Đang tải... (xem toàn văn)
Cần nhớ: Để chứng minh đt song song mp ta chứng minh tích vô hướng của VTCP và VTPT bằng 0 và một điểm thuộc đường thẳng nhưng không thuộc mp... Chú ý: Ta không cần viết pt mpOyz mà ta c[r]
(1)CÁC DẠNG TOÁN ÔN THI TỐT NGHIỆP NĂM 2010 – 2011 Vấn đề 1: Phương trình mặt phẳng Kiến thức cần nhớ: - Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng: Vectơ n gọi là vectơ pháp tuyến mp(P) giá n vuông góc với (P), viết tắt là n (P) - Nếu hai vectơ a, b không cùng phương có giá song song nằm trên mp(P) thì mp(P) có vectơ pháp tuyến là: n P a, b - Phương trình tổng quát mp có dạng: Ax+By+Cz+D=0 với A B2 C2 - Phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M(x ;y ;z ) có vectơ pháp tuyến n P A;B;C có dạng: A x x B y y C z z Cần nhớ: moät ñieåm M(x ;y ;z ) thuoäc mp moä t VTPT n A;B;C - Để viết phương trình mặt phẳng ta cần tìm: Các dạng toán Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng(P) qua điểm M(x ;y ;z ) và vuông góc Ñieåm ñi qua M(x ;y ;z ) VTPT n P ad HD với đường thẳng d Cần nhớ: MP vuông góc đường thẳng nhận VTCP đt làm VTPT x 2t Bài 1: Viết phương trình mp(P) qua điểm A(2;2;-1) và vuông góc với đt d: y 3t z Ñieåm ñi qua A(2;2-1) VTPT n P ad HD Bài giải - Mặt phẳng (P) qua điểm A(2;2;-1) - Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là n P ad 2; 3;0 - Pt mp(P) : A x x B y y C z z x y z 1 2x 3y 2x 3y Cần nhớ: Mp(P) vuông góc đường thẳng d nhận vectơ ad làm vectơ pháp tuyến Bài 2: Viết phương trình mp(P) qua điểm A(2;2;-1) và vuông góc với đường thẳng d: x 1 y z 2 Ñieåm ñi qua A(2;2-1) VTPT n P ad HD Bài giải - Mặt phẳng (P) qua điểm A(2;2;-1) Lop12.net (2) - Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là n P ad 1;2; 2 - Pt mp(P) : A x x B y y C z z x y z 1 x 2y 2z x 2y 2z Cần nhớ: Mp(P) vuông góc đường thẳng d nhận vectơ ad làm vectơ pháp tuyến Bài 3: Cho ba điểm A(2;0;0), B(0;2;0), C(0;0;2) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua B vuông góc với AC Ñieåm ñi qua B(0;2;0) VTPT n P AC HD Bài giải - Mặt phẳng (P) qua điểm B(0;2;0) - Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là n P AC 2;0;2 - Pt mp(P) : A x x B y y C z z x y z x + 2z = x+z=0 Cần nhớ: Mp(P) vuông góc đường thẳng AC nhận vectơ AC làm vectơ pháp tuyến Viết phương trình mặt phẳng (P) vuông góc với BC B Ñieåm ñi qua B(0;2;0) VTPT n P BC HD Bài giải - Mặt phẳng (P) qua điểm B(0;2;0) - Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là n P BC 0; 2;2 - Pt mp(P) : A x x B y y C z z x 0 y 2 z 0 y+4+2z=0 y+2z+4=0 Cần nhớ: Mp(P) vuông góc đường thẳng BC nhận vectơ BC làm vectơ pháp tuyến Bài 4: Cho hai điểm A(1;1;1), B(3;3;3) Viết phương trình mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB Ñieåm ñi qua laø trung ñieåm I(2;2;2) VTPT n P AB HD Bài giải - Gọi (P) là mp trung trực đoạn thẳng AB Gọi I là trung điểm AB I 2;2;2 Mặt phẳng (P) qua điểm I(2;2;2) Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là n P AB 2;2;2 Pt mp(P) : A x x B y y C z z x y z y+2y+2z-12=0 Cần nhớ: Mp trung trực đoạn thẳng AB là mp vuông góc với đoạn thẳng AB trung điểm I đoạn thẳng AB Lop12.net (3) Kiến thức không quên - Mp (Oxy) có VTPT: n i, j k 0;0;1 - Mp (Oxz) có VTPT: n i, k j 0;1;0 - Trục Ox có VTCP là i 1;0;0 - Trục Oy có VTCP là j 0;1;0 - Trục Oz có VTCP là k 0;0;1 - Mp (Oyz) có VTPT: n j, k i 1;0;0 Bài 5: Cho điểm M(1;2;3) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với trục Ox Ñieåm ñi qua M(1;2;3) VTPT n P i 1;0;0 HD Bài giải - Mặt phẳng (P) qua điểm M(1;2;3) - Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là n P i 1;0;0 - Pt mp(P) : A x x B y y C z z x 1 y z 3 x-1=0 Cần nhớ: Mp(P) vuông góc trục Ox nhận vectơ i làm vectơ pháp tuyến Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với trục Oy Ñieåm ñi qua M(1;2;3) VTPT n P j 0;1;0 HD Bài giải - Mặt phẳng (P) qua điểm M(1;2;3) - Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là n P j 0;1;0 - Pt mp(P) : A x x B y y C z z x 1 1 y z 3 y-2=0 Cần nhớ: Mp(P) vuông góc trục Oy nhận vectơ j làm vectơ pháp tuyến Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với trục Oz Ñieåm ñi qua M(1;2;3) VTPT n P k 0;0;1 HD Bài giải - Mặt phẳng (P) qua điểm M(1;2;3) - Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là n P k 0;0;1 - Pt mp(P) : A x x B y y C z z x 1 y 1 z 3 z =0 Cần nhớ: Mp(P) vuông góc trục Oz nhận vectơ k làm vectơ pháp tuyến Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng(P) qua ba điểm A, B, C Ñieåm ñi qua A(x ; y ;z ) HD VTPT n P AB,AC Lop12.net (4) Bài 1: Viết phương trình mp(P) qua ba điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1) Bài giải - Mặt phẳng (P) qua điểm A(1;0;0) - Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là n P AB,AC - AB 1;1;0 Với AC 1;0;1 n P AB,AC 1;1;1 Pt mp(P) : A x x B y y C z z x 1 1 y 1 z x 1 y z x y z 1 Bài 2: Cho hai điểm M(1;1;1), N(1;-1;1) Viết phương trình mp(OMN) HD Ñieåm ñi qua O, VTPT n P OM,ON Bài giải - Mặt phẳng (P) qua điểm O(0;0;0) - Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là n P OM,ON - OM 1;1;1 Với ON 1; 1;1 n P OM,ON 2;0; 2 Pt mp(P) : A x x B y y C z z x 0 y 0 z 0 x 2z Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng(P) qua điểm M(x ;y ;z ) và song song Ñieåm ñi qua M(x ;y ;z ) VTPT n P nQ HD với mp(Q) Bài 1: Viết phương trình mp(P) qua điểm A(1;2;3) và song song với mp(Q): 2x+2y+z=0 Ñieåm ñi qua A(1;2;3) VTPT n P n Q HD Bài giải - Mặt phẳng (P) qua điểm A(1;2;3) - Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là n P n Q 2;2;1 - Pt mp(P) : A x x B y y C z z x 1 y 1 z 3 x 2y z x 2y z Cần nhớ: Hai mp song song cùng VTPT Lop12.net (5) Bài 2: Cho ba điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1) Viết phương trình mp(P) qua điểm M(1;2;3) và song song với mp(ABC) Ñieåm ñi qua M VTPT n n AB,AC P ABC HD Bài giải - Mặt phẳng (P) qua điểm M(1;2;3) - Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là n P n ABC AB,AC - AB 1;1;0 Với AC 1;0;1 n P AB,AC 1;1;1 Pt mp(P) : A x x B y y C z z x 1 1 y 1 z 3 x 1 y z xyz6 Bài 3: Viết pt mp(P) qua điểm M(1;2;3) và song song mp(Oxy) Ñieåm ñi qua M(1;2;3) VTPT n i, j k 0;0;1 P HD Bài giải - Mặt phẳng (P) qua điểm M(1;2;3) - Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là n P i, j k 0;0;1 - Pt mp(P) : A x x B y y C z z x 1 y 1 z 3 z-3=0 Bài 4: Viết pt mp(P) qua điểm M(1;2;3) và song song mp(Oxz) Ñieåm ñi qua M(1;2;3) VTPT n i, k P j 0;1;0 HD Bài giải - Mặt phẳng (P) qua điểm M(1;2;3) - Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là n P i, k j 0;1;0 - Pt mp(P) : A x x B y y C z z x 1 1 y z 3 y-2=0 Bài 5: Viết pt mp(P) qua điểm M(1;2;3) và song song mp(Oyz) Ñieåm ñi qua M(1;2;3) VTPT n P j, k i 1;0;0 HD Bài giải - Mặt phẳng (P) qua điểm M(1;2;3) Lop12.net (6) - Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là n P j, k i 1;0;0 - Pt mp(P) : A x x B y y C z z x 1 y z 3 x-1=0 Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng(P) qua hai điểm A, B và Ñieåm ñi qua A VTPT n AB,n P Q Bài 1: Viết pt mp(P) qua điểm A(3;1;-1), B(2;-1;4) và vuông góc với mp (Q): 2x-y+3z-1=0 Ñieåm ñi qua A HD Bài giải VTPT n AB,n P Q - Mặt phẳng (P) qua điểm A(3;1;-1) - Hai vectơ không cùng phương có giá song song nằm trên (P) là: AB 1; 2;5 n Q 2; 1;3 - Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là : n P AB,n Q 1;13;5 - Pt mp(P) : A x x B y y C z z HD vuông góc với mp(Q) x 3 13 y 1 z 1 x-13y-5z+5=0 Bài 2: Viết pt mp(P) qua điểm A(3;1;-1), B(2;-1;4) và vuông góc với mp(Oxy) Ñieåm ñi qua A HD Bài giải VTPT n AB, k P - Mặt phẳng (P) qua điểm A(3;1;-1) - Hai vectơ không cùng phương có giá song song nằm trên (P) là: AB 1; 2;5 k 0;0;1 - Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là n P AB, k =(-2;1;0) - Pt mp(P) : A x x B y y C z z x 3 1 y 1 z 1 x+y+5=0 Bài 3: Viết pt mp(P) qua gốc tọa độ, điểm A(1;1;1) và vuông góc với mp(Oyz) Ñieåm ñi qua O HD Bài giải VTPT n OA,i P - Mặt phẳng (P) qua điểm O(0;0;0) Lop12.net (7) - - Hai vectơ không cùng phương có giá song song nằm trên (P) là: OA 1;1;1 i 1;0;0 Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là n P OA,i =(0;1;-1) Pt mp(P) : A x x B y y C z z x 1 y 1 z y-z=0 Vấn đề 2: Phương trình đường thẳng Kiến thức cần nhớ: - Vectơ phương đường thẳng là vectơ có giá song songvới đt trùng với đt Đường thẳng d qua điểm M(x ;y ;z ) có vectơ phương ad a; b;c : x x at Có pt tham số: y y bt z z ct Có phương trình chính tắc: x x0 y y0 z z0 , a.b.c a b c một điểm M(x ;y ;z ) thuộc đường thẳng moät VTCP ad a; b;c Cần nhớ: Để viết pt đường thẳng ta tìm: Các dạng toán Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm A, B Ñieåm ñi qua A HD VTCP aAB AB Cần nhớ: Đường thẳng AB có vectơ phương là vectơ AB Bài 1: Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm A(1;2;3), B(2;1;4) Ñieåm ñi qua A VTCP aAB AB HD Bài giải - Đường thẳng AB qua điểm A(1;2;3) - Đường thẳng AB có vectơ phương là: aAB AB =(1;-1;1) - x x at x t Pt tham số AB là: y y bt y t z z ct z t Bài 2: Cho ba điểm A(1;1;1), B(2;2;2), C(3;6;9) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC Viết phương trình đường thẳng OG Ñieåm ñi qua O VTCP aOG OG HD Bài giải Lop12.net (8) - Ta có G(2;3;4) - Đường thẳng OG qua điểm O(0;0;0) - Đường thẳng OG có vectơ phương là: aOG OG =(2;3;4) x x at x 2t - Pt tham số OG là: y y bt y 3t z z ct z 4t Cần nhớ: Đường thẳng OG có vectơ phương là OG Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M và vuông góc với mp(P) Ñieåm ñi qua M HD VTCPad n P Bài 1: Viết pt đường thẳng d qua điểm M(1;2;3) và vuông góc với mp(P): x-2y-z-1=0 Ñieåm ñi qua M VTCP ad n P HD Bài giải - Đường thẳng d qua điểm M(1;2;3) - Đường thẳng d có vectơ phương là: ad n P =(1;-2;-1) - x x at x t Pt tham số d là: y y bt y 2t z z ct z t Cần nhớ: Đường thẳng vuông góc mp nhận VTPT mp làm VTCP Bài 2: Cho ba điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1) Viết pt đường thẳng d qua gốc tọa độ và vuông góc mp(ABC) Ñieåm ñi qua O VTCP a n AB,AC d ABC HD Bài giải - Đường thẳng d qua điểm O(0;0;0) - Đường thẳng d có vectơ phương là: ad n ABC AB,AC =(1;1;1) - x x at x t Pt tham số d là: y y bt y t z z ct z t Bài 3: Viết phương trình đường thẳng d qua M(1;2;3) và vuông góc mp(Oxy) Ñieåm ñi qua M Bài giải VTCP a i, j k d HD - Đường thẳng d qua điểm M(1;2;3) - Đường thẳng d có vectơ phương là: ad k =(0;0;1) - x x at x Pt tham số d là: y y bt y z z ct z t Lop12.net (9) Bài 4: Viết phương trình đường thẳng d qua M(1;2;3) và vuông góc mp(Oxz) Ñieåm ñi qua M VTCP a i, k d j 0;1;0 HD Bài giải - Đường thẳng d qua điểm M(1;2;3) - Đường thẳng d có vectơ phương là: ad j =(0;1;0) - x x at x Pt tham số d là: y y bt y t z z ct z Bài 5: Viết phương trình đường thẳng d qua M(1;2;3) và vuông góc mp(Oyz) Ñieåm ñi qua M VTPCP a d j, k i 1;0;0 HD Bài giải - Đường thẳng d qua điểm M(1;2;3) - Đường thẳng d có vectơ phương là: ad i =(1;0;0) - x x at x t Pt tham số d là: y y bt y z z ct z Dạng 3: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M và song song đường thẳng d’ Bài 1: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M(1;2;3) và song song với đường x t thẳng d’: y 3t z 4t Ñieåm ñi qua M VTCP a d ad ' HD Bài giải - Đường thẳng d qua điểm M(1;2;3) - Đường thẳng d có vectơ phương là: ad ad ' =(1;-3;4) - x x at x t Pt tham số d là: y y bt y 3t z z ct z 4t Bài 2: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M(1;2;3) và song song với đường thẳng d’: x 12 y 23 z 3 Ñieåm ñi qua M VTCP ad ad ' HD Bài giải - Đường thẳng d qua điểm M(1;2;3) - Đường thẳng d có vectơ phương là: ad ad ' =(1;-3;4) Lop12.net (10) - x x at x t Pt tham số d là: y y bt y 3t z z ct z 4t Bài 3: Cho ba điểm A(1;2;3), B(2;1;-3), C(3;-2;1) Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A và song song với đường thẳng BC Ñieåm ñi qua A VTCP ad BC HD Bài giải - Đường thẳng d qua điểm A(1;2;3) - Đường thẳng d có vectơ phương là: ad BC =(1;-3;4) - x x at x t Pt tham số d là: y y bt y 3t z z ct z 4t Bài 4: Viết pt đường thẳng d qua điểm A(1;2;3) và song song trục Ox Ñieåm ñi qua A VTCP ad i HD Bài giải - Đường thẳng d qua điểm A(1;2;3) - Đường thẳng d có vectơ phương là: ad i =(1;0;0) - x x at x t Pt tham số d là: y y bt y z z ct z Bài 5: Viết pt đường thẳng d qua điểm A(1;2;3) và song song trục Oy Ñieåm ñi qua A VTCP a d j HD Bài giải - Đường thẳng d qua điểm A(1;2;3) - Đường thẳng d có vectơ phương là: ad j 0;1;0 - x x at x Pt tham số d là: y y bt y t z z ct z Bài 6: Viết pt đường thẳng d qua điểm A(1;2;3) và song song trục Oz Ñieåm ñi qua A VTCP ad k HD Bài giải x - Đường thẳng d qua điểm A(1;2;3) có VTCP là ad k 0;0;1 Pt : y z t 10 Lop12.net (11) Phương trình các trục tọa độ x t Bài 1: Trục Ox qua O(0;0;0) có VTCP là i 1;0;0 có pt tham số là: y z x Bài 2: Trục Oy qua O(0;0;0) có VTCP là j 0;1;0 có pt tham số là: y t z x Bài 1: Trục Oz qua O(0;0;0) có VTCP là k 0;0;1 có pt tham số là: y z t Phương trình các mặt phẳng tọa độ Bài 1: Mp (Oxy) qua O(0;0;0) có VTPT: n i, j k 0;0;1 có pt: z=0 Bài 2: Mp (Oxz) qua O(0;0;0) có VTPT: n i, k j 0;1;0 có pt: y=0 Bài 3: Mp (Oyz) qua O(0;0;0) có VTPT: n j, k i 1;0;0 có pt: x=0 Kiến thức không quên: Pt mp(Oxy) là: z=0 Pt mp(Oxz) là: y=0 Pt mp(Oyz) là: x=0 Vấn đề 2: Các dạng toán khác Dạng 1: Tìm giao điểm đường thẳng và mặt phẳng x 1 t Bài 1: Tìm giao điểm đường thẳng d: y 1 t và mp(P):x+y-2z-4=0 z 2t Bài giải - Gọi H(x;y;z) là giao điểm đường thẳng d và mặt phẳng (P) - Xét pt: -1+t-1+t-2(-2t)-4=0 t+4-4=0 -2+2t=0 2t=2 t=1 x=-1+1=0 y=-1+1=0 H(0;0; 2) z=-2.1=-2 Cần nhớ: Nếu đường thẳng cho dạng chính tắc thì ta chuyển pt chính tắc dạng tham số x 1 y 1 z Bài 2: Tìm giao điểm đường thẳng d: và mp(P):x+y-2z-4=0 1 2 Bài giải Viết phương trình tham số đường thẳng d - Đường thẳng d qua điểm M(-1;-1;0) 11 Lop12.net (12) - Đường thẳng d có vectơ phương ad 1;1; 2 - x 1 t Phương trình tham số d là: y 1 t z 2t Tìm giao điểm đường thẳng d và mp(P) - Gọi H(x;y;z) là giao điểm đường thẳng d và mặt phẳng (P) - Xét pt: -1+t-1+t-2(-2t)-4=0 t+4-4=0 -2+2t=0 2t=2 t=1 x=-1+1=0 y=-1+1=0 H(0;0; 2) z=-2.1=-2 Cần nhớ: Nếu đề bài chưa có pt tham số thì ta viết pt tham số trước Bài 3: Cho hai điểm A(0;2;1), B(1;-1;3) và mp(P): 2x+y+3z=0 Tìm giao điểm đường thẳng AB và mp(P) Bài giải Viết phương trình tham số đường thẳng AB - Đường thẳng AB qua điểm A(0;2;1) - Đường thẳng AB có vectơ phương là: aAB AB =(1;-3;2) - x x at x t Pt tham số AB là: y y bt y 3t z z ct z 2t Tìm giao điểm đường thẳng AB và mp(P) - Gọi H(x;y;z) là giao điểm đường thẳng AB và mặt phẳng (P) - Xét pt: 2t+2-3t+3(1+2t)=0 t+2-3t+3+6t=0 5t+5=0 5t=-5 t=-1 x=-1 y=2-3 -1 H(1;5; 1) z 1 1 Bài 4: Cho ba điểm A(1;0;0) B(0;1;0), C(0;0;1) Xác định hình chiếu vuông góc A lên BC Hướng dẫn: - Bước 1: Viết phương trình đường thẳng BC - Bước 2: Viết phương trình mp(P) qua A và vuông góc BC - Bước 3: Tìm giao điểm H BC và (P), H chính là hình chiếu A lên BC 12 Lop12.net (13) Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau: Cần nhớ: Hai đường thẳng d và d’ vuông góc với ad ad ' x t Bài 1: Chứng minh hai đường thẳng d: y 3t và d’: z 2t x 2t y 2t vuông góc với z 2t Bài giải - Đường thẳng d có vectơ phương: a 1; 3;2 - Đường thẳng d’ có vectơ phương: a' 2;2;2 - Ta có: a.a' 1.2 3.2 2.2 - Vậy: Đường thẳng d và đường thẳng d’ vuông góc với Cần nhớ: Để CM hai đt vuông góc với ta chứng minh tích vô hướng hai VTCP x 2t Bài 2: Cho điểm A(1;-3;2) Chứng minh hai đt OA và d: y 2t vuông góc với z 2t Bài giải - Đường thẳng OA có vectơ phương: OA 1; 3;2 - Đường thẳng d có vectơ phương: a 2;2;2 - Ta có: OA.a 1.2 3.2 2.2 - Vậy: Đường thẳng OA và đường thẳng d vuông góc với x Bài 3: Chứng minh đường thẳng d: y 8t vuông góc với trục Ox z 9t Bài giải - Đường thẳng d có vectơ phương: a 0;8;10 - Trục Ox có vectơ phương: i 1;0;0 - Ta có: a.i 0.1 8.0 10.0 - Vậy: Đường thẳng d vuông góc với trục Ox Dạng 3: Chứng minh hai đường thẳng song song với Cần nhớ: Hai đt song song không có điểm chung: hai VTCP cuøng phöông Ta chứng minh 1 ñieåm ñt naøy khoâng ñt x t Bài 1: Chứng minh hai đường thẳng d: y t và d’: z t x 2t y 2 2t song song với z 3 2t Bài giải 13 Lop12.net (14) - Đường thẳng d qua điểm A(0;2;1) - Đường thẳng d có vectơ phương: a 1;1;1 - Đường thẳng d’ có vectơ phương: a' 2;2;2 + Ta chứng minh hai VTCP cùng phương: 1 2 Caùch 2: Do a' =2 a neân a vaø a' cuøng phöông Caùch 3: Do a,a' 0;0;0 neân a vaø a' cuøng phöông Cách 1: a vaø a' cuøng phöông + Ta chứng minh điểm A(0;2;1) thuộc d không thuộc d’ 0 2t t Thế tọa độ điểm A vào pt d’: 2 2 2t t suy A không thuộc d’ 1 5 2t t Vậy: d và d’ song song với ba t baèng A d' Cần nhớ: Khi tọa độ điểm A vào d’ ba t khoâ n g baè n g A d' Phải nhớ: Để chứng minh hai đường thẳng song song ta chứng minh hai VTCP cùng phương và điểm thuộc đường thẳng này không thuộc đường thẳng Đề thi Tốt nghiệp năm 2008 Cho điểm M(-2;1;-2) và đt d: x 1 y 1 z CMR đường thẳng OM song song đt d 1 Bài giải - Đường thẳng OM qua điểm O(0;0;0) - Đường thẳng OM có vectơ phương: OM 2;1; 2 - Đường thẳng d có vectơ phương: a' 2; 1;2 2 2 1 1 1 1 Suy điểm O thuộc đường Thế tọa độ điểm O vào pt d ta có: 1 Ta có: OM vaø a cuøng phöông thẳng OM không thuộc đt d Vậy: Đt OM song song đường thẳng d ba phaân soá baèng d Cần nhớ: Khi tọa độ điểm O vào d ba phaân soá khoâng baèng d Dạng 4: Chứng minh đường thẳng song song với mp: Ta chứng minh a.n và điểm thuộc đt không thuộc mp x 2t Bài 1: Chứng minh đường thẳng d: y 3t song song mp(P): 3x+4y+z-9=0 z 6t 14 Lop12.net (15) Bài giải - Đường thẳng d có vectơ phương: a 2;3; 6 - MP(P) có vectơ pháp tuyến: n 3;4;1 - Ta có: a.n 2.3 3.4 6.1 - Mặt khác điểm A(1;2;3) thuộc d không thuộc (P) - Vậy: ĐT d vuông góc mp(P) Cần nhớ: Để chứng minh đt song song mp ta chứng minh tích vô hướng VTCP và VTPT và điểm thuộc đường thẳng không thuộc mp x 2t Bài 2: Chứng minh đường thẳng d: y song song mp(Oyz) z 10 6t Bài giải - Đường thẳng d có vectơ phương: a 2;0; 6 - MP(Oyz) có vectơ pháp tuyến: j 0;1;0 - Ta có: a.j 2.0 0.1 6.0 - Mặt khác điểm A(1;9;10) thuộc d không thuộc (Oyz) - Vậy: ĐT d song song mp(Oyz) Chú ý: Ta không cần viết pt mp(Oyz) mà ta cần VTPT mp(Oyz) Bài 3: Cho hai điểm A(1;2;3), B(2; 1;3) và mp(P): 2x+2y-3z-9=0 Chứng minh đường thẳng AB song song mp(P) Bài giải - Đường thẳng AB có vectơ phương: a 1; 1;0 - MP(P) có vectơ pháp tuyến: n 2;2; 3 - Ta có: a.n 1.2 1.2 0.(3) - Mặt khác điểm A(1;2;3) thuộc d không thuộc (P) - Vậy: ĐT AB song song mp(P) Dạng 5: Chứng minh đường thẳng vuông góc với mp: Ta chứng minh VTCP và VTPT cùng phương với x t Bài 1: CM đt d: y 2t vuông góc mp(P): 2x+4y+6z+8=0 z 3t Bài giải - Đường thẳng d có vectơ phương: a 1;2;3 - MP(P) có vectơ pháp tuyến: n 2;4;6 1 - Ta có: a n n 2a nên a, n cùng phương với - Vậy: ĐT d vuông góc mp(P) 15 Lop12.net (16) Vấn đề 4: Các bài toán tam giác Dạng 1: Chứng minh A, B, C là ba đỉnh tam giác ba điểm Ta chứng minh: AB,AC không cùng phương Bài 1: Cho ba điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1) Chứng minh ba điểm A, B, C là ba đỉnh tam giác Bài giải AB 1;1;0 - Ta có: AC 1;0;1 - Nhận xét: AB,AC 1;1;1 nên AB,AC không cùng phương nên A, B, C là ba đỉnh tam giác Dạng 2: Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng Ta chứng minh: AB,AC cùng phương Bài 1: Cho ba điểm A(1;1;1), B(2;2;2), C(9;9;9) Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng Bài giải AB 1;1;1 - Ta có: AC 8;8;8 - Nhận xét: AB,AC 0;0;0 nên AB,AC cùng phương nên A, B, C thẳng hàng Dạng 3: Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông Bài 1: Chứng minh tam giác ABC vuông A với A(1;-3;0), B(1;-6;4), C(13;-3;0) Bài giải AB 0; 3;4 - Ta có: AC 12;0;0 - Do AB.AC 0.12 3.0 4.0 AB AC AB AC nên ABC vuông A Dạng 4: Chứng minh tam giác ABC cân Bài 1: Chứng minh tam giác ABC cân A với A(1;1;1), B(-1;1;0), C(3;2;1) Bài giải AB 2;0; 1 AB - Ta có: AC 2;1;0 AC - Do AB AC nên ABC cân A Cần nhớ: Tam giác vuông có hai cạnh góc vuông vuông góc với Tam giác cân có hai cạnh bên Tam giác có ba cạnh 16 Lop12.net (17) Dạng 5: Chứng minh tam giác ABC là tam giác Bài 1: Chứng minh tam giác ABC là tam giác với A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1) Bài giải AB 1;1;0 - Ta có: AC 1;0;1 BC 0; 1;1 - Do AB AC AC AB AC BC 2 nên ABC là tam giác Vấn đề 5: Hình chiếu vuông góc điểm lên mp và điểm đối xứng với điểm qua mp Bài 1: Cho điểm A(-2;1;0) và mặt phẳng (P): x+2y-2z-9=0 d Xác định hình chiếu vuông góc A lên (P) A Tìm điểm A’ đối xứng với A qua (P) Bài giải Xác định hình chiếu vuông góc A lên (P) H - Gọi d là đường thẳng qua A(-2;1;0) và vuông góc với (P) P ) - Đường thẳng d có vectơ phương là: ad n P 1;2; 2 - x x at x 2 t Pt tham số d là: y y bt y 2t z z ct z 2t A/ Gọi H là giao điểm d và (P), H chính là hình chiếu vuông góc A lên (P) - Xét pt: -2+t+2(1+2t)-2.(-2t)-9=0 2 t 4t 4t 9t 9t t 1 x y=3 H(1;3; 2) z=-2 Vậy hình chiếu vuông góc A lên (P) là H(-1;3;-2) Tìm điểm A’ đối xứng với A qua (P) - Do A và A’ đối xứng qua (P) nên H là trung điểm AA’ x A x A/ xH x A/ x H x A 2 y A y A/ - Áp dụng công thức: yH y A/ y H y A A'= 0;5;-4 z A z A/ z A/ z H z A 4 4 zH Vậy điểm đối xứng với A qua mặt phẳng (P) là A’(0;5;-4) 17 Lop12.net (18) Vấn đề 6: Hình chiếu vuông góc điểm lên đt và điểm đối xứng với điểm qua đt x 2t Bài 1: Cho điểm A(1;1;8) và đường thẳng d: y 1 t z t (d) Xác định hình chiếu vuông góc A lên d Tìm điểm A’ đối xứng với A qua d A P) Bài giải Xác định hình chiếu vuông góc A lên d - Gọi (P) là đường thẳng qua A(-2;1;0) và vuông góc với d - Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là n P ad 2;1; 1 - Pt mp(P) : A x x B y y C z z H A/ x 1 1 y 1 1 z 8 x+y-z+5=0 Gọi H là giao điểm d và (P), H chính là hình chiếu vuông góc A lên d - Xét pt: 2(1+2t)+-1+t+t+5=0=0 t+2t+4=0 x=-1 6t=-6 t=-1 y=-2 H(1; 2;1) z=1 Vậy hình chiếu vuông góc A lên d là H(-1;-2;1) Tìm điểm A’ đối xứng với A qua d - Do A và A’ đối xứng qua d nên H là trung điểm AA’ x A x A/ xH x A/ x H x A 2 3 y y / - Áp dụng công thức: yH A A y A/ y H y A 4 5 A'= -3;-5;-6 z A z A/ z A/ z H z A 6 z H Vậy điểm đối xứng với A qua mặt phẳng (P) là A’(-3;-5;-6) Vấn đề 7: Chứng minh bốn điểm không đồng phẳng(bốn điểm không đồng phẳng là bốn đỉnh tứ diện) Bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng AB,AC AD Bài 1: Cho bốn điểm A(-1;-2;0), B(2;-6;3), C(3;-3;-1), D(-1;-5;3) Chứng minh bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng Giải - Tính AB 3; 4;3 , AC 4; 1; 1 , AD 0; 3;3 AB,AC AD 45 39 6 - Tính AB,AC 7;15;13 , - Vậy: Bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng Cần nhớ: Để chứng minh A, B, C, D đồng phẳng ta chứng minh AB,AC AD 18 Lop12.net (19) Tính thể tích tứ diện ABCD Giải - Tính AB 3; 4;3 , AC 4; 1; 1 , AD 0; 3;3 AB,AC AD 45 39 6 - Thể tích tứ diện ABCD: VABCD AB,AC AD 6 6 - Tính AB,AC 7;15;13 , Bài 2: Cho ba điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1) Chứng minh OABC là tứ diện, tính thể tích tứ diện OABC Giải Chứng minh OABC là một tứ diện. - Tính OA 1;0;0 , OB 0;1;0 , OC 0;0;1 OA,OB OC 0.0 0.0 1.1 - Tính OA,OB 0;0;1 , - Vậy: OABC là tứ diện Thể tích tứ diện ABCD: VABCD 1 OA,OB OC 6 Vấn đề 8: Chứng minh hai đường thẳng chéo Hai đường thẳng d và d’ chéo a,a' AB x t Bài 1: Chứng minh hai đường thẳng d: y t và d’: z x t chéo y z t Giải - Đường thẳng d qua điểm A(2;3;4) có vectơ phương là a 1;1;0 - Đường thẳng d qua điểm B(7;8;9) có vectơ phương là a' 1;0;1 - Tính a,a' 1;1;1 , AB 5;5;5 - Tính a,a' AB 1.5 1.5 1.5 15 - Vậy: d và d’ chéo Bài 2: Chứng minh hai đường thẳng d: x 1 y z x y5 z4 và d’: 2 2 1 chéo Giải - Đường thẳng d qua điểm A(1;2;0) có vectơ phương là a 2; 2;1 - Đường thẳng d qua điểm B(0;-5;4) có vectơ phương là a' 2;3; 1 - Tính a,a' 1;0;2 , AB 1; 7;4 - Tính a,a' AB 1 1 7 2.4 - Vậy: d và d’ chéo Cần nhớ: Để chứng minh hai đường thẳng đồng phẳng ta CM a,a' AB 19 Lop12.net (20) Vấn đề 9: Tìm giao điểm hai đường thẳng x t x=2-2t' Bài 1: Tìm giao điểm hai đường thẳng d: y 3t , d': y=-2+t' z t z=1+3t' Giải - Gọi H là giao điểm d và d’ 1 t 2t ' (1) - Xét hệ phương trình: 2 3t 2 t ' (2) 3 t 3t ' (3) 1 t 2t ' t 2t ' t 1 2 3t 2 t ' 3t t ' 4 t ' - Giải hệ pt gồm pt (1) và (2): - Thế t=-1 và t’=1 vào pt (3): 3-(-1)=1+3.t (thỏa) x - Thế t=-1 vào pt d: y 3(1) 1 H(0; 1;4) z (1) Cần nhớ: Nếu t=-1 và t’=1 vào (3) mà không thỏa thì d không cắt d’ Ta có thể t’=1 vào pt d’ để tìm tọa độ điểm H x t x=2-2t' Bài 2: Tìm giao điểm hai đường thẳng d: y 3t , d': y=-2+t' z t z=9+3t' Giải - Gọi H là giao điểm d và d’ 1 t 2t ' (1) - Xét hệ phương trình: 2 3t 2 t ' (2) 3 t 3t ' (3) 1 t 2t ' t 2t ' t 1 2 3t 2 t ' 3t t ' 4 t ' - Giải hệ pt gồm pt (1) và (2): - Thế t=-1 và t’=1 vào pt (3): 3-1=9+3.t (vô lí) - Vậy: d và d’ không cắt Cần nhớ: 1 t 2t ' (1) Hệ phương trình: 2 3t 2 t ' (2) có hai ẩn là t và t’ Nghiệm hệ pt là cặp giá 3 t 3t ' (3) trị t, t’ thỏa ba pt (1), (2), (3) Để tìm t, t’ ta có thể giải hệ gồm pt (1) và (2) (1) và (3) (2) và (3) Rồi t và t’ vào pt còn lại -Hết 20 Lop12.net (21)