Để tính các giới hạn dạng này, phƣơng pháp chung là sử dụng các phép biến đổi phân tích đa thức thành nhân tử, nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp, thêm bớt, … để khử các thành phầ[r]
(1)WWW.MATHVN.COM Những dạng vô định thường gặp bài toán tìm giới hạn hàm số Giới hạn dạng vô định là giới hạn mà ta không thể tìm chúng cách áp dụng trực tiếp các định lý giới hạn và các giới hạn trình bày Sách giáo khoa Do đó muốn tính giới hạn dạng vô định hàm số, ta phải tìm cách khử các dạng vô định để biến đổi thành dạng xác định giới hạn Trong chƣơng trình toán THPT, các dạng vô định thƣờng gặp là : , , , 0., 1 Sau đây là nội dung dạng cụ thể I GIỚI HẠN DẠNG VÔ ĐỊNH 0 là giới hạn thƣờng gặp bài toán tính giới hạn hàm số Để tính các giới hạn dạng này, phƣơng pháp chung là sử dụng các phép biến đổi ( phân tích đa thức thành nhân tử, nhân tử và mẫu với biểu thức liên hợp, thêm bớt, …) để khử các thành phần có giới hạn 0, đƣa tính giới hạn xác định Chính các thành phần có giới hạn này gây nên dạng vô định Giới hạn dạng vô định Để tính giới hạn dạng vô định , trƣớc hết giáo viên cần rèn luyện cho học sinh kỹ nhận dạng 0 Để giải bài toán tìm giới hạn hàm số, học sinh cần xác định giới hạn cần tìm thuộc dạng xác định hay vô định Nếu giới hạn đó là vô định thì phải xét xem nó thuộc dạng vô định nào để có phƣơng pháp giải thích hợp Bởi việc rèn luyện kỹ nhận dạng cho học sinh có quan trọng, giúp học sinh định hƣớng đƣợc cách giải, tránh sai xót có thể mắc phải Nhận dạng giới hạn vô định Đối với dạng vô định , việc nhận dạng không khó khăn vì học sinh thƣờng gặp giới hạn : f(x) f(x) = lim g(x) = mà xlim x x g(x) x x x lim www.MATHVN.com Lop12.net (2) WWW.MATHVN.COM Những dạng vô định thường gặp bài toán tìm giới hạn hàm số f(x) mà f(x0 ) = g(x0 ) = Ngoài g(x) Thực tế học sinh hay gặp trƣờng hợp xlim x số bài toán học sinh phải thực các phép biến đổi để chuyển dạng vô định , sau đó áp dụng các phƣơng pháp khử các thành phần có giới hạn Khi giảng dạy, giáo viên nên đƣa số bài toán để nhấn mạnh cho học sinh việc nhận dạng nhƣ : f(x) f(x) lim g(x) mà xlim x x g(x) x x x lim Tránh tình trạng học sinh không nhận dạng mà áp dụng phƣơng pháp giải Ví dụ áp dụng : (Yêu cầu chung bài tập là : “ Tính các giới hạn sau”) Ví dụ : L1 = lim x 2 x-2 x +1 Bài giải : L1 = lim x 2 Ví dụ : L2 = xlim 1 x-2 2-2 = 0 x +1 22 1 x+2 x2 - Bài giải : L2 = lim x 1 = 1+2 = x+2 lim(x+2) x = vì lim(x - 1) = 12 - = x2 - x Ví dụ : L3 = lim x 1 x 1 x 1 Bài giải : x 3x +2 lim L = lim x1 x 1 x 1 x 1 x 1 (x-1)(x 2) (x-2) 1-2 = lim lim x 1 (x 1)(x+1) x 1 (x+1) 1+1 www.MATHVN.com Lop12.net (3) WWW.MATHVN.COM Những dạng vô định thường gặp bài toán tìm giới hạn hàm số Dạng vô định đƣợc nghiên cứu với các loại cụ thể sau : f(x) mà f(x), g(x) là các đa thức và f(x0) = g(x0) = 0 g(x) Loại : lim x x Phương pháp : Khử dạng vô định cách phân tích tử và mẫu thành nhân tử với nhân tử chung là (x – x0) Giả sử : f(x) = (x – x0).f1(x) và g(x) = (x – x0).g1(x) Khi đó : (x - x )f1 (x) f (x) f(x) lim lim lim x x0 g(x) x x0 (x - x )g (x) x x0 g (x) 1 f1 (x) thì ta lặp lại quá trình khử đến dạng vô định 0 g1 (x) Nếu giới hạn lim x x không còn dạng vô định Ví dụ áp dụng : Ví dụ : L4 = lim x 2 2x - 5x +2 x +x - Bài giải : Ta phân tích tử và mẫu thành nhân tử với nhân tử chung : x - 2x - 5x +2 (x - 2)(2x - 1) lim x +x - x 2 (x - 2)(x + 3) 2x - 2.2 1 = lim x 2 x + 23 L4 = lim x 2 Vậy L4 Ví dụ : L5 = lim x 2 x - 3x +2 x - 4x + Bài giải : x - 3x +2 (x - 2)(x - 1) lim x 2 x - 4x + x 2 (x - 2)2 x-1 = lim x 2 x - L5 = lim ( Vì giới hạn tử 1, giới hạn mẫu 0) Vậy L4 www.MATHVN.com Lop12.net (4) WWW.MATHVN.COM Những dạng vô định thường gặp bài toán tìm giới hạn hàm số Ví dụ : L6 lim x 1 x+x +x3 + +x n - n (m, n N* ) m x+x +x + +x - m Bài giải : Ta phân tích tử và mẫu thành nhân tử với nhân tử chung : x – cách tách và nhóm nhƣ sau : x + x2 + x3 + + xn – n = (x – 1) + (x2 – 1) + (x3 - 1) + + (xn - 1) x + x2 + x3 + + xm – m = (x – 1) + (x2 – 1) + (x3 - 1) + + (xm - 1) Khi đó: x+x +x3 + +x n - n lim (x- 1)+(x - 1)+(x3 - 1)+ +(x n - 1) L6 xlim x 1 (x- 1)+(x - 1)+(x - 1)+ +(x m - 1) 1 x+x +x3 + +x m - m lim x 1 (x- 1) 1 + (x + 1) + + (x n-1+ x n-2 + + x +1) (x- 1) 1 + (x + 1) + + (x m-1+ x m-2 + + x +1) + (x + 1) + + (x n-1+ x n-2 + + x +1) x 1 + (x + 1) + + (x m-1 + x m-2 + + x +1) lim + (1 +1) + + (1n-1+ 1n-2 + + +1) + (1 +1) + + (1m-1 + 1m-2 + + +1) n(n + 1) n n(n + 1) m m(m + 1) m(m + 1) Vậy L6 n(n + 1) m(m + 1) Ví dụ : L7 lim x 2x - 5x3 +3x + x - 3x - 8x3 + 6x - Bài giải : (x-1)(2x - 3x +1) 2x - 5x +3x + x - L7 = lim = lim x 3x - 8x + 6x - x (x-1)(3x - 5x +x+1) 2x - 3x +1 (x-1)(2x - x -1) = lim = lim x 3x - 5x + x +1 x (x-1)(3x - 2x -1) 2x - x -1 (x -1)(2x+1) = lim = lim x 3x - 2x -1 x (x -1)(3x+1) 2x+1 2.1+1 = lim = = x 3x+1 3.1+1 www.MATHVN.com Lop12.net (5) WWW.MATHVN.COM Những dạng vô định thường gặp bài toán tìm giới hạn hàm số Vậy L7 = Kết luận: Phƣơng pháp để giải bài tập loại này là phân tích đa thức thành nhân tử với nhân tử chung là x - x0 Yêu cầu học sinh là : Phải nắm vững các phƣơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử, các đẳng thức, công thức phân tích tam thức bậc hai, đa thức bậc ba thành nhân tử: c f(x) = ax + bx + c = (x - x ) ax , ( f(x0) = 0) x0 Ngoài các đẳng thức đáng nhớ, học sinh cần nhớ các đẳng thức bổ xung là : an - bn = (a - b)(an -1+ an - 2b +…+ abn - 2+ bn - 1), n N* an + bn = (a + b)(an -1- an - 2b +…- abn - 2+ bn - 1), n là số tự nhiên lẻ Để học sinh dễ nhớ, cần lấy các trƣờng hợp cụ thể nhƣ : n = 2, 3, và trƣờng hợp đặc biệt : xn - = (x - 1)(xn - 1+ xn - 2+…+ x + 1) Tuỳ theo đặc điểm bài mà biến đổi cách linh hoạt để khử dạng vô định Trong quá trình thực hành, nhiều sau các biến đổi đã khử các thành phần có giới hạn ta gặp giới hạn dạng vô định ( thƣờng là “đơn giản” so với giới hạn ban đầu) Tới đây ta tiếp tục quá trình khử đến giới hạn cần tìm không còn dạng vô định thì thôi Bài tập tự luyện (1 x)(1 2x)(1 3x) x 0 x x 3x 1) lim x 1 x 4x 2) lim x100 2x 3) lim 50 x 1 x 2x x n 1 (n 1) n 4) lim x 1 (x 1) f(x) mà f(x), g(x) chứa các thức cùng bậc và f(x0)=g(x0)= 0 g(x) Loại : xlim x Phương pháp : Nhân tử và mẫu với biểu thức liên hợp tƣơng ứng biểu thức chứa thức (gọi tắt là phương pháp nhân liên hợp hay dùng biểu thức liên hợp) để trục các nhân tử x - x0 khỏi các thức, nhằm khử các thành phần có giới hạn Biểu thức chứa thức có thể là tử, mẫu hay www.MATHVN.com Lop12.net (6) WWW.MATHVN.COM Những dạng vô định thường gặp bài toán tìm giới hạn hàm số tử và mẫu phân thức cần tìm giới hạn ) Lƣu ý là có thể nhân liên hợp hay nhiều lần để khử dạng vô định Các công thức thƣờng đƣợc sử dụng nhân liên hợp là : ( A ± B)( A B) = A - B , (A 0, B 0) ( A ± B)( A A B+ B2 ) =A ± B Giáo viên cần cho học sinh thấy đƣợc hai công thức này xuất phát từ hai đẳng thức sau để học sinh dễ nhớ : (a - b)(a + b) = a - b2 (a ± b)(a ab + b2 ) = a ± b3 Ví dụ áp dụng: 3x - - x x2 - Ví dụ : L8 = xlim 2 Bài giải : Nhân tử và mẫu với biểu thức liên hợp tƣơng ứng, ta đƣợc : L8 = lim x 3x - - x ( 3x - - x)( 3x - + x) lim x x -4 (x - 4)( 3x - + x) 3x - - x (x - 2)(-x + 1) lim lim x (x - 4)( 3x - + x) x (x - 2)(x + 2)( 3x - + x) x+1 2 + lim x (x + 2)( 3x - + x) 16 (2 + 2)( 3.2-2+2) Vậy L8 = 16 www.MATHVN.com Lop12.net (7) WWW.MATHVN.COM Những dạng vô định thường gặp bài toán tìm giới hạn hàm số Ví dụ : L9 lim x 1 x+2 x+5 Bài giải : ( x+2 1)( x+2 1) ( x+5 2) lim x+5 x 1 ( x+5 2)( x+5 2) ( x+2 1) x+2 L9 lim x 1 = xlim 1 = lim x 1 (x + - 1)( x+5 2) (x + 1)( x+5 2) xlim (x + - 4)( x+2 1) 1 (x + 1)( x+2 1) 1 x+5 2 1 1 x+2 1 Vậy L9 = n Ví dụ 10 : L10 xlim 1m x -1 , (m, n N* ) x -1 Bài giải : n L10 lim m x = lim x -1 x -1 ( n x - 1) ( n x ) n-1 +( n x ) n-2 + + n x +1 ( m x ) m-1 +( m x ) m-2 + + m x +1 ( x - 1) ( m x ) m-1 +( m x ) m-2 + + m x +1 ( n x ) n-1 +( n x ) n-2 + + n x +1 x m (x - 1)(m x m-1 +m x m-2 + +m x +1) x (x - 1)( n x n-1 + n x n-2 + + n x +1) = lim m = lim x Vậy x m-1 +m x m-2 + +m x +1 m n n-1 n n-2 x + x + + n x +1 n L10 = m n Kết luận: Phƣơng pháp dùng biểu thức liên hợp là phƣơng pháp chủ yếu đƣợc sử dụng để tính các giới hạn có chứa thức cùng bậc Có thể xem đây là “ thuật toán” cho phép tính đƣợc khá nhiều giới hạn hàm số chứa thức, phƣơng hƣớng rõ ràng, dễ hiểu.Việc xác định biểu thức liên hợp là không quá www.MATHVN.com Lop12.net (8) WWW.MATHVN.COM Những dạng vô định thường gặp bài toán tìm giới hạn hàm số khó khăn học sinh Tuy nhiên giáo viên cần rèn luyện kỹ xác định và nhân biểu thức liên hợp tính giới hạn Theo cách này, nhiều bài toán giải đƣợc nhƣng phải qua các phép biến đổi dài dòng với biểu thức cồng kềnh Nếu dùng các giải khác nhƣ thêm bớt, đổi biến cho lời giải ngắn gọn Bài tập tự luyện x3 x x 1 x 1 x2 x 2 3x 1) lim 2) lim xb ab 3) lim x a x2 a2 x x2 x 4) lim x 1 x2 1 ax 5) lim x 0 x ax n a 6) lim x 0 x n Loại 3: lim x x n f(x) mà f(x) chứa các thức không cùng bậc và f(x0)=g(x0)= g(x) Phương pháp : Sử dụng thuật toán thêm bớt f(x) để có thể nhân biểu thức liên hợp Chẳng hạn nhƣ : m u(x) n v(x) f(x) = lim ,(m u(x ) n v(x ) = 0,g(x ) = 0) x x g(x) x x0 g(x) L= lim Ta biến đổi : m u(x) - c + c - n v(x) u(x)- n v(x) lim L lim x x0 x x0 g(x) g(x) m u(x) - c n v(x) - c lim = lim x x0 x x0 g(x) g(x) m Tới đây các giới hạn L1 lim x x m u(x) g(x) -c , L2 lim x x0 n v(x) - c tính đƣợc g(x) cách nhân liên hợp Ví dụ áp dụng : Ví dụ 11 : L11 xlim 1 x+3 x+7 x 3x+2 www.MATHVN.com Lop12.net (9) WWW.MATHVN.COM Những dạng vô định thường gặp bài toán tìm giới hạn hàm số Bài giải : x+3 x+7 ( x+3 2) + (2 x+7) lim L11 lim x x x 3x+2 x 3x+2 x+3 2 x+7 lim = lim x x 3x+2 x x 3x+2 (2 x+7) x+7 ( x+7) ( x+3 2)( x+3+2) = lim lim x (x 3x+2)( x+3+2) x (x 3x+2) x+7 ( x+7)2 x+3 (x+7) lim x (x 3x+2)( x+3+2) x (x 3x+2) 4 x+7 ( x+7) = lim x 1 1 x lim x (x 1)(x 2)( x+3+2) x (x 1)(x 2) 4 x+7 ( x+7)2 = lim = lim x (x 2)( = 1 lim x x+3+2) (x 2) 4 x+7 ( x+7)2 1 (1 2)( 1+3+2) (1 2) 4 1+7 ( 1+7)2 1 = 12 Vậy L11 1+2x - 1+3x Ví dụ 12 : L12 lim x0 x2 Bài giải : 1+2x - (x+1) + (x+1) - 1+3x 1+2x - 1+3x lim L12 lim 2 x 0 x x x =lim x0 1+2x - (x+1) (x+1) - 1+3x +lim x0 x2 x2 www.MATHVN.com Lop12.net (10) WWW.MATHVN.COM Những dạng vô định thường gặp bài toán tìm giới hạn hàm số 1+2x - (x+1) 1+2x +(x+1) = lim x0 2 x 1+2x +(x+1) (x+1) - 1+3x (x+1)2 ( x 1) 1+3x ( 1+3x )2 +lim x0 x (x+1)2 ( x 1) 1+3x ( 1+3x )2 (1+2x) - (x+1)2 (x+1)3 - (1+3x) lim 2 3 x 0 x 0 x 1+2x +(x+1) x (x+1) (x 1) 1+3x ( 1+3x ) -1 x+3 lim lim x 0 1+2x +(x+1) x0 (x+1)2 (x 1) 1+3x ( 1+3x )2 lim -1 0+3 1+2.0 +(0+1) (0+1) (0 1) 1+3.0 ( 1+3.0) 1 1 2 Vậy L12 Kết luận : Phƣơng pháp chung để tính các giới hạn biểu thức chứa các thức không cùng bậc là thêm, bớt lƣợng nào đó, tách thành nhiều giới hạn nhân liên hợp Cần lƣu ý là có thể thêm bớt số ( thƣờng chọn là u(x0) v(x0)) hay biểu thức Việc thêm bớt dựa trên đặc điểm bài và phải thật tinh tế Thuật toán thêm bớt còn đƣợc áp dụng hiệu các dạng vô định khác Bài tập tự luyện 1) lim x 0 1 x 1 x x ax m bx 3) lim x 0 x n 5) lim x 7 x x 20 x9 2 Giới hạn dạng vô định 2) lim x 2 x 11 8x 43 2x 3x 2x x 4) lim x 0 sin x 6) lim x 0 4x 6x x2 hàm số lượng giác www.MATHVN.com 10 Lop12.net (11) WWW.MATHVN.COM Những dạng vô định thường gặp bài toán tìm giới hạn hàm số Phương pháp : Thực các phép biến đổi đại số và lƣợng giác để sử dụng các kết giới hạn sau đây : +) lim x 0 sinx x 1, lim 1 x 0 sinx x +) lim x 0 sinax sinax sinax lim( a) =a.lim =a x 0 x 0 x ax ax +) lim x 0 sinax sinax bx ax sinax bx ax a lim( ) lim lim lim x 0 sinbx x 0 ax sinbx bx ax x 0 sinbx x 0 bx b +) lim x 0 tgax sinax a sinax a lim( ) lim lim a x 0 x 0 ax x 0 cosax x ax cosax Trong quá trình biến đổi, học sinh cần vận dụng linh hoạt các công thức lƣợng giác, thêm bớt, nhân liên hợp … Ví dụ áp dụng Ví dụ 13 : L13 lim x 0 1+sinax - cosax 1- sinbx - cosbx Bài giải : 1+sinax - cosax 1- cosax+sinax lim L13 lim x 0 1- sinbx - cosbx x 0 1- cosbx - sinbx ax ax ax ax ax ax 2sin sin cos +2sin cos 2 2 2 lim = lim x 0 x 0 bx bx bx bx bx bx 2sin - 2sin cos 2sin sin - cos 2 2 2 2sin ax ax ax sin cos lim 2 a = lim x 0 bx x 0 bx bx b sin sin - cos 2 sin Vậy L13 a b Ví dụ 14 : L14 lim x 0 cosax x2 Bài giải : www.MATHVN.com 11 Lop12.net (12) WWW.MATHVN.COM Những dạng vô định thường gặp bài toán tìm giới hạn hàm số ax ax 2sin sin cosax lim L14 lim lim ax 2 x 0 x x x x 2 Vậy L14 ax sin 2 a a lim x ax 2 2 a2 a2 Ví dụ 15 : L15 lim x xsinx - cos2x sin x Bài giải : L15 xlim 0 xsinx - cos2x (1 - cos2x) xsinx lim x sin x sin x 2sin x xsinx sinx(2sinx x) 2sinx x lim lim lim 2 x x x 0 sin x sin x sin x x x lim lim 1 x x sin x sin x Vậy L15 = Ví dụ 16 : L16 xlim 0 1- cosx.cos2x cosnx (n N* ) x2 Bài giải : 1- cosx.cos2x cosnx L16 lim x x2 1-cosx+cosx-cosxcos2x+ +cosx.cos2x cos(n-1)x-cosx.cos2x cosnx lim x x2 1-cosx+cosx(1- cos2x)+ +cosx.cos2x cos(n-1)x(1- cosnx) x x2 1-cosx cosx(1-cos2x) cosx.cos2x cos(n-1)x(1- cosnx) lim lim lim 2 x x x x x x2 lim Theo kết bài 14 ta có : 1-cosx 12 x x2 lim cosx(1-cos2x) 1-cos2x 22 lim cosx lim x x x x2 x2 lim … www.MATHVN.com 12 Lop12.net (13) WWW.MATHVN.COM Những dạng vô định thường gặp bài toán tìm giới hạn hàm số cosx.cos2x cos(n-1)x(1- cosnx) x2 1- cosnx n lim cosx lim cos2x lim cos(n-1)x lim x x x x x2 lim x 12 22 n 12 22 n n(n+1)(2n+1) Do đó L16 2 2 12 Trong bài tập này ta đã sử dụng thuật thêm bớt : cosx, cosxcos2x,…, cosxcos2x…cos(n - 1)x để biến đổi và tính giới hạn đã cho Có thể nhận thấy thuật thêm bớt đóng vai trò quan trọng kỹ biến đổi bài tập này x cosx Ví dụ 17 : L17 xlim 0 x2 Bài giải : L17 lim x x cosx ( x 1) (1 cosx) lim x x2 x2 x 2sin x 1 cosx ( x 1)( x 1) lim lim lim lim x x x x 2 x2 x2 x x ( x 1) x 1 lim x x ( x 1) x 2sin lim lim 2 x x x x sin lim x 1 x x 1 1 2 Vậy L17 = Kết luận : Để khử dạng vô định hàm số lƣợng giác, học sinh cần nắm vững và vận dụng linh hoạt các phép biến đổi đại số, lƣợng giác nhƣ áp dụng sinx các giới hạn Ở đây có giới hạn xlim đƣợc sử dụng trực tiếp, 0 x các kết còn lại làm bài phải chứng minh lại www.MATHVN.com 13 Lop12.net (14) WWW.MATHVN.COM Những dạng vô định thường gặp bài toán tìm giới hạn hàm số sinx , cần đƣa hàm số cần tính giới hạn x sin f (x) f (x) tgf (x) với lim f (x) cách dạng : lim , lim , lim x x0 x x0 f (x) x x0 sin f (x) x x f (x) Để vận dụng giới hạn lim x thêm, bớt, đổi biến hay nhân, chia đồng thời với lƣợng thích hợp nào đó Trong giải bài tập, học sinh có thể gặp khó khăn, lúng túng để đƣa các dạng trên Giáo viên cần khắc phục cách cho học sinh làm các bài tập nhƣ : sinx sin(x 1) , lim , x cosx x x 3x+2 lim Bài tập tự luyện Tính các giới hạn sau : 1) x lim0 1+sinx sinx tgx 2) lim x 2sin x+sinx 1 lim 4) x 2sin x 3sinx+1 cosxcos2xco3x 3) lim x cosx cotg3x x cotgx cotg x 6) lim x 5) limπ Giới hạn dạng vô định (a+x)sin(a+x) asina x cosx cos2x cos3x cos2x hàm số mũ và lôgarit Phương pháp : Thực các phép biến đổi và sử dụng các giới hạn sau đây : +) xlim 0 ex 1 1 x +) xlim 0 ln(1 x) 1 x Các giới hạn trên đƣợc thừa nhận đã chứng minh Sách giáo khoa Ngoài giáo viên cần đƣa cho học sinh hai giới hạn sau : www.MATHVN.com 14 Lop12.net (15) WWW.MATHVN.COM Những dạng vô định thường gặp bài toán tìm giới hạn hàm số exlna 1 a x 1 exlna 1 +) lim xlim ln a lna ( Vì lim 1) x.lna x x x xlna loga (1 x) ln(1 x) ln(1 x) lim ln a lim x x x.lna x ln a x x +) lim Ví dụ áp dụng : Ví dụ 18 : L18 lim x eax ebx x Bài giải : eax ebx lim (eax 1) (ebx 1) L18 xlim 0 x x x (eax 1) (ebx 1) lim x x x x (eax 1) (ebx 1) a lim b lim x x ax bx a b lim Vậy L18 = a - b Trong bài tập này để sử dụng giới hạn ta đã thực thêm bớt và tách thành hai giới hạn Cần nhấn mạnh cho học sinh x thì ax , (eax 1) ( ebx 1) lim 1, lim 1 x x ax bx Ví dụ 19 : L19 lim x esin2x esinx sinx Bài giải : (esin2x 1) (esinx 1) esin2x esinx lim x x sinx sinx L19 lim esin2x 1 esinx 1 lim x sinx x sinx esin2x 1 esinx 1 lim 2cosx lim x x sinx sin2x lim esin2x 1 esinx 1 lim (2cosx) lim x sin2x x x sinx lim 1 www.MATHVN.com 15 Lop12.net (16) WWW.MATHVN.COM Những dạng vô định thường gặp bài toán tìm giới hạn hàm số Vậy L19 = 2x x Ví dụ 20 : L20 lim x x Bài giải : 2x x (2x 4) (x 4) lim x x x x 2 L20 lim 4(2x 2 1) (x 2)(x+2) 2x x2 lim lim lim x x x x x x x 2 x 2 2x lim lim (x+2) 4ln x x x lim Vậy L20 = 4ln2 - x e2x Ví dụ 21 : L21 xlim 0 ln(1+x ) Bài giải : ( 1 x 1) (e2x 1) 1 x e2x L21 lim lim x x ln(1+x ) ln(1+x ) 2 ( 1 x 1) (e2x 1) lim x ln(1+x ) x 1 e2x 1 lim lim x ln(1+x ) x ln(1+x ) e2x 1 2x 1 x 1)( (1 x )2 x 1) lim lim x x 2x 2 2 ln(1+x ) ( (1 x ) x 1)ln(1+x ) ( x2 2x e2x 1 lim lim lim 2 x ( (1 x )2 1 x 1)ln(1+x ) x 2x x ln(1+x ) x2 2x e2x lim lim lim lim x x ln(1+x ) x 2x x ln(1+x ) (1 x ) x 1 1.(2) 3 Vậy L21 Kết luận : www.MATHVN.com 16 Lop12.net (17) WWW.MATHVN.COM Những dạng vô định thường gặp bài toán tìm giới hạn hàm số Để tính các giới hạn dạng vô định hàm số mũ và lôgarit, học sinh thực các phép biến đổi để áp dụng các giới hạn Yêu cầu học sinh phải thành thạo các phép toán luỹ thừa và lôgarit Để sử dụng các giới hạn bản, cách thêm, bớt, nhân liên hợp, … học sinh phải biến đổi hàm số cần tìm giới hạn các dạng : ln 1+f(x) loga 1+f(x) ef(x) 1 a f(x) 1 với lim f (x) lim , lim , lim , lim x x0 x x0 f(x) x x f(x) x x0 x x0 f(x) f(x) Bài tập tự luyện Tính các giới hạn sau : 2) lim 1) 9x 5x x 4x 3x 3x cosx 3) lim x x2 4) xlim 0 (1 ex )(1 cosx) 2x3 3x 1 1 x 5) lim ln x x x 6) xlim 0 esin2x esinx 5x + tg x II GIỚI HẠN DẠNG VÔ ĐỊNH Giới hạn dạng vô định L lim f(x) x x0 g(x) (x ) có dạng là : đó : lim f(x) lim g(x) x x x x (x ) (x ) Để khử dạng vô định này, phƣơng pháp thông thƣờng là chia tử và mẫu f(x) cho luỹ thừa bậc cao tử và mẫu phân thức Cụ thể nhƣ sau : g(x) 1) Nếu f(x), g(x) là các đa thức có bậc tƣơng ứng là m, n thì ta chia f(x), g(x) cho xk với k = max{m, n} a m x m +a m1x m1 + +a1x+a với a m ,bn 0, m,n N* n 1 x b x n +b + +b1x+b0 n n 1x L lim Khi đó xảy ba trƣờng hợp sau : www.MATHVN.com 17 Lop12.net (18) WWW.MATHVN.COM Những dạng vô định thường gặp bài toán tìm giới hạn hàm số +) m = n (bậc tử và mẫu nhau), chia tử và mẫu cho xn ta a a a a m + m1 + + n11 + 0n x x lim a m a m x đƣợc: L xlim x b b b b bn n bn + n 1 + + n11 + 0n x x x +) m > n (bậc tử lớn bậc mẫu, k = m), chia tử và mẫu cho x ta đƣợc : m a a m1 a + + m11 + m0 x x lim a m x L xlim b bn 1 b1 b0 x bn n + + + + x mn x mn x mn+1 x xm am + +) m < n (bậc tử nhỏ bậc mẫu, k = n), tƣơng tự nhƣ trên ta có : a0 a m1 am n m n m+1 n x x 0 x L xlim b b bn n 1 0n x x Học sinh cần vận dụng kết : 1 0, lim f (x) lim lim f (x) lim x x x x f (x) x x x x f (x) 0 0 Sau xét ba trƣờng hợp này, học sinh cần tự rút nhận xét kết giới hạn cần tìm dựa vào bậc tử và mẫu Lƣu ý là có thể chia tử và mẫu cho xh với h min{m, n} 2) Nếu f(x), g(x) là các biểu thức có chứa thức thì ta quy ƣớc lấy giá m ( đó k là bậc thức, m là số mũ cao các số hạng k thức) là bậc thức đó Bậc tử ( mẫu) đƣợc xác định là bậc cao các biểu thức trên tử ( dƣới mẫu) Sau đó ta áp dụng phƣơng pháp khử nhƣ với trƣờng hợp f(x), g(x) là các đa thức Qua đó học sinh có thể dễ dàng phán đoán kết giới hạn dạng cần tìm trị Ví dụ áp dụng : Ví dụ 22 : L22 xlim 2x3 3x 1 5x3 www.MATHVN.com 18 Lop12.net (19) WWW.MATHVN.COM Những dạng vô định thường gặp bài toán tìm giới hạn hàm số Bài giải : Chia tử và mẫu cho x3 ta đƣợc : 2x 3x 1 x x lim L22 xlim x 5x3 5 x Vậy L22 Ta có thể trình bày theo cách sau : 1 x3 2 x x 2x 3x 1 lim x x L22 xlim lim x x 5x 5 x3 x x 3x (2x 1)(3x x+2) 4x 2x+1 Ví dụ 23 : L23 xlim Bài giải : 3x (2x 1)(3x x+2) 12x (2x+1)(3x x+2) L23 xlim lim 2 x 2x+1 4x 4x (2x+1) 4x 5x x+2 x x x3 lim lim x x 8x3 4x 8+ x Vậy L23 Ví dụ 24 : L24 xlim (x 1)(x 2)(x 3)(x 4)(x 5) (5x 1)5 Bài giải : (x 1)(x 2)(x 3)(x 4)(x 5) x (5x 1)5 L24 lim lim x Vậy L24 1 1 1 1 1 x x x x x 1 5 x 55 55 www.MATHVN.com 19 Lop12.net (20) WWW.MATHVN.COM Những dạng vô định thường gặp bài toán tìm giới hạn hàm số x+3 x 1 Ví dụ 25 : L25 lim x Bài giải : Chia tử và mẫu cho x ta đƣợc : 1+ x+3 x L25 xlim lim x 2 x 1 x 1 x Vì phải đƣa x vào bậc hai nên ta xét hai trƣờng hợp : *) x x > x Khi đó : lim x + 1+ x2 1+ 1+ x lim x lim x 1 x + x + x 1 x 1 1 12 x x x2 *) x x < x x Khi đó, ta có : lim x Vì lim x 1+ 1+ 1+ x lim x lim x 1 x x x 1 x 1 1 x x x2 x+3 1, lim x+3 1 nên không tồn lim x+3 x x x 1 x 1 x 1 Ví dụ 26 : L26 xlim 9x x 4 16x x Bài giải : Chia tử và mẫu cho x ta đƣợc : 9x x 9x x x x L26 lim lim 5 x x 4 16x x 16x x 7 x x 9x x x x lim x 4 16x x x x5 Tƣơng tự Bài 25, ta xét hai trƣờng hợp : www.MATHVN.com 20 Lop12.net (21)