Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau đôi một từ X, sao cho một trong ba chữ sốâ hàng trăm, hàng nghìn, hàng chục nghìn phải baèng 1.. Viết phương trình đường tròn[r]
(1)ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG LẦN I NĂM 2012-2013 Môn thi: TOÁN, KHỐI A, A1, B TRƯỜNG THPT GIA BÌNH SỐ Thời gian làm bài 180 phút ( không kể thời gian giao đề) SỞ GD & ĐT BẮC NINH I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (8 điểm) Câu (2 điểm) Cho hàm số y 2x x 1 a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số b) Tìm m để đường thẳng d: y = 2x + m cắt đồ thị (C) điểm phân biệt A, B cho AB = cos x 2 x y x y 30 28 y Câu (1 điểm) Giải hệ phương trình: , (x,y R) x y 10 x x Câu (1 điểm) Giải phương trình: 2cos x 8cos x Câu (1 điểm) Tính giới hạn sau: lim x 0 x sin x 3x x Câu (2 điểm) Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên 2a, đáy ABC là tam giác vuông A, AB = a, AC = a và hình chiếu vuông góc đỉnh A’ trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm cạnh BC a) Tính theo a thể tích khối chóp A’.BCC’B’ b) Tính cosin góc hai đường thẳng AA’, B’C’ Câu (1 điểm) Cho ba số thực dương x,y, z thỏa mãn x + y + z + xy + yz + zx = Tìm giá trị nhỏ x4 y4 z4 P y z z x2 x2 y II PHẦN RIÊNG(2 điểm):Thí sinh làm hai phần riêng( phần A phần B) A Theo chương trình Chuẩn Câu 7.a (1 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x2 + y2 – 2x + 4y - = có tâm I và điểm M(- ; - 3) Viết phương trình đường thẳng (d) qua M và cắt (C) hai điểm phân biệt A và B cho tam giác IAB có diện tích lớn Câu 8.a (1 điểm) Cho tập hợp X = 0,1,2,3,4,5,6,7 Có thể lập bao nhiêu số tự nhiên gồm chữ số khác đôi từ X, cho ba chữ sốâ hàng trăm, hàng nghìn, hàng chục nghìn phải baèng B Theo chương trình Nâng cao Câu 7.b (1 điểm) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC, có điểm A(2; 3), trọng tâm G(2; 0) Hai đỉnh B và C nằm trên hai đường thẳng d1: x + y + = và d2:x + 2y – = Viết phương trình đường tròn có tâm C và tiếp xúc với đường thẳng BG ln x 1 ln( y 1) x y Câu 8.b (1 điểm) Giải hệ phương trình ( x, y R ) 2 x 12 xy 20 y … Hết … Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh: ………………………………………………; Số báo danh: ……… Lop12.net (2) Đáp án đề thi thử đại học môn Toán khối A năm học 2012 – 2013 Lần trường THPT Gia Bình số Caâu Caâu ýa điểm Hướng dẫn Ñieåm 0.25 0.25 0.25 0.25 +) TXÑ: D = R +) Tính y’, KL khoảng đơn điệu, tiệm cận +) BBT: +) Đồ thị: 2x x m (1) với x ≠ -1 x 1 x ( x 1)(2 x m), x 1 Xét phương trình Caâu ýb điểm x mx m (2) , x 1 Do đó để đường thẳng d: y = 2x + m cắt (C) hai điểm A và B và (1) có hai nghiệm phân biệt hay (2) có hai nghiệm phân biệt x ≠ - 0.25 m m 8m 16 2 m m m Khi đó A(xA;yA), B(xB;yB) với xA, xB là các nghiệm (2) Để AB = AB ( x A x B ) ( y A y B ) ( x A x B ) 2 2 0.25 ( x A x B )2 x A x B 1(*) m x A x B Theo viet ta có x x m A B 2 m 10 m Nên (*) trở thành m m 8m 20 m 2 m 10 thỏa mãn bài toán m 2 Kết hợp với các điều kiện trên 0.5 điều kiện cosx ≠ Câu điểm Phương trình tương đương với 2cos2x.cosx – 8cos2x + 7cosx = (4 cos 2) cos x 8cos x cos x cos3 x 8cos x 5cos x Đặt t = cosx, t phương trình trở thành 4t3 - 8t2 + 5t – = (t – 1)(4t2 – 4t + 1) = t t 4t 4t t Với t = ta có phương trình cosx = hay x = 2k Với t = ½ ta có phương trình cosx = ½ x Lop12.net 0.25 0,25 k 0,5 (3) Kết hợp với điều kiện phương trình có ba họ nghiệm x = 2k , x Câu điểm 2 x 2 x Điều kiện 2 x y 1 1 y k 0,25 Ta có x y x y 30 28 y 3 x y 10 x x ( x )3 x ( y 3)3 ( y 3) (1) 3 x y 10 x x (2) Xét hàm số f (t ) t t , t R Có f (t ) 3t 0, t R nên hàm số đồng biến trên R Mà phương trình (1) có dạng f(x2) = f(y+ 3) hay phương trình trở thành x2 = y + y x thay vào phương trình (2) ta x 4 x 10 x x 0,25 3( x 2 x ) 10 x 4 x (3) Đặt t x 2 x t 10 x 4 x Do đó (3) trở thành t2 = 3t hay t = t = 39 Với t = ta x 2 x x y (t/m) 25 Với t = ta có x 2 x x 2 x 12 x x 15(*) Ta thấy (*) vô nghiệm vì 2 x x Vậy hệ phương trình có nghiệm 39 y 25 0,25 0,25 Viết lại giới hạn trên dạng: Câu x sin x x C = lim x 0 3x x x 0,25 XÐt f ( x ) x sin x , ta cã f (0) ; điểm f '( x ) cos x f '(0) x 1 §Æt g( x ) x x , ta cã g(0) ; g '( x ) g '(0) 3x Lop12.net 0,25 0,25 (4) f ( x ) f (0) f '(0) x 0 0 Khi đó: C = lim x 0 g ( x ) g (0) g '(0) x 0 0,25 Gọi H là trung điểm BC Xét tam giác ABC có 0,25 BC AB AC 2a AH a A ' H A ' A2 AH (2a ) a 3a Câu ýa điểm ýb điểm VA ' ABC 0,25 1 A ' H S ABC 3a a 3a a 3 2 Thể tích khối lăng trụ là VABC A ' B 'C ' A ' H S ABC 3a a 3a a 2 Mà thể tích khối chóp A’.BCC’B’ là VA '.BCC ' B ' VABC A ' B 'C ' VA ' ABC a a a 2 Vậy VA '.BCC ' B ' a 0,25 0,25 Ta thấy A’H (ABC) nên A’H (A’B’C’) suy tam giác HA’B’ vuông A’ Theo định lý Pytago: HB’2 = HA’2 + A’B’2 = 3a2 + a2 = 4a2 suy HB’ = 2a Tam giác BB’H có HB’ + BB’ = 2a nên là tam giác cân B’ BK BH a , với K là trung điểm BH Do đó cos B ' BH BB ' BB ' 4a Góc hai đường thẳng Â’ và B’C’ góc hai đường thẳng BB’ và BC ( vì AA’ //BB’; B’C’ // BC) đó B ' BH Vậy cosin góc hai đường thẳng AA’ và B’C’ A’ C’ B’ A C H K B Lop12.net 0,5 0,5 (5) Trước hết ta chứng minh với số thực a, b, c ta có (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2) (*) dấu xảy và a = b = c Theo giả thiết và (*) ta có = x + y + z + xy + yz + zx 3( x y z ) x y z Đặt t = 0,25 x y z , ta có bất phương trình t t 3t t 3t t vì t dương Hay t 2 x2 y z Câu điểm Mặt khác theo bất đẳng thức cosi với hai số dương ta lại có x4 y2 z2 y4 z x2 z4 x2 y 2 x ; y ; z2 2 2 2 y z z x x y P x2 y z 2 0,25 Dấu xảy và x = y = z = Vậy Min P = 3/2 đạt x = y = z = 0,25 Đường tròn (C) có tâm I(1; - 2), bán kính R = Phương trình đường thẳng d qua M có dạng : a(x + 1) + b(y + 3) = ( a2 + b2 > 0) hay ax + by + a + 2b = Câu 7a Diện tích tam giác IAB là : S IAB IA.IB.sin , với AIB và (0; ) Suy MaxS = 9/2 đạt sin = hay điểm Kẻ IH AB H, ta có AIH AIB IH IA cos Mặt khác 4 b a d ( I , ( D)) IH 2(2a b) 9(a b ) 7b 8ab a a 7b Vậy có hai đường thẳng cần tìm là: (d1 ) : x y 0; (d ) : x y 10 * Xem các số hình thức a b c d e , kể a = Có cách chọn vị trí cho (1 là a Câu a là b là c) Sau đó chọn các giá trị khác cho vị trí còn lại từ X \ 1 : soá caùch choïn A 74 Như có x (7 x x x 4) = 2520 số hình thức thỏa yêu cầu đề bài điểm 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 * Xem các số hình thức 0b c d e * Loại số dạng hình thức 0b c d e thỏa mãn yêu cầu bài tốn ra, ta còn 0,5 2520 – 240 = 2280 số thỏa yêu cầu đề bài Gọi B (x B ; 5 x B ) vì B d1 : x y , C ( xC ; xC ) vì C d : x y Câu b 0,5 Lop12.net (6) điểm Câu b điểm xB 1 Do G(2;0) là trọng tâm tam giác ABC nên ta có B(1; 4), C (5;1) xC Suy phương trình BG: 4x – 3y – = Mà đường tròn cần tìm có tâm C và tiếp xúc với BG nên nó có bán kính R d (C , BG ) 81 Vậy đường tròn cần tìm có phương trình là: ( x 5) ( y 1) 25 Xét hệ ln x 1 ln( y 1) x y (1) 2 (2) x 12 xy 20 y Điều kiện x > -1, y > -1 ( x, y ) 0,25 x 2y Ta có (2) ( x y )( x 10 y ) (*) x 10 y Mà (1) ln( x 1) x ln( y 1) y (3) Xét hàm số f(t) = ln(t + 1) – t với t > - 1 t 1 Có f '(t ) t 1 t 1 f’(t) = t = suy bảng biến thiên t f’(t) -1 + 0,5 +∞ - 0,5 Từ bảng biến thiên suy phương trình (3) có nghiệm x ≠ y hay (1) có nghiệm x ≠ y thì x và y phải trái dấu điều này mâu thuẫn với (*) nên phương trình (3) phải có nghiệm x = y đó hệ có nghiệm du y là (0; 0) Lưu ý: Các cách giải khác đúng cho điểm tối đa Lop12.net 0,25 (7)