Chuyên đề Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp

Thầy giáo có bao nhiêu cách để lập ra một đề thi gồm 3 câu, trong đó có cả lý thuyết và bài tập từ 10 câu hỏi nói trên.. Một đồn cảnh sát khu vực có 9 người.[r]

THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: violet.vn/phphong84 Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp PHẦN CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN Hoán vị * Cho tập hợp A có n phần tử ( n  ) Mỗi cách xếp n phần tử nó theo thứ tự gọi là hoán vị n phần tử A * Số các hoán vị tập hợp có n phần tử là Pn  n!  1.2.3 .n Quy ước: P0  0!  Chỉnh hợp * Cho tập hợp A có n phần tử ( n  ) và số nguyên k với  k  n Mỗi cách lấy k phần tử A và xếp chúng theo thứ tự gọi là chỉnh hợp chập k n phần tử A * Số các chỉnh hợp chập k tập hợp có n phần là Akn  n!  n  n  1 n    n  k  1 n  k ! Quy ước: An0  Tổ hợp * Cho tập hợp A có n phần tử ( n  ) và số nguyên k với  k  n Mỗi cách lấy k phần tử A gọi là tổ hợp chập k n phần tử A * Số các tổ hợp chập k tập hợp có n phần tử là: Ckn  n  n  1 n    n  k  1 Akn n!   k ! k ! n  k  ! k! Quy ước: Cn0  * Hai tính chất số tổ hợp: Lop12.net THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: violet.vn/phphong84 +) Ckn  Cnn  k +) Ckn   Ckn  Ckn 1 (Hằng đẳng thức Pa-xcan) Lop12.net THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: violet.vn/phphong84 PHẦN CÁC LOẠI BÀI TẬP ĐIỂN HÌNH Loại Tính toán trên các số hoán vị, số chỉnh hợp, số tổ hợp A Một số ví dụ Ví dụ Chứng minh các đẳng thức sau n 1) k 1  1 với n   , n  k! n! k2  2)  Pn  CnnCn2nCn3n   3n  ! với n   n 3)  k  Ak  n1 với n   ; n  n Giải n 1) Ta có k 1  k! k 2 n   1    k  1 !  k !  k2    1 1 1 1 1               1! 2!   2! 3!    n  1 ! n!   1 (ĐPCM) n! 2) Ta có  Pn  Cnn Cn2nCn3n   n!   n!  2n  !  3n  ! n! n!  n  n  ! n!  2n  n  ! n!  3n  n  ! n!  2n  !  3n  ! n !0! n!n! n!  2n  !   3n  ! (ĐPCM) 3) Với k nguyên,  k  n ta có Ak2  n Do đó  k  Ak k! 1 1  k  k  1      k  2 ! Ak2 k  k   k  k n   1   k   k  k2 1 1 1  1               1 2  3  n 1 n   1 n Lop12.net THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: violet.vn/phphong84  n 1 (ĐPCM) n Ví dụ Giải các phương trình, bất phương trình và hệ sau 1) [TN2007] C4n  Cn5  3Cn6  2) [TN2005] Cnn 12  Cnn   A n  Cy  x 1  y   C 3) [TN2003]  x  Cyx   y 1   Cx Giải 1) Điều kiện để phương trình có nghĩa: n là số nguyên và n  Áp dụng đẳng thức Pa-xcan ta có C4n  Cn5  C5n  Phương trình đã cho tương đương với C5n   3Cn6    n  1 !  n  1 ! 3 5!  n   ! 6!  n   !  1   n  (TMĐK) n4 2) Điều kiện để phương trình có nghĩa: n là số nguyên và n  Áp dụng đẳng thức Pa-xcan ta có Cnn 12  Cnn   Cnn  Bất phương trình đã cho tương đương với Cnn   A  n  n  3 ! n!3!  n!  n  2 !  n  1 n   n   5 3n  n  1   n  1 n   n    15n  n  1  n  9n  26n    1 Với n  , áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho số dương n và 26n , ta có n  26n  n 26n  26n  2.5n  10n2 Do đó VT  1  10n  9n   n     1 nhận n  là nghiệm  BPT đã cho nhận n  là nghiệm Lop12.net THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: violet.vn/phphong84  Cy  x 1  y   C 3)  x  Cyx   y 1   Cx Ta có  1 Điều kiện để hệ có nghĩa: x , y nguyên,  y  x   2  1   x  1 !  y  1 !  x  y  1 !  y !  x  y  1 ! x!  2   y  1 !  x  y  1 !  x!  x!  y  1 !  x  y  1 !   x  1 y  1   x  y  x  y  1  x  y  x  y  1    y  y  1 x1   x  3y  y Nhân vế   và   ta có  3  5 Thay   vào   ta 2y  2y  1 y  y  1   2y  2y  1 y  y  1   3y  9y   y  (chú ý tới điều kiện y  )  6 Thay y  vào   ta x  Ta thấy cặp giá trị x  , y  thỏa mãn điều kiện để hệ có nghĩa Vậy hệ có nghiệm  x;y    8;3  Ví dụ [ĐHD05] Tính giá trị biểu thức M An4 1  3An3  n  1 ! biết Cn2   2Cn2   2Cn2   Cn2   149  1 Giải ĐK: n nguyên, n  Ta có VT  1   n  1 !  n  2 ! n   ! n  4 !    2!  n  1 ! 2!n ! 2!  n  1 ! 2!  n   !  n  n  1  n   n     n  1 n     n   n    2 Lop12.net THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: violet.vn/phphong84  6n  24n  28    3n  12n  14  x   thoûa maõn  Do đó  1  3n  12n  14  149  3n  12n  135     x  9  loại  Ví dụ Chứng minh các đẳng thức sau 1) Ckn  3Ckn 1  3Ckn   Ckn   Ckn  ,  1 với k , n là các số nguyên dương thỏa mãn  k  n 2) Ckn  Ckn 11  Ckn 12   Ckk 1  Ckk 11 ,  1 với k , n là các số nguyên dương thỏa mãn k  n Giải 1) Áp dụng liên tiếp đẳng thức Pa-xcan, ta có VP  1  Ckn   Cnk 12     Ckn   Cnk 11  Cnk 11  Cnk 12   Ckn   2Cnk 11  Cnk 12       Ckn  Ckn 1  Ckn 1  Ckn   Ckn   Ckn    Ckn  3Ckn   3Ckn   Ckn   VT  1 (ĐPCM) 2) Áp dụng đẳng thức Pa-xcan, ta có Ckn  Ckn 1  Cnk 11 Ckn 1  Cnk   Cnk 21  Ckk   Ckk  Ckk 1 Cộng vế các đẳng thức trên, giản ước Ckn 1   Ckk  hai vế, ta Ckn  Ckn 11  Ckn  12   Ckk   Ckk  Ckn 11  Ckn  12   Ckn  12  Ckk 11 (chú ý: Ckk   Ckk 11 ) Lop12.net THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: violet.vn/phphong84 Ví dụ Chứng minh 1 1     , 1! 2! 3! n!  1 với n  * Giải Ta có  1  1     2! 3! n!  2 Lại có 1 21 1     , 2! 1.2 1.2 1 32 1     , 3! 2.3 2.3 1 4 1     , 4! 3.4 3.4  n   n  1 1 1     n!  n  1 n n  1 n n  n Cộng vế n  đẳng thức, bất đẳng thức nói trên, ta thu 1 1 1 1 1  1  VT                     1 2  3  4  n1 n  1  (ĐPCM) n   Ví dụ Cho n  * Tìm max Ck2n k  0;2n Giải 1) Với k  0;2n  , xét tỷ số T Ta có T   Ck2n Ck2n  k ! 2n  k  ! 2n  k  2n  !  k 1  k  1 !  2n  k  1 !  2n  ! 2n  k   k  n   k  0;n  , chú ý dấu “  ” không xảy k 1 Thay giá trị k vào T ta Lop12.net THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: violet.vn/phphong84 1 2n C12n  C02n    Cn2n1  Cn2n  Cn2n1    C2n 2n  C2n   Vậy max Ck2n  Cn2n k  0;2n Ví dụ [ĐHB06] Cho tập hợp A gồm n phần tử ( n  ) Biết số tập gồm phần tử A 20 lần số tập gồm phần tử A Tìm k  1;2; ;n cho số tập gồm k phần tử A lớn Giải Mỗi cách chọn k phần tử từ tập A cho ta tập gồm gồm k phần tử A  số tập gồm k phần tử A là Ckn Số tập gồm phần tử A 20 lần số tập gồm phần tử A nghĩa là C4n  20Cn2  n! n!  20 4!  n   ! 2!  n   !  20  12  n   n    n  5n  234   n  18  thoûa maõn     n  13  loại  Vậy số phần tử A là 18 Với k  1;17 , xét tỷ số T Ta có T   k 1 C18 k C18  k !  18  k  ! 18  k 18!  18! k 1  k  1 ! 17  k  ! 18  k 17 1  k   k  1;8 , chú ý dấu “  ” không xảy k 1 Thay giá trị k vào T ta 10 17 C118  C18   C18  C18  C18   C18  C18 18    k  Vậy số tập gồm phần tử A là tập có số tập k k Do đó C18  max C18 k 1;18 lớn Lop12.net THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: violet.vn/phphong84 B Bài tập Bài Chứng minh 1) Pn  Pn 1   n  1 Pn 1 với n  * 2) Ckn  3) nCnk11 với k , n  * , k  n k n2 1   với n  * , n  n!  n  1 !  n   ! 4) [ĐHB08] n1  1    với k,n   ,  k  n  n   Ckn  Cnk 11  Cnk 5) Ann  k2  Ann  1k  k Ann  k với n , k  * , k  6) Pk An2  1An2  An2   nk !An5  với n  * 7) Pn   P1  2P2  3P3    n  1 Pn 1 với n   ; n  n  n  1 C2 C3 Cn 8) C1n  n2  n2   n nn  với n  * Cn Cn Cn 9) C1n Cn2 Cn3 Cnn     n n   Cn2  với n  * Cn Cn Cn 10) 1.1! 2.2! 3.3!  n.n!   n  1 ! với n  * n 11) k 1  với n  * P k 1 k  Bài Chứng minh 1) Ckn  44  Ckn  4Ckn   6Ckn   4Ckn   Ckn  , với k , n   ,  k  n  ; 2) Cnn 1  Cnn 11  Cnn 12    Cn2n11  Cn2n với n  * Bài Giải các phương trình, bất phương trình, hệ phương trình sau: 1) 2) n!  n  1 !  n  1 !   n  1 !  72  n  1 ! Lop12.net THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: violet.vn/phphong84 3)  n  n  1 !  n  1 !      n   n   n   !4! 12  n   n   !2!  4) A n3  20n 5) A 5n  18A 4n  6) Pn   72An5 Pn  An4  15 7)   n   !  n  1 ! 8) A yx 1 : A yx 1 : Cyx 1  21 : 60 : 10  2A x  5Cx  90 y  y 9)  5A xy  2Cxy  80 Bài Cho n  * Tìm Ck2n    k  0;2n  max 10 Lop12.net THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: violet.vn/phphong84 C Đáp số Bài 1) , 2) 3) , 4) 5) 10 6) 7) , , 8)  x;y    7;3  9)  x;y    2;5  Bài Ck2n    Cn2n   Cn2n11  k  0;2n 1 max 11 Lop12.net THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: violet.vn/phphong84 Loại Ứng dụng ba khái niệm vào bài toán đếm A Một số ví dụ Ví dụ Một học sinh có 12 sách đôi khác nhau, đó có sách Toán, sách Văn và sách Anh Hỏi có bao nhiêu cách xếp tất các sách lên kệ sách dài, các sách cùng môn xếp kề nhau? Giải +) Trước hết ta tính số cách xếp thứ tự loại sách Vì có loại sách nên số các thứ tự loại sách là n1  P3  3! +) Ứng với phương án xếp loại sách, ta loại có n  P2  2! cách xếp sách Toán, n  P4  4! cách xếp sách Văn, n4  P6  6! cách xếp sách Anh Như vậy, ứng với phương án xếp loại sách, ta lại có số cách xếp 12 sách là n  n 2n 3n Tóm lại số các xếp thỏa mãn yêu cầu là n1n5  n1n 3n 3n4  207360 Ví dụ Một bàn dài có hai dãy ghế đối diện nhau, dãy có ghế Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho học sinh trường A và học sinh trường B vào bàn nói trên Hỏi có bao nhiêu cách xếp trường hợp sau 1) Bất học sinh nào ngồi cạnh đối diện thì khác trường với 2) Bất học sinh nào ngồi đối diện thì khác trường với Giải 1) +) Bước 1: Trước tiên ta xác định 12 vị trí, vị trí nào học sinh trường A, vị trí nào học sinh trường B Rõ ràng để đảm bảo học sinh nào ngồi cạnh đối diện thì khác trường với ta có các xếp sau Cách 1: Cách 2: A B A B A B B A B A B A B A B A B A A B A B A B +) Bước 2: Ứng với cách đã xác định bước 1, ta xếp 12 học sinh vào chỗ Xếp học sinh trường A vào chỗ: có n1  6! cách Xếp học sinh trường B vào chỗ: có n  6! cách Theo quy tắc nhân thì số cách xếp thỏa mãn yêu cầu bài toán là 12 Lop12.net THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: violet.vn/phphong84 2n1n  2.6!.6!  1036800 Ví dụ Có bao nhiêu cách xếp bạn nam và bạn nữ thành hàng ngang cho không có hai bạn nữ nào đứng cạnh nhau? Giải +) Đầu tiên, ta xếp bạn nam thành hàng ngang Ta thấy có n1  5! cách làm +) Tiếp theo, ta xếp bạn nữ Ta thấy để việc xếp thỏa mãn yêu cầu bài toán thì phải xếp bạn vào vị trí hình vẽ (1) Nam (2) Nam (3) Nam (4) Nam (5) Nam (6) Như vậy, ứng với cách xếp bạn nam có n  A 64 cách xếp bạn nữ Tóm lại, số cách xếp là n1n  5!A64  43200 Ví dụ [ĐHB02] Cho đa giác A1 A A n ( n  , n nguyên) Biết số tam giác có các đỉnh là 2n điểm A1 , A , , An gấp 20 lần số hình chữ nhật có các đỉnh là 2n điểm A1 , A , , An , tìm n Giải Mỗi cách chọn điểm 2n điểm nối chúng lại cho ta hình tam giác Do đó, số tam giác có đỉnh là số 2n điểm là C32n Giả sử đa giác A1 A A n nội tiếp đường tròn  O  , ABCD là hình chữ nhật có các đỉnh là   BCD   90  AC và BD qua  O  Từ số 2n đỉnh đa giác Ta thấy ABC đây, ta suy cách tạo hình chữ nhật có đỉnh là bốn đỉnh tứ giác Chọn đường chéo qua O từ n đường chéo qua O đa giác Bước này có Cn2 cách thực Từ đường chéo vừa chọn ra, ta có đúng cách nối các đầu mút đề hình chữ nhật Vậy số hình chữ nhật có đỉnh là số 2n điểm là Cn2 Theo giả thiết thì C32n  20Cn2    2n  ! n!  20 3! 2n   ! 2!  n   !  2n  2 2n  1 2n  20  n  1 n 13 Lop12.net THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: violet.vn/phphong84   n  1 2n  1 n  15  n  1 n     n  1 2n2  16n  n    n   n   loại   loại   thoûa maõn  Vậy n  Ví dụ [ĐHB04] Trong môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác gồm câu hỏi khó, 10 câu hỏi trung bình và 15 câu hỏi dễ Từ 30 câu hỏi đó, có thể lập bao nhiêu đề kiểm tra, đề gồm câu hỏi khác nhau, cho đề thiết phải có đủ loại câu hỏi (khó, trung bình, dễ) và số câu hỏi dễ không ít ? Giải Thầy giáo có phương án sau đây để lập đề thi thỏa mãn yêu cầu +) Phương án 1: Đề thi có câu dễ, câu trung bình, câu khó Theo quy tắc nhân, số cách 2 thực phương án này là n1  C15 C10C5 +) Phương án 2: Đề thi có câu dễ, câu trung bình, câu khó Theo quy tắc nhân, số cách 2 thực phương án này là n  C15 C10C5 +) Phương án 3: Đề thi có câu dễ, câu trung bình, câu khó Theo quy tắc nhân, số cách 1 thực phương án này là n  C15 C10C5 Vậy, theo quy tắc cộng, số đề kiểm tra lập theo yêu cầu là 2 2 1 n1  n  n3  C15 C10C5  C15 C10C5  C15 C10C5  56875 Ví dụ [ĐHB05] Một đội niên tình nguyện có 15 người gồm 12 nam và nữ Hỏi có bao nhiêu cách phân công đội niên đó giúp đỡ ba tỉnh miền núi cho tỉnh có nam và nữ Giải Ta phân công sau 14 Lop12.net THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: violet.vn/phphong84 Bước 1: Chọn niên tình nguyện cho tỉnh thứ Theo quy tắc nhân thì bước này có số cách thực là n1  C12 C3 Bước 2: Chọn niên tình nguyện cho tỉnh thứ hai Vì đã chọn nam và nữ bước nên theo quy tắc nhân, số cách thực bước này là n  C84C12 Các niên còn lại phân công giúp đỡ tỉnh thứ ba 4 Vậy theo quy tắc nhân thì số cách phân công là n1n  C12 C3C8C2  207900 Ví dụ [ĐHD06] Đội niên xung kích trường phổ thông có 12 học sinh, gồm học sinh lớp T, học sinh lớp L và học sinh lớp H Cần chọn học sinh làm nhiệm vụ cho học sinh đó thuộc không quá lớp nói trên Hỏi có bao nhiêu cách chọn vậy? Giải Nếu bỏ qua điều kiện học sinh thuộc không quá lớp thì số cách chọn là n1  C12 Bây ta đếm số cách chọn mà học sinh đó bao gồm học sinh lớp Để làm ta có sau phương án sau +) Phương án 1: Chọn học sinh lớp T, học sinh lớp L, học sinh lớp H Theo quy tắc nhân, số cách thực phương án này là n  C52C14C14 +) Phương án 2: Chọn học sinh lớp T, học sinh lớp L, học sinh lớp H Theo quy tắc nhân, số cách thực phương án này là n  C15C42C14 +) Phương án 3: Chọn học sinh lớp T, học sinh lớp L, học sinh lớp H Theo quy tắc nhân, số cách thực phương án này là n  C15C14C42 Số cách chọn học sinh thỏa mãn yêu cầu bài toán là n1  n2  n  n  C12  C52C14C14  C15C42C14  C15C14C42  225 Ví dụ Một thầy giáo có 12 sách đôi khác đó có sách văn học, sách âm nhạc và sách hội họa Ông muốn lấy và đem tặng cho em học sinh A , B , C , D , E , F , em Hỏi thầy có bao nhiêu cách tặng sách cho sau tặng, loại sách : văn học, âm nhạc, hội hoạ, thầy còn ít Giải Ta thấy tổng hai loại sách lớn nên không thể chọn cho cùng hết loại sách 15 Lop12.net THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: violet.vn/phphong84 Số cách chọn sách từ 12 sách là A12  665280 Số cách chọn cho không còn sách văn là A 56  5040 Số cách chọn cho không còn sách nhạc là A 46 A 82  20160 Số cách chọn cho không còn sách hoạ là A 63 A 39  60408 Số cách chọn cần tìm là 665280 –  5040  20160  60480   579600 Ví dụ Hỏi từ 10 chữ số , , , , , , , , , có thể lập bao nhiêu số gồm chữ số khác nhau, cho các chữ số đó có mặt số và Giải Giả sử A  a1a 2a 3a4a5a là số cần lập Để lập số A , ta làm sau *) Bước 1: Chọn vị trí cho chữ số Vì a1  nên bước này có số cách thực là n1  cách *) Bước 2: Chọn vị trí cho chữ số Ta có hai phương án thực bước này +) Phương án 1: a1  Số cách chọn vị trí còn lại là n  A 84 +) Phương án 2: a1  Vì a1  và chữ số đã chiếm vị trí nên để chọn vị trí cho chữ số có n  cách Vì a1   0;1 nên có n4  cách chọn a1 Số cách chọn chữ số cho vị trí còn lại là n5  A 73 Theo quy tắc nhân thì số cách thực phương án là n6  n 3n 4n5  32A 73 Theo quy tắc cộng, số cách thực bước là n7  n  n6  A 84  32A73   Theo quy tắc nhân, số cách lập số A là n1 n7  A84  32A 73  42000 Ví dụ 10 Tính tổng các số chẵn có chữ số đôi khác lập từ các chữ số , , , 4, 5, 6, 7, 8, Giải * Giả sử A  a1a 2a 3a4a5 là số thỏa mãn yêu cầu bài toán Do đó để lập số A ta làm sau 16 Lop12.net THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: violet.vn/phphong84 +) Bước 1: Chọn a5 A chẵn  a chia hết cho  a   2;4;6;8 Như vậy, bước này có n1  cách thực +) Bước 2: Chọn các chữ số còn lại Mỗi cách chọn các chữ số a1 , a , a , a4 là chỉnh hợp chập phần tử 1;2;3;4;5;6;7;8;9 \ a5  nên số cách chọn các chữ số này là n  A 84 Theo quy tắc nhân thì số cách lập số A là n  n n  4.A 84  6720 * Để tính tổng các số lập được, ta tính tổng vị trí +) Vì vai trò các chữ số , , , là giống nên số lần xuất chữ số này hàng đơn vị là n  1680 Từ đây suy tổng các chữ số hàng đơn vị là 1680       33600 +) Nếu cố định a4  thì có cách chọn a5 , A 73 cách chọn các vị trí còn lại Như số lần chữ số xuất vị trí hàng chục là 4.A 73  840 Vì vai trò các chữ số , , , , là nên số lần xuất chữ số này vị trí hàng chục là 840 Tổng số lần xuất các chữ cố , , , vị trí hàng chục là 6720  5.840  2520 Vì vai trò các chữ số , , , là nên số lần xuất chữ số này vị trí hàng chục là 2520  630 Như vậy, tổng các chữ số hàng đơn vị là 840 1       630       33600 Tương tự, tổng các chữ số hàng trăm, hàng nghìn và hàng vạn và 33600 Vậy tổng các số lập là 33600   10  100  1000  10000   33600.11111  373329600 17 Lop12.net THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: violet.vn/phphong84 B Bài tập Bài Từ các chữ số , , , , , , , , , có thể lập bao nhiêu số có chữ số đôi khác thỏa mãn thêm điều kiện 1) là số chẵn 2) chia hết cho Bài Tính tổng các số có chữ số đôi khác thõa mãn điều kiện chia hết cho lập từ các chữ số , , , , Bài Tính tổng các số có chữ số đôi khác thõa mãn điều kiện chia hết cho lập từ các chữ số 0, , , , , Bài Từ các chữ số , , , , , , , , , có thể lập bao nhiêu số có chữ số Biết chữ số xuất đúng hai lần, còn các chữ số còn lại đôi khác Bài Từ các chữ số , , , , , , , , , có thể lập bao nhiêu số có chữ số Biết chữ số có thể không xuất xuất số chẵn lần, còn các chữ số còn lại đôi khác Bài Từ các chữ số , , , , , , có thể lập bao nhiêu số có chữ số chia hết cho Biết chữ số xuất hai lần, còn các chữ số còn lại đôi khác Bài Từ các chữ số , , , , , , có thể lập bao nhiêu số có chữ số đôi khác và các chữ số có chữ số và chữ số Bài Từ các chữ số , , , , , , , , , có thể lập bao nhiêu số có chữ số biết hai chữ số liên tiếp thì chữ số đứng trước lớn chữ số đứng sau nó Bài Từ các chữ số , , , , , , , , , có thể lập bao nhiêu số có chữ số thỏa mãn hai điều kiện: hai chữ số liên tiếp thì chữ số đứng trước lớn chữ số đứng sau nó hai chữ số liên tiếp thì chữ số đứng trước nhỏ chữ số đứng sau nó Bài 10 Một trường Phổ thông trung học có 280 nam sinh và 325 nữ sinh 1) Có bao nhiêu cách chọn 11 học sinh 2) Có bao nhiêu cách chọn học sinh có nam và nữ 3) Giả sử các học sinh nam có bạn bạn tên là Long và các nữ sinh có bạn tên là Ngọc Hỏi có bao nhiêu cách chọn học sinh có nam và nữ không đồng thời có hai bạn Long và Ngọc Bài 11 Trong lớp học có nam sinh và nữ sinh ưu tú (trong số đó có nam sinh Hưng và nữ sinh Hoa) Cần lập ban cán lớp gồm người từ học sinh ưu tú với yêu cầu có 18 Lop12.net THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: violet.vn/phphong84 ít hai nữ sinh, ngoài ban cán không đồng thời có Hưng và Hoa Hỏi có bao nhiêu cách lập ban cán này Bài 12 Có nhà toán học nam, nhà toán học nữ và nhà vật lý nam Hỏi có bao nhiêu cách lập đoàn công tác người từ các nhà khoa học nói trên cho đoàn có nam và nữ, có nhà toán học và nhà vật lý Bài 13 Một trường trung học có thầy dạy toán, thầy dạy lý và thầy dậy hóa học Hỏi có bao nhiêu cách cử thầy thuộc đủ môn đó đại hội Bài 14 Hội đồng quản trị xí nghiệp gồm 11 người, đó có nam và nữ Hỏi có bao nhiêu cách lập hội đồng thường trực gồm người từ thành viên nói trên cho đó có ít nam Bài 15 Có bao nhiêu cách xếp người bạn nam và bạn nữ vào cái ghế dài cho ngồi bên cạnh ít người cùng giới Bài 16 Một nhóm gồm 10 học sinh, đó có nam và nữ Có bao nhiêu cách xếp 10 học sinh trên thành hàng dọc cho học sinh nam đừng liền Bài 17 Có 10 câu hỏi đó có câu lý thuyết và câu bài tập Thầy giáo có bao nhiêu cách để lập đề thi gồm câu, đó có lý thuyết và bài tập từ 10 câu hỏi nói trên Bài 18 Một đồn cảnh sát khu vực có người Hỏi có bao nhiêu cách phân công cảnh sát làm nhiệm vụ khu vực A, cảnh sát làm nhiệm vụ khu vực B và người còn lại trực đồn Bài 19 Có tem thư khác và bì thư khác Có bao nhiêu cách chọn và dán tem thư lên bì thư Bài 20 Có nghệ sĩ, đó có nam và nữ, tham gia buổi biểu diễn mà người phải biểu diễn đúng tiết mục 1) có bao nhiêu cách xếp chương trình cho chương trình xen kẽ hết nam lại đến nữ nghệ sĩ biểu diễn 2) có bao nhiêu cách xếp chương trình cho tiết mục đầu và tiết mục sau cùng là nam biểu diễn Bài 21 Có bao nhiêu cách xếp 10 vật phân biệt vào hộp phân biệt cho hộp thứ chứa vật, hộp thứ hai chứa vật, hộp thứ ba chứa vật, hộp thứ tư chứa vật Bài 22 Đội dự tuyển bóng bàn có 10 nữ, nam, đó có danh thủ nam là Đường Ngọc Hưng và danh thủ nữ là Lý Thu Thủy Người ta cần lập đội tuyển bóng bàn quốc gia gồm nữ và nam từ đội dự tuyển nói trên cho đội phải có nam lẫn nữ và có mặt hai danh thủ 19 Lop12.net THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: violet.vn/phphong84 Bài 23 Chia nhóm 16 học sinh gồm học sinh giỏi, học sinh khá và học sinh trung bình thành hai tổ có số học sinh Hỏi có bao nhiêu cách chia mà tổ có học sinh giỏi và có ít là học sinh khá Bài 24 Tổ I gồm 10 người và tổ II gồm người Hỏi có bao nhiêu cách lập nhóm câu lạc bóng bàn gồm thành viên cho tổ có ít hai người thuộc câu lạc này Bài 25 Trong lớp có 33 người đó có nữ và 26 nam Có bao nhiêu cách chia lớp thành ba tổ cho: tổ gồm 10 người, tổ gồm 11 người, tổ gồm 12 người và tổ có ít hai nữ Bài 26 Một trường tiểu học có 50 học sinh đạt danh hiệu Cháu ngoan Bác Hồ, đó có cặp anh em sinh đôi Hỏi có bao nhiêu cách chọn nhóm học sinh số 50 học sinh trên dự đại hội Cháu ngoan Bác Hồ cho nhóm không có cặp anh em sinh đôi nào Bài 27 Một đội tuyển học sinh giỏi trường gồm 18 em, đó có học sinh khối 12 , học sinh khối 11 và học sinh khối 10 Hỏi có bao nhiêu cách cử học sinh đội dự trại hè cho khối có ít em chọn Bài 28 Từ tổ gồm học sinh nữ và học sinh nam Có bao nhiêu cách chọn em đó số học sinh nữ phải nhỏ 20 Lop12.net