Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 10

Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn C biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng.. Tìm giá trị nhỏ nhất của:..[r]

Sở GD&ĐT Hải Dương §Ò thi häc sinh giái Trường THPT nam Sách m«n to¸n líp 10 n¨m häc 2010-2011 (Thêi gian lµm bµi 150 phót) Câu 1: (3 điểm) Giải phương trình: a x - x + x = -1 - x b x   x2  4x c 13 x  x  x  x  16  x  y  xy   y Câu 2: (1 điểm) Giải hệ phương trình  2  y( x  y)  x  y  Câu 3: (2 điểm) Giải bất phương trình : a x   x  b 2x x2  3 5x C©u : (3 ®iÓm) a Trong ABC cã c¹nh a, b, c tho¶ m·n: 17a  9b  4c  24ab  4ac TÝnh cos A b Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d) có phương trình x - y + = vµ hai ®iÓm A(4; 6), B(0; 4) T×m ®iÓm M trªn ®­êng th¼ng (d) cho   độ dài vectơ AM + BM có độ dài nhỏ Tìm giá trị nhỏ đó c Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn C  : x  y  x  y   Lập phương trình tiếp tuyến đường tròn (C) biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng   : y  2 x  mét gãc 450 Câu 5: (1 điểm) Cho a,b,c là ba số thực dương thoả mãn abc =1 Tìm giá trị nhỏ của:   a5 b5 c5 P= + + + a  b  c §¹t ®­îc nµo? 2 b c c a a b Heát Lop12.net §¸p ¸n Néi dung C©u §iÓm ®iÓm I §k: x + x ³ Û x ³ hoÆc x £ -2 Pt đã cho tương đương với 2( x + x ) - x + x + = Đặt t = x + x , t ³ Ta có phương trình: 2t - 3t + = (1) Pt (1) Û t = hoÆc t= a (tháa m·n ®k t ³ ) Với t = ta có phương trình: Û x = -1 ± x2 + 2x = Û x2 + 2x = Û x2 + 2x -1 = Víi t = x2 + 2x = ta có phương trình: Û x = -1 ± 1 Û x2 + 2x = Û x2 + 2x - = 4 0,25® 0,25® 0,25® Đối chiếu với điều kiện phương trình đã cho có nghiệm phân biệt là: x = -1 ± vµ x = -1 ± 0,25® DK: x   6;   0,25® x   x2  4x  x    x  2  u  v  v  u  u  x   u  v       v  x  u  v  u  v  v  u   b * uvx   17 * u  v 1   x  Đk: 1  x  0,25®   13 0,25®  Biến đổi pt ta có : x 13  x   x   256 0,25® Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki:  c 0,25® 13 13  x  3  x   13  27  13  13 x   x   40 16  10 x  0,25®  16  Áp dụng bất đẳng thức Côsi: 10 x 16  10 x      64  2   x  x2   1 x  Dấu     10 x  16  10 x   x   2 Lop12.net 0,25® 0,25® II  x  y  xy   y 2  y( x  y)  x  y  ®iÓm Giải hệ phương trình   x2  x y 4   x  y  xy   y y  y  , ta có:   2 y ( x  y )  x  y  x   ( x  y )  7  y x2  , v  x  y ta có hệ: Đặt u  y  uv   u  4v  v  3, u     v  2u  v  2v  15  v  5, u   x2   y  x2   y  x2  x    x  1, y  v  +) Với  hệ:      x  2, y  u  x y 3  y  3 x  y  3 x x 1  y x 1  y  x  x  46  , hệ    x  y  5  y  5  x  y  5  x +) Với v  5, u  ta có hệ:  2 này vô nghiệm KL: Vậy hệ đã cho có hai nghiệm: ( x; y )  {(1; 2), (2; 5)} 0,25® 0,25® 0,25® ®iÓm ®iÓm III a 0,25® x   2x  5 5 2    TH 1: x    x    x   ;   0,25® Bất phương trình thỏa mãn a  x   (2 x  5)2 ( x  2)(3 x  8)      TH2:   x    x        x    ; 2     x    ; 2        x    ;      0,25® 0,25® 0,25® Kết luận: x   ; 2 b Giải bất phương trình: 2x ®iÓm 3 5x x 4 §iÒu kiÖn: x    x  (*) 2 Ta cã b 2x x2  3 5x  x 2x x2   (1) 0,25® TH1: Với x < -2 Bất phương trình vô nghiệm ( vế trái âm) TH 2: Với x > Bình phương vế bất phương trình (1) ta được: 4x x   x 4 4x x4 x2  45    45 x 4 x2  x2  Lop12.net 2 0,25® §Æt t  x2 , t  Khi đó bất phương trình (2) có dạng: x2  t  4t  45   t  5(dot  0)   x  20   x  25 x  100      x  x2  x2 x 2   x  0,25® Kết hợp với trường hợp ĐK xột,ta nghiệm bất phương trình là: 2;  2 ;  IV a Trong ABC cã c¹nh a, b, c tho¶ m·n: 17a  9b  4c  24ab  4ac TÝnh cos A 17 a  9b  4c  24ab  4ac   4a  3b    a  2c   a b b 4a  b   ca  b2  c2  a cos A  2bc 37 Ta cã: cos A  48 0,25® Cho đường thẳng (d) có phương trình x - y + = và hai điểm A(4; 6), B(0;   4) Tìm điểm M trên đường thẳng (d) cho độ dài vectơ AM + BM có độ dài nhỏ Tìm giá trị nhỏ đó M ( x ; y0 ) Î ( d ) Û x - y0 + = Û y0 = x + VËy M( x0 ; x0 + 2)  Ta cã: AM ( x0 - 4; x0 - 4) ,  BM ( x0 ; x0 - 2)   Þ AM + BM = (2 x0 - 4; x0 - 6)   AM + BM = (2 x0 - 4) + (4 x0 - 6) 8 DÊu “=” x¶y x0 = , = 20( x0 - ) + ³ 5 5   26 26 , t¹i M( ; ) đó y0 = Vậy AM + BM = 5 5 c ®iÓm ®iÓm 0,25® 0,25® = 20 x0 - 64 x0 + 52 c 0,25® Cho đường tròn C  : x  y  x  y   Lập phương trình tiếp tuyến ®­êng trßn (C) biÕt tiÕp tuyÕn t¹o víi ®­êng th¼ng   : y  2 x  mét gãc 450  Gi¶ sö ®­êng th¼ng ( d) cã PT d¹ng: Ax  By  C  1 cã VTPT n( A; B) §­êng trßn ( C) cã t©m I(1;-1) b¸n kÝnh R= 10 Lop12.net 0,25® ®iÓm 0,25® 0,25® 0,25® 0,25® ®iÓm  ( d) lµ tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn (C)  d I ; d   R  A BC A2  B 2  10   cã vect¬ ph¸p tuyÕn lµ n.n' 0,25® n'(2;1) và ( d) tạo với  góc 450 đó 2    2A  B  2   cos 45       A  AB  3B   2 2  A  B n n'    A  B  2A  B  A  3B  A  B  * Víi A  3B thay vµo (2) ta ®­îc:  3B  B  C C  14 B  10  C  B  10 B   C  6 B  3B 2  B 0,25® + Víi C = 14B thay vµo (1) ta ®­îc tiÕp tuyÕn: (d1): 3x  y  14  0,25® + Víi C = -6B thay vµo (1) ta ®­îc tiÕp tuyÕn: (d2): 3x  y   B tương tự ta hai tiếp tuyến (d3): x  y   0; (d ) : x  y  12  * Víi A  0,25® VËy cã tiÕp tuyÕn tháa m·n yªu cÇu bµi to¸n (d1): 3x  y  14  ; (d2): 3x  y   ; (d3): x  y   0; (d ) : x  y  12  Cho a,b,c là ba số thực dương thoả mãn a.b.c=1 Tìm giá trị nhỏ của: V   a5 b5 c5 P= + + + a4  b4  c4 2 b c c a a b 5 4a 4b 4c XÐt 4P = + + + a4  b4  c4 b c c a a  b2 4a ¸p dông C«si cã : + b  c a  4a b c 4b + c  a b  4b 3 c a 4c + a  b c  4c 3 a b   V      a  b  c  a c  c 3b  b a a  b  c  c a  a 2b  b c Céng l¹i => P  (a  b  c )  abc   F nhá nhÊt b»ng 9/4 a=b=c=1 3 3 Học sinh làm cách khác đúng cho điểm tối đa Lop12.net ®iÓm  0,25® 0,25® 0,25® 0,25®