Cao đẳng Kinh Tế Kỹ Thuật Công Nghiệp I năm 2006 Giải phương trình : logx 4.log2.. Bài giải tham khảo.[r]
(1)www.VNMATH.com Ph nh Phng ng tri trinh Bât ph nh phng ng tri trinh Hê ph nh phng ng tri trinh Hê bât ph nh phng ng tri trinh Mu & Logarit Ths Lê Lê Vn Đoa oan Lop12.net (2) Bài www.VNMATH.com Cao đẳng Sư Phạm Tp Hồ Chí Minh năm 2002 Giải các phương trình và bất phương trình sau 1/ log5 x − log x 125 < 2/ x − x −5 − 12.2x −1− (1) x −5 +8=0 (2) Bài giải tham khảo 1/ Giải bất phương trình : log5 x − log x 125 < (1) ● Điều kiện : < x ≠ (1) ⇔ log5 x − log 125 x − < ⇔ log5 x − −1 < log5 x log x < −1 t = log5 x ≠ t = log5 x x < ⇔ 2t2 − t − ⇔ ⇔ ⇔ 0 < log x < t < −1 ∨ < t < <0 1 < x < 5 2 t 1 ● Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm bất phương trình là : x ∈ 0; ∪ 1; 5 ( 2/ Giải phương trình : x − x −5 − 12.2x −1− x −5 +8=0 ) (2) x ≤ − ● Điều kiện : x − ≥ ⇔ ⇒ Tập xác định : D = −∞; − ∪ 5; +∞ x ≥ x− x2 −5 2 =2 t = 2x − x −5 > x − x2 −5 2 x x − − +8 =0 ⇔ ⇔ − 6.2 (2) ⇔ 2 x− x2 −5 t − 6.t + = =4 2 x ≥ x − ≥ x = x = 2 x x − = − x x x x − − = − = − ( ) ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ x ≥ ⇔ x − ≥ x = x − x2 − = x2 − = x − x = x2 − = (x − 2) ( ● Kết hợp với điều kiện, phương trìn có hai nghiệm là x = Bài ; x = Cao đẳng Sư Phạm Hà Tĩnh khối A, B năm 2002 log x (log x) Giải bất phương trình : 2 + x ≤ (∗) Bài giải tham khảo ● Điều kiện : x > ⇒ tập xác định : D = (0; +∞) ● Đặt log2 x = t ⇔ x = 2t Lúc đó : (∗) ⇔ 2t t ( ) + 2t 2 ≤ ⇔ t + t − ≤ ⇔ t ≤ 21 ⇔ t2 ≤ ⇔ −1 ≤ t ≤ ● Với t = log2 x ⇒ −1 ≤ log2 x ≤ ⇔ ≤ x ≤ 2 ● Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm bất phương trình là : x ∈ (0; +∞) Lop12.net ) (3) Bài www.VNMATH.com Cao đẳng Sư Phạm Nha Trang năm 2002 (x + 1) log23 x + 4xlog3 x − 16 = (∗) Giải phương trình : Bài giải tham khảo ● Điều kiện : x > ⇒ Tập xác định D = (0; +∞) ● Đặt t = log3 x và x > ⇒ x + ≠ Lúc đó : (∗) ⇔ (x + 1) t2 + 4xt − 16 = 2 ● Lập ∆ ' = 4x2 + 16x + 16 = (x + 2) ⇒ ∆ = (x + 2) = (x + 2), (do x > 0) t = −2x + (x + 2) = x +1 x +1 ⇒ t = −2x − (x + 2) = −4 x +1 ● Với t = −4 ⇒ log3 x = −4 ⇔ x = ● Vớ i t = 4 ⇒ log3 x = x +1 x +1 81 (1) Nhận thấy phương trình (1) có nghiệm là x = Hàm số f (x ) = log3 x : là hàm số đồng biến trên (0;+∞) Hàm số g (x) = −4 < 0, ∀x ⇒ g (x) : nghịch biến trên (0;+∞) có g ' (x) = x +1 x + ( ) Vậy phương trình (1) có nghiệm là x = , x = 81 ● So với điều kiện, phương trình có hai nghiệm là x = Bài Cao đẳng Kinh Tế Kỹ Thuật Hải Dương năm 2002 Giải bất phương trình : 4x2 + x.2x +1 2 (∗) + 3.2x > x2 2x + 8x + 12 Bài giải tham khảo (∗) ⇔ 4x2 + 2x.2x 2 + 3.2x − x2 2x − 8x − 12 > 2 2 ⇔ 2x.2x − 8x + 3.2x − 12 + 4x2 − x2 2x > ⇔ 2x 2x − 4 + 2x − 4 − x2 2x − 4 > ⇔ 2x − 4 2x + − x2 > ⇔ f (x) = 2x − 4 x2 − 2x − < (1) ( ) ( ) x = ± x2 = 2x − = ⇔ ⇔ ● Cho x − 2x − = x = −1 ∨ x = x = −1 ∨ x = ● Bảng xét dấu x −∞ − Lop12.net −1 +∞ (4) x2 www.VNMATH.com + −4 x2 − 2x − + f ( x) + − − + − − + + + − − + ) ( 2; ( ● Dựa vào bảng xét, tập nghiệm bất phương trình là : x ∈ − 2; −1 ∪ Bài + ) Cao đẳng khối T, M năm 2004 – Đại học Hùng Vương log log2 (xy) 9 = + (xy) Giải hệ phương trình : x2 + y2 = 3x + 3y + (1) (2) Bài giải tham khảo ● Điều kiện : xy > log2 (xy) (1) ⇔ − 2.3 log2 (xy) log (xy) t = 3log2 xy > = − (L ) t = −3 = ⇔ ⇔ log2 (xy) t − 2t − = =3 t = ⇔ log2 ( xy) = ⇔ xy = 2 (2) ⇔ (x + y) (3) x + y = − (x + y) − 2xy − = ⇔ (x + y) − (x + y) − 10 = ⇔ (4) x + y = −2 xy = − 17 + 17 x + y = x = x = y = − x 2 ⇔ ⇔ ∨ (3), (4) ⇔ xy = − + − = x 5x + − 17 17 y = y = (VN) x + y = −2 2 Bài Cao đẳng Sư Phạm Hải Phòng – Đại học Hải Phòng năm 2004 1/ Giải phương trình : log2 (x − 1) + log (x + 4) = log2 (3 − x) (∗) ( ) ( 2/ Giải phương trình : log3 x2 + 2x + = log2 x2 + 2x ) (∗ ∗) Bài giải tham khảo 1/ Giải phương trình : log2 (x − 1) + log (x + 4) = log2 (3 − x) (∗) x − ≠ x ≠ −4 < x < ● Điều kiện : x + > ⇔ x > −4 ⇔ x ≠ 3 − x > x < (∗) ⇔ log2 x − − log2 (x + 4) = log2 (3 − x) ⇔ log2 x − = log2 (3 − x)(x + 4) ⇔ x − = (3 − x)(x + 4) ⇔ x − = −x2 − x + 12 Lop12.net (5) www.VNMATH.com −x2 − x + 12 ≥ −4 ≤ x ≤ x = − 11 ⇔ x − = −x − x + 12 ⇔ x = −1 + 14 ∨ x = −1 − 14 ⇔ x 14 = − + x − = x + x − 12 x = − 11 ∨ x = 11 ● Kết hợp với điều kiện, nghiệm phương trình là : x = − 11 ∨ x = −1 + 14 ( ) ( 2/ Giải phương trình : log3 x2 + 2x + = log2 x2 + 2x ) (∗ ∗) ( x + 1) > x + 2x + > ⇔ ⇔ x ∈ (−∞; −2) ∪ (0; +∞) ● Điều kiện : x + 2x > x ∈ (−∞; −2) ∪ (0; +∞) x + 2x + = 3t > ● Đặt : log3 x2 + 2x + = log2 x2 + 2x = t ⇒ x + 2x = 2t > x2 + 2x = 2t (1) x2 + 2x = 3t − x + 2x = 2t x2 + 2x = 2t ⇔ ⇔ t ⇔ t ⇔ t t x + 2x = 2t 3 − = 2t 2 + = 3t + = (2) ( ) ( ) ● Nhận thấy t = là nghiệm phương trình (2) t t ● Xét hàm số f (t) = + trên » : t t f ' ( t) = ln + ln < 0, ∀t ∈ » ⇒ f (t) nghịch biến trên » ● Do đó, t = là nghiệm phương trình (2) ● Thay t = vào (2), ta : x2 + 2x = ⇔ x2 + 2x − = ⇔ x = −1 ± ● Kết hợp với điều kiện, nghiệm phương trình là x = −1 ± Bài Cao đẳng Sư Phạm Nhà Trẻ – Mẫu Giáo TWI năm 2004 1 > Giải bất phương trình : log (x−1) (∗) Bài giải tham khảo ● Điều kiện : < ( x − 1) ≠ ⇔ x ≠ 0,1, 1 1 (∗) ⇔ log x−1 > ⇔ log x−1 > log x−1 x −1 (∗ ∗) x − > > x − ⇔ ● Nếu x − > thì (∗ ∗) ⇔ (vô lí) ⇒ Không có x thỏa x − < − > x 1 ● Nếu < x − < thì 0 < x < < x − 0 < x − < 1 ⇔ ⇔ < x −1 < ⇔ (∗ ∗) ⇔ x −1 < 0 < x − < <x<2 4 Lop12.net (6) www.VNMATH.com 3 5 ● Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm bất phương trình là x ∈ 0; ∪ ;2 Bài Cao đẳng Sư Phạm Tp Hồ Chí Minh năm 2004 log x + y2 = Giải hệ phương trình : 2 log x + log y = 4 ( ) (∗) Bài giải tham khảo x > x + y > ⇔ ● Điều kiện : x > 0, y > y > 2 x2 + y2 = 32 x + y2 = 32 (x + y) − 2xy = 32 ( x + y) = 64 ⇔ (∗) ⇔ log x + log y = ⇔ log xy = ⇔ ( ) xy = 16 xy = 16 x = y = x + y = x + y = −8 ⇔ ∨ ⇔ x = y = −4 xy = 16 xy = 16 ● Kết hợp với điều kiện, nghiệm hệ là S = (x; y) = Bài {(4; 4)} Cao đẳng Sư Phạm Bắc Ninh năm 2004 log (x + 3) − log (x + 3) Giải bất phương trình : x +1 >0 (∗) Bài giải tham khảo x > −3 ● Điều kiện : x ≠ ● Trường hợp Nếu x + < ⇔ −3 < x < −1 (∗) ⇔ log (x + 3) − log (x + 3) < ⇔ log3 (x + 3) − log2 (x + 3) < ⇔ log3 ( x + 3) − log2 log3 ( x + 3) < ⇔ log3 (x + 3) (3 − log2 3) < ⇔ log3 (x + 3) > (Do : − log2 < 0) ⇔ x + > ⇔ −2 < x < −1 thỏa mãn điều kiện : −3 < x < −1 ● Trường hợp Nếu x + > ⇔ x > −1 (∗) ⇔ log (x + 3) − log (x + 3) > ⇔ log3 (x + 3) − log2 (x + 3) > ⇔ log3 ( x + 3) − log2 log3 ( x + 3) > ⇔ log3 (x + 3) (3 − log2 3) > ⇔ log3 (x + 3) < (Do : − log2 < 0) Lop12.net (7) www.VNMATH.com ⇔ x + < ⇔ x < −2 không thỏa mãn điều kiện x > −1 ● Vậy tập nghiệm bất phương trình là x ∈ (−2; −1) Bài 10 Cao đẳng Sư Phạm Bình Phước năm 2004 ( ) (∗) Giải phương trình : 3x2 − 2x = log2 x2 + − log2 x Bài giải tham khảo ● Điều kiện : x > (∗) ⇔ log2 x2 + = 3x2 − 2x ⇔ log2 x + x = 3x2 − 2x x (∗ ∗) Côsi 1 ≥ x ⇔ x + ≥ ⇒ log2 x + ● Ta có ∀x > : x + x x x Dấu " = " xảy và x = ⇔ x2 = ⇔ x ≥ log2 = x x = x = −1 L ⇔ x = ( ) ● Xét hàm số y = 3x2 − 2x trên khoảng (0;+∞) : y ' = 6x − 6x2 Cho y ' = ⇔ x = 0, x = f (0) = ⇒ max y = ⇒ y = 3x2 − 2x ≤ Dấu " = " xảy x = Mà f (1) = (0;+∞) log x + ≥ (1) x ● Tóm lại : (∗ ∗) ⇔ 2x − 2x ≤ (2) ⇔ Dấu " = " (1), (2) đồng thời xảy log x + = 3x2 − 2x 2 x ⇔ x = là nghiệm phương trình Bài 11 Cao đẳng Sư Phạm Kom Tum năm 2004 Giải phương trình : log5 x log3 x = log5 x + log3 x (∗) Bài giải tham khảo log x (∗) ⇔ log5 x log3 x − log5 x − log5 = ⇔ log5 x log3 x − − = log5 ⇔ log5 x (log3 x − log3 − log3 5) = ⇔ log5 x (log3 x − log3 15) = log x = x = ⇔ ⇔ log x − log 15 = x = 15 Bài 12 Cao đẳng Giao Thông năm 2004 Giải bất phương trình : + 21+ x − x + 21+ x > Lop12.net (1) (8) www.VNMATH.com Bài giải tham khảo (1) ⇔ x + 2.2 − t = 2x > > − 2.2 ⇔ + 2t − t2 > − 2.t t > t > 5 −2 ≤ t ≤ <t≤4 ≥0 ⇔ ⇔ 2 ⇔1< t≤4 > t 1 < t ≤ t ≤ 2 > (5 − 2t) 17 1 < t < ( ) t > 5 − 2t < 8 + 2t − t2 ⇔ t > 5 − 2t ≥ 8 + 2t − t2 x x ● Thay t = 2x vào ta : < 2x ≤ ⇔ 20 < 2x ≤ 22 ⇔ < x ≤ ● Vậy tập nghiệm bất phương trình là x ∈ (0;2 Bài 13 Cao đẳng Kinh Tế Kỹ Thuật Công Nghiệp II năm 2004 Giải bất phương trình : log22 x + log2 x + (∗) >2 Bài giải tham khảo x > x > x > x > ⇔ ⇔ ⇔ ● Điều kiện : log2 x + ≠ log2 x ≠ log2 2−3 x ≠ 2−3 x ≠ log22 x + (∗) ⇔ log x+3 −2 > ⇔ log22 x − log2 x − log2 x + ● Đặt t = log2 x Khi đó (∗ ∗) ⇔ ● Xét dấu f (t) = t (t + 1)(t − 3) −∞ t+3 >0 (∗ ∗) (t + 1)(t − 3) > t2 − 2t − > ⇔ f (t) = t+3 t+3 : −3 f (t) + −1 0 ● Kết hợp bảng xét dấu và (∗ ∗ ∗), ta : −3 < t < −1 ⇔ t > −3 < log x < −1 ⇔ log x > 1 <x<1 8 x > 1 1 ● Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm bất phương trình là x ∈ ; Bài 14 (∗ ∗ ∗) Cao đẳng Cơ Khí Luyện Kim năm 2004 Lop12.net +∞ + (9) ( www.VNMATH.com ) ( ) (∗) Giải phương trình : log2 25x +3 − = + log2 5x +3 + Bài giải tham khảo x +3 − > x + > 25o 25 25 ● Điều kiện : x + ⇔ x +3 ⇔ x−3> ⇔ x > 5 5 +1> + > (Ð), ∀x ∈ » (∗) ⇔ log2 (25x+3 − 1) = log2 + log2 (5x +3 + 1) ⇔ log2 25x + − = log2 4 5x + + ⇔ 25x + − = 4.5x + + x + = −1 L ( ) ⇔ x + = ⇔ x = −2 x +3 x +3 ⇔ − 4.5 − = ⇔ x + =5 5 ● Kết hợp với điều kiện, nghiệm phương trình là x = −2 ( ( Bài 15 ) ( ) ) Cao đẳng Hóa Chất năm 2004 ( ) ( ) Giải phương trình : log2 2x + log2 2x +1 + = (∗) Bài giải tham khảo ● Tập xác định : D = » (∗) ⇔ log2 2x + log2 2 2x + = ⇔ log2 2x + 1 + log2 2x + − = t = log 2x + > t > t > ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ t=2 t (1 + t) − = t + t − = t = ∨ t = −3 (L) ( ( ) ) ( ( ( ) ( ) ) ) ⇔ log2 2x + = ⇔ 2x + = ⇔ 2x = ⇔ x = log2 ● Vậy phương trình có nghiệm là x = log2 Bài 16 Cao đẳng Kinh Tế Kỹ Thuật Công Nghiệp khối A năm 2004 Giải phương trình : 32x +5 − 36.3x +1 + = Bài giải tham khảo ● Tập xác định : D = » (∗) ⇔ 27.32(x +1) − 36.3x+1 + = t = 3x +1 > 3x +1 = x = −1 t = 3x +1 > ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ x +1 −1 27t − 36t + = t = ∨ t = x = − =3 ● Vậy phương trình có hai nghiệm x = −2 và x = −1 Bài 17 Cao đẳng Công Nghiệp Hà Nội năm 2004 1/ Giải phương trình : 8sin x = 8.8 π x cos2 − + sin2 x (1) 2/ Tìm tập xác định hàm số : y = log2 x − log2 Lop12.net − + x2 − 7x + x (2) (10) www.VNMATH.com Bài giải tham khảo 1/ Giải phương trình : (1) ⇔ sin3 x sin3 x = 8.8 π 1+ cos −x+ sin2 x +1 =8 π x cos2 − + sin2 x ⇔ 8sin x = 8sin (1) x + sin x +2 ⇔ sin3 x = sin2 x + sin x + t = sin x, t ≤ ⇔ ⇔ t = (loại) t − t2 − t − = Vậy phương trình đã cho vô nghiệm 2/ Tìm tập xác định hàm số : y = log2 x − log2 (2) ⇔ y = − + x2 − 7x + x log2 x − log22 x − + x2 − 7x + x > x > ● Hàm số xác định và : − log2 x + log2 x − ≥ ⇔ x ≤ ∨ x ≥ 1 ≤ log2 x ≤ x − 7x + ≥ 0 < x ≤ ∨ x ≥ ⇔ ⇔ ≤ x ≤ 2 ≤ x ≤ ● Vậy tập xác định hàm số là D = 6; 8 Bài 18 Cao đẳng Tài Chính Kế Toán IV năm 2004 x + 5x + ≤ (1) Giải hệ phương trình : (2 + x) 3x < (2) Bài giải tham khảo ● Tập xác định D = » (1) ⇔ −4 ≤ x ≤ −1 ⇒ x ∈ −4; −1 x (2) ⇔ x + < ● Với x ∈ −4; −1 Xét hàm số f ( x) = x + đồng biến trên −4; −1 ⇒ max f (x) = f (−1) = −4;−1 x ● Với x ∈ −4; −1 Xét hàm số g (x ) = nghịch biến trên −4; −1 ⇒ g (x) = f (−1) = −4;−1 ● Nhận thấy max f (x) < g (x) , (1 < 3) nên g (x ) > f (x) luôn luôn đúng −4;−1 −4;−1 ∀x ∈ −4; −1 Do đó tập nghiệm bất phương trìn là x ∈ −4; −1 Bài 19 Cao đẳng Y Tế Nghệ An năm 2004 Lop12.net (2) (11) www.VNMATH.com x3 Giải phương trình : log3 log2 x − log3 = + log2 x x (∗) Bài giải tham khảo ● Điều kiện : x > (∗) ⇔ (log3 − log3 x) log2 x − (log3 x − log3 ) = 1 + log2 x 2 1 1 ⇔ (1 − log x) log2 x − 3 log x − = + log2 x 2 ⇔ log2 x − log2 x log3 x − log3 x + ⇔ 1 − − log2 x = 2 log2 x − log2 x.log3 x − log3 x = ⇔ log2 x − log2 x.log3 x − log3 x = ⇔ log2 x − log2 x log3 x − log2 x log2 =0 ⇔ log2 x 1 − log3 x − log3 2 = log x = x = ⇔ ⇔ log x = − log = log − log = log x = 3 3 8 ● Kết hợp với điều kiện, nghiệm phương trình là x = 1, x = Bài 20 Cao đẳng Kinh Tế Kỹ Thuật Công Nghiệp I năm 2006 Giải phương trình : logx 4.log2 − 12x =2 12x − (∗) Bài giải tham khảo 0 < x ≠ 0 < x ≠ ⇔ ● Điều kiện : − 12x < x < >0 12x − 12 x = 1 − 12x − 12x − 12x (∗) ⇔ log x log2 12 − = ⇔ log2 12 − = log2 x ⇔ 12 − = x ⇔ x = − ● Kết hợp với điều kiện, nghiệm phương trình là x = Bài 21 Cao đẳng Kinh Tế Kỹ Thuật Công Nghiệp II năm 2006 Giải phương trình : 42x − 2.4 x +x + 42x = (∗) Bài giải tham khảo ● Tập xác định : D = » 2 (∗) ⇔ 42x −2x − 2.4x −x + = (chia hai vế cho 42x > ) Lop12.net (12) www.VNMATH.com 2 ⇔ 4x −x − 2.4x −x + = x = t = x −x > ⇔ ⇔ t = x −x = ⇔ x2 − x = ⇔ t2 − 2t + = x =1 ● Vậy phương trình có hai nghiệm : x = 0, x = Bài 22 Cao đẳng Xây Dựng số năm 2006 2x + log y + 2x log y = 2 Giải hệ phương trình : x 4 + log2 y = (∗) Bài giải tham khảo ● Điều kiện : y > ● Đặt u = 2x , v = log2 y Lúc đó : 2 (u + v) + 2uv = 10 (+) u + v + uv = ∗ ⇔ ⇔ ⇔ (u + v) + (u + v) − 15 = ( ) u2 + v2 = (u + v) − 2uv = x 2 = u + v = −5 VN u = x = ( o ) v = log y = y = uv = 10 ⇔ ⇔ ⇔ x ⇔ 2 = u + v = u = x = log y = uv = v = y = ● So với điều kiện, nghiệm hệ phương trình là : S = (x; y) = Bài 23 {(2; 4), (4;2)} Cao đẳng Giao Thông Vận Tải III khối A năm 2006 Giải phương trình : + 89x 25 = log x − log32 x 2x (∗) Bài giải tham khảo 0 < x ≠ x ≠ 0 < x ≠ 0 < x ≠ x − < < ⇔ 89x2 − 25 ⇔ ⇔ ● ĐK : 89x 25 89 x ∈ ; ∞ +∞ − >0 >0 2x 2x 89 <x<+ 89 89x2 − 25 89x2 − 25 (∗) ⇔ + logx 32 = logx 2x ⇔ logx x + logx 32 = logx 2x ⇔ log x 32x = logx 89x2 − 25 89x2 − 25 ⇔ 32x = ⇔ 64x − 89x2 + 25 = 2x 2x x2 = x = ±1 ⇔ ⇔ x2 = 25 x = ± 64 ● Kết hợp với điều kiện, nghiệm phương trình là : x = Bài 24 Cao đẳng Kinh Tế Đối Ngoại khối A, D năm 2006 Lop12.net (13) www.VNMATH.com 1/ Giải phương trình : ln x + ln (2x − 3) = 2/ Giải bất phương trình : x + 2x − x − 2x − (1) > Bài giải tham khảo 1/ Giải phương trình : ln x + ln (2x − 3) = (1) x > x > ⇔ ● Điều kiện : 2x − ≠ x ≠ 2x − ≥ 2x − 3x − = (1) ⇔ ln x + ln 2x − = ⇔ x 2x − = ⇔ 2x − < −2x + 3x − = x ≥ x = x < ⇔ x = + 17 ∨ x = ⇔ x = − 17 x = x = + 17 x = ● Kết hợp với điều kiện, nghiệm phương trình là x = ∨ x = 2/ Giải bất phương trình : x + 2x − x − 2x − (∗) >0 ● Tập xác định D = » (2 (∗) ⇔ (2 x x )( + 1)(2 )>0⇔ 2 − 2) + 2x − x x x 2 x < >0⇔ x ⇔ −2 2 > −1 x < x > ● Vậy tập nghiệm bất phương trình là x ∈ (−∞; 0) ∪ (1; +∞) Bài 25 Cao đẳng Sư Phạm Hưng Yên khối A năm 2006 Giải phương trình : x +1 ( ) +1 x ( − 3+2 ) = x −1 Bài giải tham khảo ● Tập xác định : D = » x +1 (∗) ⇔ ( +1 ( +1 ⇔ ) − ( 2x ) +1 x +1 ) + x +1 = = x −1 ( 2x ) +1 + 2x (1) có dạng f (x + 1) = f (2x) (2) ● Xét hàm số f (t) = ( t ) + + t trên » Lop12.net (1) (∗) + 17 ∨x = (14) Ta có f ' (t) = ( t ) ( + ln www.VNMATH.com ) + + > ⇒ Hàm số f (t) đồng biến trên » (3) ● Từ (1), (2), (3) ⇒ x + = 2x ⇔ x = ● Vậy phương trình có nghiệm là x = Bài 26 Cao đẳng Sư Phạm Hưng Yên khối B năm 2006 1 Giải phương trình : + + log5 sin x = + log15 cos x 15 (∗) Bài giải tham khảo ● Điều kiện : sin x > 0, cos x > (∗) ⇔ + 5.5 log5 sin x = 15.15 ⇔ + sin x = cos x ⇔ ⇔x= log15 cos x ⇔ + sin x = 15.cos x 1 π π cos x − sin x = ⇔ cos x + = cos 2 6 π π + k2π ∨ x = − + k2π, (k ∈ ») ● Kết hợp với điều kiện, nghiệm phương trình là x = Bài 27 π + k2π, (k ∈ ») Cao đẳng Sư Phạm Hưng Yên khối D1, M năm 2006 Giải phương trình : log9 x = log ( ) (∗) 2x + − Bài giải tham khảo 1/ Giải phương trình : log9 x = log ( ) 2x + − (∗) x > ⇔ x > ● Điều kiện : 2x + − > (∗) ⇔ log3 x = log ( ) 2x + − ⇔ x = 2x + − ⇔ x = 2x + − 2x + x = ⇔ x + = 2x + ⇔ x2 + 4x + = 8x + ⇔ x2 − 4x = ⇔ x = ● Kết hợp với điều kiện, nghiệm phương trình là x = Bài 28 Cao đẳng Bán Công Hoa Sen khối A năm 2006 2x −y 2x −y − = 3 + Giải hệ phương trình : lg (3x − y) + lg (y + x) − lg = Bài giải tham khảo 3x − y > ⊕ x > y ● Điều kiện : ⇔ ⇔ x > > y y + x > x > > Lop12.net (15) www.VNMATH.com 2x −y 2x −y 2x −y (∗) ⇔ 3. + − = ⇔ 3t + 7t − = 0, t = > lg 3x − y)(y + x) = log 16 3x − y)(y + x) = 16 ( ( 2x −y 2x −y 2x − y = t = = ∨ t = = −3 (L) ⇔ ⇔ 3 2xy + 3x2 − y2 = 16 2xy + 3x2 − y2 = 16 x = y = 2x − y = 2x − y = ⇔ ⇔ ⇔ 2x (2x − 2) + 3x2 − (2x − 2)2 = 16 3x + 4x − 20 = 10 x = − ( L) ● Vậy nghiệm hệ phương trình là ( x; y) = (2;2) Bài 29 Cao đẳng Bán Công Hoa Sen khối D năm 2006 Giải phương trình : 9x + 6x = 22x +1 (∗) Bài giải tham khảo ● Tập xác định : D = » 2x x (∗) ⇔ + − 2.4 = ⇔ + x x x x t = > x − = ⇔ ⇔ = ⇔ x = t = t = −2 (L) ● Vậy nghiệm phương trình là x = Bài 30 Cao đẳng Sư Phạm TW năm 2006 Giải phương trình : 4.4x − 9.2x +1 + = (∗) Bài giải tham khảo ● Tập xác định : D = » 2 x = x = ⇔ (∗) ⇔ 4.22x x = −1 2 x = ● Vậy phương trình có hai nghiệm là x = −1 và x = t = 2x > x − 18.2 + = ⇔ ⇔ 4t − 18t + = Bài 31 Cao đẳng Sư Phạm Hà Nam khối A năm 2006 Giải bất phương trình : 3x −4 ( ) + x − x −2 − ≥ (∗) Bài giải tham khảo ● Tập xác định : D = » ● Ta có : (∗) ⇔ 3x −4 ( ) + x − 3x −2 ≥ (1) x2 −4 + 3 ≥1 x2 − ● Nếu x ≥ ⇒ ⇔ + x2 − 3x −2 ≥ x − 3x−2 ≥ ( ( ) Lop12.net ) (16) www.VNMATH.com Do đó (1) luôn đúng với x ≥ hay x ∈ (−∞; −2 ∪ 2; +∞) là tập nghiệm bất phương trình x2 −4 ⊕ 3 <1 x2 − ⇔ + x2 − 3x −2 < ● Nếu x < ⇒ x − 3x−2 < ( ( ) ) Do đó (1) không có tập nghiệm (vô nghiệm) x < ● Vậy tập nghiệm bất phương trình là x ∈ (−∞; −2 ∪ 2; +∞) Bài 32 Cao đẳng Sư Phạm Hà Nam khối M năm 2006 (∗) Giải bất phương trình : 3x +2 + 9x +1 − > Bài giải tham khảo ● Tập xác định : D = » 3 x = t > 3x = t > x 3 = t > (∗) ⇔ 9.3 + 9.9 − > ⇔ 9t2 + 9t − > ⇔ ⇔ t > ∨ t < − t > 3 x ⇔ 3x > x ⇔ 3x > 3−1 ⇔ x > −1 ● Vậy tập nghiệm phương trình là x ∈ (−1; +∞) Bài 33 Dự bị – Cao đẳng Sư Phạm Hà Nam khối A năm 2006 Giải phương trình : x + +1 + 2.2 x +5 + x = 2.4 x (∗) Bài giải tham khảo ● Tập xác định : D = » (∗) ⇔ x + +1 4x ( ⇔ 4.2 + x +5 −x 2.2 x +5 + x 22x − = ⇔ 4.4 x +5 −x + 2.2 x +5 −x −2 = x +5 −x 2 = t = = 2−1 ⇔ x +5 −x 4t + 2t − = = t = −1 (L) 2 ) + 2.23 x +5 −x − = ⇔ 2 x +5 −x = t>0 ⇔ x + − x = −1 ⇔ x + = x − ⇔ x + = x − 3x2 + 3x − ⇔ x3 − 3x2 + 2x − = ⇔ x = ● Vậy phương trình có nghiệm là x = Bài 34 Cao đẳng Kỹ Thuật Y Tế I năm 2006 ( ) ( ) (∗) Giải phương trình : + log2 9x − = log2 4.3x − Bài giải tham khảo 9x − > ● Điều kiện : x 4.3 − > (∗) ⇔ log2 + log2 (9x − 6) = log2 (4.3x − 6) ⇔ log2 2.(9x − 6) = log2 (4.3x − 6) Lop12.net (17) www.VNMATH.com x ( ) x ⇔ 2.9 − 12 = 4.3 − ⇔ x 3x = −1 − 4.3 − = ⇔ x = x ( L) ⇔ x = ● Thay x = vào điều kiện và thỏa điều kiện Vậy nghiệm phương trình là x = Bài 35 Cao đẳng Tài Chính – Hải Quan khối A năm 2006 Giải bất phương trình : log3 3x − <1 x +1 (∗) Bài giải tham khảo ● Điều kiện : (∗) ⇔ 3x − 5 > ⇔ x < −1 ∨ x > x +1 −8 3x − 3x − <3⇔ −3< ⇔ < ⇔ x + > ⇔ x > −1 x +1 x +1 x +1 5 ● Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm bất phương trình là x ∈ ; +∞ 3 Bài 36 Cao đẳng Kỹ Thuật Cao Thắng năm 2006 ( ) Giải phương trình : log2 x2 − − log2 (6x − 10) + = (∗) Bài giải tham khảo x2 − > ⇔x> ● Điều kiện : 6x − 10 > ( ) = log ⇔ (x x2 − ) =1⇔ x x = − + = ⇔ 3x 2 x = 6x − 10 6x − 10 ● So với điều kiện, phương trình có nghiệm là x = (∗) ⇔ log2 Bài 37 −3 Cao đẳng Kinh Tế Tp Hồ Chí Minh năm 2006 Giải phương trình : x + log22 x =8 (∗) Bài giải tham khảo ● Điều kiện : x > và x ≠ 1 (∗) ⇔ + log22 x = logx ⇔ log22 x − 3.logx + = ⇔ log22 x − log x +2 = ⇔ log23 x + log2 x − log2 x = ⇔ log2 x = ⇔ x = ● Kết hợp với điều kiện, nghiệm phương trình là x = Bài 38 Cao đẳng Điện Lực Tp Hồ Chí Minh năm 2006 Giải phương trình : logx − log27 x = log3 x (∗) Bài giải tham khảo ● Điều kiện : < x ≠ (∗) ⇔ log x − log3 x − log3 x = ⇔ Lop12.net 1 = 3.log3 x ⇔ log23 x = log3 x (18) www.VNMATH.com 1 ⇔ log3 x = ∨ log3 x = − ⇔ x = ∨ x = 2 ● Kết hợp với điều kiện, nghiệm phương trình là x = ∨ x = Bài 39 Cao đẳng Kinh Tế – Công Nghệ Tp Hồ Chí Minh khối A năm 2006 Giải bất phương trình : log3 x −2 x <1 (∗) Bài giải tham khảo ● Điều kiện : (∗) ⇔ log3 x −2 > ⇔ x < ∨ x > x −2 x −2 x −2 <0⇔ <1 ⇔ < ⇔ x > x x x ● Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm bất phương trình là x ∈ (2; +∞) Bài 40 Cao đẳng Kinh Tế – Công Nghệ Tp Hồ Chí Minh khối D1 năm 2006 Giải phương trình : log (x − 3) = + log4 x (∗) Bài giải tham khảo x − > x > ⇔ ⇔ x > ● Điều kiện : x > > x x−3 x−3 = −1 ⇔ = ⇔ x = x x ● Kết hợp với điều kiện, nghiệm phương trình là x = (∗) ⇔ − log4 (x − 3) − log4 x = ⇔ log4 Bài 41 Cao đẳng Công Nghiệp Hà Nội năm 2005 log x (log x) Giải bất phương trình : 5 + x ≤ 10 (∗) Bài giải tham khảo ● Điều kiện : x > ● Đặt log5 x = t ⇒ x = 5t (∗) ⇔ 5t t ( ) + 5t ≤ 10 ⇔ 5t ≤ ⇔ t2 ≤ ⇔ −1 ≤ t ≤ ⇔ −1 ≤ log5 x ≤ ⇔ 1 ● Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm bất phương trình là x ∈ ; 5 5 Bài 42 Cao đẳng Kinh Tế – Kỹ Thuật Công Nghiệp I khối A năm 2005 Tìm tập xác định hàm số : y = log (x ) − 5.x + Bài giải tham khảo ● Hàm số xác định và Lop12.net ≤x≤5 (19) www.VNMATH.com x − 5.x + > 0, ∀x ∈ » −1 ⇔ x2 − 5.x + ≥ ⇔ x ≤ ∨ x≥ log x − 5.x + ≥ − + ; ∪ +∞ ● Vậy tập xác định hàm số đã cho là D = −∞; ( Bài 43 ) +1 Cao đẳng Sư Phạm Cà Mau khối B năm 2005 Giải phương trình : x lg x = 102 lg (∗) x −3 lg x +2 Bài giải tham khảo ● Điều kiện : x > (∗) ⇔ lg xlg x = lg102 lg x −3 lg x +2 ⇔ lg2 x = lg2 x − lg x + ⇔ lg2 x − lg x + = lg x = x = 10 ⇔ ⇔ lg x = x = 100 ● Kết hợp với điều kiện, nghiệm phương trình là x = 10 ∨ x = 100 Bài 44 Cao đẳng Sư Phạm Vĩnh Phúc khối B năm 2006 (∗) Giải phương trình : log20,5 x + log2 x2 = log x 4x Bài giải tham khảo ● Điều kiện : < x ≠ (∗) ⇔ − log2 x + log2 x = logx + logx x ⇔ log22 x + log2 x − −1 = log x ⇔ log22 x + log2 x − −1 = log2 x x = log x = t = log x t = log2 x log x = −1 ⇔ x = ⇔ ⇔ ⇔ 2 t + 2t − t − = t = ∨ t = −1 ∨ t = −2 log2 x = −2 x = ● So với điều kiện, nghiệm phương trình là x = Bài 45 1 ∨ x = ∨ x = Cao đẳng Sư Phạm Vĩnh Phúc khối A năm 2006 ( ) Giải bất phương trình : log4 3x − log 3x − ≤ 16 Bài giải tham khảo ● Điều kiện : 3x − ≥ ⇔ x ≥ ⇔ x > (∗) ⇔ log4 (3x − 1) − log4 (3x − 1) + log4 16 − ≤ Lop12.net (∗) (20) ⇔ − log24 (3 x ) ( www.VNMATH.com ) − + log4 3x − − ≤0 t = log 3x − x log 3x − < t = log4 − x < ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ x > 4t2 − 8t + ≤ t < ∨ t > log 3x − > 2 ( ) ( ) ( ( ) ) ● Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm bất phương trình là x ∈ (0;1) ∪ (3; +∞) Bài 46 Cao đẳng Sư Phạm Tp Hồ Chí Minh khối A năm 2006 log x + − log y = Giải hệ phương trình : 3 log x − − log y = −1 (∗) Bài giải tham khảo x > 0, y > x > 0, y > x > 0, y > x ≥ y 162 ≤ ⇔ ● Điều kiện : 5 − log3 y ≥ ⇔ log3 y ≤ ⇔ 0 < y ≤ 162 log2 x − ≥ log2 x ≥ x ≥ a = − log y ≥ a = − log y 3 ⇔ ● Đặt : b = log x − ≥ b = log x − 2 b2 + + 3a = b2 + 3a = ∗ ⇔ ⇔ ( ) 3b + a2 − = −1 a2 + 3b = ⇔ b2 + 3a = a2 + 3b ⇔ b2 − a2 + 3a − 3b = a = b ⇔ (b − a )(b + a ) − (b − a ) = ⇔ (b − a )(b + a − 3) = ⇔ a + b = a = b a = b a = − log y = a + 3a − = a = ∨ a = −4 (L) ⇔ ⇔ ⇔ b = log x − = b = − a b = − a a + − 3a = a − 3a + = (VN) y = 34 = 81 5 − log3 y = log3 y = ⇔ ⇔ ⇔ x = log2 x − = log2 x = ● Kết hợp với điều kiện, nghiệm hệ là S = (x; y) = Bài 47 {(4; 81)} Cao đẳng Sư Phạm Tp Hồ Chí Minh năm 2006 3−x.2y = 1152 Giải hệ phương trình : (∗) log (x + y) = Bài giải tham khảo ● Điều kiện : x + y > 3−x.2y = 1152 3−x.2y = 1152 y = − x y = − x (∗) ⇔ log x + y = ⇔ x + y = ⇔ 3−x.25−x = 1152 ⇔ 25.6−x = 1152 ) ( Lop12.net (21)