Đề thi thử Đại học môn Toán trường THPT Chuyên Hà Tĩnh lần 3 năm 2013

I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm): Câu 1: 1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số: y=x 4 -2x 2 -3. 2) Tìm m để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt: 2x 2 -x 4 +log 2 (m 2 -m+1)=0 Câu 2: Giải phương trình: xtan2 − = x x cos ) 4 (sin2 2 π − Câu 3: Giải hệ phương trình:        += + ++ += + + 2 )( 1 3 1 2 2 22 xy yx yx y yx x Câu 4: Tính tích phân: I= ∫ +− + 2 0 22cossin3 2sin2cos3 π dx xx xx Câu 5: Cho hình l ă ng tr ụ ABC.A'B'C' có đ áy ABC cân t ạ i A, AB=a và góc ∠ BAC=120 o , hình chi ế u vuông góc c ủ a B' lên (ABC) là H trung đ i ể m c ủ a c ạ nh BC. Bi ế t góc gi ữ a AB' và m ặ t ph ẳ ng (A'B'C') là 60 o . Tính th ể tích kh ố i l ă ng tr ụ đ ã cho, góc gi ữ a B'C và m ặ t ph ẳ ng (ABA'). Câu 6: Cho cba ,, phân bi ệ t th ỏ a mãn: 1=++ cba và 0>++ cabcab Tìm giá tr ị nh ỏ nh ấ t c ủ a bi ể u th ứ c sau: cabcab accbba P ++ + − + − + − = 5222 II. PHẦN RIÊNG(3,0 điểm):Thí sinh chỉ được làm phần A hoặc phần B. A. Theo chương trình Chuẩn: Câu 7a: Trong m ặ t ph ẳ ng v ớ i h ệ t ọ a độ Oxy cho hai đườ ng tròn: x 2 + y 2 - 4x - 4y +4 = 0(C) và x 2 + y 2 - 16x +8y + 28 = 0(C'). Vi ế t ph ươ ng trình đườ ng th ẳ ng qua A(4;2) c ắ t các đườ ng tròn trên theo các dây cung có độ dài b ằ ng nhau. Câu 8a: Trong không gian Oxyz hãy l ậ p ph ươ ng trình m ặ t ph ẳ ng (P) song song v ớ i m ặ t ph ẳ ng (Q): x +2y + z - 1= 0, c ắ t m ặ t c ầ u (S): x +y 2 +z 2 -2x-2y-2z-6=0 theo đườ ng tròn có chu vi là 30 π . Câu 9a: Cho s ố ph ứ c z có ph ầ n th ự c d ươ ng th ỏ a mãn: 5=z và 432 =+− iz . Tính: A= 2 113 − + z z B. Theo chương trình Nâng cao: Câu 7b: Trong m ặ t ph ẳ ng v ớ i h ệ t ọ a độ Oxy cho đườ ng tròn: x 2 + y 2 - 2x - 2y -2= 0(C) và đườ ng th ẳ ng ∆ : x+y+4=0. M thay đổ i trên ∆ , MA và MB là các ti ế p tuy ế n k ẻ t ừ M đế n (C) (A, B là các ti ế p đ i ể m). Tìm C c ố đị nh mà đườ ng th ẳ ng AB luôn đ i qua khi M thay đổ i trên ∆ . Câu 8b: Trong không gian Oxyz cho ∆ : 43 1 2 1 zyx = + = − và A(2;3;1). Vi ết phương trình đường thẳng d qua A, cắt ∆ tại B có tọa độ là những số nguyên và tạo với ∆ góc có cô-sin bằng 58 6 . Câu 9b: Tìm m để đường thẳng y=2x+m ( ∆ ) cắt đồ thị y= 1 2 − x x (C) t ại A, B phân biệt sao cho AB có độ dài ngắn nhất. Chú ý :Mỗi câu nhỏ 1 điểm, thí sinh không dùng tài liệu và giám thị không giải thích gì thêm. Trường THPT Chuyên Hà Tĩnh Năm học 2013-2014 ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 3 MÔN : TOÁN; Khối A và A 1 Thời gian làm bài: 180 phút TRƯỜNG THPT CHUYÊN HÀ TĨNH KỲ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 3 NĂM 2014 HƯỚNG DẪN CHẤM Môn: TOÁN; Khối: A&A 1 Câu Nội dung * Tập xác định: R * Sự biến thiên: +) y'=4x 3 -4x=0 ↔ x=0 hoặc x= ± 1 Hàm số đb trên: (-1;0), (1;+ ∞ ). Hàm số nb trên: (- ∞ ;-1), (0;1) Điểm cđ: (0;-3). Điểm ct: ( ± 1;-4) +) Giới hạn: +∞= +∞→x Limy , +∞= −∞→x Limy . +) Bảng biến thiên: 0,5 0,25 0,25 Câu1.1 * Đồ thị : Điểm cắt Ox: ( 3± ;0). Điểm uốn: ( ) 9 32 ; 3 1 −± 8 6 4 2 2 4 6 15 10 5 5 10 15 f x( ) = x 4 2·x 2 3 +) Pt tương đương: x 4 -2x 2 -3=log 2 (m 2 -m+1)-3. Yêu cầu bài toán thỏa mãn ↔ (C) cắt đt y= log 2 (m 2 -m+1)-3 tại 4 điểm phân biệt 0,25 +) Căn cứ (C) ta phải có: -4<log 2 (m 2 -m+1)-3<-3 0,25 Câu1.2 ↔ -1<log 2 (m 2 -m+1) <0 ↔ 0,5 < m 2 -m+1 <1 ↔ 0 <m< 1. Vậy: 0 <m< 1. 0,5 ∞+ x ' y y ∞− ∞− ∞+ 1− 1 0 4 − 4 − 3− 0 0 0 + + - - +)Điều kiện: x ≠ π π k+ 2 0,25 +)Khi đó pt đã cho ↔ (sinx+1)(2cosx-1)=0 ↔       +±= +−= π π π π 2 3 2 2 kx kx 0,5 Câu 2 +)Đối chiếu với đ/k ta có nghiệm: π π 2 3 kx +±= . 0,25 +) Điều kiện: x+y ≠ 0. Hệ ↔        = + +−− + ++− = + ++− 3) 1 )(() 1 ()( 3) 1 ()( 22 yx xyx yx xyx yx xyx 0,25 +) Đặ t : a=x-y, b=x+ yx + 1 . Gi ải hệ:    =−+ =+ 3 3 22 abba ba Ta được: a=1, b=2 hoặc a=2, b=1. 0,25 +) Với a=1, b=2: Giải ra được các nghiệm: (1;0), ( 2 1 ; 2 3 ) 0,25 Câu 3 +) Với a=2, b=1: Hệ vô nghiệm. Vậy hệ có 2 nghiệm (x ;y): (1;0), ( 2 1 ; 2 3 ). 0,25 Câu 4 +) Đặt t= sinx, đưa được về: I= ∫ ++ + 1 0 2 132 43 dt tt t 0,5 +) I = ∫ + 1 0 1 1 dt t + ∫ + 1 0 2 2 dt t = ln6 0,5 N C' B' A' H C B A Câu 5 +) Góc giữa AB' và (A'B'C') là ∠ B'AH (do (ABC) // (A'B'C') ). AH = 0,5a suy ra: B'H = 2 3a . 0.25 +) dt(ABC) = 4 3 2 a , V ABC.A'B'C' =B'H.dt(ABC) = 8 3 3 a 0,25 +) Gọi E là hình chiếu C lên (ABA') suy ra: ϕ = ∠ CB'E là góc cần tìm. Ta có: sin ϕ =CE/CB' , CE=d(C;(ABA'))=2.d(H;(ABA')), do H trung điểm của BC. 0.25 +) Kẻ HN ⊥ AB, HK ⊥ NB', cm được: KH= d(H;(ABA')). Tính được: sin ϕ = 5 2 . V ậ y ϕ =arcsin 5 2 0,25 +) Không m ấ t tq gi ả s ử a>b>c ta có: P= cabcab cacbba ++ + − + − + − 5222 . Ta có: m, n>0 thì 22 22411 nm nmnm + ≥ + ≥+ (1), d ấu "=" có khi và chỉ khi m=n. Áp dụng (1): P= cabcab ca cabcab cacbba ++ + − ≥ ++ + − + − + − 2 101052 ) 11 (2 )31)(1( 220 )4)(( 220 bbbcaca +− = +++ ≥ (2) 0.5 Câu 6 +) M ặ t khác: 3(1-b)(1+3b)=(3-3b)(1+3b) 4)3133( 4 1 2 =++−≤ bb suy ra: 3 2 )31)(1( ≤+− bb . K ết hợp (2) ta có: P ≥ 610 . Dấu "=" có khi và chỉ khi:        >>=++ +=− ++=− −=− )(1 3133 2 cbacba bb cabcabca cbba ↔          − = = + = 6 62 3 1 6 62 c b a . Vậy: minP = 610 . 0,5 +) I(2;2) tâm (C), R=2. I'(8;-4) là tâm (C'), R'=2 13 A(4;2), B(2;0) là các giao điểm của (C) và (C'). Đường thẳng qua A, B có pt: x-y-2=0 là một trường hợp cần tìm. 0,5 Câu7a K F E N M B A I' I +) Giả sử ∆ qua A, cắt (C) và (C') tại M, N (khác B) và AM=AN. G ọi K,E,F là trung điểm II' , AM, AN suy ra ∆ qua A và vuông góc KA. Pt ∆ là: x-3y+2=0. Kết luận: Có 2 đường thẳng thỏa mãn YCBT là: x- y-2=0, x-3y+2=0. 0,5 Câu8a +) (S) có tâm I(1;1;1) và bán kính R=3. Đường tròn do (P)cắt (S) có chu vi 30 π có bán kính r= 2 15 . 0,25 +) Khoảng cách từ I đến (P) là: d= 2 3 22 =− rR . 0,25 +) M ặ t ph ẳ ng (P) do song song (Q) nên có d ạ ng: x+2y+z+m=0 (P). d= 2 3 6 4 = +m ↔    −= −= 7 1 m m 0,25 +) Giá tr ị m=-1 b ị lo ạ i do (P) trùng (Q). V ậ y ph ươ ng trình m ặ t ph ẳ ng c ầ n tìm là: x+2y+z-7 = 0. 0,25 +) G ọ i z=a+bi, a và b là các s ố th ự c. Theo gt ta có:      =++− =+ 16)3()2( 5 22 22 ba ba 0,25 +) Gi ả i h ệ trên đượ c:    = = 1 2 b a (th ỏ a mãn) ,        −= −= 13 19 13 22 b a (loại) 0,25 Câu9a +) Vậy z=2+i suy ra: A= i2713 − = 898 . 0,5 +) I(1;1), R=2, d(I; ∆ )= > 2 6 R suy ra ∆ và (C) không có điểm chung. 0,25 +)Gọi M(m;-m-4) ∆∈ . Tính được: MA 2 =MB 2 =2m 2 +8m+22. Đường tròn (C') tâm M bán kính MA có pt: (x-m) 2 +(y+m+4) 2 =2m 2 +8m+22. 0,25 +)Lấy pt (C) và pt (C') trừ vế theo vế được pt đường thẳng qua AB là: (m-1)x-(m+5)y+2=0 (AB). 0,25 Câu7b I B A M +) Gọi C(x 0 ;y 0 ) là điểm mà AB luôn đi qua, ta có: (m-1)x 0 -(m+5)y 0 +2=0 với mọi m. Suy ra: C( 3 1 ; 3 1 ) 0,25 +) Gọi B(1+2t;-1+3t;4t) ∆∈ . Ta có: → u =(2;3;4) là VTVP c ủa ∆ và → AB =(2t-1;3t-4;4t-1) . 0.25 +) Gọi ϕ là góc giữa d và ∆ , theo gt ta có: cos ϕ = 183629.29 1829 58 6 2 +− − = tt t . Gi ải ra ta chỉ nhận t=0 do tọa độ B nguyên. Vậy B(1;-1;0) 0,5 Câu8b +) Đường thẳng cần tìm qua A, B nên có phương trình: 1 1 4 3 1 2 − = − = − zyx (d) 0.25 +) ∆ cắt (C) tại A, B phân biệt khi và chỉ khi pt: x 2 +(m-2)x-m=0 có 2 nghiệm phân biệt khác 1 ↔ m ∈ R 0.5 Câu9b +) Gọi A(x 1 ;y 1 ), B(x 2 ;y 2 ). Suy ra: AB 2 =5m 2 +20 ≥ 20. Dấu "=" có khi và chỉ khi m=0. Kết luận: m=0. 0.5 . thêm. Trường THPT Chuyên Hà Tĩnh Năm học 20 13- 2014 ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 3 MÔN : TOÁN; Khối A và A 1 Thời gian làm bài: 180 phút TRƯỜNG THPT CHUYÊN HÀ TĨNH KỲ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN. cabcab ca cabcab cacbba ++ + − ≥ ++ + − + − + − 2 101052 ) 11 (2 )31 )(1( 220 )4)(( 220 bbbcaca +− = +++ ≥ (2) 0.5 Câu 6 +) M ặ t khác: 3( 1-b)(1+3b)= (3- 3b)(1+3b) 4 )31 33( 4 1 2 =++−≤ bb suy ra: 3 2 )31 )(1( ≤+− bb . K ết hợp (2). 3 NĂM 2014 HƯỚNG DẪN CHẤM Môn: TOÁN; Khối: A&A 1 Câu Nội dung * Tập xác định: R * Sự biến thi n: +) y'=4x 3 -4x=0 ↔ x=0 hoặc x= ± 1 Hàm số đb trên: (-1;0), (1;+ ∞ ). Hàm