Bước 2: Sử dụng định nghĩa giá trị tuyệt đối để khử dấu giá trị tuyệt đối Phân tích hàm số đã cho thành các phần không có chứa dấu giá trị tuyệt đối Dạng hàm số cho bởi nhiều công thức [r]
(1)ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHẢO SÁT HÀM SỐ Bài viết chia làm phần lớn: Phần I : Sơ lược các bài toán liên quan đến đồ thị hàm số Phần II : Hệ thống hóa các dạng toán thường gặp khảo sát hàm số Phần I : SƠ LƯỢC CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐỒ THỊ HÀM SỐ 1.BAØI TOÁN : ĐỒ THỊ CỦA HAØM SỐ CÓ MANG DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI TOÙM TAÉT GIAÙO KHOA Phöông phaùp chung: Để vẽ đồ thị hàm số có mang dấu giá trị tuyệt đối ta có thể thực sau: Bước 1: Xét dấu các biểu thức chứa biến bên dấu giá trị tuyệt đối Bước 2: Sử dụng định nghĩa giá trị tuyệt đối để khử dấu giá trị tuyệt đối Phân tích hàm số đã cho thành các phần không có chứa dấu giá trị tuyệt đối ( Dạng hàm số cho nhiều công thức) Bước 3: Vẽ đồ thị phần ghép lại( Vẽ chung trên hệ trục tọa độ) * Các kiến thức thường sử dụng: Định nghĩa giá trị tuyệt đối : A neáu A = − A neáu A≥0 A<0 Ñònh lyù cô baûn: B ≥ A =B⇔ A = ±B Một số tính chất đồ thị: a) Đồ thị hai hàm số y=f(x) và y=-f(x) đối xứng qua trục hoành b) Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng c) Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng Gv: Trần Quang Thuận Lop12.net 0912.676.613 – 091.5657.952 (2) ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI * Ba daïng cô baûn: Bài toán tổng quát: (C1 ) : y = f ( x) Từ đồ thị (C):y=f(x), hãy suy đồ thị các hàm số sau: (C ) : y = f ( x ) (C ) : y = f ( x) Daïng 1: Từ đồ thị (C ) : y = f ( x) → (C1 ) : y = f ( x) Caùch giaûi f ( x) neáu f(x) ≥ (1) B1 Ta coù : (C1 ) : y = f ( x) = (2) − f ( x) neáu f(x) < B2 Từ đồ thị (C) đã vẽ ta có thể suy đồ thị (C1) sau: • Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm phía trên trục Ox ( (1) ) • Lấy đối xứng qua Ox phần đồ thị (C) nằm phía trục Ox ( (2) ) • Bỏ phần đồ thị (C) nằm phía trục Ox ta (C1) Minh hoïa y y f(x)=x^3-3*x+2 f(x)=x^3-3*x+2 f(x)=abs(x^3-3*x+2) 8 y=x3-3x+2 6 y = x3-3x+2 4 (C1 ) : y = x − x + 2 x x -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 9 (C): y = x -3x+2 y=x3-3x+2 -2 -2 -4 -4 -6 -6 -8 -8 Daïng 2: Từ đồ thị (C ) : y = f ( x) → (C ) : y = f ( x) ) ( ñaây laø haøm soá chaün) Caùch giaûi (1) f ( x) neáu x ≥ B1 Ta coù : (C ) : y = f ( x) ) = (2) f (− x) neáu x < B2 Từ đồ thị (C) đã vẽ ta có thể suy đồ thị (C2) sau: • Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm phía bên phải trục Oy ( (1) ) • Lấy đối xứng qua Oy phần đồ thị (C) nằm phía bên phải trục Oy ( do tính chaát haøm chaün ) • Bỏ phần đồ thị (C) nằm phía bên trái trục Oy (nếu có) ta đươcï (C2) Gv: Trần Quang Thuận Lop12.net 0912.676.613 – 091.5657.952 (3) ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Minh hoïa: y y x y=x -3x+2 y y f(x)=x^3-3*x+2 f(x)=x^3-3*x+2 f(x)=abs(x^3)-abs(3*x)+2 8 6 y = x3-3x+2 (C ) : y = x − x + 4 2 x x x x -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -9 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 y=x3-3x+2 (C ) : y = f ( x) → (C ) : y = f ( x) -2 (C): y = x3-3x+2 -2 Daïng 3: -8 Từ đồ thị -4 -4 -6 -6 -8 Caùch giaûi f ( x) ≥ B1 Ta coù : (C ) : y = f ( x) ⇔ y = f ( x) y = − f ( x) (1) (2) B2 Từ đồ thị (C) đã vẽ ta có thể suy đồ thị (C3) sau: • Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm phía trên trục Ox ( (1) ) • Lấy đối xứng qua Ox phần đồ thị (C) nằm phía trên trục Ox ( (2) ) • Bỏ phần đồ thị (C) nằm phía trục Ox ta (C3) Minh hoïa: y y y f(x)=x^3-3*x+2 y f(x)=x^3-3*x+2 f(x)=x^3-3*x+2 f(x)=-(x^3-3*x+2) y=x -3x+2 y = x -3x+2 (C3) : y = x3 −3x + x x -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 x x -2 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -4 y = x -3x+2 y=x(C):3-3x+2 -6 -2 -4 -8 -6 -8 BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Baøi 1: Cho haøm soá : y = − x + 3x (1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số (1) Từ đồ thị (C) đã vẽ, hãy suy đồ thị các hàm số sau: a) y = − x + 3x b) y = − x + x Gv: Trần Quang Thuận Lop12.net c) y = − x + 3x 0912.676.613 – 091.5657.952 (4) ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI x +1 (1) x −1 Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số (1) Từ đồ thị (C) đã vẽ, hãy suy đồ thị các hàm số sau: x +1 x +1 x +1 x +1 b) y = d) y = c) y = a) y = x −1 x −1 x −1 x −1 Baøi 2: Cho haøm soá : y = e) y = x +1 x −1 SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ 2.BAØI TOÁN : Bài toán tổng quát: (C ) : y = f(x) Trong mp(Oxy) Hãy xét tương giao đồ thị hai hàm số : (C2 ) : y = g(x) y y M y2 y1 (C1 ) x O M2 (C2 ) (C1 ) M0 x x1 O x2 x O (C2 ) (C2 ) (C1) vaø (C2) khoâng coù ñieåm chung y (C1 ) (C1) vaø (C2) caét (C1) vaø (C2) tieáp xuùc Phöông phaùp chung: * Thiết lập phương trình hoành độ giao điểm đồ thị hai hàm số đã cho: f(x) = g(x) (1) * Khaûo saùt nghieäm soá cuûa phöông trình (1) Soá nghieäm cuûa phöông trình (1) chính là số giao điểm hai đồ thị (C1) và (C2) Ghi nhớ: Số nghiệm pt (1) = số giao điểm hai đồ thị (C1) và (C2) Chuù yù : * (1) voâ nghieäm ⇔ (C1) vaø (C2) khoâng coù ñieåm ñieåm chung * (1) coù n nghieäm ⇔ (C1) vaø (C2) coù n ñieåm chung Chuù yù : * Nghiệm x0 phương trình (1) chính là hoành độ điểm chung (C1) và (C2) Khi đó tung độ điểm chung là y0 = f(x0) y0 = g(x0) y y0 Gv: Trần Quang Thuận x0 O Lop12.net x 0912.676.613 – 091.5657.952 (5) ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI AÙp duïng: 2x − và đường thẳng (d ) : y = −3 x − x +1 Ví dụ: Tìm tọa độ giao điểm đường cong (C): y = Minh hoïa: y f(x)=(2*x-1)/(x+1) f(x)=-3*x-1 x(t )=-1 , y(t )=t 15 f(x)=2 ` 10 -20 -15 -10 2x − x +1 (C ) : y = -5 10 15 -5 x 20 25 -10 -15 -20 ( d ) : y = −3 x − b Điều kiện tiếp xúc đồ thị hai hàm số : Ñònh lyù : f(x) = g(x) (C1) tiếp xúc với (C1) ⇔ hệ : ' coù nghieäm ' f (x) = g (x) y (C1 ) M x O ∆ (C ) AÙp duïng: Ví duï: Cho ( P) : y = x − 3x − vaø (C ) : y = − x + 2x − Chứng minh (P) và (C) tiếp xúc x −1 Minh hoïa: y f(x)=x^2-3*x-1 f(x)=(-x^2+2*x-3)/(x-1) 15 (C ) (P) 10 x Gv: Trần Quang Thuận -20 -15 -10 -5 -5 Lop12.net 10 15 0912.676.613 – 091.5657.952 20 25 (6) ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Baøi 1: Cho haøm soá y = ( x − 1)( x + mx + m) (1) Xác định m cho đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành điểm phân biệt Baøi 2: Cho haøm soá y = x − x − (C) Gọi (d) là đườngthẳng qua điểm M(0;-1) và có hệ số góc k Tìm k để đường thẳng (d) cắt (C) taïi ba ñieåm phaân bieät Baøi 3: Cho haøm soá y = x − 3x + (C) Gọi (d) là đườngthẳng qua điểm A(3;20) và có hệ số góc m Tìm m để đường thẳng (d) caét (C) taïi ba ñieåm phaân bieät Baøi : Cho haøm soá y = x − mx + m − (1) Xác định m cho đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành điểm phân biệt x2 − 2x + Baøi 5: Cho haøm soá y = (1) x −2 Tìm m để đường thẳng (d): y = mx+2-2m cắt đồ thị hàm số (1) hai điểm phân biệt x2 − x −1 (1) Baøi 6: Cho haøm soá y = x +1 Tìm m để đường thẳng (d): y = m(x-3)+1 cắt đồ thị hàm số (1) hai điểm phân biệt x2 + x + Baøi 7: Cho haøm soá y = x+2 Tìm các giá trị m để đường thẳng (d):y=mx+2-m cắt đồ thị hàm số hai điểm phân biệt thuộc cùng nhánh đồ thị mx + x + m Baøi 8: Cho haøm soá y = (1) x −1 Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành taị hai điểm phân biệt và hai điểm đó có hoành độ döông x + mx − Baøi 9: Cho haøm soá y = (1) x −1 Định m để đường thẳng y=m cắt đồ thị hàm số (1) hai điểm phân biệt A, B cho OA ⊥ OB x + mx − Bài 10: Tìm m để tiệm cận xiên hàm số y = cắt các trục toạ độ hai điểm A,B cho x −1 dieän tích tam giaùc OAB baèng x2 + Baøi 11: Cho haøm soá y = x +1 Viết phương trình đường thẳng (d) qua điểm M(2; ) cho (d) cắt đồ thị (C) hai điểm phaân A,B vaø M laø trung ñieåm cuûa AB − x + 3x − Baøi 12: Cho haøm soá y = (1) 2( x − 1) Tìm m để đường thẳng y=m cắt đồ thị hàm số (1) hai điểm A,B cho AB=1 Baøi 13: Cho haøm soá y = ( x − 1)( x + mx + m) (1) Tìm m để đồ thị hàm số (1) tiếp xúc với trục hoành Xác định tọa độ tiếp điểm trường hợp tìm Gv: Trần Quang Thuận Lop12.net 0912.676.613 – 091.5657.952 (7) ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI x2 − x +1 Viết phương trình đường thẳng (d) qua M(0;1) và tiếp xúc với đồ thị x −1 Baøi 14: Cho haøm soá y = haøm soá Baøi 15: Cho haøm soá y = x − 3x + x−2 (C) Tìm trên (C) tất các cặp điểm đối xứng qua điểm I ( ;1) 2 x − 2x + (C) và hai đường thẳng (d1 ) : y = − x + m & (d ) : y = x + Baøi 16: Cho haøm soá y = x −1 Tìm tất các giá trị m để (C) cắt (d1) hai điểm phân biệt A, B đối xứng qua (d2) Baøi 17: Cho haøm soá y = x + (1) x Chứng minh đường thẳng (d ) : y = x + m luôn cắt (C) hai điểm phân biệt A,B Gọi I là trung điểm đoạn thẳng AB, hãy tìm m để I nằm trên đường thẳng (∆ ) : y = x + TIẾP TUYẾN VỚI ĐƯỜNG CONG 3.BAØI TOÁN 3: a Daïng 1: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C):y = f(x) điểm M (x ; y ) ∈ (C) y (C): y=f(x) y0 M x0 ∆ x Phöông phaùp: Phương trình tiếp tuyến với (C) M(x0;y0) có dạng: y - y0 = k ( x - x0 ) Trong đó : x0 : hoành độ tiếp điểm y0: tung độ tiếp điểm và y0=f(x0) k : hệ số góc tiếp tuyến và tính công thức : k = f'(x0) AÙp duïng: Ví dụ: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = x − 3x + điểm uốn nó Gv: Trần Quang Thuận Lop12.net 0912.676.613 – 091.5657.952 (8) ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI `b Daïng 2: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C): y=f(x) biết tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước y (C): y=f(x) y0 M ∆ x x0 Phương pháp: Ta có thể tiến hành theo các bước sau Bước 1: Gọi M ( x0 ; y0 ) ∈ (C ) là tiếp điểm tiếp tuyến với (C) Bước 2: Tìm x0 cách giải phương trình : f ' ( x0 ) = k , từ đó suy y0 = f ( x0 ) =? Bước 3: Thay các yếu tố tìm vào pt: y - y0 = k ( x - x0 ) ta pttt cần tìm Chú ý : Đối với dạng người ta có thể cho hệ số góc k dạng gián tiếp : tiếp tuyến song song, tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng cho trước y y (C): y=f(x) k=a y = ax + b (C): y=f(x) ∆ x x O ∆1 ∆2 k = −1 / a ∆ : y = ax + b Khi đó ta cần phải sử dụng các kiến thức sau: Định lý 1: Nếu đường thẳng ( ∆ ) có phương trình dạng : y= ax+b thì hệ số góc ( ∆ ) là: k∆ = a Định lý 2: Nếu đường thẳng ( ∆ ) qua hai điểm A( x A ; y A ) và B(x B ; yB ) với x A ≠ x B thì hệ số goùc cuûa ( ∆ ) laø : k∆ = yB − y A xB − x A Định lý 3: Trong mp(Oxy) cho hai đường thẳng (∆1 ) và (∆ ) Khi đó: ∆1 // ∆ ⇔ k ∆1 = k ∆2 ∆1 ⊥ ∆ ⇔ k ∆1 k ∆2 = −1 AÙp duïng: Gv: Trần Quang Thuận Lop12.net 0912.676.613 – 091.5657.952 (9) ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI x + x − 2x − 3 Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng (d): y = 4x+2 x2 + Ví dụ 2: Cho đường cong (C): y = x +1 Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (∆) : y = −3 x Ví duï1: Cho đường cong (C): y = c Daïng 3: Viết phương trình tiếp tuyến với (C): y=f(x) biết tiếp tuyến qua điểm A(xA;yA) y (C ) : y = f ( x) A( x A ; y A ) x O ∆ : y − y A = k(x − xA ) ⇔ y = k(x − xA ) + y A Phương pháp: Ta có thể tiến hành theo các bước sau Bước 1: Viết phương trình đường thẳng ( ∆ ) qua A và có hệ số góc là k công thức: y − y A = k ( x − x A ) ⇔ y = k ( x − x A ) + y A (*) Bước 2: Định k để ( ∆ ) tiếp xúc với (C) Ta có: f(x)=k(x-x A ) + y A ∆ tieáp xuùc (C) ⇔ heä ' coù nghieäm (1) f ( x ) = k Bước 3: Giải hệ (1) tìm k Thay k tìm vào (*) ta pttt cần tìm AÙp duïng: Ví dụ1: Cho đường cong (C): y = x + 3x + Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến qua điểm A(0;-1) 2x − Ví dụ 2: Cho đường cong (C): y = x−2 Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến qua điểm A(-2;0) BAØI TAÄP REØN LUYEÄN x − x + x taïi ñieåm uoán vaø chứng minh ∆ là tiếp tuyến (C) có hệ số góc nhỏ x2 + x −1 Bài 2: Cho đường cong (C): y = x+2 Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (∆ ) : y = x − Bài 1: Viết phương trình tiếp tuyến ∆ đồ thị (C) hàm số y = x + 3x + Baøi 3: Cho haøm soá y = (C) x +1 x 0912.676.613 – 091.5657.952 Tìm trên đồ thị (C) các điểm mà tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng (d ) : y = Gv: Trần Quang Thuận Lop12.net (10) ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI x2 + x + x +1 Tìm các điểm trên (C) mà tiếp tuyến với (C) đó vuông góc với tiệm cận xiên (C) x2 + x −1 (C) Baøi 5: Cho haøm soá y = x −1 Tìm các điểm trên đồ thị (C) mà tiếp tuyến điểm với đồ thị (C) vuông góc với đường thẳng qua hai điểm cực đại, cực tiểu (C) m (Cm) Baøi 6: Cho haøm soá y = x + x + 3 Gọi M là điểm thuộc (Cm) có hoành độ -1 Tìm m để tiếp tuyến (Cm) điểm M song song với đường thẳng 5x-y=0 Bài 7: Cho đường cong (C): y = x − 3x + Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến qua điểm M(2;-7) Bài 4: Cho đường cong (C): y = 4.BAØI TOÁN 4: BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ Cơ sở phương pháp: Xeùt phöông trình f(x) = g(x) (1) Nghiệm x0 phương trình (1) chính là hoành độ giao điểm (C1):y=f(x) và (C2):y=g(x) y x0 Daïng : (C1 ) (C2 ) x Bằng đồ thị hãy biện luận theo m số nghiệm phương trình : f(x) = m (*) Phöông phaùp: Bước 1: Xem (*) là phương trình hoành độ giao điểm hai đồ thị: • (C ) : y = f ( x ) : (C) là đồ thị cố định • (∆ ) : y = m : (∆) là đường thẳng di động cùng phương Ox vaø caét Oy taïi M(0;m) Bước 2: Vẽ (C) và ( ∆ ) lên cùng hệ trục tọa độ Bước 3: Biện luận theo m số giao điểm ( ∆ ) và (C) Từ đó suy số nghiệm phương trình (*) Gv: Trần Quang Thuận 10 Lop12.net 0912.676.613 – 091.5657.952 (11) ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI (C ) : y = f ( x ) Minh hoïa: y m2 x O m1 ∆ y=m (0; m ) Dạng 2: Bằng đồ thị hãy biện luận theo m số nghiệm phương trình : f(x) = g(m) (* *) Phöông phaùp: Ñaët k=g(m) Bước 1: Xem (**) là phương trình hoành độ giao điểm hai đồ thị: • (C ) : y = f ( x ) : (C) là đồ thị cố định • (∆ ) : y = k : (∆) là đường thẳng di động cùng phương Ox vaø caét Oy taïi M(0;k) Bước 2: Vẽ (C) và ( ∆ ) lên cùng hệ trục tọa độ Bước 3: Biện luận theo k số giao điểm ( ∆ ) và (C) Dự a vào hệ thức k=g(m) để suy m Từ đó kết luận số nghiệm phương trình (**) y Minh hoïa: K2 O M1 ∆ K (0; k ) x y=k AÙp duïng: Ví dụ: 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = x − x + 12 x − 2) Bieän luaän theo m soá nghieäm cuûa phöông trình: x − x + 12 x − − m = 3) Tìm m để phương trình sau có nghiệm phân biệt: x − x + 12 x = m BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Baøi 1: Bieän luaän theo m soá nghieäm cuûa caùc phöông trình : x2 x2 a =m b =m x −1 x −1 Bài 2: Tìm k để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt: − x + x + k − 3k = Gv: Trần Quang Thuận 11 Lop12.net 0912.676.613 – 091.5657.952 (12) ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Bài 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm nhất: x − 3mx + = Bài :Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt: x − x − + 2m x − = Bài 5: Tìm m để phương trình sau có nghiệm phân biệt: − x + x − − log2 m = Baøi 6: Bieän luaän theo m soá nghieäm cuûa phöông trình : e3 x − 2e2 x + 3e x = m Bài 7: Tìm a để phương trình sau có nghiệm: 91+ 1−t − (a + 2).31+ 1−t BAØI TOÁN 5: BAØI TOÁN TỔNG QUÁT: Cho họ đường cong (C m ) : y = f ( x, m) + 2a + = HỌ ĐƯỜNG CONG ( m laø tham soá ) Biện luận theo m số đường cong họ (C m ) qua điểm M ( x0 ; y ) cho trước PHÖÔNG PHAÙP GIAÛI: Ta coù : Họ đường cong (C m ) qua điểm M ( x0 ; y ) ⇔ y = f ( x , m) (1) Xem (1) laø phöông trình theo aån m Tùy theo số nghiệm phương trình (1) ta suy số đường cong họ (Cm) qua M0 Cuï theå: • Nếu phương trình (1) có n nghiệm phân biệt thì có n đường cong họ (Cm) qua M0 • Nếu phương trình (1) vô nghiệm thì đường cong họ (Cm) không qua M0 • Nếu phương trình (1) nghiệm đúng với m thì đường cong họ (Cm) qua M0 Trong trường hợp này ta nói M0 là điểm cố định họ đường cong (C m ) AÙp duïng: m2 Ví dụ: Gọi (Cm) là đồ thị hàm số y = − x + m + − Tìm m để tiệm cận xiên (Cm) qua điểm x+m A(2;0) Ví dụ: Cho hàm số y = x − 3mx + x + (1) Tìm m để điểm uốn đồ thị hàm số (1) thuộc đường thaúng y=x+1 TÌM ĐIỂM CỐ ĐỊNH CỦA HỌ ĐƯỜNG CONG BAØI TOÁN TỔNG QUÁT: Cho họ đường cong (C m ) : y = f ( x, m) ( m là tham số ) Tìm điểm cố định họ đường cong (Cm) Gv: Trần Quang Thuận 12 Lop12.net 0912.676.613 – 091.5657.952 (13) ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI PHÖÔNG PHAÙP GIAÛI Bước 1: Gọi M ( x0 ; y ) là điểm cố định (nếu có) mà họ (Cm) qua Khi đó phương trình: y = f ( x0 , m) nghiệm đúng ∀ m (1) Bước 2: Biến đổi phương trình (1) các dạng sau: Daïng 1: Am + B = ∀m Daïng 2: Am + Bm + C = ∀m A = AÙp duïng ñònh lyù: Am + B = ∀m ⇔ (2) B = A = Am + Bm + C = ∀m ⇔ B = (3) C = Bước 3: Giải hệ (2) (3) ta tìm ( x0 ; y ) BAØI TOÁN 6: TÌM CÁC ĐIỂM ĐẶC BIỆT TRÊN ĐỒ THỊ CỦA HAØM SỐ x + 3x + Baøi 1: Cho haøm soá y = x+2 Tìm trên đồ thị hàm số tất điểm có các toạ độ là nguyên x2 + x + Baøi 2: Cho haøm soá y = x +1 Tìm điểm thuộc đồ thị hàm số cho khoảng cách từ đó đến trục hoành hai lần khoảng cách từ đó đến trục tung 2x +1 Baøi 3: Cho haøm soá y = x +1 Tìm trên đồ thị hàm số điểm có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận nhỏ x2 + x − Baøi 4: Cho haøm soá y = x −1 Tìm điểm M trên đồ thị (C) cho khoảng cách từ M đến giao điểm hai đường tiệm cận là nhoû nhaát x2 + 4x + Baøi 5: Cho haøm soá y = x+2 Tìm điểm thuộc đồ thị hàm số cho khoảng cách từ điểm đó đến đường thẳng y+3x+6=0 là nhoû nhaát Baøi 6: Cho haøm soá y = x − x + x + Tìm trên đồ thị hàm số điểm M cho khoảng cách từ M đến đường thẳng (d):y=2x-1 là nhỏ nhaát Baøi 7: Cho haøm soá y = x + (C) x −1 Tìm hai điểm A,B trên hai nhánh khác (C) cho độ dài đoạn AB nhỏ Gv: Trần Quang Thuận 13 Lop12.net 0912.676.613 – 091.5657.952 (14) ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Baøi 8: Cho haøm soá y = x2 + x + x −1 Tìm trên đồ thị hàm số hai điểm đối xứng qua điểm I (0; ) 2 x Baøi 9: Cho haøm soá y = x −1 Tìm trên đồ thị hàm số hai điểm đối xứng qua đường thẳng y=x-1 CÁC BAØI TOÁN VỀ SỰ ĐỐI XỨNG BAØI TOÁN 7: x − x +1 (C) Chứng minh (C) nhận giao điểm hai tiệm cận đứng và xiên x −1 làm tâm đối xứng x + 2m2 x + m2 Baøi 2: Cho haøm soá y = (Cm) x +1 Tìm tất các giá trị tham số m để đồ thị (Cm) có hai điểm phân biệt đối xứng qua gốc toạ độ Baøi 3: Cho haøm soá y = x − 3mx + 3(m − 1) x + − m (Cm) Tìm tất các giá trị tham số m để đồ thị (Cm) có hai điểm phân biệt đối xứng qua gốc tọa độ x − mx + 5m Baøi 4: Cho haøm soá y = (Cm) x−2 Tìm tất các giá trị tham số m để đồ thị (Cm) có hai điểm phân biệt đối xứng qua gốc toạđộ Baøi 1: Cho haøm soá y = Phần II : HỆ THỐNG HÓA CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KHẢO SÁT HÀM SỐ Bài toán :Viết PTTT với đồ thị ( C ) điểm M0(x0;y0) thuộc ( C ) - PTTT coù daïng (d) : y – y0 = f’(x0) (x – x0) - Tìm x0 , y0 , f’(x0) theo sơ đồ : x0 ⇒ y0 ⇒ f’(x0) f’(x0) ⇒ x0 ⇒ y0 - Theá vaøo tìm (d) Bài toán : Viết PTTT với đồ thị ( C ) qua điểm A(xA;yA) - Pt đường thẳng (d) qua điểm A và có hệ số góc k là : (d) : y – yA = k (x – xA) f ( x ) = g ( x ) ( hàm đa thức ) - (d) tiếp xúc với ( C ) ⇔ f '( x ) = g'( x ) phương trình hoành độ điểm chung ( C ) và (d) có nghiệm kép ( hàm phân thức) { - Giaûi heä tìm k ⇒ x0 ⇒ y0 ⇒ (d) Gv: Trần Quang Thuận 14 Lop12.net 0912.676.613 – 091.5657.952 (15) ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Bài toán : Tính diện tích hình phẳng giới hạn ( C ) : y = f (x) , đường thẳng (d) : y = g(x) và các đường x = a , x = b b B1 : Ta coù S = ∫ f (x) − g(x) dx a B2 : Khử dấu GTTĐ ( các cách sau :dựa vào đồ thị ; xét dấu biểu thức dấu GTTĐ ; ñöa daáu GTTÑ khoûi daáu tích phaân ) B3 : Tính * Chuù yù : Keát quaû laø soá döông Chưa đủ đường thì tìm cho đủ cách lập pt hoành độ điểm chung ( pt tung độ điểm chung ) Bài toán : Tính diện tích hình tròn xoay (C) : y = f (x) Ox : y = ( baét buoä c phaûi coù) Hinh phaúng : x = a x = b (C ) : x = f ( y ) Oy : x = ( baét buoäc phaûi coù) Hình phaúng : y = a y = b Quay quanh truïc O y Quay quanh truïc O x b Coù theå tích laø : V = π (f (x))2 dx ∫ b Coù theå tích laø : V = π (f (y))2 dy ∫ a a * Bình phöông haøm soá f(x) roài tính Bài toán : Dựa vào đồ thị biện luận số nghiệm phương trình g(x) = B1 : Đưa phương trình g(x) = dạng f(x) = m ( f(x) = m + C ) (1) với f(x) là đồ thị ( C ) hàm số vừa khảo sát trên B2 : (1) là pt hoành độ điểm chung ( C ) và đường thẳng (d) :y = m (hoặc (d) :y = m + C ) Soá nghieäm cuûa (1) = soá giao ñieåm cuûa ( C ) vaø (d) B3 : Dựa vào đồ thị ta có : trường hợp ( sử dụng các giá trị yCT , y CĐ BBT ) * m<? *m=? * ? < m < ?? * m = ?? * m > ?? Gv: Trần Quang Thuận 15 Lop12.net 0912.676.613 – 091.5657.952 (16) ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI * Có thể hỏi trường hợp ( VD : dựa vào đồ thị tìm các giá trị m để phương trình có nghieäm phaân bieät) Bài toán : Biện luận số giao điểm hai đường y = f(x) và y = g(x) B1 : PT hoành độ điểm chung : f(x) = g(x) (1) Thu gọn lại B2 : Bieän luaän *Neáu (1) laø PT : ax + b = *Neáu (1) laø PT : ax2 + bx + c = Biện luận trường hợp : Biện luận trường hợp : a = : ⇒ giaù trò tham soá m, theá vaøo PT, a = : ⇒ giaù trò tham soá m, theá vaøo PT, keát keát luaän nghieäm ⇒ soá giao ñieåm luaän nghieäm ⇒ soá giao ñieåm a≠ : ⇒ giaù trò m ⇒ ngieäm ⇒ giao a≠ : ⇒ giá trị m ; tính ∆ ( ∆’) ; xét dấu ñieåm ∆ ( ∆’) ⇒ số giao điểm Bài toán :Tìm m để hàm số tăng ( giảm ) trên R hay trên khoảng xác định B1 : TXÑ B2 : Tính y’ B3 : Để hàm số tăng giảm trên R y' ≥ ( y' ≤ ) ⇔ y' > ( y' < ) ∆ ≤ ⇒ giaûi BPT tìm ⇔ ∆ < ⇒ giaûi BPT tìm hàm bậc ba hàm còn lại m m Bài toán : Xác định m để hàm số có cực trị ( có CĐ và CT ) B2 : y’ B3 : Để HS có cực trị thì PT y’ = có nghiệm phân biệt ⇒ ∆ > ( ∆’ > 0) B4 : Giải BPT tìm m ( bậc thì chuyển vế , bậc thì xét dấu ∆ ( ∆’) Bài toán : Xác định m để hàm số có cực trị ( có CĐ và CT ) B2 : y’ B3 : Để HS có cực trị thì PT y’ = có nghiệm phân biệt ⇒ ∆ > ( ∆’ > 0) B4 : Giải BPT tìm m ( bậc thì chuyển vế , bậc thì xét dấu ∆ ( ∆’) Bài toán 10 : Tìm m để đồ thị ( Cm ) nhận điểm uốn có hoành độ là x0 B1 : TXÑ B2 : Tính y’ , y’’ B3 : Để đồ thị có điểm uốn x0 thì y’’ (x0) = : giải PT tìm m B4 : (Thử lại) Thế m vào y’’ = Nếu x0 đồ thị có điểm uốn thì nhận m Gv: Trần Quang Thuận 16 Lop12.net 0912.676.613 – 091.5657.952 (17) ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Bài toán 11 : Tìm m để đồ thị nhận điểm I(x0 ;y0) làm điểm uốn B1 : TXÑ B2 :y’ ; y’’ y' ' ( x ) = Giaûi heä tìm m y ( x ) = y B3 : I(x0 ;y0) laø ñieåm uoán ⇔ Bài toán 12 : Tìm m để đồ thị ( C ) :y = f(x) cắt đường thẳng d : y = g(x) điểm phân biệt (đối với Hàm bậc ) B1 : PT hoành điểm điểm chung f(x) = g(x) Tìm nghiệm đặc biệt x0 B2 : Chia đa thức đưa dạng :(x – x0)( Ax + Bx + C ) = (1) x − x = ⇔ Ax + Bx + C = (2) B3 : ( Cm ) caét d taïi ñieåm phaân bieät ⇔ (1) coù nghieäm pb ⇔ (2) coù nghieäm khaùc x0 Ax 20 + Bx + C ≠ ⇔ A ≠ ∆ > Bài toàn 13 : Tìm m để hàm trùng phương có cực trị ( có cực trị) - TXÑ @ Tính :y’ - Để hs có cực trị ( có cực trị ) thì pt y’ = có nghiệm ( có nghiệm pb) - Giải phöông trình tìm m ( Phaân tích pt baäc thaønh tích cuûa pt baäc vaø pt baäc 2) * Cách khác : Để hs có cực trị thì a và b trái dấu ( a.b < 0) Để hs có cực trị thì a và b cùng dấu ( a.b > 0) Bài toán 14 : Tìm m để đồ thị ( Cm ) :y = f(x) cắt đường thẳng d : y = g(x) điểm phân biệt (đối với Hàm bậc 4) - PT hoành điểm điểm chung f(x) = g(x) Đưa PT trùng phương (1) - Ñaët t = x (t ≥ 0) PT trở thành at + bt + c = (2) - ( Cm ) cắt đường thẳng d điểm phân biệt ⇔ (1) có nghiệm pb ⇔ (2) coù nghieäm döông pb ⇔ < t1 < t2 Gv: Trần Quang Thuận 17 Lop12.net 0912.676.613 – 091.5657.952 (18) ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ∆ > c ⇔ P = > a b S = − a > B4 : Giaûi heä BPT tìm m Bài toán 15 : Tìm tát các điểm trên đồ thị có toạ độ nguyên (x, y là số nguyên) ( hàm phân thức) * Chia tử cho mẫu để dạng :y = Ax + B cx+d B phải là số nguyên ⇒ (cx + d) là ước B ⇒ x ⇒ y ⇒ điểm cx+d x − = ⇒ x ⇒ y x − = −1 ⇒ x ⇒ y x − = ⇒ x ⇒ y M(x ; y) VD : là số nguyên ⇒ (x – 1) là ước ⇒ x −1 x − − −2 ⇒ x ⇒ y x − = ⇒ x ⇒ y x − = −4 ⇒ x ⇒ y * Để x, y là số nguyên thì Bài toán 16 :Tìm tập hợp điểm x = c ⇒ Tập hợp các điểm M là đường thẳng x = c M y = f ( m ) x = f ( m ) * Tìm toạ độ điểm M cần tìm M ⇒ Tập hợp các điểm M là đường thẳng y = c y = c M x = f (m ) ⇒ Khử m , tập hợp các điểm M là đường : F(x, y) = y = g(m ) Bài toán 17 : Xác định m để hàm số có cực trị ( có CĐ và CT ) M(x0 ; y0) B1 : TXÑ B2 : y’ y '( x0 ) = B3 : Để HS có cực trị ( có CĐ và CT ) M thì : y ( x ) = y0 B4 : Giaûi heä PT tìm m B5 : Thử lại (thế m vào pt y’ = ⇒ x ; Vẽ BBT M hàm số thoả yêu cầu đề thì nhận m) Gv: Trần Quang Thuận 18 Lop12.net 0912.676.613 – 091.5657.952 (19) ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Bài toán 18 : Xác định m để (Cm) luôn lồi ( lõm) :( hàm trùng phương) * TXÑ * Tính :y’ ; y’’ * Để đồ thị hs lồi (hoặc lõm) thì : y’’≤ , ∀x ( y’’≥ , ∀x ) ⇒ ∆ ≤ ( ∆ ≥ 0) ; ∆ y’’ * Giaûi bpt tìm m Bài toàn 19 : Tìm m để hàm trùng phương có cực trị ( có cực trị) * TXÑ * Tính :y’ * Để hs có cực trị ( có cực trị ) thì pt y’ = có nghiệm ( có nghiệm pb) * Giaøi phöông trình tìm m ( Phaân tích pt baäc thaønh tích cuûa pt baäc vaø pt baäc 2) * Cách khác : Để hs có cực trị thì a và b trái dấu ( a.b < 0) Để hs có cực trị thì a và b cùng dấu ( a.b > 0) Bài toán 20 : Chứng minh từ điểm M (a ; b) trên đồ thị (C) có tích các khoảng cách từ M đến đường tiệm cận (C) số ( không phụ thuộc vào M) : + Viết pt các đường tiệm cận dạng tổng quát : Ax + By + C = + Aùp dung công thức tính khoảng cách từ điểm M đến đt ∆ : d (M, ∆) = A.x M + B.y M + C A + B2 tính khoảng cách từ M đến đường tiệm cận + Tính tích : d1.d2 ( là khoảng cách trên) + Vì M ∈ (C) ⇒ b = f( a) ( toạ độ điểm M vào hàm số ) + Thay vaøo tích : d1.d2 ruùt goïn thaønh haèng soá * Mở rộng bài toán : Chứng minh tổng các khoảng cách từ M đến đường tiệm cận (C) đạt giá trị lớn : + Laøm nhö treân + Thêm bước : Aùp dụng BĐT Côsi cho số d1 và d2 : d1 + d2 ≤ d1 d2 Vì d1.d2 là số nên (d1 + d2 ) đạt giá trị mlớm = d1 d2 Gv: Trần Quang Thuận 19 Lop12.net 0912.676.613 – 091.5657.952 (20)