xi
L2(Ω) +
N2
X
j=1
|x|α ∂u
∂yj,|x|
α ∂v
∂yj
L2(Ω) + (u, v)L2(Ω).
Không gian S1p,0(Ω) định nghĩa bao đóng C01(Ω) khơng gian S1p(Ω) với C01(Ω) tập hàm C1(Ω) có giá compact Ω
Dễ dàng chứng minh S1p(Ω) S1p,0(Ω) không gian Banach, không gian S12(Ω) S12,0(Ω) không gian Hilbert
Từ Mệnh đề [8] có định lí nhúng sau:
Mệnh đề 1.2.1 Giả sử Nα = N1+N2(1 +α) > 2 Khi phép nhúng
S12,0(Ω) ,→ L2∗α (Ω), trong đó 2∗
α =
2Nα Nα −2,
là liên tục Hơn nữa, phép nhúng S2
1,0(Ω) ,→ Lq (Ω) compact
với q ∈ [1,2∗α) Đặt ∇α := ∂ ∂x1 , ∂ ∂x2 , , ∂ ∂xN1
,|x|α ∂
∂y1
, ,|x|α ∂
∂xN2
.
Nhận xét 1.2.1 Chúng ta có hai chuẩn kukS2
1,0(Ω)
|||u|||S2
1,0(Ω) =
Z
Ω
|∇αu|2dxdy
1
(12)Định nghĩa 1.2.2 Cho H H không gian Banach, O(u)
là lân cận điểm u Ánh xạ E : O(u) ⊂ H → H gọi khả vi Fréchet điểm u tồn ánh xạ
T ∈ L(H,H) cho:
kE(u + h) − E(u) − T hkH = o(khkH), h > 0,
với h nằm lân cận điểm 0 Khi T gọi đạo hàm Fréchet E u ký hiệu DE(u) = T
Định lý 1.2.1 Giả sử E ánh xạ khả vi Fréchet không gian Banach H với không gian đối ngẫu H0, đối ngẫu
H H0 h., i : H × H0 −→ R, giả sử DE : H −→ H0
định nghĩa đạo hàm Fréchet E Khi đạo hàm E
u theo hướng v ký hiệu hv, DE(u)i = DE(u)(v)
1.3 Phương trình ellptic suy biến chứa tốn tử Grushin
Năm 1970, nhà toán học người Nga V V Grushin đưa toán tử
Gα := ∆x+|x|2α∆y với (x, y) ∈ Ω ⊂ RN1+N2, N1, N2 ≥ 1, α ∈ Z+
trong [7], ví dụ điển hình cho lớp tốn tử hypoelliptic, khơng elliptic Nhà tốn học V V Grushin chứng minh Gαu hàm khả vi vô hạn miền Ω u khả vi vơ
hạn miền Ω tính chất địa phương Gα tác giả
(13)các khái niệm phương trình elliptic suy biến chứa toán tử Grushin
Xét toán tử vi phân
P(x, D) = X
|α|≤m
aα(x)Dα,
trong x = (x1, , xn) ∈ Ω miền Rn α =
(α1, , αn) ∈ Zn+ đa số, |α| = α1 + + αn, aα(x) ∈ C(Ω,R) hàm cho trước,
Dα = (−i)|α| ∂
|α|
∂x1α1∂x2α2 ∂xnαn .
Hàm số
P(α, ζ) = X
|α|≤m
aα(x)ζα,
với ζ = (ζ1, , ζn) ∈ Rn, ζα = ζ1α1 ζnαn, gọi biểu trưng
toán tử P(x, D).
Hàm số
Pm(α, ζ) =
X
|α|=m
aα(x)ζα
được gọi biểu trưng tốn tử P(x, D).
Định nghĩa 1.3.1 Toán tử P(x, D) gọi elliptic x ∈
Ω ∀ζ ∈ Rn thì P
m(x, ζ) ≤ 0 Pm(x, ζ) = 0 ⇐⇒ ζ = 0.
Toán tử P(x, D) gọi elliptic miền Ω elliptic ∀x ∈ Ω.
Ví dụ 1.3.1 Xét tốn tử Laplace P(x, D) =
n
P
j=1
Djj(x),
Djj(x) = − ∂2 ∂x2
j
(14)Khi ta có
P(x, ζ) = P2(x, ζ) =
n
X
i=1
−ζi2 ≤ 0,∀ζ ∈ B(0,1)
và
P2(x, ζ) = 0 ⇐⇒ ζ = 0.
Do P(x, D) tốn tử elliptic hình cầu đơn vị
Ví dụ 1.3.2 Xét tốn tử Gα(x, y, D) = ∆x +|x|2α∆y,
x, y ∈ Ω ⊂ RN1 ×
RN2, N1, N2 ≥ 1, α ∈ R+
∆x = N1
X
j=1
∂2
∂x2j, ∆y = N2
X
l=1
∂2
∂yl2.
+ Với α = 0 G0(x, y, D) toán tử Laplace nên G0(x, y, D)
là toán tử elliptic Ω.
+ Với α > 0
Pm(x, ζ, γ) = P2(x, ζ, γ) =
N1
X
j=1
−ζj2 +
N2
X
l=1
−(x21 + x22 + +x2N1)α.γl2
= −
N1
X
j=1
ζj2 − (x21 + x22 + +x2N1)α
N2
X
l=1
γl2 ≤ 0,∀(ζ, γ ∈ Ω).
Nhưng Gα(x, y, D) không elliptic điểm dạng (0, y).
Do toán tử Gα(x, y, D) elliptic miền Ω\{(0, y)}
không elliptic miền {(0, y) |(0, y) ∈ Ω}.
Ví dụ 1.3.3 Xét tốn tử Pα,β(x, y, z, D) = ∆x+∆y+|x|2α|y|2β∆ z,
trong x ∈ RN1, y ∈
(15)trưng
Pα,β(x, y, z, ζ) = −
N1
X
i=1
ζi2 −
N1+N2
X
j=N1+1
ζj2 − |x|2α|y|2β
N1+N2+N3
X
l=N1+N2+1
ζl2. Pα,β(x, y, z, D) elliptic miền Ω\{(0, y, z)} ∪ {x,0, z}.
Định nghĩa 1.3.2 Toán tử P(x, D) gọi elliptic suy biến Ω ∀ζ ∈ Rn thì P
m(x, ζ) ≤ 0,∀x ∈ Ω ∃x0 ∈ Ω,0 6= ζ0 ∈
Rn cho Pm(x0, ζ0) = 0.
Các toán tử Gα Pα,β ví dụ 1.3.2, ví dụ 1.3.3 tốn tử elliptic suy biến Ω
Định lý 1.3.1 Cho Ω miền bị chặn với biên trơn RN.
Ánh xạ f : Ω → R ánh xạ Carathéodory (tức f(., ζ) đo ∀ζ ∈ R f(x, y, ) liên tục với (x, y) ∈ Ω) thỏa mãn
|f(x, y, ζ)| ≤ f1(x, y) + f2(x, y)|ζ|θ, hầu khắp nơi Ω × R,
trong f1(x, y) ∈ Lp1(Ω), f2(x, y) ∈ Lp2(Ω), pp1
1−1 ≤ 2
∗
α, θ > 0,
(θ + 1) p2
p2−1 ≤ 2
∗
α, p1 > 1, p2 ≥
2∗α 2∗
α−θ−1.
Khi ta có Φ1(u) ∈ C1(S12,0(Ω),R)
Φ01(u)(v) =
Z
Ω
f(x, y, u)v(x, y)dxdy, ∀v ∈ S12,0(Ω),
trong
F(x, y, u) =
u
Z
0
f(x, y, ζ)dζ Φ1(u) =
Z
Ω
(16)Chứng minh Ta chứng minh định lý theo bước sau
Bước Ta chứng minh Φ1 có đạo hàm theo nghĩa Gâteaux Thật
vậy, cho u, v hai hàm S12,0(Ω), với (x, y) ∈
Ω, t ∈ R 0 < |t| < 1 theo Định lý giá trị trung bình tồn
λ ∈ [0,1] thỏa mãn
F x, y, u(x, y) + tv(x, y) − F x, y, u(x, y)
t
= |f x, y, u(x, y) + λtv(x, y)v(x, y)| ≤ f1(x, y) + f2(x, y)|u(x, y) + tv(x, y)|θ
|v(x, y)| ≤
f1(x, y) + 2θf2(x, y) |u(x, y)|θ +|v(x, y)|θ
|v(x, y)|.
Áp dụng bt ng thc Hăolder v Mnh 1.2.1, chỳng ta có
Z
Ω
f1(x, y)|v(x, y)|dxdy ≤ ||f1||Lp1(Ω)
Z
Ω
|v(x, y)|p1p−11dxdy
p1−1 p1
≤ C||f1||Lp1(Ω)||v||S2 1,0(Ω),
Z
Ω
f2(x, y)|u(x, y)|θ|v(x, y)|dxdy
≤ ||f2||Lp2(Ω)
Z
Ω
|u(x, y)|(θ+1)pp2−12dxdy
θ(p2−1) (θ+1)p2 Z
Ω
|v(x, y)|(θ+1)pp2−12dxdy
p2−1 (θ+1)p2
≤ C||f2||Lp2(Ω)||u||θ
S1,02 (Ω)||v||S1,02 (Ω),
Z
Ω
f2(x, y)|v(x, y)|θ+1dxdy ≤ ||f2||Lp2(Ω)
Z
Ω
|v(x, y)|(θ+1)pp2−12dxdy
p2−1 (θ+1)p2
≤ ||f2||Lp2(Ω)||v||θ+1
(17)Do
F x, y, u(x, y) + tv(x, y)
− F x, y, u(x, y)
t
∈ L1(Ω).
Nên theo Định lý giá trị trung bình Định lý Lebesgue tồn đạo hàm Gâteaux Φ1 u
DΦ1(u)(v) = Z
Ω
f x, y, u(x, y)v(x, y)dxdy,∀v ∈ S12,0(Ω).
Bước Ta chứng minh đạo hàm Gâteaux Φ1 đạo hàm Fréchet Tức ta đạo hàm Gâteaux Φ1 liên tục u S2
1,0(Ω)
∗
-topology Thật vậy, giả sử un → u S2
1,0(Ω)
theo Mệnh đề 1.2.1 dãy {un} ∞
n=1 chứa dãy đơn
giản ta ký hiệu {un} ∞
n=1 thỏa mãn (
un → u Lp,1 ≤ p ≤ 2∗
α n → ∞,
un → u h.k.n Ω n → ∞.
(1.1) Đặt
(
ϕn(x, y) = f1(x, y) + f2(x, y)|un(x, y)|θ ∀n = 1,2,· · · , ϕ(x, y) = f1(x, y) + f2(x, y)|u(x, y)|θ,
(1.2) Vì f ánh xạ Carathéodory kết hợp với (1.1) (1.2) ta có
(
ϕn(x, y) → ϕ(x, y) h.k.n Ω,
|f x, y, un(x, y)| ≤ ϕn(x, y) h.k.n Ω. (1.3)
Với hm v S12,0() ỏp dng bt ng thc Hăolder Mệnh đề 1.2.1 ta có
|(DΦ1(un)−DΦ1(u))(v)| ≤ C||f(x, y, un)−f(x, y, u)||
L
2∗αp2 p2θ+2∗α(Ω)
(18)Như
||(DΦ1(un)− DΦ1(u))||(S2 1,0(Ω))∗
≤C||f(x, y, un) − f(x, y, u)|| L
2∗αp2 p2θ+2∗α(Ω)
. (1.4)
Mặt khác theo (1.3) ta có
f x, y, un(x, y)
− f x, y, u(x, y)
2∗αp2 p2θ+2∗α
≤ C
f x, y, un(x, y)
2∗αp2 p2θ+2∗α
+C
f x, y, u(x, y)
2∗αp2 p2θ+2∗α
≤ C|ϕn(x, y)|
2∗αp2
p2θ+2∗α +C|ϕ(x, y)| 2∗αp2 p2θ+2∗α
≤ C1|ϕn(x, y) − ϕ(x, y)|
2∗αp2
p2θ+2∗α +C
1|ϕ(x, y)|
2∗αp2 p2θ+2∗α
hầu khắp nới Ω nên theo Bổ đề Fatou ta có
Z
Ω
lim inf
n→∞
C1|ϕn(x, y) −ϕ(x, y)|
2∗αp2
p2θ+2∗α + C
1|ϕ(x, y)|
2∗αp2 p2θ+2∗α
−
f x, y, un(x, y)
− f x, y, u(x, y)
2∗αp2 p2θ+2∗α
dxdy
≤ lim inf
n→∞
Z
Ω
C1|ϕn(x, y) −ϕ(x, y)|
∗
αp2
p2θ+2∗α + C
1|ϕ(x, y)|
2∗αp2 p2θ+2∗α
−
f x, y, un(x, y)
− f x, y, u(x, y)
2∗αp2 p2θ+2∗α
dxdy
≤ lim sup
n→∞
Z
Ω
C1|ϕn(x) − ϕ(x)|
∗
αp2
p2θ+2∗α +C
1|ϕ(x)|
2∗αp2 p2θ+2∗α
−
f x, un(x)
−f x, u(x)
2∗αp2 p2θ+2∗α
dxdy
≤ lim
n→∞
Z
Ω
C1|ϕn(x) − ϕ(x)|
2∗αp2
p2θ+2∗α + C
1|ϕ(x)|
2∗αp2 p2θ+2∗α
(19)
Mà theo (1.3)
Z
Ω
|ϕn(x, y) − ϕ(x, y)|
∗
αp2
p2θ+2∗αdxdy → 0 khi n → ∞.
Nên
Z
Ω
lim sup
n→∞
f x, y, un(x, y)
− f x, y, u(x, y)
2∗αp2 p2θ+2∗α
dxdy = 0.
Do lim
n→∞
Z
Ω
f x, y, un(x, y)
−f x, y, u(x, y)
2∗αp2 p2θ+2∗α
dxdy = 0.
Kết hợp với (1.4) ta có
||(DΦ1(un) −DΦ1(u))||(S1,02 (Ω))∗ = 0.
Như Φ1 khả vi Fréchet
Φ01(u)(v) =
Z
Ω
f(x, y, u)v(x, y)dxdy,∀v ∈ S12,0(Ω).
(20)Chương 2
Tính nhiều nghiệm tốn biên elliptic suy biến
Trong chương chúng tơi trình bày tính nhiều nghiệm tốn biên elliptic suy biến chứa toán tử Grushin Các kết chương đư trình bày báo “D T Luyen and N M Tri, Infinitely many solutions for a class of perturbed degenerate el-liptic equations involving the Grushin operator,Complex Variables and Elliptic Equations 2020, doi: 10.1080/17476933.2020.1730824." 2.1 Đặt toán
Xét toán biên elliptic suy biến chứa toán tử Grushin
(
−Gαu = f(x, y, u) + g(x, y, u) Ω,
u = 0 ∂Ω, (2.1)
trong Ω miền bị chặn với biên trơn RN := RN1 ×
RN2,
x ∈ RN1, y ∈
RN2 thỏa mãn Ω ∩ {(x, y) ∈ RN, x = 0} 6= ∅