Trong các số tự nhiên nói trên, chọn ngẫu nhiên một số, tìm xác suất để số được chọn chia hết cho 3... Theo chöông trình naâng cao Caâu 6b.[r]
(1)Trường THPT chuyên Löông Vaên Chaùnh ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2009 Môn Toán (Daønh cho caùc khoái A, B vaø V) Thời gian làm bài: 180 phút PHAÀN CHUNG CHO TAÁT CAÛ CAÙC THÍ SINH (7 ñieåm) x 1 Caâu (2 ñieåm) Cho haøm soá y x 1 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm a và b để đường thẳng (d): y ax b cắt (C) hai điểm phân biệt đối xứng qua đường thẳng ( ): x y Caâu (2 ñieåm) x2 y y 1) Giaûi heä phöông trình x y x y sin 3x cos( x ) 2) Giaûi phöông trình sin 3x ln e2 x dx Caâu (1 ñieåm) Tính tích phaân I x 3e Câu (1 điểm) Cho hình hộp đứng ABCDA'B'C'D' có đáy là hình thoi cạnh a, góc ABC 60o , góc mặt phẳng (A'BD) và mặt phẳng đáy 60o 1) Tính theo a theå tích hình hoäpï 2) Tính theo a khoảng cách đường thẳng CD' và mặt phẳng (A'BD) Câu (1 điểm) Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ hàm số sin( x ) , x ; y 2 sin x cos x PHAÀN RIEÂNG (3 ñieåm) Thí sinh làm hai phần (phần phần 2) Theo chöông trình chuaån Caâu 6a (2 ñieåm) 1) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC biết A(1; 4) , phương trình đường cao BH là x y , phương trình đường phân giác CD là x y Tìm hai đỉnh B vaø C 2) Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng (a): ( x 1)2 ( y 1)2 ( z 3)2 x 1 y 1 z vaø maët caàu (S): 2 a) Chứng minh (a) và (S) có hai điểm chung A, B phân biệt b) Vieát phöông trình maët phaúng () bieát () qua A, B vaø caét (S) theo moät giao tuyến là đường tròn lớn (S) Câu 7a (1 điểm) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, có thể lập bao nhiêu số tự nhiên có năm chữ số, đó chữ số có mặt đúng ba lần, các chữ số còn lại có mặt không quá lần Trong các số tự nhiên nói trên, chọn ngẫu nhiên số, tìm xác suất để số chọn chia hết cho Trang 1/6 Lop12.net (2) Theo chöông trình naâng cao Caâu 6b (2 ñieåm) 1) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): ( x 1)2 ( y 1)2 Một đường tròn (C') tiếp xúc với Oy và tiếp xúc ngoài với (C) Tìm tâm (C') biết tâm thuộc đường thaúng (d): x y 2) Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng (a) và (b) có phương trình là x y 1 z x y 1 z , 1 1 a) Chứng minh (a) song song với (b), tính khoảng cách chúng b) Viết phương trình mặt phẳng () qua (a) và vuông góc với mp(a, b) Caâu 7b (1 ñieåm) Tìm n nguyeân döông bieát Cn1 2Cn2 3Cn3 nC n (1) n1 nn 32 2 HEÁT Trang 2/6 Lop12.net (3) ĐÁP ÁN VAØ BIỂU ĐIỂM ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2009 Môn Toán - Khối A, B & V Chú ý: Dưới đây là bài giải gợi ý, học sinh có thể làm nhiều cách khác miễn là suy luận hợp lý và kết đúng thì điểm tối đa câu đó Caâu 1.1 Đáp án TXÑ: D R \ 1 x 1 x 1 , lim : đường thẳng x 1 là TCĐ x 1 x x 1 x x 1 lim : đường thẳng y là TCN x x , x D suy hàm số tăng khoảng xác y' ( x 1)2 ñònh Baûng bieán thieân lim Ñieåm 0.25 x 1 y' 0.25 + y + 1.2 Ñieåm chi tieát Đồ thị cắt Ox (1; 0) , cắt Oy (0; 1) và nhận giao điểm hai tiệm cận làm tâm đối xứng Đồ thị vẽ đúng 0.25 x 2 Để thoả đề bài, trước hết (d) vuông góc với () hay a 2 0.25 Khi đó phương trình hoành độ giao điểm (d) và (C): x 1 (1) 2 x b x2 (b 3) x (b 1) x1 Để (d) cắt (C) hai điểm phân biệt A, B (1) có hai nghiệm phân 0.25 Phương trình () viết lại: y bieät b2 2b 17 b tuyø yù Goïi I laø trung ñieåm cuûa AB, ta coù x A xB b xI y 2 x b b I I ton b à taiï A, B a 2 Vậy để thoả yêu cầu bài toán AB () I ( ) x 2y I I a 2 a 2 b (b 3) b 1 0.25 0.25 0.25 Trang 3/6 Lop12.net (4) 2.1 Vậy a 2 , b 1 thì thoả mãn yêu cầu bài toán y 3 y 3 Hệ đã cho tương đương với x y ( y 3)2 ( x y)( x y) x y x y 4 x y x y 4 u2v2 uv Đặt u x y , v x y ( u, v ) ta u v u v u v u v 2.2 x y 3 x x y 1 x x x y 1 x x y 3 3e x Þ u2 = 3e x + Þ e x = Khi x = Þ u = ; x = ln Þ u = Khi đó I = ò 0.5 x y x y1 y 4 y9 x Kết hợp với điều kiện y 3 , hệ đã cho có nghiệm y 2 Ñieàu kieän: sin 3x Û x k (1) Với điều kiện trên phương trình đã cho tương đương với sin 3x cos( x ) Û cos(3x ) cos( x ) Û cos 3u cos u (với u x ) Ñaët u y9 y1 Û cos3 u cos u 7 k2 x k2 x cos u 1 6 2 5 k2 Û x k2 Û cos u Û x 6 cos u (VN ) x k2 cos u (VN ) 2 Kết hợp điều kiện (1), ta có nghiệm phương trình đã cho là 7 x k2 0.25 u2 - Þ e x dx = udu 3 u2 - 2u du 3 = ò (u2 - u) du 1+u éê u3 u2 ùú = ê - ú ëê úû é æ 125 25 ÷ö æç ö÷ùú 19 = êêçç - ÷÷ - ç - ÷÷ú = ëçè ÷ø çè ø÷û Gọi O là tâm hình thoi Do ABCD là hình thoi nên AO ^ BD , kết hợp 0.25 0.25 0.5 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 Trang 4/6 Lop12.net (5) với AA ' ^ ( ABCD) Þ A ' O ^ BD Þ ÐA ' OA là góc mp(A'BD) Þ ÐA ' OA = 60o Do ÐABC = 60o nên tam giác ABC Þ AO = a Trong tam giaùc vuoâng A'AO, ta coù AA ' = AO tan 60o = a 0.25 a2 a 3a3 = 2 Theo chứng minh trên ta có BD ^ ( A ' AO) Þ ( A ' BD) ^ ( A ' AO) Trong tam giác vuông A ' AO , dựng đường cao AH, ta có AH ^ ( A ' BD) hay AH = d( A, ( A ' BD)) Do CD '/ / BA ' neân CD '/ /( A ' BD) suy d(CD ', ( A ' BD)) = d(C, ( A ' BD)) = d( A, ( A ' BD)) (vì AO = CO ) = AH = AO.sin 60o a = Do đó thể tích hình hộp: V = SABCD AA ' = A' D' C' B' D A C B Ta coù y = 0.5 sin x - cos x sin x + sin2 x + cos2 x : ta coù y = Trường hợp x Ỵ ( ; ] : 2 tan x - Ta coù y = (vì cos x < ) tan x - tan2 x + 0.25 Trường hợp x = 0.25 Ñaët t = tan x , x Î ( ; ] thì t Î (-¥; 0] 2 t -1 Ñaët f (t) = , t Î (-¥; 0] t - t2 + Trang 5/6 Lop12.net (6) æ ÷÷ö æ ö ç t ççt - t2 + ÷÷ - çç1 ÷÷ (t - 1) è ø çç è t2 + ÷ø Ta coù f '(t) = æ ö2 ççt - t2 + ÷÷ è ø = 0.25 t2 + + t - æ ö t2 + ççt - t2 + ÷÷ è ø Ta coù f '(t) ³ Û t2 + £ - t (vì t - t2 + < ) Û t2 + £ (1 - t)2 Û t £ -1 Baûng bieán thieân -¥ t f'(t) f(t) + -1 0 - 2 2 2 , y = 6a.1 Cạnh AC là đường thẳng qua A và vuông góc với BH nên có phương trình 2( x - 1) + ( y - 4) = Û x + y - = Kết hợp hai trường hợp x, ta có max y = Đỉnh C là giao điểm AC và CD nên toạ độ C là hệ nghiệm ìï2 x + y - = heä phöông trình ïí , suy C(3; 0) ïïî x + y - = Gọi (d) là đường thẳng qua A và vuông góc CD, phương trình (d): ( x - 1) - ( y - 4) = Û x - y + = ìï x - y + = Toạ độ giao điểm I (d) và CD là nghiệm hệ ïí , suy ïïî x + y - = I (0; 3) Gọi A' là điểm đối xứng A qua CD, suy I là trung điểm AA' neân A '(-1; 2) Do CD là đường phân giác góc C nên đường thẳng CB đối xứng với đường thẳng CA qua CD, suy CB là đường thẳng qua C, A' hay nhận CA ' = (-4; 2) laøm vectô chæ phöông neân coù phöông trình ( x - 3) + 2( y - 0) = Û x + y - = Đỉnh B là là giao điểm BC và BH nên toạ độ B là nghiệm hệ ìï x + y - = phöông trình ïí , suy B(-3; 3) ïïî x - y + = 6a.2 Đường thẳng (a) qua A(1;1; -2) và có VTCP là a = (1; 2; -2) Maët caàu (S) coù taâm I (1; -1; -3) vaø coù baùn kính R = Ta coù IA = (0; 2;1) Ñaët n = éê a, IAùú , ta coù n = (6, -1, 2) suy | n | = 41 ë û 0.25 0.5 0.5 0.25 0.25 Trang 6/6 Lop12.net (7) 7a | n| 41 Ta coù d( I , (a)) = = < R nên đường thẳng (a) cắt (S) hai điểm | a| A, B phaân bieät Do () qua A, B và cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn lớn neân () chính laø maët phaúng qua (a) vaø taâm I cuûa (S) Và đó () là mặt phẳng qua I, nhận a và IA làn cặp VTCP nên nhaän n = éê a, IAùú laøm moät VTPT neân coù phöông trình laø: ë û 6( x - 1) - ( y + 1) + 2( z + 3) = hay x - y + z - = Số cần tìm có dạng abcde Để thành lập số theo yêu cầu, ta thực hieän: Chọn ba năm vị trí a, b, c, d, e để xếp vào ba chữ số 3, 0.25 0.25 0.5 0.5 coù C53 caùch choïn Chọn hai chữ số bốn chữ số còn lại và xếp vào hai vị trí còn lại, có A42 cách thực Vậy có tất C53 A42 = 120 số thoả đề bài Trong các số nói trên, số chia hết cho là số có tổng các chữ số chia hết cho 3, mà có ba chữ số 3, nên hai chữ số còn lại có tổng chia hết cho 3, có bốn trường hợp thoả mãn, đó là: với 2, với 5, với 4, và với Với các trường hợp đó, để thành lập số chia hết cho 3, ta thực hiện: Chọn ba năm vị trí để xếp vào ba chữ số 3, có C53 cách chọn Chọn hai chữ số có tổng chia hết cho bốn chữ số còn lại, coù caùch choïn Xếp hai chữ số vừa chọn vào hai vị trí còn lại, có hai cách xếp Suy coù 2.4.C53 = 80 soá chia heát cho 80 = 120 6b.1 Ta coù (C) coù taâm I (1; -1) vaø baùn kính R = Giả sử (C') có tâm K và bán kính R' Do K Ỵ (d) nên K ( x, x) Do (C') tiếp xúc với Oy nên R ' = | x | Vaäy xaùc suaát caàn tìm laø Do (C') tiếp xúc ngoài với (C) nên IK = R + R ' hay ( x - 1)2 + (2 x + 1)2 = | x | +2 Û Trường hợp x > : x + x + = | x | +2 x2 + x + = x + Û x2 + x + = ( x + 2)2 Û éx = ê x - 2x - = Û ê ê x = - (loaiï ) êë (1) Û (1) 0.5 Û Trường hợp x £ : x2 + x + = - x + Û x2 + x + = ( x - 2)2 Û Û é ê x = -3 - 17 ê 4 x2 + x - = Û ê ê ê x = -3 + 17 loaiï ( ) ê ë (1) Û Trang 7/6 Lop12.net (8) æ -3 - 17 -3 - 17 ö÷ ç ÷÷ ; Vậy tâm (C') là K (1; 2) K çç ÷÷ çè ø 6b.2 Ta coù (a) ñi qua A(-2; -1; 0) vaø coù moät VTCP laø a = (4; -1;1) Ta coù (b) ñi qua B(2;1; -2) vaø cuõng nhaän a = (4; -1;1) laøm moät VTCP Ta có AB = (4; 2; -2) khác phương với a Vậy (a) và (b) song song é a, ABù ê ú Khi đó d(a, b) = d( A, b) = ë û ; mà n = éê a, ABùú = (0;12;12) suy ë û | a| d(a, b) = 12 0.25 = Ta coù mp(a, b) coù caëp VTCP laø a vaø AB neân nhaän n = éê a, ABùú = (0;12;12) laøm PVT ë û Mp () qua (a) neân nhaän a = (4; -1;1) laøm moät VTCP, () vuoâng goùc với mp(a, b) nên nhận n làm VTCP suy () nhận p=[ a,n] = (1; 2; -2) laøm moät PVT Maët khaùc () qua A(-2; -1; 0) 24 neân () coù phöông trình laø ( x + 2) + 2( y + 1) - 2( z - 0) = hay 7b 0.25 x + y - 2z + = Ñaët P ( x) = ( x + 1)n (1) Ta coù P ( x) = Cn0 + Cn1 x + Cn2 x2 + + Cnn xn 0.5 0.5 (2) Từ (2), ta có P '( x) = Cn1 + 2Cn2 x + 3Cn3 x2 + + nCnn xn-1 Suy Do đó 2Cn2 3C Cnn P '(- ) = Cn1 + 2n - + (-1)n-1 n2 2 Cn1 2Cn2 3C Cn 1 - + 3n - + (-1)n-1 nn = P '(- ) 2 2 2 Mặt khác, từ (1): P '( x) = n( x + 1) 1 n P '(- ) = 2 2n Từ (3) và (4), ta (3) æ ö÷n-1 suy P '(- ) = n çç ÷÷ hay çè ÷ø n-1 (4) Cn1 - 2Cn2 2 + 3Cn3 - + (-1)n-1 n 32 Ta thaáy n = laø moät nghieäm cuûa phöông trình Ta thấy n = không thoả phương trình x Xeùt haøm soá f ( x) = x ( x Î [2; +¥) ) x - x2 x ln - x ln = < , "x ³ Ta coù f '( x) = 22 x 2x Suy f ( x) giaûm treân [2; +¥) Phương trình đã cho tương đương với n = Cnn n = n 2n 0.25 0.25 Vậy n = là nghiệm bài toán HEÁT Lop12.net Trang 8/6 (9) Trang 9/6 Lop12.net (10)