Chứng minh rằng d luôn cắt C tại 2 điểm A,B phân biệt và tìm m để AB ngắn nhất.. Phần riêng 3.0 điểm Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần phần 1 hoặc 2 Phần 1.[r]
(1)Trường THPT chuyên Hùng Vương Ôn thi TN&ĐH ĐỀ THI THỬ Thời gian làm bài: 150 phút I Phần chung cho tất thí sinh Câu I (3 điểm) 2x − Cho hàm số y = và đường thẳng ( d ) : y = − x + m 1− x 1/ Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số đã cho 2/ Chứng minh (d) luôn cắt (C) điểm A,B phân biệt và tìm m để AB ngắn Câu II (1 điểm) ( x − 1) Chứng minh rằng: ln x > , với x > x +1 Câu III (1 điểm) Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị các hàm số: y = – x , y = x và trục Ox miền x ≥ Câu IV (1 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông A, AB = a, AC = a , mặt bên SBC là tam giác và vuông góc với đáy Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC Câu V (1 điểm) Giải phương trình : log ( x − 1) log ( 2.5 x − ) = II Phần riêng (3.0 điểm) Thí sinh làm hai phần (phần 2) Phần Theo chương trình Chuẩn: Câu VI.a (2 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng x = 2t x −1 y z ∆1 : y = − t , t ∈ và ∆ : = = −1 −1 z = t 1/ Chứng tỏ ∆1 , ∆ chéo 2/ Viết phương trình mặt phẳng (α ) chứa đường thẳng ∆1 và song song với đường thẳng ∆ Câu VII.a (1 điểm) 2+i −1 + 3i Tìm nghiệm phức phương trình z= 1− i 2+i Phần Theo chương trình Nâng cao: Câu VI.b (2 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng x = 2t x −1 y z ∆1 : y = − t , t ∈ , ∆ : = = và mặt cầu (S): x + y + z − x + y + z − = −1 −1 z = t 1/ Chứng tỏ ∆1 , ∆ chéo 2/ Viết phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc mặt cầu (S) và song song với hai đường thẳng ∆1 , ∆ Câu VII.a (1 điểm) π π Tìm phần thực và phần ảo số phức Z = cos − i sin i + i 3 3 hết - ( GV biên soạn: Nguyễn Văn Phi (V) ) -1Lop12.net (2) Trường THPT chuyên Hùng Vương Ôn thi TN&ĐH Hướng dẫn giải Câu I (3 điểm) a/ • Tập xác định: D = \ {1} • Sự biến thiên: −1 < ∀x ∈ D + y'= ( x − 1) Suy hàm số nghịch biến trên khoảng ( −∞;1) và (1; +∞ ) + Do lim y = lim y = −2 và lim+ y = +∞ và lim− y = −∞ x →+∞ x →−∞ x →1 x →1 Suy đồ thị có tiệm cận ngang là đường thẳng y = – và tiệm cận đứng là đường thẳng x = + Bảng biến thiên x −∞ +∞ y’ +∞ y -2 • Đồ thị −∞ y f(x)=(2x-3)/(1-x) f(x)=-2 3 + Đồ thị cắt Oy ( 0; −3) và cắt Ox ;0 2 + Đồ thị nhận giao điểm I hai tiệm cận làm tâm đối xứng x(t)=1 , y(t)=t x -4 -3 -2 -1 2 -2 b/ ■ Phương trình hoành độ giao điểm (d) và (C) : x ≠ ( hn ) 2x − = x+m ⇔ (1) 1− x x + ( m + 1) x − ( m + 3) = -3 -4 ■ có ∆ = ( m + 3) + > ⇒ đpcm y = xA + m và Vi-et Ta có : A, B ∈ ( d ) ⇒ A y B = xB + m Nên AB = ( xB − x A ) + ( y B − y A ) xA + xB = − ( m + 1) xA xB = − ( m + 3) 2 = ( x B − x A ) = ( x A + xB ) − x A xB = ( m + ) + ≥ 2 Suy AB = 2 , đạt m = –3 Câu II: (1điểm) • Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: ln x − • Xét hàm số y = f ( x ) = ln x − ( x − 1) x +1 ( x − 1) x +1 > , ∀x > , x > Ta có: y' = ( x − 1) > , ∀x > 1 − = 2 x ( x + 1) x ( x + 1) • Vậy hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng (1; +∞ ) Suy f(x) > f(1) = , ∀x > suy ĐPCM! GV biên soạn: Nguyễn Văn Phi (V) -2Lop12.net (3) Trường THPT chuyên Hùng Vương Ôn thi TN&ĐH Câu III (1 điểm) • Hoành độ giao điểm hai đồ thị hàm số y = – x và y = x y là nghiệm phương trình: x2 = − x ⇔ x2 + x − = ⇔ x = ∨ x = −3 (loại x ≥ ) • Ta có đồ thị: • Từ đồ thị suy tính diện tích cần tìm là: f(x)=x^2 f(x)=6-x x(t )=2 , y(t )=t x S = ∫ x dx + ∫ ( − x ) dx -8 -6 -4 -2 -2 2 -4 x3 x2 = + 6x − 2 0 26 = +8 = đ.v.d.t 3 Câu IV : (1 điểm) • Gọi H là trung điểm BC Do ∆SBC nên SH ⊥ BC mà ( SBC ) ⊥ ( ABC ) theo giả -6 -8 thiết nên SH ⊥ ( ABC ) Vậy SH là đường cao hình chóp S.ABC • Ta có: S ∆ABC vuông A nên BC = AB + AC = a + 3a = 2a H =a B a2 a Diện tích đáy S ∆ABC = AB AC = 2 • Suy thể tích khối chóp S.ABC là V = S ∆ABC SH Câu V: (1 điểm) • Điều kiện : x − > ⇔ x > • Phương trình (1) viết lại log ( x − 1) 1 + log ( x − 1) = x Do đó đặt t = log ( − 1) , pt (1) trở thành : t + t − = ⇔ t = ∨ t = −2 ∆SBC nên chiều cao SH = BC C a A • Nhờ đó : (1) ⇔ log ( x − 1) = ∨ log ( x − 1) = −2 ⇔ 5x − = ∨ 5x − = 5 x = log ∨ log 4 II Phần riêng (3.0 điểm) Thí sinh làm hai phần (phần 2) Phần Theo chương trình Chuẩn: Câu VIa: (2 điểm) 1/ Đường thẳng ∆1 qua điểm A ( 0;1;0 ) và có vec tơ phương a = ( 2; −1;1) Đường thẳng ∆ qua điểm B (1; 0;0 ) và có vec tơ phương b = ( −1;1; −1) Ta có AB = (1; −1;0 ) và a, b = ( 0;1;1) Suy a, b AB = −1 ≠ ⇒ ∆1 , ∆ chéo 2/ • (α ) có pháp vectơ là a, b = ( 0;1;1) ⇔ GV biên soạn: Nguyễn Văn Phi (V) -3Lop12.net (4) Trường THPT chuyên Hùng Vương Ôn thi TN&ĐH • mà ∆1 ⊂ (α ) ⇒ A ∈ (α ) ⇒ (α ) : y + z − = Câu VIIa: (1 điểm) Phương trình đã cho biến đổi thành : ( −1 + 3i ) (1 − i ) −1 + 4i − 3i Z= Z ⇔ = + 4i + i (2 + i) ⇔Z= + 4i + 4i (2 + 4i )(3 − 4i ) 22 ⇔z= + i 25 25 25 Phần Theo chương trình Nâng cao: Câu VIb: (2 điểm) 1/ Đường thẳng ∆1 qua điểm A ( 0;1;0 ) và có vec tơ phương a = ( 2; −1;1) Đường thẳng ∆ qua điểm B (1; 0;0 ) và có vec tơ phương b = ( −1;1; −1) Ta có AB = (1; −1;0 ) và a, b = ( 0;1;1) Suy a, b AB = −1 ≠ ⇒ ∆1 , ∆ chéo 2/ • Mặt cầu (S) có tâm I(1; –1; – 2) và bán kính R = • Do (P) song song với hai đường thẳng ∆1 , ∆ nên (P) có pháp vectơ là a, b = ( 0;1;1) ⇒ ( P) : y + z + m = ⇔Z= • Ta có d ( I , ( P) ) = R ⇔ m−3 = ⇔ m = 3±3 2 ⇒ ( P1 ) : y + z + + = ; ( P2 ) : y + z + − = • Kiểm lại: Hai điểm A và B cùng không thuộc các mặt phẳng này Vậy có mặt phẳng thỏa yêu cầu đề bài là ( P1 ) : y + z + + = và ( P2 ) : y + z + − = Câu VIIb: (1 điểm) Gọi : π π −π −π −π z1 = cos − i sin = cos + i sin suy z1 = và acgumem 3 π π π z2 = i = i = cos + i.sin ⇒ z2 = và acgumem 2 π π 7π + i = cos + i sin suy z3 = + i có z3 = 27 = 128 và acgumem 3 π π Mà z = cos − i sin i + i = z1.z2 z3 3 −π π 7π −π π 7π ⇒ z = 128 cos + + + + + i sin = i.128 3 3 Hết ( ( ) ) GV biên soạn: Nguyễn Văn Phi (V) -4Lop12.net (5)