Chøng minh r»ng: EF song song víi tia ph©n gi¸c Ax cña gãc BAC... Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 A.[r]
(1)Tuyển tập đề thi HSG Toán §Ò Bµi 1: (3®) Chøng minh rÇng: a) 85 + 211 chia hÕt cho 17 b) 1919 + 6919 chia hÕt cho 44 Bµi 2: a) Rót gän biÓu thøc: b) Cho x2 x x x 18 x yz xz xy 1 0( x, y, z 0) TÝnh x y z x y z Bµi 3:(3®) Cho tam giác ABC Lấy các điểm D,E theo thứ tự thuộc tia đối các tia BA, CA cho BD + CE = BC Gäi O lµ giao ®iÓm cña BE vµ CD Qua O vÏ ®êng th¼ng song song víi tia ph©n gi¸c cña gãc A, ®êng th¼mg nµy c¾t AC ë K Chøng minh r»ng AB = CK Bµi (1®) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt hoÆc nhá nhÊt cña biÓu thøc sau (nÕu cã): M = 4x2 + 4x + Gv: Nguyễn Văn Tú Lop8.net Trường THCS Thanh Mỹ (2) Tuyển tập đề thi HSG Toán đề C©u T×m mét sè cã ch÷ sè: a1a a tho· m·n ®iÒu kiÖn a vµ b sau: a) a1a 2a = a a b) a 4a 5a 6a a a a C©u Chøng minh r»ng: ( xm + xn + ) chia hÕt cho x2 + x + vµ chØ ( mn – 2) ¸p dông ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: x7 + x2 + Câu Giải phương trình: 1 2005.2006.2007 1.2.3 2.3.4 x = ( 1.2 + 2.3 + 3.4 + + 2006.2007) Câu Cho hình thang ABCD (đáy lớn CD) Gọi O là giao điểm AC và BD; các đường kẻ từ A và B song song với BC và AD cắt các đường chéo BD và AC tương ứng F và E Chứng minh: EF // AB b) AB2 = EF.CD c) Gäi S1 , S2, S3 vµ S4 theo thø tù lµ diÖn tÝch cña c¸c tam gi¸c OAB; OCD; OAD Vµ OBC Chøng minh: S1 S2 = S3 S4 C©u T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt: A = x2 - 2xy + 6y2 – 12x + 2y + 45 Gv: Nguyễn Văn Tú Lop8.net Trường THCS Thanh Mỹ (3) Tuyển tập đề thi HSG Toán đề C©u 1: a Rót gän biÓu thøc: A= (2+1)(22+1)(24+1) .( 2256 + 1) + b NÕu x2=y2 + z2 Chøng minh r»ng: (5x – 3y + 4z)( 5x –3y –4z) = (3x –5y)2 x y z (1) vµ C©u 2: a Cho a b c a b c (2) x y z x2 y z TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc A= a b c ab bc ca b TÝnh : B = 2 2 2 a b c b c a c a b C©u 3: T×m x , biÕt : x·1 x 10 x 19 (1) 2006 1997 1988 C©u 4: Cho h×nh vu«ng ABCD, M ®¬ng chÐo AC Gäi E,F theo thø tù lµ h×nh chiÕu cña M trªn AD, CD Chøng minh r»ng: a.BM EF b Các đường thẳng BM, EF, CE đồng quy Câu 5: Cho a,b, c, là các số dương Tìm giá trị nhỏ a b c P= (a+ b+ c) ( ) §¸p ¸n C©u 1: a ( 1,25 ®iÓm) Ta cã: A= (2-1) (2+1) (22+1) + = (22-1)(22+1) (2256+1) = (24-1) (24+ 1) (2256+1) = [(2256)2 –1] + = 2512 b, ( ®iÓm) Ta cã: (5x – 3y + 4z)( 5x –3y –4z) = (5x – 3y )2 –16z2= 25x2 –30xy + 9y2 –16 z2 (*) V× x2=y2 + z2 (*) = 25x2 –30xy + 9y2 –16 (x2 –y2) = (3x –5y)2 C©u 2: ( 1,25 ®iÓm) a Tõ (1) bcx +acy + abz =0 Tõ (2) ab ac bc abz acy bcx x2 y z x2 y z 2 2 2 a b c a b c xyz xy xz yz b ( 1,25 ®iÓm) Tõ a + b + c = a + b = - c a2 + b2 –c2 = - 2ab Tương tự b2 + c2 – a2 = - 2bc; c2+a2-b2 = -2ac Gv: Nguyễn Văn Tú Lop8.net Trường THCS Thanh Mỹ (4) Tuyển tập đề thi HSG Toán B= ab bc ca 2ab 2bc 2ca C©u 3: ( 1,25 ®iÓm) (1) x·2007 x 2007 x 2007 0 2006 1997 1988 x= 2007 A C©u 4: a ( 1,25 ®iÓm) Gäi K lµ giao ®iÓm CB víi EM; H lµ giao ®iÓm cña EF vµ BM EMB =BKM ( gcg) Gãc MFE =KMB BH EF b ( 1,25 ®iÓm) ADF = BAE (cgc) AF BE Tương tự: CE BF BM; AF; CE lµ c¸c ®êng cao cña BEF ®pcm C©u 5: ( 1,5 ®iÓm) Ta cã: P=1+ MÆt kh¸c E B M K H D F C a a b b c c a b a c b c 1 1 b c a c a b b a c a c b x y với x, y dương P 3+2+2+2 =9 y x VËy P = a=b=c đề Bµi (3®): 1) Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö: a) x2 + 7x + 12 b) a10 + a5 + 2) Giải phương trình: x x x 6 x 8 98 96 94 92 Bµi (2®): Tìm giá trị nguyên x để biểu thức P x 3x cã gi¸ trÞ nguyªn 2x 1 Bµi (4®): Cho tam gi¸c ABC ( AB > AC ) 1) KÎ ®êng cao BM; CN cña tam gi¸c Chøng minh r»ng: a) ABM đồng dạng ACN b) gãc AMN b»ng gãc ABC 2) Trªn c¹nh AB lÊy ®iÓm K cho BK = AC Gäi E lµ trung ®iÓm cña BC; F lµ trung ®iÓm cña AK Chøng minh r»ng: EF song song víi tia ph©n gi¸c Ax cña gãc BAC Bµi (1®): T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: Gv: Nguyễn Văn Tú Trường THCS Thanh Mỹ Lop8.net (5) Tuyển tập đề thi HSG Toán A x x 2007 , ( x kh¸c 0) 2007 x §¸p ¸n Bµi (3®): 1) a) x2 + 7x + 12 = (x+3)(x+4) (1®) b) a10 + a5 + = (a10 + a9 + a8 ) - (a9 + a8 + a7 ) + (a7 + a6 + a5 ) - (a6 + a5 + a4 ) + (a5 + a4 + a3 ) - (a3 + a2 + a ) + (a2 + a + ) = (a2 + a + )( a8 - a7 + a5 - a4 + + a3 a+ ) (1®) 2) x2 x4 x6 x8 98 96 94 92 x2 x4 x6 x8 +1) + ( + 1) = ( + 1) + ( + 1) ( 98 96 94 92 1 1 + )=0 ( x + 100 )( 98 96 94 92 1 1 V×: + 98 96 94 92 Do đó : x + 100 = x = -100 Vậy phương trình có nghiệm: x = -100 (0,5®) (0,25®) (0,25®) Bµi (2®): P= x x ( x x ) ( x 2) 5 x2 2x 2x 2x (0,5®) x nguyên đó x + có giá trị nguyên để P có giá trị nguyên thì => ph¶i nguyªn hay 2x - lµ íc nguyªn cña (0,5®) 2x * 2x - = => x = * 2x - = -1 => x = * 2x - = => x = * 2x - = -5 => x = -2 (0,5®) Vậy x = 1;0;3;2 thì P có giá trị nguyên Khi đó các giá trị nguyên P là: x = => P = x = => P = -3 x = => P = x = -2 => P = -1 (0,5®) Bµi (4®): 1) a) chứng minh ABM đồng dạng CAN (1đ) Gv: Nguyễn Văn Tú Lop8.net Trường THCS Thanh Mỹ (6) Tuyển tập đề thi HSG Toán b) Tõ c©u a suy ra: AB AM AMN đồng dạng ABC AC AN AMN = ABC ( hai góc tương ứng) (1,25®) 2) KÎ Cy // AB c¾t tia Ax t¹i H (0,25®) BAH = CHA ( so le trong, AB // CH) mµ CAH = BAH ( Ax lµ tia ph©n gi¸c) (0,5®) Suy ra: CHA = CAH nªn CAH c©n t¹i C đó : CH = CA => CH = BK vµ CH // BK (0,5®) BK = CA VËy tø gi¸c KCHB lµ h×nh b×nh hµnh suy ra: E lµ trung ®iÓm KH Do F là trung điểm AK nên EF là đường trung bình tam giác KHA Do đó EF // AH hay EF // Ax ( ®fcm) (0,5®) Bµi (1®): A= 2007 x x.2007 2007 x x.2007 2007 2006 x = + 2007 x 2007 x 2007 x ( x 2007) 2006 2006 2007 2007 2007 x 2006 A = x - 2007 = hay x = 2007 (0,5®) 2007 = -đề x2 10 x : x x2 x x 3x x C©u ( ®iÓm ) Cho biÓu thøc A = a, Tìm điều kiện x để A xác định b, Rót gän biÓu thøc A c, Tìm giá trị x để A > O C©u ( 1,5 ®iÓm ) Gi¶i ph¬ng tr×nh sau : x 4x x 5x 2 x 1 2x Câu ( 3,5 điểm): Cho hình vuông ABCD Qua A kẽ hai đờng thẳng vuông góc với lÇn lît c¾t BC tai P vµ R, c¾t CD t¹i Q vµ S 1, Chøng minh AQR vµ APS lµ c¸c tam gi¸c c©n 2, QR c¾t PS t¹i H; M, N lµ trung ®iÓm cña QR vµ PS Chøng minh tø gi¸c AMHN lµ h×nh ch÷ nhËt 3, Chøng minh P lµ trùc t©m SQR 4, MN lµ trung trùc cña AC 5, Chøng minh bèn ®iÓm M, B, N, D th¼ng hµng C©u ( ®iÓm): Gv: Nguyễn Văn Tú Lop8.net Trường THCS Thanh Mỹ (7) Tuyển tập đề thi HSG Toán Cho biÓu thøc A = x 3x 2x C©u ( ®iÓm) a, Chøng minh r»ng x y z x y xy.x y z 3 1 x y z b, Cho Tìm giá trị nguyên x để A nhận giá trị nguyên TÝnh A yz xz xy x2 y2 z2 §¸p ¸n C©u a, x # , x # -2 , x # b , A = x : x 4 2 x x 2 x = x 2x x : x 2x 2 x = 6 x2 x 2x 2 x c, §Ó A > th× C©u PT §KX§ : 2 x x 2 x x 1; x x 4x x 5x x 3x x 3x 1 1 0 x 1 2x x 1 2x x 3x x x 3 x x 1x 3 x x x x =1 ; x = ; x = - 2/ Cả giá trị trên thỏa mãn ĐKXĐ Vậy PT đã cho có tập nghiệm S = 1;2; 3 C©u 3: 1, ADQ = ABR v× chóng lµ hai tam gi¸c vuông (để ý góc có cạnh vuông góc) và DA=BD ( c¹nh h×nh vu«ng) Suy AQ=AR, nªn AQR lµ tam gi¸c vu«ng c©n Chøng minh tîng tù ta cã: ARP= ADS đó AP = AS và APS là tam giác cân A 2, AM và AN là đờng trung tuyến tam giác vu«ng c©n AQR vµ APS nªn AN SP vµ AM RQ PAN PAM = 450 nªn gãc MÆt kh¸c : MAN vu«ng VËy tø gi¸c AHMN cã ba gãc vu«ng, nªn nã lµ h×nh ch÷ nhËt Gv: Nguyễn Văn Tú Lop8.net Trường THCS Thanh Mỹ (8) Tuyển tập đề thi HSG Toán 3, Theo giả thiết: QA RS, RC SQ nên QA và RC là hai đờng cao SQR Vậy P lµ trùc t©m cña SQR 4, Trong tam gi¸c vu«ng c©n AQR th× MA lµ trung ®iÓm nªn AM = QR Trong tam gi¸c vu«ng RCQ th× CM lµ trung tuyÕn nªn CM = QR MA = MC, nghĩa là M cách A và C Chøng minh t¬ng tù cho tam gi¸c vu«ng c©n ASP vµ tam gi¸c vu«ng SCP, ta cã NA= NC, nghĩa là N cách A và C Hay MN là trungtrực AC 5, Vì ABCD là hình vuông nên B và D cách A và C Nói cách khác, bốn điểm M, N, B, D cùng cách A và C nên chúng phải nằm trên đờng trung trực AC, nghÜa lµ chóng th¼ng hµng C©u Ta cã §KX§ x -1/2 A = (x + 1) + 2x vì x Z nên để A nguyên thì nguyªn 2x Hay 2x+1 lµ íc cña VËy : 2x+1 = x=1/2 ( lo¹i ) 2x+1 = x = 2x+1 = -1 x = -1 2x +1 = -2 x = -3/2 ( lo¹i ) KL : Víi x = , x= -1 th× A nhËn gi¸ trÞ nguyªn C©u a, , Chøng minh x y z x y 3 3xy.x y z Biến đổi vế phải đợc điều phải chứng minh b, Ta cã a b c th× a b c a b 3aba b c c 3ab c c 3abc (v× a b c nªn a b c ) Theo gi¶ thiÕt đó A 1 1 1 x y z xyz x y z yz xz xy xyz xyz xyz 1 xyz xyz 3 xyz x y z x y z y z x ===================== đề Bµi : (2 ®iÓm) Cho biÓu thøc : x2 1 x x x 1 M = 1 x4 x 1 x2 a) Rót gän b) T×m gi¸ trÞ bÐ nhÊt cña M Bài : (2 điểm) Tìm giá trị nguyên x để A có giá trị nguyên Gv: Nguyễn Văn Tú Lop8.net Trường THCS Thanh Mỹ (9) Tuyển tập đề thi HSG Toán A= x x x 83 x 3 Bµi : ®iÓm Giải phương trình : a) x2 - 2005x - 2006 = b) x + x + x = Bµi : (3®) Cho h×nh vu«ng ABCD Gäi E lµ ®iÓm trªn c¹nh BC Qua E kÎ tia Ax vu«ng gãc víi AE Ax c¾t CD t¹i F Trung tuyÕn AI cña tam gi¸c AEF c¾t CD ë K §êng th¼ng qua E song song víi AB c¾t AI ë G Chøng minh : a) AE = AF vµ tø gi¸c EGKF lµ h×nh thoi b) AEF ~ CAF vµ AF2 = FK.FC c) Khi E thay đổi trên BC chứng minh : EK = BE + DK và chu vi tam giác EKC không đổi Bµi : (1®) Chøng minh : B = n4 - 14n3 + 71n2 -154n + 120 chia hÕt cho 24 §¸p ¸n Bµi : a) M = 4 2 ( x 1)( x 1) x x 2) = x x x x x +1-x ( x 1 x 1 ( x x 1)( x 1) b) Biến đổi : M = - 3 M bÐ nhÊt lín nhÊt x2+1 bÐ nhÊt x2 x 1 x 1 = x = M bÐ nhÊt = -2 Bài : Biến đổi A = 4x2+9x+ 29 + 4 Z x-3 lµ íc cña A Z x 3 x 3 x-3 = ; ; x = -1; 1; 2; ; ; Bµi : a) Ph©n tÝch vÕ tr¸i b»ng (x-2006)(x+1) = (x-2006)(x+1) = x1 = -1 ; x2 = 2006 c) XÐt pt víi kho¶ng sau : x< ; x < ; x < ; x Rồi suy nghiệm phương trình là : x = ; x = 5,5 Bµi : a) ABE = ADF (c.g.c) AE = AF AEF vu«ng c©n t¹i t¹i A nªn AI EF IEG = IEK (g.c.g) IG = IK Tø gi¸c EGFK cã ®êng chÐo c¾t t¹i trung ®iÓm mçi ®êng vµ vu«ng gãc nªn h×nh EGFK lµ h×nh thoi b) Ta cã : KAF = ACF = 450 , gãc F chung Gv: Nguyễn Văn Tú Lop8.net Trường THCS Thanh Mỹ (10) Tuyển tập đề thi HSG Toán AKI ~ CAF (g.g) AF KF AF KF CF CF AF d) Tø gi¸c EGFK lµ h×nh thoi KE = KF = KD+ DF = KD + BE Chu vi tam gi¸c EKC b»ng KC + CE + EK = KC + CE + KD + BE = 2BC ( Kh«ng đổi) Bài : Biến đổi : B = n(n-1)(n+1)(n+2) + 8n(n-1)(n+1) -24n3+72n2-144n+120 Suy B 24 ================================ đề C©u 1: ( ®iÓm ) Cho biÓu thøc: 6x x x 36 2 x x x x 12 x 12 A= ( Víi x ; x ) 1) Rót gän biÓu thøc A 2) TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc A víi x= 94 C©u 2: ( ®iÓm ) a) Chứng minh đẳng thức: x2+y2+1 x.y + x + y b)T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc sau: A= ( víi mäi x ;y) x2 x x2 x C©u 3: ( ®iÓm ) Cho hình chữ nhật ABCD TRên đường chéo BD lấy điểm P , gọi M là điểm đối xứng cña C qua P a) Tø gi¸c AMDB lµ h×nh gi? b) Gọi E, F là hình chiếu điểm M trên AD , AB Chøng minh: EF // AC vµ ba ®iÓm E,F,P th¼ng hµng c)Chøng minh r»ng tØ sè c¸c c¹nh cña h×nh ch÷ nhËt MEAF kh«ng phô thuéc vµo vÞ trÝ cña ®iÓm P d) Gi¶ sö CP DB vµ CP = 2,4 cm,; PD PB 16 TÝnh c¸c c¹nh cña h×nh ch÷ nhËt ABCD C©u ( ®iÓm ) Cho hai bất phương trình: 3mx-2m > x+1 (1) m-2x < (2) Tìm m để hai bất phương trình trên có cùng tập nghiệm §¸p ¸n C©u ( ®iÓm ) Gv: Nguyễn Văn Tú 10 Lop8.net Trường THCS Thanh Mỹ (11) Tuyển tập đề thi HSG Toán 1) ( ®iÓm ) §K: x 0; x ) 6x x ( x 6)( x 6) x 36 x x x 36 x x A= = x 12( x 1) x( x 6) x( x 6) 12( x 1) = 12( x 1) 1 x 12( x 1) x x 2) A= 1 94 94 C©u2: ( ®iÓm ) 1) (1 ®iÓm ) x2+y2+1 x y+x+y x2+y2+1 - x y-x-y 2x2 +2y2+2-2xy-2x-2y ( x2+y2-2xy) + ( x2+1-2x) +( y2+1-2y) (x-y)2 + (x-1)2+ ( y- 1)2 Bất đẳng thức luôn luôn đúng 2) (2 ®iÓm ) (1) 3mx-x>1+2m (3m-1)x > 1+2m (*) + XÐt 3m-1 =0 → m=1/3 (*) 0x> 1+ x + XÐt 3m -1 >0 → m> 1/3 (*) x> 2m 3m + XÐt 3m-1 < 3m <1 → m < 1/3 (*) x < 2m 3m mµ ( ) 2x > m x > m/2 Hai bất phương trình có cùng tập nghiệm 1 m m m 3 1 2m m 3m 5m (m 2)(m 1) 3m m-2 =0 m=2 VËy : m=2 C©u 3: (4 ®iÓm ) a)(1 ®iÓm ) Gäi O lµ giao ®iÓm cña AC vµ BD → AM //PO → tø gi¸c AMDB lµ h×nh thang b) ( ®iÓm ) Do AM// BD → góc OBA= góc MAE ( đồng vị ) XÐt tam gi¸c c©n OAB → gãc OBA= gãc OAB Gv: Nguyễn Văn Tú 11 Lop8.net Trường THCS Thanh Mỹ (12) Tuyển tập đề thi HSG Toán Gäi I lµ giao ®iÓm cña MA vµ EF → AEI c©n ë I → gãc IAE = gãc IEA → gãc FEA = gãc OAB → EF //AC (1) MÆt kh¸c IP lµ ®êng trung b×nh cña MAC → IP // AC (2) Tõ (1) vµ (2) suy : E,F, P th¼ng hµng c) (1 ®iÓm ) Do MAF DBA ( g-g) → d) NÕu MF AD không đổi FA AB PD BD PB k → PD= 9k; PB = 16k PB 16 16 Do đó CP2=PB PD → ( 2,4)2=9.16k2 → k=0,2 PD = 9k =1,8 PB = 16 k = 3,2 DB=5 Từ đó ta chứng minh BC2= BP BD=16 Do đó : BC = cm CD = cm C©u4 ( ®iÓm ) x2 ( x x 1)( x 2) x x 1 (x )2 1 VËy Amax [ ( x+ ) ] x+ = → x = 2 Amax lµ x = -1/2 Ta cã A = ======================== đề Bµi1( 2.5 ®iÓm) a, Cho a + b +c = Chøng minh r»ng a3 +a2c – abc + b2c + b3 = b, Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: A = bc(a+d)(b-c) –ac ( b+d) ( a-c) + ab ( c+d) ( a-b) Bµi 2: ( 1,5 ®iÓm) Cho biÓu thøc: y = x ; ( x>0) ( x 2004) Tìm x để biểu thức đạt giá trị lớn Tìm giá trị đó Bµi 3: (2 ,5 ®iÓm) a, Tìm tất các số nguyên x thoả mãn phương trình: : ( 12x – ) ( 6x – ) ( 4x – ) ( 3x – ) = 330 B, Giải bất phương trình: x Bài 4: ( ,5 điểm) Cho góc xoy và điểm I nằm góc đó Kẻ IC vuông góc với ox ; ID vu«ng gãc víi oy BiÕt IC = ID = a Gv: Nguyễn Văn Tú Trường THCS Thanh Mỹ 12 Lop8.net (13) Tuyển tập đề thi HSG Toán §êng th¼ng kÎ qua I c¾t â ë A c¾t oy ë b A, Chứng minh tích AC DB không đổi đường thẳng qua I thay đổi B, Chøng minh r»ng C, BiÕt SAOB = CA OC DB OB 8a TÝnh CA ; DB theo a §¸p ¸n Bµi 1: ®iÓm a, TÝnh: Ta cã: a3 + a2c – abc + b2c + b3 = (a3 + b3) + ( a2c –abc + b2c)= (a + b) ( a2 –ab =b2 ) + c( a2 - ab +b2) = ( a + b + c ) ( a2 – ab + b2 ) =0 ( V× a+ b + c = theo gi¶ thiÕt) VËy:a3 +a2c –abc + b2c + b3 = ( ®pCM) b, 1,5 ®iÓm Ta cã: bc(a+d) 9b –c) – ac( b +d) (a-c) + ab(c+d) ( a-b) = bc(a+d) [ (b-a) + (a-c)] – ac(a-c)(b+d) +ab(c+d)(a-b) = -bc(a+d )(a-b) +bc(a+d)(a-c) –ac(b+d)(a-c) + ab(c+d)(a-b) = b(a-b)[ a(c+d) –c(a+d)] + c(a-c)[ b(a+d) –a(b+d)] = b(a-b) d(a-c) + c(a-c) d(b-a) = d(a-b)(a-c)(b-c) Bµi 2: §iÓm §Æt t = 2004 y Bài toán đưa tìm x để t bé Ta cã t = = ( x 2004) x 2.2004 x 20042 = 2004 x 2004 x x 2004 2 2004 x Ta thÊy: x2 = x 2004 2 2004 x (1) Theo bất đẳng thức Côsi cho số dương ta có: + 20042 x 2004 2 2004 x 2004 x (2) DÊu “ =” x¶y x= 2004 Tõ (1) vµ (2) suy ra: t VËy gi¸ trÞ bÐ nhÊt cña t = x =2004 VËy ymax= 1 Khi x= 2004 2004t 8016 Bµi 3: §iÓm a, Nhân vế phương trình với 2.3.4 ta được: (12x -1)(12x -2)(12x – 3)(12x – 4) = 330.2.3.4 (12x -1)(12x -2)(12x – 3)(12x – 4) = 11.10.9.8 VÕ tr¸I lµ sè nguyªn liªn tiÕp kh¸c nªn c¸c thõa sè ph¶I cïng dÊu ( + )hoÆc dÊu ( - ) Suy ; (12x -1)(12x -2)(12x – 3)(12x – 4) = 11 10 (1) Gv: Nguyễn Văn Tú Trường THCS Thanh Mỹ 13 Lop8.net (14) Tuyển tập đề thi HSG Toán Vµ (12x -1)(12x -2)(12x – 3)(12x – 4) = (-11) (-10) (-9) (-8) (2) Từ phương trình (1) 12x -1 = 11 x = ( thoả mãn) Từ phương trình (2) 12x -1 = - x= 7 12 suy x Z Vậy x=1 thoả mãn phương trình b, Ta cã x6 < -3 < x – < 3< x < Vậy tập nghiệm bất phương trình là: S = { x R/ < x < 9} Bµi : §iÓm Ta cã A chung ; AIC = ABI ( cặp góc đồng vị) (gg) IAC ~ BAO Suy ra: AC IC AO BO AC AO IC BO (1) Tương tự: BID ~ BAO (gg) OA OB OA ID Suy ra: ID BD OB BD AC ID Tõ (1) vµ(2) Suy ra: IC BD (2) Hay AC BD = IC ID = a2 Suy ra: AC.BD = a2 không đổi b, Nh©n (1) víi (2) ta cã: AC ID OA OA IC BD OB OB AC OA BD OB mµ IC = ID ( theo gi¶ thiÕt) suy ra: C, Theo c«ng thøc tÝnh diÖn tÝch tam gi¸c vu«ng ta cã; SAOB = OA.OB mµ SAOB = 8a Suy ra: OA.OB = 8a 16a OA OB = 16a Suy ra: (a + CA) ( a+DB ) = Mµ CA DB = a2 ( gi¶ thiÕt) ( theo c©u a) a2 16a + a( CA + DB ) + CA DB = 16a - 2a2 a(CA +DB) = 16a CA.DB a 2a 2 10 a VËy: CA + DB + 10a a CA DB a Gi¶i hÖ pt vµ DB = 3a CA = a HoÆc CA = 3a vµ DB = Gv: Nguyễn Văn Tú 14 Lop8.net Trường THCS Thanh Mỹ (15) Tuyển tập đề thi HSG Toán ==================== đề x2 y2 x2 y2 Bµi 1( ®iÓm) Cho biÓu thøc : P x y 1 y x y 1 x x 11 y 1.Rót gän P 2.T×m c¸c cÆp sè (x;y) Z cho gi¸ trÞ cña P = Bài 2(2 điểm) Giải phương trình: 1 1 x x x x 12 x x 20 x 11x 30 Bµi 3( ®iÓm) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÎu thøc: M 2x x2 Bài (3 điểm) Cho hình vuông ABCD có cạnh a Gọi E; F là trung ®iÓm cña c¸c c¹nh AB, BC M lµ giao ®iÓm cña CE vµ DF 1.Chøng minh CE vu«ng gãc víi DF 2.Chøng minh MAD c©n 3.TÝnh diÖn tÝch MDC theo a Bµi 5(1 ®iÓm) Chøng minh r»ng : Cho c¸c sè a; b; c tho¶ m·n : a + b + c = a2 + b2 + c2 §¸p ¸n Bµi (2 ®iÓm - mçi c©u ®iÓm) MTC : x y x 11 y P x 1 x y 1 y x y x y x y 1 x 1 y P x y xy Víi x 1; x y; y §Ó P =3 x y 1 x 1 y x y xy x y 1 x 1 y thì giá trị biểu thức xác định x y xy x y xy x 1y 1 C¸c íc nguyªn cña lµ : 1; 2 Suy ra: x 1 x y 2 y 3 x 1 x y y Gv: Nguyễn Văn Tú 15 Lop8.net (lo¹i) Trường THCS Thanh Mỹ (16) Tuyển tập đề thi HSG Toán x 1 x y y x 2 x 1 (lo¹i) y 1 y 2 VËy víi (x;y) = (3;0) vµ (x;y) = (0;-3) th× P = Bài 2.(2 điểm) Điều kiện xác định: x x x x x Ta cã : x x x x x x 12 x x x x 20 x x x 11x 30 x x Phương trình đã cho tương đương với : 1 x x 3 x 3x x x x x 1 1 1 1 x 3 x 2 x 4 x 3 x 5 x 4 x 6 x 5 1 1 x 6 x 2 x x x x 20 x 10 x x 10 thoả mãn điều kiện phương trình x 2 Phương trình có nghiệm : x = 10; x = -2 Bµi 3.(2®iÓm) 2 2x x2 x2 x x 2x M x2 x2 x M x 1 x2 x 1 1 x2 x 1 nhá nhÊt M lín nhÊt 2 x 2 V× x 1 0x vµ x 0x 2 x 1 nhá nhÊt x = nªn x 2 DÊu “=” x¶y x-1 = x VËy Mmax = x = Bµi (3iÓm) Gv: Nguyễn Văn Tú Trường THCS Thanh Mỹ 16 Lop8.net (17) Tuyển tập đề thi HSG Toán : a : BEC : CFD(c.g.c) C:1 D : D : 900 F : C : 900 : CMF vu«ng t¹i M : CDF vu«ng t¹i C F 1 1 Hay CE DF b.Gäi K lµ giao ®iÓm cña AD víi CE Ta cã : : AEK : BEC ( g c.g ) BC AK AM lµ trung tuyÕn cña tam gi¸c MDK vu«ng t¹i M AM KD AD : AMD c©n t¹i A CD CM c : CMD :: FCD( g.g ) FD FC 2 S CD CD Do đó : : CMD S: CMD S: FCD S: FCD FD FD Mµ : S: FCD CF CD CD VËy : S: CMD CD CD FD a k d Trong : DCF theo Pitago ta cã : 1 DF CD CF CD BC CD CD CD 4 2 Do đó : S: MCD e m CD 1 CD CD a 5 CD 4 b f c Bµi (1®iÓm) 1 Ta cã: a2 a2 a a2 a 2 4 b2 b Tương tự ta có: 4 ; c2 c Cộng vế với vế các bất đẳng thức cùng chiều ta được: a2 b2 c 3 a b c V× a b c nªn: a b c 4 DÊu “=” x¶y a = b = c = ========================= đề 10 C©u (1,5®) Rót gän biÓu thøc : A = 1 1 + + +……….+ (3n 2)(3n 5) 2.5 5.8 8.11 C©u (1,5®) T×m c¸c sè a, b, c cho : §a thøc x4 + ax + b chia hÕt cho (x2 - 4) Gv: Nguyễn Văn Tú 17 Lop8.net Trường THCS Thanh Mỹ (18) Tuyển tập đề thi HSG Toán Câu (2đ) Tìm các giá trị nguyên x để biểu thức cã gi¸ trÞ nguyªn x x 1 Câu Cho a,b,c là độ dài ba cạnh tam giác Chøng minh r»ng: a2 + b2 + c2 < (ab + ac + bc) C©u Chøng minh r»ng mét tam gi¸c , träng t©m G, trùc t©m H, t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c lµ O Th× H,G,O th¼ng hµng §¸p ¸n C©u 1 1 1 1 ( - + - +…….+ ) 5 3n 3n 1 n 1 = ( )= 3n 6n 10 A= C©u Chia ®a thøc x4 + ax + b cho x2 – ®îc ®a thøc d suy a = ; b = - 16 C©u Z x2 –x +1 = U(7)= x x 1 1, Đưa các phương trình dạng tích §¸p sè x = 2,1,3 C©u Tõ gi¶ thiÕt a < b + c a2 < ab + ac Tng tù b2 < ab + bc c2 < ca + cb Cộng hai vế bất đẳng thức ta (đpcm) C©u tam gi¸c ABC H lµ trùc t©m, G lµ Träng t©m, O lµ t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c GM · · = , HAG = OMG AG OM ChØ = (B»ng c¸ch vÏ BK nhËn O lµ trung ®iÓm chøng minh CK = AH) AH - ChØ ®îc - V AHG : V MOG (c.g.c) H,G,O th¼ng hµng ====================== đề 11 x 14 x x 36 C©u 1:Cho biÓu thøc: A= 3 x 19 x 33 x a, Tìm giá trị biểu thức A xác định b, T×m gi¸ trÞ cña biÓu thøc A cã gi¸ trÞ b»ng c, Tìm giá trị nguyên x để A có giá trị nguyên Gv: Nguyễn Văn Tú 18 Lop8.net Trường THCS Thanh Mỹ (19) Tuyển tập đề thi HSG Toán C©u 2: a, T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc : A= ( x 16)( x 9) víi x>0 x .b, Giải phương trình: x+1+: 2x-1+2x =3 Câu3 : Cho tứ giác ABCD có diện tích S Gọi K,L,M,N là các điểm thuộc các c¹nh AB,BC,CA,AD cho AK/ AB = BL / BC =CM/CD =DN/DA= x .a, Xác định vị trí các điểm K,L,M,N cho tứ giác MNKL có diện tích mhỏ .b, Tø gi¸c MNKL ë c©u a lµ h×nh g×? cÇn thªm ®iÒu kiÖn g× th× tø gi¸c MNKL lµ h×nh ch÷ nhËt C©u 4: T×m d cña phÐp chia ®a thøc x99+ x55+x11+x+ cho x2-1 §¸p ¸n C©u1 (3®) a.(1®) ( x 3) (3 x 4) Ta cã A= (0,5®) ( x 3) (3 x 1) Vậy biểu thức A xác định x3,x1/3(0,5đ) b Ta cã A= 3x đó A=0 <=> 3x +4=0 (0,5đ) 3x <=> x=-4/3 tho· m·n ®k(0,25®) VËy víi x=-4/3 th× biÓu thøc A cã gi¸ trÞ b»ng (0,25®) c (1®) Ta cã A= 3x = 1+ 3x 3x §Ó A cã gi¸ trÞ nguyªn th× ph¶i nguyªn<=> 3x-1 lµ íc cña 5<=> 3x-11,5 3x =>x=-4/3;0;2/3;2 VËy víi gi¸ trÞ nguyªn cña xlµ vµ th× A cã gi¸ trÞ nguyªn (1®) C©u: 2: (3®) a.(1,5®) Ta cã x 25 x 144 144 A= =x+ +25 (0,5®) x x 144 144 Các số dương x và Có tích không đổi nên tổng nhỏ và x = x x x=12 (0,5®) VËy Min A =49 <=> x=12(0,5®) b.(1,5®) Gv: Nguyễn Văn Tú 19 Lop8.net Trường THCS Thanh Mỹ (20) Tuyển tập đề thi HSG Toán TH1: x<-1 thì phương trình đã cho tương đương với :-x-1-2x+1+2x=3=>x=-3<1(là nghiệm )(0,5đ) TH2: NÕu -1x<1/2 th× ta cã x+1-2x+1+2x=3=> x=1>1/2(lo¹i )(0,25®) TH3: NÕu x1/2ta cã x+1+2x-1+2x=3=> x=3/5<1/2 (lo¹i)(0,25®) Vậy phương trình đã cho x=-3 (0,5đ) C©u 3: (3®) C L D M K D N B1 K1 A Gọi S1,,S2, S3, S4 là diện tích tam giác AKN,CLM,DMN và BKL KÎ BB1AD; KK1AD ta cã KK1//BB1 => KK1/BB1= AK/AB SANK/SABD= AN.KK1/AD.BB1= AN.AK/AD.AB= x(1-x)=> S1=x(1-x) SABD(0,5®) Tương tự S2= x(1-x) SDBC=> S1,+S2= x(1-x)( SABD+ SDBC)= x(1-x)S (0,25đ) Tương tự S3+S4= x(1-x)S S1,+S2+ S3+ S4= x(1-x)2S (0,25®) SMNKL=S-( S1,+S2+ S3+ S4)= 2S x2-2Sx+S=2S(x-1/2)2+1/2S1/2S(0,25®) Vậy SMNKL đạt giá trị nhỏ 1/2S x=1/2 đó M,N,K,L là trung ®iÓm c¸c c¹nh CD,DA,AB,BC (0,25®) b.(1,5®) tø gi¸c MNKL ë c©u a lµ h×nh b×nh hµnh (1®) tø gi¸c MNKL ë c©u a lµ h×nh ch÷ nhËt BDAC (0,5®) C©u 4: (1®) Gọi Q(x) là thương phép chia x99+x55+x11+x+7 cho x2-1 ta cã x99+x55+x11+x+7=( x-1 )( x+1 ).Q(x)+ax+b(*) đó ax+b là dư phép chia trên Víi x=1 th×(*)=> 11=a+b Víi x=-1 th×(*)=> 3=-a+b=> a=4,b=7 VËy d cña phÐp chia x99+x55+x11+x+7 cho x2-1 lµ 4x+7 ========================== đề 12 Bµi 1: (3®) Cho ph©n thøc Gv: Nguyễn Văn Tú : M = x x x x 3x x 2x 20 Lop8.net Trường THCS Thanh Mỹ (21)