Tr−êng hîp 2: NÕu mét c¹nh gãc vu«ng vµ mét gãc nhän kÒ c¹nh Êy cña tam gi¸c vu«ng nµy b»ng mét c¹nh gãc vu«ng vµ mét gãc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông kia thì hai giác vuông đó b»n[r]
(1)V× sù nghiÖp gi¸o dôc - V× sù 1nghiÖp trång ng−êi N¨m häc 2011 - 2015 HÖ thèng kiÕn thøc c¬ b¶n M«n : H×nh Häc Häc - THCS Website: http://quanghieu030778.violet.vn §iÓm - §−êng th¼ng - Ng−êi ta dïng c¸c ch÷ c¸i in hoa A, B, C, để đặt tên cho điểm - BÊt cø h×nh nµo còng lµ mét tËp hîp c¸c ®iÓm Mét ®iÓm còng lµ mét h×nh - Ng−êi ta dïng c¸c ch÷ c¸i th−êng a, b, c, m, p, để đặt tên cho các ®−êng th¼ng (hoÆc dïng hai ch÷ c¸i in hoa hoÆc dïng hai ch÷ c¸i th−êng, vÝ dô ®−êng th¼ng AB, xy, ) - §iÓm C thuéc ®−êng th¼ng a (®iÓm C n»m trªn ®−êng th¼ng a hoÆc ®−êng th¼ng a ®i qua ®iÓm C), kÝ hiÖu lµ: C∈a - §iÓm M kh«ng thuéc ®−êng th¼ng a (®iÓm M n»m ngoµi ®−êng th¼ng a hoÆc ®−êng th¼ng a kh«ng ®i qua ®iÓm M), kÝ hiÖu lµ: M ∉ a Ba ®iÓm th¼ng hµng - Ba ®iÓm cïng thuéc mét ®−êng th¼ng ta nãi chóng th¼ng hµng - Ba ®iÓm kh«ng cïng thuéc bÊt k× ®−êng th¼ng nµo ta nãi chóng kh«ng th¼ng hµng §−êng th¼ng trïng nhau, c¾t nhau, song song - Hai ®−êng th¼ng AB vµ BC nh− h×nh vÏ bªn lµ hai ®−êng th¼ng trïng - Hai ®−êng th¼ng chØ cã mét ®iÓm chung ta nãi chóng c¾t nhau, ®iÓm chung đó đ−ợc gọi là giao điểm (®iÓm E lµ giao ®iÓm) - Hai ®−êng th¼ng kh«ng cã ®iÓm Tµi liÖu ¤n thi vµo Trung häc P1hæ th«ng Lop8.net (2) Tr−êng THCS Hång H−ng - Gia Léc – h¶i D−¬ng chung nµo, ta nãi chóng song song víi nhau, kÝ hiÖu xy//zt Khái niệm tia, hai tia đối nhau, hai tia trùng - H×nh gåm ®iÓm O vµ mét phÇn ®−êng th¼ng bÞ chia bëi ®iÓm O ®−îc gäi lµ mét tia gèc O (cã hai tia Ox vµ Oy nh− h×nh vÏ) - Hai tia chung gèc t¹o thµnh - Hai tia chung gèc vµ tia nµy n»m ®−êng th¼ng ®−îc gäi lµ hai tia trªn tia ®−îc gäi lµ hai tia đối (hai tia Ox và Oy trùng hình vẽ là hai tia đối nhau) - Hai tia AB vµ Ax lµ hai tia trïng Đoạn thẳng, độ dài đoạn thẳng - §o¹n th¼ng AB lµ h×nh gåm ®iÓm A, ®iÓm B vµ tÊt c¶ c¸c ®iÓm n»m gi÷a A vµ B - Mỗi đoạn thẳng có độ dài Độ - Hai ®iÓm A vµ B lµ hai mót (hoÆc dµi ®o¹n th¼ng lµ mét sè d−¬ng hai ®Çu) cña ®o¹n th¼ng AB Khi nµo th× AM + MB = AB ? - NÕu ®iÓm M n»m gi÷a hai ®iÓm A vµ B th× AM + MB = AB Ng−îc l¹i, nÕu AM + MB = AB th× ®iÓm M n»m gi÷a hai ®iÓm A vµ B Trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng - Trung ®iÓm M cña ®o¹n th¼ng AB lµ ®iÓm n»m gi÷a A, B vµ c¸ch A, B (MA = MB) - Trung ®iÓm M cña ®o¹n th¼ng AB cßn gäi lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña ®o¹n th¼ng AB Nửa mặt phẳng bờ a, hai nửa mặt phẳng đối - H×nh gåm ®−êng th¼ng a vµ mét phÇn mÆt ph¼ng bÞ chia bëi a ®−îc gäi lµ mét nöa mÆt ph¼ng bê a - Hai nöa mÆt ph¼ng cã chung bê đ−ợc gọi là hai nửa mặt phẳng đối (hai nöa mÆt ph¼ng (I) vµ (II) đối nhau) Gãc, gãc bÑt Ng−êi viÕt - Gi¸o viªn: Ph¹m V¨n HiÖu Lop8.net (3) V× sù nghiÖp gi¸o dôc - V× sù 3nghiÖp trång ng−êi - Gãc lµ h×nh gåm hai tia chung gèc, gèc chung cña hai tia gäi lµ đỉnh góc, hai tia là hai cạnh cña gãc hoÆc O - Gãc xOy kÝ hiÖu lµ xOy hoÆc ∠xOy - Điểm O là đỉnh góc - Hai c¹nh cña gãc : Ox, Oy - Gãc bÑt lµ gãc cã hai c¹nh lµ hai tia đối 10 So s¸nh hai gãc, gãc vu«ng, gãc nhän, gãc tï - So s¸nh hai gãc b»ng c¸ch so s¸nh c¸c sè ®o cña chóng - Hai gãc xOy vµ uIv b»ng = uIv ®−îc kÝ hiÖu lµ: xOy - Gãc xOy nhá h¬n gãc uIv, ta viÕt: < uIv <=> uIv > xOy xOy - Gãc cã sè ®o b»ng 900 = 1v, lµ gãc vu«ng - Gãc nhá h¬n gãc vu«ng lµ gãc nhän - Gãc lín h¬n gãc vu«ng nh−ng nhá h¬n gãc bÑt lµ gãc tï + yOz = xOz 11 Khi nµo th× xOy - NÕu tia Oy n»m gi÷a hai tia Ox + yOz = xOz vµ Oz th× xOy + yOz = xOz - Ng−îc l¹i, nÕu xOy th× tia Oy n»m gi÷a hai tia Ox vµ Oz 12 Hai gãc kÒ nhau, phô nhau, bï nhau, kÒ bï - Hai gãc kÒ lµ hai gãc cã mét c¹nh chung vµ hai c¹nh cßn l¹i n»m trªn hai nöa mÆt ph¼ng đối có bờ chứa cạnh chung - Hai gãc phô lµ hai gãc cã tæng sè ®o b»ng 900 - Hai gãc bï lµ hai gãc cã tæng sè ®o b»ng 1800 - Hai gãc võa kÒ nhau, võa bï ®−îc gäi lµ hai gãc kÒ bï Tµi liÖu ¤n thi vµo Trung häc P3hæ th«ng Lop8.net N¨m häc 2011 - 2015 (4) Tr−êng THCS Hång H−ng - Gia Léc – h¶i D−¬ng 13 Tia ph©n gi¸c cña gãc - Tia ph©n gi¸c cña mét gãc lµ tia n»m gi÷a hai c¹nh cña gãc vµ t¹o víi hai c¹nh Êy hai gãc b»ng + zOy = xOy vµ xOz = zOy - Khi: xOz => tia Oz lµ tia ph©n gi¸c cña gãc xOy - §−êng th¼ng chøa tia ph©n gi¸c cña mét gãc lµ ®−êng ph©n gi¸c góc đó (đ−ờng thẳng mn là ®−êng ph©n gi¸c cña gãc xOy) 14 §−êng trung trùc cña ®o¹n th¼ng a) §Þnh nghÜa: §−êng th¼ng vu«ng gãc víi mét ®o¹n th¼ng t¹i trung ®iÓm cña nã ®−îc gäi lµ ®−êng trung trùc cña ®o¹n th¼ng Êy b) Tæng qu¸t: a A a lµ ®−êng trung trùc cña AB B I a ⊥ AB t¹i I IA =IB 15 C¸c gãc t¹o bëi mét ®−êng th¼ng c¾t hai ®−êng th¼ng a) C¸c cÆp gãc so le trong: vµ B ; A vµ B A b) Các cặp góc đồng vị: vµ B ; A vµ B ; A 1 2 vµ B ; A vµ B A 3 4 c) Khi a//b th×: vµ B ; A vµ B gäi lµ c¸c cÆp A gãc cïng phÝa bï a A B 41 b 16 Hai ®−êng th¼ng song song Ng−êi viÕt - Gi¸o viªn: Ph¹m V¨n HiÖu Lop8.net (5) V× sù nghiÖp gi¸o dôc - V× sù 5nghiÖp trång ng−êi a) DÊu hiÖu nhËn biÕt - NÕu ®−êng th¼ng c c¾t hai ®−êng th¼ng a, b vµ c¸c gãc t¹o thµnh cã mét cÆp gãc so le (hoặc cặp góc đồng vÞ b»ng nhau) th× a vµ b song song víi b) Tiên đề Ơ_clít - Qua mét ®iÓm ë ngoµi mét ®−êng th¼ng chØ cã mét ®−êng th¼ng song song với đ−ờng thẳng đó N¨m häc 2011 - 2015 c a b M b a c, TÝnh chÊt hai ®−êng th¼ng song song - NÕu mét ®−êng th¼ng c¾t hai ®−êng th¼ng song song th×: Hai gãc so le b»ng nhau; Hai góc đồng vị nhau; Hai gãc cïng phÝa bï d) Quan hÖ gi÷a tÝnh vu«ng gãc víi tÝnh song song - Hai ®−êng th¼ng ph©n biÖt cïng c vu«ng gãc víi ®−êng th¼ng thø ba th× chóng song song víi a ⊥ c => a / / b b ⊥ c b a - Mét ®−êng th¼ng vu«ng gãc víi mét hai ®−êng th¼ng song song th× nã còng vu«ng gãc víi ®−êng th¼ng c b a c ⊥ b => c ⊥ a a / / b e) Ba ®−êng th¼ng song song - Hai ®−êng th¼ng ph©n biÖt cïng song song víi mét ®−êng th¼ng thø ba th× chóng song song víi a//c vµ b//c => a//b Tµi liÖu ¤n thi vµo Trung häc P5hæ th«ng Lop8.net a b c (6) Tr−êng THCS Hång H−ng - Gia Léc – h¶i D−¬ng 17 Gãc ngoµi cña tam gi¸c a) §Þnh nghÜa: Gãc ngoµi cña mét tam gi¸c lµ gãc kÒ bï víi mét gãc cña tam gi¸c Êy b) TÝnh chÊt: Mçi gãc ngoµi cña tam gi¸c b»ng tæng hai gãc kh«ng kÒ víi nã A B 18 Hai tam gi¸c b»ng a) §Þnh nghÜa: Hai tam gi¸c b»ng lµ hai tam gi¸c cã c¸c c¹nh t−¬ng øng b»ng nhau, c¸c gãc t−¬ng øng b»ng A B ∆ABC = ∆A 'B 'C ' AB = A 'B '; AC = A 'C '; BC = B 'C ' ⇔ =A '; B =B '; C =C ' A A' C C B' b) C¸c tr−êng hîp b»ng cña hai tam gi¸c *) Tr−êng hîp 1: C¹nh - C¹nh - C¹nh A (c.c.c) - NÕu ba c¹nh cña tam gi¸c nµy b»ng ba c¹nh cña tam gi¸c th× hai tam giác đó NÕu ∆ABC vµ ∆A'B'C' cã: AB = A 'B ' AC = A 'C' => ∆ABC = ∆A 'B 'C'(c.c.c) BC = B 'C ' x C =A +B ACx B C A' B' C' Ng−êi viÕt - Gi¸o viªn: Ph¹m V¨n HiÖu Lop8.net (7) V× sù nghiÖp gi¸o dôc - V× sù 7nghiÖp trång ng−êi *) Tr−êng hîp 2: C¹nh - Gãc - C¹nh (c.g.c) - NÕu hai c¹nh vµ gãc xen gi÷a cña tam gi¸c nµy b»ng hai c¹nh vµ gãc xen gi÷a cña tam gi¸c th× hai tam giác đó N¨m häc 2011 - 2015 A B NÕu ∆ABC vµ ∆A'B'C' cã: AB = A 'B ' =B ' => ∆ABC = ∆A 'B 'C '( c.g.c ) B BC = B 'C ' C A' C' B' *) Tr−êng hîp 3: Gãc - C¹nh - Gãc (g.c.g) A - NÕu mét c¹nh vµ hai gãc kÒ cña tam gi¸c nµy b»ng mét c¹nh vµ hai gãc kÒ cña tam gi¸c th× hai tam gi¸c đó NÕu ∆ABC vµ ∆A'B'C' cã: =B ' B BC = B 'C ' => ∆ABC = ∆A 'B 'C '(g.c.g ) = C' C C B A' C' B' c) C¸c tr−êng hîp b»ng cña hai tam gi¸c vu«ng Tr−êng hîp 1: NÕu hai c¹nh gãc vu«ng cña tam gi¸c vu«ng nµy b»ng hai c¹nh gãc vu«ng cña tam gi¸c vu«ng th× hai tam gi¸c vuông đó B B' A C A' C' Tr−êng hîp 2: NÕu mét c¹nh gãc vu«ng vµ mét gãc nhän kÒ c¹nh Êy cña tam gi¸c vu«ng nµy b»ng mét c¹nh gãc vu«ng vµ mét gãc nhọn kề cạnh tam giác vuông thì hai giác vuông đó b»ng Tµi liÖu ¤n thi vµo Trung häc P7hæ th«ng Lop8.net (8) Tr−êng THCS Hång H−ng - Gia Léc – h¶i D−¬ng B B' A C A' C' Tr−êng hîp 3: NÕu c¹nh huyÒn vµ mét gãc nhän cña tam gi¸c vu«ng nµy b»ng c¹nh huyÒn vµ mét gãc nhän cña tam gi¸c vu«ng thì hai tam giác vuông đó B B' A C A' C' Tr−êng hîp 4: NÕu c¹nh huyÒn vµ mét c¹nh gãc vu«ng cña tam gi¸c vu«ng nµy b»ng c¹nh huyÒn vµ mét c¹nh gãc vu«ng cña tam giác vuông thì hai tam giác vuông đó B B' A C A' C' 19 Quan hÖ gi÷a c¸c yÕu tè tam giác (quan hệ góc và cạnh đối diện tam gi¸c) - Trong tam giác, góc đối diện với cạnh lín h¬n lµ gãc lín h¬n >C ∆ABC : NÕu AC > AB th× B A B C Trong tam giác, cạnh đối diện với góc lớn thì lớn >C th× AC > AB ∆ABC : NÕu B 20 Quan hÖ gi÷a ®−êng vu«ng gãc vµ ®−êng xiªn, ®−êng xiªn vµ h×nh chiÕu Kh¸i niÖm ®−êng vu«ng gãc, ®−êng xiªn, h×nh chiÕu cña ®−êng xiªn - Lấy A ∉ d, kẻ AH ⊥ d, lấy B ∈ d và B ≠ H Khi đó : Ng−êi viÕt - Gi¸o viªn: Ph¹m V¨n HiÖu Lop8.net (9) V× sù nghiÖp gi¸o dôc - V× sù 9nghiÖp trång ng−êi N¨m häc 2011 - 2015 - §o¹n th¼ng AH gäi lµ ®−êng vu«ng A góc kẻ từ A đến đ−ờng thẳng d - §iÓm H gäi lµ h×nh chiÕu cña A trªn ®−êng th¼ng d - §o¹n th¼ng AB gäi lµ mét ®−êng xiªn kẻ từ A đến đ−ờng thẳng d d - §o¹n th¼ng HB gäi lµ h×nh chiÕu cña B H ®−êng xiªn AB trªn ®.th¼ng d Quan hÖ gi÷a ®−êng xiªn vµ ®−êng vu«ng gãc: Trong c¸c ®−êng xiªn vµ ®−êng vu«ng gãc kÎ tõ mét ®iÓm ë ngoµi đ−ờng thẳng đến đ−ờng thẳng đó, đ−ờng vuông góc là đ−ờng ng¾n nhÊt Quan hÖ gi÷a ®−êng xiªn vµ h×nh chiÕu: Trong hai ®−êng xiªn kÎ tõ mét ®iÓm n»m ngoµi mét ®−êng th¼ng đến đ−ờng thẳng đó, thì: §−êng xiªn nµo cã h×nh chiÕu lín h¬n th× lín h¬n §−êng xiªn nµo lín h¬n th× cã h×nh chiÕu lín h¬n NÕu hai ®−êng xiªn b»ng th× hai h×nh chiÕu b»ng vµ ng−îc l¹i, nÕu hai h×nh chiÕu b»ng th× hai ®−êng xiªn b»ng 21 Quan hệ ba cạnh tam giác Bất đẳng thức tam gi¸c - Trong tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kì lớn độ dài cạnh còn lại A AB + AC > BC AB + BC > AC AC + BC > AB B C - Trong tam giác, hiệu độ dài hai cạnh bất kì nhỏ độ dài cạnh còn lại AC - BC < AB AB - BC < AC AC - AB < BC - Nhận xét : Trong tam giác, độ dài cạnh lớn hiệu và nhỏ tổng độ dài hai cạnh còn lại VD: AB - AC < BC < AB + AC Tµi liÖu ¤n thi vµo Trung häc P9hæ th«ng Lop8.net (10) Tr−êng THCS Hång H−ng - Gia Léc – h¶i D−¬ng 21 TÝnh chÊt ba ®−êng trung tuyÕn cña tam gi¸c - Ba ®−êng trung tuyÕn cña mét tam gi¸c A cùng qua điểm Điểm đó cách đỉnh khoảng độ dài đ−ờng F trung tuyến qua đỉnh ấy: GA = GB = GC = DA EB FC B C D G lµ träng t©m cña tam gi¸c ABC 22 TÝnh chÊt ba ®−êng ph©n gi¸c cña tam gi¸c - Ba ®−êng ph©n gi¸c cña mét A tam gi¸c cïng ®i qua mét ®iÓm Điểm này cách ba cạnh tam giác đó - §iÓm O lµ t©m ®−êng trßn néi tiÕp tam gi¸c ABC E G O C B 23 TÝnh chÊt ba ®−êng trung trùc cña tam gi¸c - Ba ®−êng trung trùc cña mét tam A gi¸c cïng ®i qua mét ®iÓm §iÓm này cách ba đỉnh tam giác đó O - §iÓm O lµ t©m ®−êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC C B 24 §−êng trung b×nh cña tam gi¸c, cña h×nh thang a) §−êng trung b×nh cña tam gi¸c §Þnh nghÜa: §−êng trung b×nh cña tam gi¸c lµ ®o¹n th¼ng nèi trung ®iÓm hai c¹nh cña tam gi¸c §Þnh lÝ: §−êng trung b×nh cña tam gi¸c th× song song víi c¹nh thø ba vµ b»ng nöa c¹nh Êy A DE lµ ®−êng trung b×nh cña tam gi¸c D DE / /BC, DE = BC B E C Ng−êi viÕt - Gi¸o viªn: Ph¹m V¨n HiÖu Lop8.net (11) N¨m häc 2011 - 2015 V× sù nghiÖp gi¸o dôc - V× sù11nghiÖp trång ng−êi b) §−êng trung b×nh cña h×nh thang §Þnh nghÜa: §−êng trung b×nh cña h×nh thang lµ ®o¹n th¼ng nèi trung ®iÓm hai c¹nh bªn cña h×nh thang §Þnh lÝ: §−êng trung b×nh cña h×nh thang th× song song víi hai đáy và nửa tổng hai đáy B EF lµ ®−êng trung b×nh cña A h×nh thang ABCD E EF//AB, EF//CD, EF = AB + CD F D C 25 Tam giác đồng dạng a) §Þnh lÝ Ta_lÐt tam gi¸c: - NÕu mét ®−êng th¼ng song song víi mét c¹nh cña tam gi¸c vµ c¾t hai cạnh còn lại thì nó định trên hai cạnh đó đoạn thẳng t−ơng øng tØ lÖ A B 'C '/ /BC => AB ' = AC ' ; AB AC AB ' = AC ' ; B 'B = C 'C B 'B C 'C AB AC B' C' B a C b) Định lí đảo định lí Ta_lét: - Nếu đ−ờng thẳng cắt hai cạnh tam giác và định trên hai cạnh này đoạn thẳng t−ơng ứng tỉ lệ thì đ−ờng thẳng đó song song víi c¹nh cßn l¹i cña tam gi¸c VÝ dô: AB ' = AC ' => B 'C '/ / BC ; C¸c tr−êng hîp kh¸c t−¬ng tù AB AC c) Hệ định lí Ta_lét - NÕu mét ®−êng th¼ng c¾t hai c¹nh cña mét tam gi¸c vµ song song víi c¹nh cßn l¹i th× nã t¹o thµnh mét tam gi¸c míi cã ba c¹nh t−¬ng øng tØ lệ với ba cạnh tam giác đã cho Hệ còn đúng tr−ờng hợp ®−êng th¼ng song song víi mét c¹nh cña tam gi¸c vµ c¾t phÇn kÐo dµi cña hai c¹nh cßn l¹i ( B 'C'/ /BC => AB ' = AC ' = B 'C ' ) AB AC Tµi liÖu ¤n thi vµo Trung häc P11hæ th«ng Lop8.net BC (12) Tr−êng THCS Hång H−ng - Gia Léc – h¶i D−¬ng A a C' B' A C B a B' C' C B d) TÝnh chÊt ®−êng ph©n gi¸c cña tam gi¸c: - Đ−ờng phân giác (hoặc ngoài) tam giác chia cạnh đối diện thành hai đoạn tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn đó A A B C D DB = AB DC AC C B D' D'B = AB D'C AC ∆ABC S e) Định nghĩa hai tam giác đồng dạng : - Hai tam giác đồng dạng là hai tam giác có các góc t−ơng ứng vµ c¸c c¹nh t−¬ng øng tØ lÖ =A '; B =B '; C =C ' A ∆A 'B 'C ' <=> AB AC BC A 'B ' = A 'C ' = B 'C ' = k( tỉ số đồng dạng ) f) Định lí hai tam giác đồng dạng: - NÕu mét ®−êng th¼ng c¾t hai c¹nh cña mét tam gi¸c vµ song song víi cạnh còn lại thì nó tạo thành tam giác đồng dạng với tam giác đã cho S MN / /BC => ∆AMN A ∆ABC M N a *) L−u ý: Định lí đúng tr−êng hîp ®−êng th¼ng c¾t phÇn kÐo dµi hai c¹nh cña tam gi¸c vµ song song C B víi c¹nh cßn l¹i g) Các tr−ờng hợp đồng dạng hai tam giác *)Tr−êng hîp 1: NÕu ba c¹nh cña tam gi¸c nµy tØ lÖ víi ba c¹nh cña tam giác thì hai tam giác đó đồng dạng Ng−êi viÕt - Gi¸o viªn: Ph¹m V¨n HiÖu Lop8.net (13) N¨m häc 2011 - 2015 V× sù nghiÖp gi¸o dôc - V× sù13nghiÖp trång ng−êi A' A B' C NÕu ∆ABC vµ ∆A'B'C' cã: AB = AC = BC => ∆ABC A 'B ' A 'C' B 'C' ∆A 'B 'C'( c.c.c ) S C B *)Tr−êng hîp 2: NÕu hai c¹nh cña tam gi¸c nµy tØ lÖ víi hai c¹nh cña tam giác và hai góc tạo các cạnh đó thì hai tam giác đồng dạng A' A C B' C' NÕu ∆ABC vµ ∆A'B'C' cã: AB = BC A 'B ' B 'C ' => ∆ABC =B ' B ∆A 'B 'C '( c.g.c ) S B *)Tr−êng hîp 3: NÕu hai gãc cña tam gi¸c nµy lÇn l−ît b»ng hai gãc tam giác thì hai tam giác đồng dạng; A' A B C B' C S NÕu ∆ABC vµ ∆A'B'C' cã: =A ' A => ∆ABC ∆A 'B 'C'(g.g ) B = B ' h) Các tr−ờng hợp đồng dạng hai tam giác vuông *)Tr−êng hîp 1: NÕu hai tam gi¸c vu«ng cã mét gãc nhän b»ng thì chúng đồng dạng Tµi liÖu ¤n thi vµo Trung häc P13hæ th«ng Lop8.net (14) Tr−êng THCS Hång H−ng - Gia Léc – h¶i D−¬ng S NÕu ∆ABC vµ ∆A'B'C' cã: =A ' = 900 A => ∆ABC ∆A 'B 'C' C = C' B' B C A C' A’ *)Tr−êng hîp 2: NÕu hai c¹nh gãc vu«ng cña tam gi¸c vu«ng nµy tØ lÖ với hai cạnh góc vuông tam giác vuông thì hai tam giác đó đồng d¹ng B' B C A C' A' S Hai tam gi¸c vu«ng ABC vµ A'B'C' cã: AB = AC => ∆ABC ∆A ' B 'C ' A 'B ' A 'C' *)Tr−êng hîp 3: NÕu c¹nh gãc vu«ng vµ c¹nh huyÒn cña tam gi¸c vu«ng nµy tØ lÖ víi c¹nh gãc vu«ng vµ c¹nh huyÒn cña tam gi¸c vu«ng thì hai giác đó đồng dạng S Hai tam gi¸c vu«ng ABC vµ A'B'C' cã: AB = BC => ∆ABC ∆A 'B 'C ' A 'B ' B 'C' S 26 Tỉ số hai đ−ờng cao, tỉ số diện tích hai tam giác đồng d¹ng - Tỉ số hai đ−ờng cao t−ơng ứng hai tam giác đồng dạng tỉ số đồng dạng - Tỉ sô diện tích hai tam giác đồng dạng bình ph−ơng tỉ số đồng dạng - Cô thÓ : ∆A 'B 'C ' ∆ABC theo tØ sè k Ng−êi viÕt - Gi¸o viªn: Ph¹m V¨n HiÖu Lop8.net (15) N¨m häc 2011 - 2015 V× sù nghiÖp gi¸o dôc - V× sù15nghiÖp trång ng−êi S => A 'H ' = k vµ A 'B 'C' = k AH SABC 27 DiÖn tÝch c¸c h×nh b a h a a a S = ah 2 S = a b h S=a S = ah b h E a h a S = (a + b)h = EF.h S = ah b h α F d2 a d1 S = d1 ⋅ d2 S = a h = a.b.sin α Chó ý: Diện tích đa giác n cạnh, cạnh có độ dài a đ−ợc tính theo c«ng thøc S = na R − a (R lµ b¸n kÝnh ®−êng trßn ngo¹i tiếp đa giác ) Diện tích tam giác: s∆ABC = a.ha = a.b.sinC = p.r = 2 abc 4R = p( p − a)( p − b)( p − c) +) a, b, c là độ dài các cạnh tương ứng +) là độ dài đường cao ứng với cạnh a +) C là độ lớn góc xen hai cạnh a, b +) p là nửa chu vi tam giác +) r là độ dài bán kính đường tròn nội tiếp tam giác +) R là độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác 28 Häc sinh cÇn n¾m v÷ng c¸c bµi to¸n dùng h×nh c¬ b¶n (dùng th−ớc thẳng, th−ớc đo độ, th−ớc có chia khoảng, compa, êke) a) Dùng mét ®o¹n th¼ng b»ng mét ®o¹n th¼ng cho tr−íc; Tµi liÖu ¤n thi vµo Trung häc P15hæ th«ng Lop8.net (16) Tr−êng THCS Hång H−ng - Gia Léc – h¶i D−¬ng b) Dùng mét gãc b»ng mét gãc cho tr−íc; c) Dùng ®−êng trung trùc cña mét ®o¹n th¼ng cho tr−íc, dùng trung ®iÓm cña mét ®o¹n th¼ng cho tr−íc; d) Dùng tia ph©n gi¸c cña mét gãc cho tr−íc; e) Qua mét ®iÓm cho tr−íc, dùng ®−êng th¼ng vu«ng gãc víi mét ®−êng th¼ng cho tr−íc; f) Qua mét ®iÓm n»m ngoµi mét ®−êng th¼ng cho tr−íc, dùng ®−êng th¼ng song song víi mét ®−êng th¼ng cho tr−íc; g) Dùng tam gi¸c biÕt ba c¹nh, hoÆc biÕt hai c¹nh kÒ vµ gãc xen gi÷a, hoÆc biÕt mét c¹nh vµ hai gãc kÒ 29 HÖ thøc l−îng tam gi¸c vu«ng (líp 9) a) Mét sè hÖ thøc vÒ c¹nh vµ ®−êng cao tam gi¸c vu«ng A b = ab' c = ac ' 2 c a = b + c (Pi_ta_go) bc = ah B h = b'c' + = 2 b c h h b b' c' H C a b) TØ sè l−îng gi¸c cña gãc nhän §Þnh nghÜa c¸c tØ sè l−îng gi¸c cña gãc nhän cạnh đối c¹nh huyÒn cạnh đối tan α = c¹nh kÒ sin α = c¹nh kÒ c¹nh huyÒn c¹nh kÒ cot α = cạnh đối cos α = α Mét sè tÝnh chÊt cña c¸c tØ sè l−îng gi¸c +) §Þnh lÝ vÒ tØ sè l−îng gi¸c cña hai gãc phô Cho hai góc α và β phụ Khi đó: sinα = cosβ; tanα = cotβ; cosα = sinβ; cotα = tanβ 0 +) Cho < α < 90 Ta cã: 2 < sin α < 1; < cos α < 1; sin α + cos α = tan α = sin α ; cot α = cos α ; tan α cot α = cos α sin α So s¸nh c¸c tØ sè l−îng gi¸c 0 < α1 < α2 < 90 => sin α1 < sin α2 ;cos α1 > cos α2 ;tan α1 < tan α2 ;cot α1 > cot α2 Ng−êi viÕt - Gi¸o viªn: Ph¹m V¨n HiÖu Lop8.net (17) N¨m häc 2011 - 2015 V× sù nghiÖp gi¸o dôc - V× sù17nghiÖp trång ng−êi c) Mét sè hÖ thøc vÒ c¹nh vµ gãc tam gi¸c vu«ng b = a.sinB; b = a.cosC; b = c.tanB; b = c.cotC; => a = c = a.sinC c = a.cosB c = b.tanC c = b.cotB b = c = b = c sinB sinC cosC cosB 30 §−êng trßn, h×nh trßn, gãc ë t©m, sè ®o cung - §−êng trßn t©m O, b¸n kÝnh R lµ h×nh gåm c¸c ®iÓm c¸ch O mét kho¶ng b»ng R, kÝ hiÖu (O ; R) - H×nh trßn lµ h×nh gåm c¸c ®iÓm n»m α trªn ®−êng trßn vµ c¸c ®iÓm n»m bªn đ−ờng tròn đó 0 < α < 180 - Trªn h×nh vÏ: +) C¸c ®iÓm A, B, C, D n»m trªn (thuéc) ®−êng trßn; OA = OB = OC = OD = R +) M n»m bªn ®−êng trßn; OM < R +) N n»m bªn ngoµi ®−êng trßn; ON > R +) §o¹n th¼ng AB lµ d©y cung (d©y) +) CD = 2R, lµ ®−êng kÝnh (d©y cung lín nhÊt, d©y ®i qua t©m) lµ cung nhá ( 00 < α < 1800 ) +) AmB lµ cung lín +) AnB +) Hai ®iÓm A, B lµ hai mót cña cung - Góc có đỉnh trùng với tâm đ−ờng tròn lµ gãc ë t©m ®−îc gäi lµ gãc ë t©m ( AOB ch¾n cung nhá AmB) - Gãc bÑt COD ch¾n nöa ®−êng trßn - Sè ®o cung: +) Sè ®o cña cung nhá b»ng sè ®o cña góc tâm chắn cung đó = α ( 00 < α < 1800 ) s® AmB +) Sè ®o cña cung lín b»ng hiÖu gi÷a 3600 vµ sè ®o cña cung nhá (cã chung hai mót víi cung lín) = 360 − α s® AnB +) Sè ®o cña nöa ®−êng trßn b»ng Tµi liÖu ¤n thi vµo Trung häc P17hæ th«ng Lop8.net α = 180 (18) Tr−êng THCS Hång H−ng - Gia Léc – h¶i D−¬ng 1800, sè ®o cña c¶ ®−êng trßn b»ng 3600 31 Quan hÖ vu«ng gãc gi÷a ®−êng kÝnh vµ d©y - Trong mét ®−êng trßn, ®−êng kÝnh vu«ng gãc víi mét d©y th× ®i qua trung ®iÓm cña d©y Êy AB ⊥ CD t¹i H => HC = HD - Trong mét ®−êng trßn, ®−êng kÝnh ®i qua trung ®iÓm cña mét d©y kh«ng ®i qua t©m th× vu«ng gãc víi d©y Êy 32 Liên hệ dây và khoảng cách từ tâm đến dây §Þnh lÝ 1: Trong mét ®−êng trßn a) Hai dây thì cách tâm b) Hai dây cách tâm thì AB = CD => OH = OK OH = OK => AB = CD §Þnh lÝ 2: Trong hai d©y cña mét ®−êng trßn a) Dây nào lớn thì dây đó gần tâm b) Dây nào gần tâm thì dây đó lớn AB < CD => OH > OK OH > OK => AB < CD 33 Vị trí t−ơng đối đ−ờng thẳng và đ−ờng tròn a) §−êng th¼ng vµ ®−êng trßn c¾t (cã hai ®iÓm chung) - §−êng th¼ng a gäi lµ c¸t tuyÕn cña (O) d = OH < R vµ HA = HB = 2 R − OH b) §−êng th¼ng vµ ®−êng trßn tiÕp xóc (cã mét ®iÓm chung) - §−êng th¼ng a lµ tiÕp tuyÕn cña (O) - §iÓm chung H lµ tiÕp ®iÓm d = OH = R *) TÝnh chÊt tiÕp tuyÕn: NÕu mét ®−êng th¼ng lµ tiÕp tuyÕn cña mét ®−êng trßn th× nã vu«ng gãc víi b¸n kÝnh ®i qua tiÕp ®iÓm a lµ tiÕp tuyÕn cña (O) t¹i H => a ⊥ OH Ng−êi viÕt - Gi¸o viªn: Ph¹m V¨n HiÖu Lop8.net (19) V× sù nghiÖp gi¸o dôc - V× sù19nghiÖp trång ng−êi N¨m häc 2011 - 2015 c) §−êng th¼ng vµ ®−êng trßn kh«ng giao (kh«ng cã ®iÓm chung) d = OH > R 34 DÊu hiÖu nhËn biÕt tiÕp tuyÕn cña ®−êng trßn - §Ó nhËn biÕt mét ®−êng th¼ng lµ tiÕp tuyÕn cña mét ®−êng trßn ta cã hai dÊu hiÖu sau: DÊu hiÖu 1: §−êng th¼ng vµ ®−êng trßn chØ cã mét ®iÓm chung (định nghĩa tiếp tuyến) DÊu hiÖu 2: §−êng th¼ng ®i qua mét ®iÓm cña ®−êng trßn vµ vuông góc với bán kính qua điểm đó => a lµ tiÕp tuyÕn cña (O) a ⊥ OH t¹i H H ∈ ( O) 35 TÝnh chÊt cña hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau; ®−êng trßn néi tiÕp, bµng tiÕp tam gi¸c a) §Þnh lÝ: NÕu hai tiÕp tuyÕn cña mét ®−êng trßn c¾t t¹i mét ®iÓm th×: Điểm đó cách hai tiếp điểm Tia kẻ từ điểm đó qua tâm là tia ph©n gi¸c cña gãc t¹o bëi hai tiÕp tuyÕn Tia kẻ từ tâm qua điểm đó là tia ph©n gi¸c cña gãc t¹o bëi = AOC = OAC ; AOB hai b¸n kÝnh ®i qua c¸c tiÕp AB = AC;OAB ®iÓm b) §−êng trßn nét tiÕp tam gi¸c - §−êng trßn tiÕp xóc víi ba c¹nh cña tam gi¸c ®−îc gäi lµ ®−êng trßn néi tiếp tam giác, đó tam giác gọi là tam gi¸c ngo¹i tiÕp ®−êng trßn - T©m cña ®−êng trßn néi tiÕp tam gi¸c lµ giao ®iÓm cña c¸c ®−êng ph©n gi¸c c¸c gãc cña tam gi¸c Tµi liÖu ¤n thi vµo Trung häc P19hæ th«ng Lop8.net (20) Tr−êng THCS Hång H−ng - Gia Léc – h¶i D−¬ng c) §−êng trßn bµng tiÕp tam gi¸c - §−êng trßn tiÕp xóc víi mét c¹nh cña mét tam gi¸c vµ tiÕp xóc víi c¸c phÇn kÐo dµi cña hai c¹nh gäi lµ ®−êng trßn bµng tiÕp tam gi¸c - T©m cña ®−êng trßn bµng tiÕp lµ giao ®iÓm cña hai ®−êng ph©n gi¸c các góc ngoài hai đỉnh nào đó - Với tam giác có ba đ−ờng trßn bµng tiÕp (h×nh vÏ lµ hoÆc lµ giao ®iÓm cña mét ®−êng ®−êng trßn bµng tiÕp ph©n gi¸c gãc vµ mét ®−êng gãc A) phân giác góc ngoài đỉnh 36 Vị trí t−ơng đối hai đ−ờng tròn, tiếp tuyến chung hai ®−êng trßn a) Hai ®−êng trßn c¾t (cã hai ®iÓm chung) - Hai ®iÓm A, B lµ hai giao ®iÓm - §o¹n th¼ng AB lµ d©y chung R - r < OO' < R + r - §−êng th¼ng OO’ lµ ®−êng nèi t©m, ®o¹n th¼ng OO’ lµ ®o¹n nèi t©m *) TÝnh chÊt ®−êng nèi t©m: §−êng nèi t©m lµ ®−êng trung trùc cña d©y chung b) Hai ®−êng trßn tiÕp xóc (cã mét ®iÓm chung) - §iÓm chung A gäi lµ tiÕp ®iÓm +) TiÕp xóc ngoµi t¹i A: OO' = R + r +) TiÕp xóc t¹i A: OO' = R − r Ng−êi viÕt - Gi¸o viªn: Ph¹m V¨n HiÖu Lop8.net (21)