công thức toán học ôn thi tốt nghiệp THPT quốc gia đầy đủ

công thức toán học ôn thi tốt nghiệp THPT quốc gia đầy đủ

BẢNG TÓM TẮT CÔNG THỨC TOÁN 12 7scv.com CÔNG THỨC LŨY THỪA Cho số dương a , b m, n    a0 1 Ta coù: a.a a với n  an * n thừa soá  (a )  a m n mn  (a n ) m  a a  a m n m n an  a n   am  a m n n a  a b  (ab) n n a a   n b b n n  n  m an  a  a  a2 n m  a  a3 CÔNG THỨC LOGARIT Cho số a , b  0, a  Ta coù:   log a b    a  b  lg b  log b  log10 b  ln b  log e b  log a   log a a   log a a  b  log a b  n log a b  log a m b n   log a (bc)  log a b  log a c b  log a    log a b  log a c c  log a b.logb c  log a c  a loga b  b   log c log a a b  c b  log a b  logb a  log a m b  log a b m b n log a c  logb c log a b n log a b m HÀM SỐ LŨY THỪA – MŨ – LOGARIT HÀM LŨY THỪA  Dạng: y  x y  u với u đa ax y au Nếu ĐK u Nếu ĐK u ĐK a với a u ax y a x ln a y au y a x ln a u Đặc biệt: Nếu a y  x   y   x 1  1 (e x ) ex (eu ) eu u  Sự biến thiên: y  Đạo hàm: y  u   y   u y treân u ax hàm đồng biến Nếu a hàm nghịch biến  Daïng: y log a x y log a u  Đặc biệt: a a  Đạo hàm:  Tập xác định:   Dạng: y HÀM SỐ LOGARIT  Tập xác định: D thức đại số Nếu HÀM SỐ MŨ 10 y e với y log x a a ln x ; lg x  Điều kiện xác định: u  Đạo haøm: y log a x y x ln a u y log a u y u ln a (ln x) x Đặc biệt: u (ln u) u  Sự biến thiên: y log a x Nếu a (0; : hàm đồng biến ) Nếu a hàm nghịch biến (0; 1: ) 7scv.com ĐỒ THỊ HÀM MŨ VÀ HÀM LOGARIT ĐỒ THỊ HÀM SỐ MŨ  Ta thấy: a x  Ta thấy: cx c 1; bx a 1; dx ĐỒ THỊ HÀM SỐ LOGARIT d b  So sánh a với b: Đứng cao, bắn mũi tên từ trái sang phải, trúng a x trước nên a b  So sánh c với d: Đứng cao, bắn mũi tên từ trái sang phải, trúng c x trước nên c d  Vậy b a d c  Ta thaáy: log a x a 1; logb x  Ta thaáy: log c x c 1; log d x b 1 d  So sánh a với b: Đứng cao, bắn mũi tên từ phải sang trái, trúng log b x trước: b a  So sánh c với d: Đứng cao, bắn mũi tên từ phải sang trái, trúng log d x trước: d c  Vậy a b d c PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT Phương trình mũ  Dạng bản: a f ( x)  a g ( x)  f ( x)  g ( x)  Dạng logarit hóa: Phương trình Logarit  Dạng bản: log a f ( x)  log a g( x)  f ( x)  g ( x)   Dạng mũ hóa: log a f ( x)  b  f ( x)  a a f ( x)  b  f ( x)  log a b b (không cần điều kieän) a f ( x)  b g ( x)  f ( x)  g ( x).log a b BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT Bất Phương trình mũ Bất Phương trình Logarit  Dạng bản: a 1  Dạng bản:  a f ( x)  a g ( x)  f ( x)  g ( x) a 1  log a f ( x)  log a g ( x)  f ( x)  g ( x)  0 a 1  a f ( x)  a g ( x)  f ( x)  g ( x) 0 a 1  log a f ( x)  log a g ( x)   f ( x)  g ( x) CÔNG THỨC ĐẠO HÀM  k  Với k số  e   e    e   e u  x x u u  ( x )   x   1  (u )   u 1 u  a   a ln a    a   a ln a u  x x u u         u   2uu u        u u       x  x  x  sin x  cos x    sin u   u cos u  x2  cos x   sin x    cos u    u sin u 7scv.com   1  cot x sin x u    cot u      u  cot u sin u  tan x    tan x cos x u    tan u    u  tan u cos u      cot x     CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM    k f ( x)dx  k  f ( x)dx 1)  kdx  kx  C  f ( x)dx  F ( x)  C  F ( x)  f ( x)   f ( x)  g ( x)dx     x 1 C x dx   1 f ( x)dx   g ( x)dx 2dx  x  C     kdx  kx  C (3)dx  3x  C x4 x dx   C x2   2)  C  x C   xdx   x dx  3/ (ax  b) 1 MR (1  x)11 (1  x)11 10    (ax  b) dx  C C  C   (1  x) dx   1 a 11 2 22 1 1 MR 3)  dx  ln x  C     dx  ln ax  b  C dx  ln  3x  C x ax  b a  3x 3 1 1 1 1 1 MR dx   C dx  C   C 4)  dx    C    2 x x a ax  b (ax  b) (2 x  3) 2x  4x   x3  1  10 x dx      ln x   10 x  C   x x2  x MR 5)  e xdx  e x  C    eaxb dx  eaxb  C a  ax C 6)  a dx  ln a a bxc MR bx c   C a dx  b ln a x  7)         32 x5 32 x5 C  C 32 x5 dx  ln 2ln sin xdx   cos x  C cos xdx  sin x  C MR    cos(ax  b)dx   5x dx  C ln  MR    sin(ax  b)dx   cos(ax  b)  C a 8)  1 x5  x5  dx    x4   dx   ln x  C x x  e xdx  e x  C  e x  C 1 x  ex1  2 exdx    e2 x1  2ex  dx  12 e2 x1  2e x  C      sin(ax  b)  C a  dx   dx   9x dx  C ln x 1 6x x C dx   dx  3 3ln x x     sin  x   dx   cos  x    C 2 2          cos   x  dx  sin   x   C   sin   x   C 1  3   3  a 1; b    x1 x a  4; b    3sin x  2cos x dx  3cos x  2sin x  C   2x  sin xdx   1 1  cos x dx   x  sin x   C 2  (hạ bậc) dx   1  tan x dx  tan x  C cos x 1 MR   dx  tan  ax  b   C a cos  ax  b  9)       2cos x   dx      dx  tan x  x  C 2 cos x  cos x  1 dx  tan 3x  C cos 3x 7scv.com MR    1  tan  ax  b   dx  tan  ax  b   C a     1  tan   x  dx  tan   x  C   2 a 2; b     x sin x  x2  dx x dx     cot x  C  sin x   sin x  1   dx   cot x  C sin x 1 MR 2   1  cot  ax  b  dx   a cot  ax  b   C   1  cot 3x dx   cot 3x  C sin x  cos x     dx   dx      dx  tan x  cot x  C 2 2 sin x cos x sin x cos x  cos x sin x   sin x dx   1  cot x dx   cot x  C 1 MR   dx   cot  ax  b   C sin  ax  b  a 10)  DIỆN TÍCH VÀ THỂ TÍCH  Hình phẳng giới hạn đường y  f ( x) ,  Hình phẳng giới hạn đường y  f ( x) , trục Ox , x  a , x  b có diện tích: y  g ( x) , x  a , x  b có diện tích: b b S   f ( x) dx S   f ( x)  g ( x) dx a a  y  f ( x)  Khi xoay hình phẳng  quanh Ox , x  a, x  b ta khối trụ tròn tích  y  f ( x)   Khi xoay hình phẳng  y  g ( x) quanh Ox , x  a, x  b  ta khối trụ tròn tích b V    f ( x)dx b V    f ( x)  g ( x) dx a a  Xét hình khối giới hạn hai mặt phẳng x  a , x  b Khi cắt khối ta thiết diện có diện tích S( x) (là hàm liên tục [a;b]) Thể tích khối  a ; b là: V   b a S( x)dx CÔNG THỨC CHUYỂN ĐỘNG Xét hàm quảng đường S(t ), hàm vận tốc v(t ) hàm gia tốc a (t ) Ba hàm biến thiên theo t  S(t )   v(t )dt  v(t )  S(t )  v(t )   a (t )dt  a (t )  v(t ) COÂNG THỨC LƯNG GIÁC Hệ thức bản:  sin 2  cos2    tan   cos   tan   sin  cos    cot   cos  sin  sin(  k 2 )  sin    cos(  k 2 )  cos   cot   sin   tan cot   tan(  k )  tan    cot(  k )  cot  Cung liên kết: Đối:   Bù:     Phụ:    Khaùc pi:  ;    Khaùc  Pi : ;  2   sin      cos  2  sin( )   sin  sin(   )  sin  cos( )  cos  cos(   )   cos  tan( )   tan  tan(   )   tan  cot( )   cot  cot(   )   cot    cot      tan  2  Sin Bù Phụ Chéo Cos Đối 7scv.com sin(   )   sin    cos      sin  2    tan      cot  2    sin      cos  2    cos       sin  2    tan       cot  2  cos(   )   cos  tan(   )  tan    cot       tan  2  cot(   )  cot  Khaùc pi Tang, Cotang Khác pi chia Sin bạn cos Công thức cộng:  sin(a  b)  sin a.cos b  sin b.cos a  sin(a  b)  sin a.cos b  sin b.cos a tan(a  b)   cos(a  b)  cos a.cos b  sin a.sin b  cos(a  b)  cos a.cos b  sin a.sin b tan a  tan b  tan a.tan b tan(a  b)  tan a  tan b  tan a.tan b Công thức nhân đôi, nhân ba: cos 2  cos   sin  sin 2  2sin  cos  tan 2   2cos     2sin  2 cos3  4cos3   3cos  sin 3  3sin   4sin3  tan 3  tan   tan  3tan   tan   3tan  Công thức hạ bậc  cos 2 sin   cos    cos 2 tan    cos 2  cos 2 Công thức biến đổi tổng thành tích: a b a b cos 2 a b a b sin a  sin b  2sin cos 2 sin(a  b) tan a  tan b  cos a.cos b     sin   cos   2.sin      2.cos     4 4   cos a  cos b  2cos a b a b sin 2 a b a b sin a  sin b  2cos sin 2 sin(a  b) tan a  tan b  cos a.cos b cos a  cos b   2sin     sin   cos   sin       cos       4 4 Công thức biến đổi tích thành tổng: cos a.cos b  cos(a  b)  cos(a  b) Cos.Cos Cos cộng cộng Cos trừ  sin a.sin b  cos(a  b)  cos(a  b) Sin.Sin Cos trừ trừ Cos coäng sin a.cos b  sin(a  b)  sin(a  b) Sin.Cos Sin cộng cộng Sin trừ PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC u  v  k 2 u  v  k 2 sin u  sin v   (k  )  cos u  cos v   k  u    v  k 2 u  v  k 2  sin u   u  7scv.com   k 2 sin u  1  u   Đặc biệt: sin u   u  k   cos u   u  k 2 k    k 2 cos u  1  u    k 2 Đặc biệt: cos u   u  tan u  tan v  u  v  k k     k    k k   cot u  cot v  u  v  k TỔ HP – XÁC SUẤT QUY TẮC CỘNG QUY TẮC NHÂN Nếu phép đếm chia nhiều trường hợp, ta cộng kết lại HOÁN VỊ  Sắp xếp (đổi chỗ) n phần tử khác nhau, ta có số cách xếp Pn  n ! với n  CHỈNH HP  Chọn k phần tử từ n phần tử (không xếp thứ tự), ta có TỔ HP  Chọn k phần tử từ n phần tử (có xếp thứ tự), ta số số cách chọn Cnk  Cách tính: Cnk   Cách tính: n!  1.2  n  1 n  Quy ước sốc: 0!  với  Công thức: P ( X )  XÁC SUẤT Nếu phép đếm chia làm nhiều giai đoạn bắt buộc, ta nhân kết giai đoạn n, k k n cách chọn laø Ank n!  n  k  !k !  Cách tính: Ank  với n( X ) n ( ) n, k k n n!  n  k !  Tính chất:  P ( X)  Trong đó: n( X ) : số phần tử P ()  0; P ()  tập biến cố X; n() : số phần tử P ( X )   P ( X ) với X biến cố đối X không gian mẫu P ( X ) xác suất để biến cố X xảy với X   KHAI TRIỂN NHỊ THỨC NEWTƠN  Khai triển dạng liệt kê: Trong công thức bên, ta có n  , n   a  b n  Cn0 a n  Cn1a n1b  Cn2 a n2b2   Cnn1abn1  Cnnbn  Đặc biệt: 1  x  Cn0  Cn1 x  Cn2 x2  Cnn1 xn1  Cnn xn (*) n  Hệ 1: Cn0  Cn1  Cn2  Cnn1  Cnn  2n (tức thay x  vào (*))  Hệ 2: Với n chẵn, cần thay x  1 vào (*), ta có: Cn0  Cn1  Cn2   Cnn1  Cnn   Cn0  Cn2  Cn4  Cnn  Cn1  Cn3  Cnn1 Khai triển tổng quát: Trong công thức bên, ta có n  , n   Khai triển: n  a  b    Cnk a nkbk Số hạng tổng quát: Tk1  Cnk a nkbk n k 0  Phân biệt hệ số số hạng: Cnk ( 1)k a n kbk x HỆ SỐ SỐ HẠNG Nhớ số hạng không chứa x ứng với CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN CẤP SỐ CỘNG CẤP SỐ NHÂN 7scv.com Định nghóa: Định nghóa:  Dãy số  un  gọi cấp số cộng  Dãy số  un  gọi cấp số nhân un1  un  d với n  * un 1  un q với n   Cấp số cộng có số hạng đầu u1 , *  Cấp số nhân có số hạng đầu u1 , công bội q công sai d Số hạng tổng quát:  un  u1  (n  1)d với n  Số hạng tổng quát: *  un  u1.q n 1 với n  Tính chất số hạng:  uk 1  uk 1  2uk với k  k  * Tính chất số hạng:  uk 1.uk 1  uk2 với k  Tổng n số hạng đầu tiên: k  Tổng n số hạng đầu tiên: (u  un )n  Sn  u1  u2   un   Sn  u1  u2   un  u1 (1  q n ) với q  1 q KHẢO SÁT HÀM SỐ & BÀI TOÁN LIÊN QUAN HÀM BẬC BA XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU  Bước 1: Tìm tập xác định D  Bước 2: Tính y  f ( x) ; cho y  Tìm nghiệm x1 , x2  Bước 3: Lập bảng biến thiên (Nên chọn giá trị x đại diện cho khoảng thay vào y để tìm dấu y khoảng đó)  Bước 4: Dựa vào bảng biến thiên để kết luận đồng biến, nghịch biến hàm số ĐIỀU KIỆN CỰC TRỊ  Hàm số có điểm cực trị  y( x0 )  ( x0 ; y0 )    y( x0 )  y0  Neáu f ( x0 ) hàm số f ( x) đạt cực đại x  Nếu f ( x0 ) f ( x0 ) x0 hàm số f ( x) đạt cực tiểu x  Đạo hàm y  3ax  2bx  c y ax  b (ad  bc  0) cx  d  Hàm số đồng biến tập xác định  y  0, x  a      Đạo hàm y  ad  bc (cx  d )2  Hàm số đồng biến khoảng xác định  Hàm số nghịch biến tập xác định  y  0, x  a      ad  bc   Hàm số nghịch biến khoảng xác định  ad  bc  CỰC TRỊ HÀM BẬC BA CỰC TRỊ HÀM BẬC BỐN y  ax  bx  cx  d (a  0) y  ax4  bx2  c (a  0)  Đạo hàm y  3ax  2bx  c  Haøm số có hai cực trị (giả thiết hàm số liên tục x0 ) f ( x0 ) y  ax3  bx2  cx  d (a  0) HÀM NHẤT BIẾN a  (*)   y  f ( x) x0 TÌM MAX-MIN TRÊN ĐOẠN Tìm Max-Min f ( x) đoạn  a ; b  Điều kiện cực trị Ba cực trị Một cực trị  Để tìm điều kiện cho hàm số cực trị: Bước 1: làm theo công thức (*) Bước 2: phủ định kết  Phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị: y  Đạo hàm y  4ax  2bx f ( x) f ( x) 18a ab  ab   2 a  b  a  b2  Có cực trị  Cho A, B, C ba điểm cực trị, ta có: cos BAC  SABC  b3  8a b3  8a b5 32a TÌM MAX-MIN TREN KHOẢNG Tìm Max-Min f ( x) khoảng (a ; b) 7scv.com  Bước 1: Tính y  Bước 1: Tính y f ( x) (a;b) cho f ( x) Tìm nghiệm xi x  Nếu hàm f ( x) đồng biến [a; b] a  Bước 3: Lập bảng biến thiên suy giá trị lớn nhất, nhỏ khoảng  Nếu hàm f ( x) nghịch biến [a; b] max f ( x) f (a) f ( x) f (a) f ( x) f (b) x [a;b] x [a;b] TIỆM CẬN ĐỨNG  Định nghóa: x x0 TIỆM CẬN NGANG (x hữu hạn, y vô hạn), y ta có tiệm cận đứng x x0 Lưu ý: điều kiện x0 thay x hạn bên trái) x ax cx x0 nghiệm b với (c d 0, ad x y bc (x vô hạn, y hữu hạn), y0 ta có tiệm cận ngang y Bước 2: CALC CALC mẫu số mà nghiệm tử số x x0 TCĐ đồ thị  Đồ thị hàm số y  Định nghóa: y0  Cách tìm TCN: Đơn giản dùng CASIO Bước 1: Nhập hàm số vào máy x0 (giới x0 (giới hạn bên phải)  Cách tìm TCĐ: Nếu x b x f (b) x [a;b] x (; ) ta tính thêm lim y ) max f ( x) x [a;b]  Bước 2: Cần tính lim y, lim y (Nếu thay (a ; b) (nếu có)  Bước 3: So sanh tất giá trị bước để kết luận giá trị lớn nhất, nhỏ x (a;b) cho f ( x) Tìm nghiệm xi  Bước 2: Tính giá trị f (a), f (b) f ( xi ), ĐẶC BIỆT f ( x) NEXT NEXT X X 10 ^ 10 10 ^ 10 NEXT NEXT Bước 3: Nếu kết thu hữu hạn (tức y0 ) ta kết luận TCN: y y0 0) có TCĐ: x d , TCN: y c a c  Nên nhớ, đồ thị có nhiều tiệm cận đứng, có tối đa tiệm cận ngang TÌM TỌA ĐỘ GIAO ĐIỂM HOẶC SỐ GIAO ĐIỂM HAI ĐỒ THỊ f (x ) (C ) : y g(x ) Xét hai đồ thị (C1 ) : y  Bước : Lập phương trình hoành độ giao điểm (C1 ) & (C2 ) : f ( x) g( x) (*)  Bước : Giải phương trình (*) để tìm nghiệm x1 , x2 , (nếu có), suy y1 , y2 PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN DẠNG Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C ) : y  f ( x) DẠNG Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C ) : y  f ( x) biết tiếp DẠNG Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C ) : y  f ( x) biết tiếp điểm M ( x0 ; y0 )  (C ) tuyến có hệ số góc k tuyến qua A( xA; yA)  Bước 1: Tính đạo hàm y , từ  Bước 1: Gọi M ( x0 ; y0 ) tiếp  Bước 1: Tiếp tuyến có dạng : y y ( x0 )( x x0 ) y0 (*) với có hệ số góc k y ( x0 )  Bước : Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị dạng y k( x x0 ) y0 điểm tính đạo hàm y  Bước 2: Cho y ( x0 ) k , từ tìm tiếp điểm ( x0 ; y0 )  Bước 3: Viết phương trình tiếp tuyến : y0  f ( x0 )  Bước 2: Thay tọa độ điểm A vào (*) để tìm x0  Bước 3: Thay x0 tìm vào 7scv.com k( x y (*) để viết phương trình tiếp tuyến y0 x0 ) SỐ PHỨC VÀ CÁC YẾU TỐ LIÊN QUAN Số phức có dạng: z a, b bi với a i2 Thành phần (i: đơn vị ảo) Ký hiệu tập số phức: Hình học  Phần thực: a Nếu a z bi gọi số ảo  Phần ảo: b Nếu b z a số thực  Khi a b z vừa số ảo vừa số thực Số phức liên hợp – Số phức nghịch đảo Cho z a bi Khi đó:  Số phức liên hợp Minh họa  Điểm M (a;b) biểu diễn cho z hệ trục Oxy  Mô-đun: z a2 OM b2 Căn bậc hai  Căn bậc hai a  Căn bậc hai a z a bi  Số phức nghịch đảo 1 z z a bi a b i 2 a b a b2 Phương trình bậc hai  Phương trình z2 a là x yi với x 2 y xy b a có a hai nghiệm phức z  Phương trình z i a  Căn bậc hai số phức z a bi hai số phức dạng w a a hai nghiệm phức z có i a  Phương trình az bz c 0 có hai nghiệm với phức là: z1,2 b i 2a KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH CỦA CHÚNG I MỘT SỐ HÌNH PHẲNG CƠ BẢN: Tam giác vuông: Pitago A B C H AC (đối/huyền) BC sin B cos B Tam giác đều: AB AC AC2 CH.BC AH AB2 AB (keà/huyeàn) BC Đường cao: AH a a K AG G H BC2 AB2 BH.BC AH BH.CH AC2 AH tan B AC (đối/kề) AB AB.AC AB AC cot B AB (kề/đối) AC Giả sử tam giác ABC có cạnh a; trọng tâm G; đường cao (trùng với trung tuyến) gồm AH , BK A B C a Tam giác thường: AH BK a (caïnh) a ; GH (cạnh)2 ABC Giả sử tam giác ABC có a Diện tích: S a AH a a2 BC, b AC, c a AB ; đường cao , hb , hc ứng với cạnh a, b, c Ký hiệu R, r bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp ∆ 7scv.com a sin A Định lí Cô-sin: a2 b c 2R sin B sin C b2 c2 2bc.cos A ; Định lí Sin: b2 Diện tích: S S ABC ABC a2 c2 2ac.cos B; c2 a2 b2 2ab.cosC 1 1 1 a hb b hc c ; S ABC ab.sin C ac.sin B bc.sin A ; 2 2 2 abc a b c (nửa chu vi) pr ; S ABC p( p a)( p b)( p b) với p 4R Công thức Hê Rông Hình vuông: Cho hình vuông ABCD có cạnh a; hai điểm M, N trung điểm CD, AD; I tâm hình vuông Đường chéo: IA IB AC BD AC BD IC Hình chữ nhật: ABN a 2 a nên I tâm đường tròn qua ID bốn đỉnh hình vuông Diện tích: SABCD (cạnh)2 Vì (cạnh) a2 ; chu vi: p 4a BN ADM , ta chứng minh được: AM Cho hình chữ nhật ABCD tâm I có AB a, AD b BD a2 b2 IA IB IC ID a b2 nên I tâm đường tròn qua bốn điểm A, B, C, D Đường chéo: AC Diện tích: SABCD Hình thoi: a.b ; chu vi: p 2(a b) Cho hình thoi ABCD có tâm I , cạnh a Đường chéo: AC Diện tích: SABCD BD; AC AI AC.BD ; SABCD 2 AB.sin ABI 2S ABC 2S 2a.sin ABI ACD 2S ABD Đặc biệt: Nếu hình thoi coù goùc B D 600 ( A C 1200 ) ACD ta chia hình thoi làm hai tam giác đều: ABC AC a S ABC S ACD a2 ; SABCD 2S a2 ABC II THỂ TÍCH KHỐI CHÓP: Hình chóp: 7.1 Hình chóp tam giác S h D A Tất cạnh bên Đáy tam giác cạnh a SH ( ABC) với H trọng tâm ∆ ABC Sñ H SH Sđ a2 h Thể tích V a2 h C B V h.Sđ Góc cạnh bên mặt Góc mặt bên mặt đáy: 7.2 Tứ diện đều: Đây hình chóp tam giác đều, đặc biệt cạnh bên cạnh đáy Thể tích: V a3 12 7scv.com đáy: SA,( ABC) (SAB),( ABC) SAH SCH SC,( ABC) (SBC),( ABC) 7.3 Hình chóp tứ giác đều: 7.4 Hình chóp có cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy a2 SO h Sđ SA S Thể tích SBO SA.S V ABC SMO SNO Đáy tứ giác đặc bieät ABC SBA SC,( ABC) h.a2 V (SBC),( ABCD) Góc cạnh bên mặt đáy: SB,( ABC) Thể tích (SAB),( ABCD) Đáy tam giác h 7.5 Hình chóp có mặt bên (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy Sđ Góc mặt bên mặt đáy: SAO SB,( ABCD) SNH Tất cạnh bên Đáy hình vuông cạnh a SO ( ABCD) với O tâm hình vuông ABCD Góc cạnh bên mặt đáy: SA,( ABCD) SMH SCA h Sđ SA Thể tích SABCD SA.SABCD V Góc cạnh bên mặt đáy: SB,( ABCD) SBA SC,( ABCD) SCA Đáy tam giác Đáy tứ giác đặc biệt Đường cao h SH đường cao ∆SAB Góc cạnh bên mặt đáy: Đường cao h SH đường cao ∆SAB Góc cạnh bên mặt đáy: SA,( ABC) SAH SA,( ABCD) SAH SC,( ABCD) SCH SC,( ABC) SCH 7scv.com III THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ: Hình lăng trụ thường:  Hai đáy hai hình giống nằm hai mặt phẳng song song  Các cạnh bên song song Các mặt bên hình bình hành  Thể tích: V Đáy tam giác Đáy tứ giác h.Sđ V Hình lăng trụ đứng:  Các cạnh bên vuông góc với hai mặt đáy nên cạnh bên đường cao lăng trụ  Lăng trụ tam giác đều: Là lăng trụ đứng có hai đáy hai tam giác AH.S ABC h  Thể tích: V AA h.Sđ với BB CC AH.SA B C D Đáy tứ giác Thể tích: V h AA h.Sđ với BB CC DD 3.1 Hình hộp chữ nhật:  Là lăng trụ đứng có đáy hình chữ nhật 3.2 Hình lập phương:  Là hình hộp chữ nhật có tất cạnh  V  V abc với a,b, c ba kích thước khác hình hộp chữ nhật h.Sđ AH.SABCD V ABC Đáy tam giác  Thể tích: V Hình hộp:  Là lăng trụ có tất mặt hình bình hành AH.S a3 với a cạnh hình lập phương MẶT TRỤ – MẶT NÓN – MẶT CẦU MẶT NÓN Các yếu tố mặt nón:  Đường cao: h S l h l SO ( SO gọi trục hình nón)  Bán kính đáy: l r OA OB OM Một số công thức:  Chu vi đáy: p  Diện tích đáy: Sđ  Thể tích: V  Đường sinh: A r O B M Hình thành: Quay vuông l SA SB r h.S đ r2 h r (liên tưởng khối chóp) SM  Góc đỉnh: ASB  Diện tích xung quanh: Sxq rl SOM quanh trục SO , ta mặt nón hình bên với: h r SO OM  Thiết diện qua trục: SAB cân S  Góc đường sinh mặt đáy: SAO MẶT TRỤ 7scv.com  Diện tích toàn phần: Stp  Đường cao: h OO  Đường sinh: l AD OA BC OC O D hai điểm O, O  Thiết diện qua trục: Là hình Một số công thức: Sxq IA IB 2R Là đường tròn tâm I , bán R2  Thể tích khối cầu: V R3 Sxq 2Sđ r.h r2  Mặt cầu nội tiếp đa diện mặt cầu tiếp xúc với tất mặt đa diện kính R  Diện tích mặt cầu: S r.h  Mặt cầu ngoại tiếp đa diện mặt cầu qua tất đỉnh đa diện  Thiết diện qua tâm mặt cầu: Hình thành: Quay đường tròn tâm I , bán kính AB quanh trục AB , ta có R mặt cầu hình vẽ h r2 Mặt cầu ngoại tiếp đa diện Mặt cầu nội tiếp đa diện IM  Đường kính AB h.Sđ  Diện tích toàn phần:  Tâm I , bán kính R r2  Diện tích xung quanh: Stp chữ nhật ABCD MẶT CẦU r  Diện tích đáy: S đ V  Trục (∆) đường thẳng qua Hình thành: Quay hình chữ nhật ABCD quanh đường trung bình OO , ta có mặt trụ hình bên r2  Thể tích khối trụ: h OB rl Một số công thức:  Chu vi đáy: p  Bán kính đáy: r Sđ SMO SBO Các yếu tố mặt trụ: Ta có: l Sxq CÁCH TÌM BÁN KÍNH MẶT CẦU NGOẠI TIẾP HÌNH CHÓP THƯỜNG GẶP Hình chóp có đỉnh nhìn cạnh góc vuông  Xét hình chóp có SA ( ABC)  Xét hình chóp có SA ( ABCD) ABCD hình chữ Hình chóp  Xét hình chóp tam giác có cạnh bên b đường cao  Xét hình chóp tứ giác có cạnh bên b chiều cao SO h 7scv.com nhật hình vuông 900 ABC  Ta coù  Ta coù: SAC SAC SBC 90 nên mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có tâm I trung điểm SC , bán kính R SC SBC SDC 900 Suy mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có tâm I trung điểm SC ,  Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SH h  Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp b2 2h R b2 2h R SC bán kính R Hình chóp có cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy  Khi mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có bán h kính R Hình chóp có mặt bên vuông góc với mặt đáy rđ  Nếu đáy tam giác cạnh a a  Nếu đáy hình vuông rđ  Xét hình chóp có (đáy) SA SA h ; bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy rđ a  Nếu đáy hình chữ nhật cạnh a, b cạnh a rđ a2 rđ b2  Xét hình chóp có mặt bên (SAB) (đáy), bán kính ngoại tiếp đáy rđ , bán kính ngoại tiếp SAB rb , d AB (SAB) (đáy)  Khi bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp rđ R rb2 d2 HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Hệ trục tọa độ Oxyz:  Hệ trục gồm ba trục Ox, Oy, Oz đôi vuông góc  Trục Ox : trục hoành, có vectơ đơn vị i  Trục Oy : trục tung, có vectơ đơn vị j  Trục Oz : trục cao, có vectơ đơn vị k (1;0;0) (0;1;0) (0;0;1)  Điểm O(0;0;0) gốc tọa độ Tọa độ vectơ: Vectơ u Cho a  a  ka  a  a.b b (a1 b1 ; a2 b2 ; a3 (a1 ; a2 ; a3 ), b b3 ) b b1 a2 b2 a3 b3 a1 b1 a2 b2 a3 b3 yj zk  a a12 a22 a22 ( x; y; z) u (b1 ;b2 ;b3 ) Ta có:  a phương b (ka1 ; ka2 ; ka3 ) a1 xi a1 kb1 a2 kb2 a3 kb3 a kb (k a1 a2 a3 b1 b2 b3  a2 a R) , (b1 , b2 , b3 a12 a22 0) a32  a a.b b a1b1 a2b2 Tọa độ điểm: M ( x; y; z)  AB ( xB xA ; yB zA )  AB  Toạ độ trung điểm M đoạn thẳng AB: M xA xB yA ; yB zA ; zB a.b a2b2 2 a a3b3 b22 a b a b32 ( x; y; z) Cho A( xA ; yA ; zA ) , B( xB ; yB ; zB ) , C( xC ; yC ; zC ) , ta coù: OM yA ; zB a1b1 a.b  cos(a, b) a3b3 7scv.com x A )2 ( xB yA )2 ( yB ( zB zA )  Toạ độ trọng tâm G tam giaùc ABC: x xB xC yA yB yC zA zB zC G A ; ; 3 Tích có hướng hai vectơ:  Định nghóa: Cho a (b1 , b2 , b3 ) , tích có hướng a b là: (a1 , a2 , a3 ) , b a, b  Tính chất: [a, b] a2 b2 a3 a3 ; b3 b3 [a, b] a  Điều kiện phương c a hai vectơ a & b a, b với a1 a1 ; b1 b1 a2 b2 a2b1 a b sin a, b  Diện tích tam giác ABC:  Diện tích hình bình hành ABCD:  Thể tích khối hộp: VABCD A'B'C'D' a1b3 ; a1b2 [a, b] b laø [a, b].c ABCD a3b2 ; a3b1  Điều kiện đồng phẳng ba vectơ a, b c (0;0;0) S a2b3 S AB, AD [ AB, AD] AA' ABC  Thể tích tứ diện: VABCD AB, AC AB, AC AD Phương trình mặt cầu: Dạng 1: (S) : ( x Mặt cầu ( S) có a) (y b) (z c)2 R2 Daïng 2: (S) : x2 I (a; b; c) R Mặt cầu ( S) có R2  Phương trình x2 z2 2ax 2by 2cz d Bài toán 5.1 Viết phương trình mặt cầu tâm I qua điểm M  Bước 1: Tính bán kính R  IM 2ax b2 c2 2by 2cz d a2 d phương trình mặt cầu  a  b2  c  d  Bài toán 5.2 Viết phương trình mặt cầu có đường kính AB  Bước 1: Tìm tâm I trung điểm AB Bán kính R  Bước 2: Viết phương trình mặt cầu dạng z2 I (a; b; c) R y2 y2 AB  IA  IB  Bước 2: Viết phương trình mặt cầu dạng Phương trình mặt phẳng:  Mặt phẳng ( P) trình ( P) : a( x  Lưu ý: Vectơ pháp tuyến (VTPT) mặt phẳng vectơ khác nằm đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Bài toán 6.1 Viết phương trình mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB qua M ( x0 ; y0 ; z0 ) VTPT n x0 ) b( y (a; b; c) y0 ) phương c( z z0 )  Ngược lại, mặt phẳng có phương trình dạng ax by cz d , mặt phẳng có VTPT n (a;b; c) Bài toán 6.2 Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm A, B, C 7scv.com  Bước 1: Tìm trung điểm I đoạn AB tính  AB, AC    tọa độ AB  Bước 2: Phương trình mp( P )  Bước 1: Tính tọa độ AB, AC suy qua I VTPT n  AB Bài toán 6.3 Viết phương trình mặt phẳng qua M chứa đường thẳng d với M d  Bước 2: Phương trình mp( P ) Tính  AM , ud    Bước 2: Phương trình mp( P ) x a y b z c qua M VTPT n   AM , ud  Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng ax0  by0  cz0  d a  b2  c Khoaûng cách hai mặt phẳng song song ( P ) : ax  by  cz  d1  (Q) : ax  by  cz  d   M ( x0 ; y0 ; z0 ) mp( P ) : ax  by  cz  d   Cho   Khi đó: d  M , ( P )    Phương trình mặt phẳng viết theo đoạn chắn ( P) :  VTPT n   AB, AC  Bài toán 6.4 Viết phương trình mặt phẳng cắt Ox, Oy, Oz A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C (0; 0; c) với a, b, c  Bước 1: Chọn điểm A d VTCP ud qua A  Cho hai mặt phẳng  Góc hai mặt phẳng  Khi ñoù: d  ( P ), (Q)   d1  d a  b2  c2 với d1  d Vị trí tương đối hai mặt phẳng Cho hai mặt phẳng (), () có phương trình:  Cho hai mặt phẳng (), () có phương trình: ( P ) : a1 x  b1 y  c1 z  d1   (Q) : a x  b2 y  c2 z  d   Góc ( P ) & (Q) tính: cos  ( P ), (Q)   nP nQ  nP nQ  a1a  b1b2  c1c2 a  b12  c12 a 22  b22  c22  0  Chú ý:  ( P ), (Q)  90 ( P ) : a1 x  b1 y  c1 z  d1  Ta coù:  (Q) : a x  b2 y  c2 z  d  a b c d  ( P ) (Q)     a b2 c2 d2 a b c d  ( P )  (Q)     a b2 c2 d  ( P ) & (Q) caét  a1 : b1 : c1  a : b2 : c2  ( P )  (Q)  a1a  b1b2  c1c2   Lưu ý: Các tỉ số có nghóa mẫu khác Ví trị tương đối mặt phẳng mặt cầu Cho mặt phẳng ( P ) : ax  by  cz  d  mặt cầu ( S ) có tâm I bán kính R  Trường hợp 1: d  I , ( P )   R  ( P ) vaø ( S ) điểm chung  Trường hợp 2: d  I , ( P )   R  ( P ) ( S ) có  Trường hợp 3: d  I , ( P )   R  ( P ) caét ( S ) 7scv.com điểm chung Khi ta nói ( P ) tiếp xúc theo giao tuyến đường tròn ( S ) ( P ) tiếp diện ( S) Đường tròn giao tuyến có tâm H (là trung điểm AB), bán kính r  R2  IH với IH  d  I ,( P )  Ta coù: IM  ( P ) với M tiếp điểm Phương trình đường thẳng:  Đường thẳng d qua A( xA; yA; zA) VTCP u  (u1; u2 ; u3 )  x  xA  u1t   Phương trình tham số d :  y  yA  u2t với z  z  u t A  có: t tham số  Phương trình tắc d:  Vectơ phương (VTCP) đường thẳng d vectơ khác , có giá nằm d song song với d x  xA y  yA z  zA   u1 u2 u3 a  d  Lưu ý: Nếu có cặp vectơ khác không phương cho  b  d với u1.u2 u3  d có VTCP là: ud   a , b    7.1 Ví trị tương đối hai đường thẳng: Xét vị trí tương đối hai đường thẳng d1 , d2 với d1 Bước I  u1 , u2 Hai đường thẳng d1 , d2 song song trùng  u1 , u2 Hai đường thẳng d1 , d2 cắt chéo qua M VTCP u1 Bước II  u1 ; MN  u1 ; MN qua N , d1 VTCP u2 Kết luận d1 d2 (Hai đường thẳng trùng nhau) d1 d2  u1 ,u2 MN d1 caét d2  u1 ,u2 MN d1 & d2 chéo 7.2 Ví trị tương đối đường thẳng mặt phẳng: x x0 u1t Xét vị trí tương đối đường thẳng d : y y0 u2 t mặt phẳng (P) : ax z z0 u3 t Bước I:  Thay phương trình tham số d vào Bước II:Giải PT (*), ta gặp trường hợp sau  PT (*) vô nghiệm by cz d Kết luận d ( P) 7scv.com phương trình ( P) , ta PT (*): a( x0 u1t) b( y0 u2t) c(z0 u3t) d  x  x0  PT (*) coù nghieäm   y  y0 z  z  d cắt ( P) điểm có tọa ñoä ( x0 ; y0 ; z0 ) (P) d  PT (*) có vô số nghiệm 7.3 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng:  Bước 1: Chọn điểm A d VTCP ud  Cho điểm M đường thẳng d (có phương trình tham số tắc)  Bước 2: d  M , d   ud , AM    ud 7.4 Góc hai đường thẳng:  Cho hai đường thẳng d1 , d có VTCP laø u1 , u2     Ta coù: cos d1 , d  u1.u2 u1 u2 7.5 Góc đường thẳng mặt phẳng:  Cho đường thẳng d có VTCP u măt phẳng ( P ) có VTPT n     Ta coù: sin d , ( P )  u.n u.n Hình chiếu điểm đối xứng: Bài toán  Tìm hình chiếu điểm A mặt phẳng (P ) Phương pháp  Gọi d đường thẳng qua A ( P) Viết pt tham số d với VTCP d cũøng VTPT (P)  Gọi H  d  ( P ) Thay pt tham số d vào pt mp (P) ta tìm tọa độ H  Tìm điểm A đối xứng với A qua (P )  xA  xH  xA   Ta có H trung điểm AA   yA  yH  yA z  2z  z H A  A Cách I  Tìm hình chiếu điểm A đường thẳng d  Gọi H (theo t ) (dựa vào pt tham số d)  Tìm t  AH  d  AH ud    Gọi ( P) Cách II qua A ( P) d Vieát pt mp( P)  Goïi H  d  ( P ) Thay pt tham số d vào pt mp (P) ta tìm tọa độ H  Tìm điểm A đối xứng với A qua đường thẳng d  xA  xH  xA   Ta coù H trung điểm AA   yA  yH  yA z  2z  z H A  A   Tọa độ H  ... vi) pr ; S ABC p( p a)( p b)( p b) với p 4R Công thức Hê Rông Hình vuông: Cho hình vuông ABCD có cạnh a; hai điểm M, N trung điểm CD, AD; I tâm hình vuông Đường chéo: IA IB AC BD AC BD IC Hình...  P ( X ) với X biến cố đối X không gian mẫu P ( X ) xác suất để biến cố X xảy với X   KHAI TRIỂN NHỊ THỨC NEWTƠN  Khai triển dạng liệt kê: Trong công thức bên, ta có n  , n   a  b... 4sin3  tan 3  tan   tan  3tan   tan   3tan  Công thức hạ bậc  cos 2 sin   cos    cos 2 tan    cos 2  cos 2 Công thức biến đổi tổng thành tích: a b a b cos 2 a b a b