Bất đẳng thức Bunhiacopxki - GV: Phạm Văn Minh

Bất đẳng thức Bunhiacopxki.. GV: Phaïm Vaên Minh..[r]

Bất đẳng thức Bunhiacopxki GV: Phaïm Vaên Minh Bất đẳng thức Bunhiacôpski: °Đối vói hai cặp số: (ax+by)2  (a2+ b2)(x2+y2), với số thực a,b,x,y Đẳng thức xảy và khi: x y  a b °Đối với hai ba số: (ax+by+cz)2  (x2+a2+b2 )( x2+ x2+1) (a2+b2+c2)(x2+y2+z2) với số thực a,b,c,x,y,z Đẳng thức xảy và khi: x y z   a b c ° Đối với hai n số: với các số a1,a2, an và b1,b2, bn tuỳ ý, ta có: (a1b1+a2b2+ +anbn)2  (a12+a22+ +an2)( b12+b22+ +bn2) Đẳng thức xảy và khi: a b 1   a b n n BÀI TOÁN: ví dụ 1: cho x,y thoả 3x+4y=10 Chứng minh:  x2+y2 Hướng dẫn: 10 = (3x+4y)2  (32+42)(x2+y2)=25(x2+y2) 100 4  x2+y2  25 ví dụ cho x2+y2=1 chứng minh: /x+2y/  ví dụ 3: cho a> c >0,b >c >0 ,Chứng minh: (a  c)(b  c) + (a  c)(b  c)  ab Hướng dẫn: Ta có: (a  c)(b  c) = a  c b  c (a  c)(b  c) = a  c b  c nên ta có: ( (a  c)(b  c) + (a  c)(b  c) )2  (a+c+a-c)(b+c+b-c)=4ab Bài tập: Bài 1: Cho a+b+c+d=4 Chứng minh : a2+b2+c2+d2  Hướng dẫn: sử dụng bất đẳng thức bunhiacopxki cho số 1,1,1,1,a,b,c,d ta có: (12+12+12+12)(a2+ b2+ c2+ d2)  (a+b+c+d)2 =16 Bài 2: Cho a2+b2+c2+d2=1 Chứng minh: (x2+ax+b)2+( x2+cx+d)2  (2x2+1)2 , với số thực x 2/2/2018 Trang Lop12.net Bất đẳng thức Bunhiacopxki GV: Phaïm Vaên Minh Hướng dẫn: )( x2+1) 2 2 2 ( x +cx+d) ≤(x +c +d )( x + x2+1) Cộng vế với vế hai bất đẳng thức trên (x2+ax+b)2≤(x2+a2+b2 ta có: Bài 3: x2+ (x2+ax+b)2+( x2+cx+d)2  (2x2 +1)(2x2+ a2+b2+c2+d2) => (đpcm) Chứng minh rằng: 1/ 2(a2+b2)  (a+b)2 2/ 3(a2+b2+c2 )  (a+b+c)2 Hướng dẫn: 2(a  b )  (12  11 )(a  b )  (a  b) câu hai tương tự Bài 4: Với số thực a,b,c khác 0.Chứng minh rằng: a2 b2 c2 a b c      b2 c2 a2 c a b Hướng dẫn: a a b c b c2        b2 c2 a2 b2 c2 a2   Bài 5: 2 2  a b c    c a  b  ab bc ca      bc ca ab a b c a b c      c a b c a b Cho a+b+c= Chứng minh rằng: a2+b2+c2  12 Hướng dẫn: 1 a  b  c  (12  12  12 )(a  b  c )  (a  b  c)   12 3 Bài 6: Cho a2+b2+c2 =1 Chứng minh: a+3b+5c  35 Hướng dẫn: a  3b  5c  (12   )(a  b  c )  35 Bài 7: Chứng minh rằng: a2 b2 c2 abc    , a, b, c bc ac ab Hướng dẫn: 2 (b  c)(c  a)(a  b) a  b  c  (a  b  c)  b  c a  c b  a   Bài 8: a2 b2 c2 (a  b  c) abc     bc ac ba bccaab Chứng minh a3 b3 c3 a2  b2  c2    , a, b, c bc ac ab Hướng dẫn: 2/2/2018 Trang Lop12.net Bất đẳng thức Bunhiacopxki bdt  GV: Phaïm Vaên Minh a b c a  b  c2    ab  ac bc  ba ca  cb 4 2 Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có: 4 (ab  ac)  (bc  ba)  (ca  cb) a  b  c   a  b  c  ab  ac bc  ba ca  cb      a3 b3 c3 a4 b4 c4 a2  b2  c2 suyra :       b  c a  c a  b ab  ac bc  ba ca  cb (ab  ac)  (bc  ba )  (ca  cb)  (a  b  c )(ab  bc  ca) a  b  c  2(ab  bc  ca) Bài 9: a+b+c =3.Cmr 4a   4b   4c   Hướng dẫn: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có: Cho a,b,c ≥    4a   4b   4c   (1   1)(4a   4b   4c  3)  34(a  b  c)  9  3(12  9)  63 Bài 10: Cho a2+b2=1 Chứng minh: a b   b a    Hướng dẫn: Áp dụng BĐT BCS lần: a  b   b a   (a  b )(b   a  1)   1.a  1.b   12  12 a  b   =>(đpcm) 2/2/2018 Trang Lop12.net