Đang tải... (xem toàn văn)
Phương pháp hàm số Các tính chất: Tính chất 1: Nếu hàm f tăng hoặc giảm trên khoảng a;b thì phương trình fx=k kR có không quá một nghiệm trong khoảng a;b.. Tính chất 3: Nếu hàm f tăng v[r]
(1)Chuyên đề: Phương trình Bất phương trình hệ phương trình Mũ_Logarit KIẾN THỨC CẦN NHỚ I Hàm số mũ y=ax; TXĐ D=R Bảng biến thiên a>1 x y Đồ thị 0<a<1 x y + + + y 3 y=3x 16-6 -15-5 -14-4 -13-3 -12-2 -11-1 -10 -1 x -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -2 II Hàm số lgarit -3 x y=logax, ĐK:-4 ; D=(0;+) 0 a -3 -8 Đồ thị f(x)=ln(x)/ln(1/3) f(x)=(1/3)^x f(x)=x x -7 y + + -8 -10 y -11y=3x -12 -13 -14 y=log3 x -15 x -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -7 + -1 x -2 III Các công -3 thức Công thức lũy thừa: -4 Với a>0, b>0; m, nR ta có: (an)m =anm ; -11 y y=x -12 y log x 3 -13 x -14 1 y -15 3 -2 -6 + -10 y=x -5 -9 -4-15 -3-14 -2-13 -1-12 -11 1-10 -9 -8 -1 anam =an+m; -6 -9 x -5 0<a<1 x -4 -5 Bảng biến thiên -6 a>1 x -7 y 1 y 3 -1 -2 + y )=(1/3)^x -3 -4 -5 1 an nm m ; a0=1; a1= ;( =a ); a -6 a an am n n a -7 a m ; b -8b (ab)n=anbn; -8 m a n n am Công thức logarit: logab=cac=b (0<a1; b>0) -9 -9 Với 0<a1, 0<b1; x, x1, x2>0; R ta có: -10 -10 x loga(x1x2)=logax1+logax2 ; loga = logax1logax2; -11 -11 x2 -12 -13 -14 -15 Thái Thanh Tùng Lop12.net -12 -13 -14 -15 (2) Chuyên đề: Phương trình Bất phương trình hệ phương trình Mũ_Logarit logax=logax; log b x logax= ;(logab= ) log b a log b a logba.logax=logbx; alogbx=xlogba IV Phương trình và bất phương trình mũlogarit Phương trình mũlogarit a Phương trình mũ: Đưa cùng số +0<a1: af(x)=ag(x) (1) f(x)=g(x) b + 0<a1: af(x)=b f x log a b a log a x x ; log a x log a x ;(logaax=x); Chú ý: Nếu a chứa biến thì (1) (a1)[f(x)g(x)]=0 Đặt ẩn phụ: Ta có thể đặt t=ax (t>0), để đưa phương trình đại số Lưu ý cặp số nghịch đảo như: (2 ), (7 4 ),… Nếu phương trình có chứa {a2x;b2x;axbx} ta có thể chia hai vế cho b2x(hoặc a2x) đặt t=(a/b)x (hoặc t=(b/a)x Phương pháp logarit hóa: af(x)=bg(x) f(x).logca=g(x).logcb,với a,b>0; 0<c1 b Phương trình logarit: Đưa cùng số: 0 a 0 a g x 0 +logaf(x)=g(x) +logaf(x)= logag(x) f x g x f x a f x g x Đặt ẩn phụ Bất phương trình mũlogarit a Bất phương trình mũ: a a af(x)>ag(x) ; af(x)ag(x) a 1 f x g x a 1 f x g x Đặt biệt: * Nếu a>1 thì: af(x)>ag(x) f(x)>g(x); f(x) g(x) a a f(x)g(x) * Nếu 0<a<1 thì: af(x)>ag(x) f(x)g(x); af(x)ag(x) f(x)g(x) b Bất phương trình logarit: 0 a 0 a logaf(x)>logag(x) f x 0, g x ; logaf(x)logag(x) f x 0, g x a 1 f x g x 0 a 1 f x g x 0 Đặt biệt: f x g x + Nếu a>1 thì: logaf(x)>logag(x) ; g x + Nếu 0<a<1 thì: logaf(x)>logag(x) f x g x f x * * * Thái Thanh Tùng Lop12.net (3) Chuyên đề: Phương trình Bất phương trình hệ phương trình Mũ_Logarit MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNHBẤT PHƯƠNG TRÌNHHỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ-LOGARIT I Biến đổi thành tích Ví dụ 1: Giải phương trình: x x 4.2 x x 22 x x 22 x x Nhận xét: Mặc dù cùng số không thể biến đổi để đặt ẩn phụ đó ta phải phân tích thành tích: 2 x2 x 22 x Đây là phương trình tích đã biết cách giải Ví dụ 2: Giải phương trình: log x log x.log 2x Nhận xét: Tương tự trên ta phải biến đổi phương trình thành tích: log x log x log x Đây là phương trình tích đã biết cách giải Tổng quát: Trong nhiều trường hợp cùng số không thể biến đổi để đặt ẩn phụ thì ta biến đổi thành tích II Đặt ẩn phụ-hệ số chứa ẩn Ví dụ 1: Giải phương trình: x 2( x 2)3x x Đặt t = 3x (*), đó ta có: t x t x t 1, t x Thay vào (*) ta tìm x Lưu ý: Phương pháp này sử dụng là số chính phương Ví dụ 2: Giải phương trình: log 32 x 1 x log x 1 x Đặt t = log3(x+1), ta có: t x t x t 2, t x x = và x = III Phương pháp hàm số Các tính chất: Tính chất 1: Nếu hàm f tăng (hoặc giảm) trên khoảng (a;b) thì phương trình f(x)=k (kR) có không quá nghiệm khoảng (a;b) Tính chất 2: Nếu hàm f tăng (hoặc giảm) trên khoảng (a;b) thì u, v (a,b) ta có f (u ) f v u v Tính chất 3: Nếu hàm f tăng và g là hàm giảm khoảng (a;b) thì phương trình f(x)=g(x) có nhiều nghiệm thuộc khoảng (a;b) Định lý Lagrange: Cho hàm số F(x) liên tục trên đoạn [a;b] và tồn F'(x) trên khoảng (a;b) thì c a; b : F ' c F b F a Khi áp dụng giải phương trình có F(b) – F(a) = thì ba c a; b : F ' c F ' x có nghiệm thuộc (a;b) Định lý Rôn: Nếu hàm số y=f(x) lồi lõm trên miền D thì phương trình f(x)=0 không có quá hai nghiệm thuộc D Ví dụ 1: Giải phương trình: x 2.3log2 x Hướng dẫn: x 2.3log2 x 2.3log2 x x , vế trái là hàm đồng biến, vế phải là hàm nghịch biến nên phương trình có nghiệm x=1 Ví dụ 2: Giải phương trình: x x x 3x Phương trình tương đương x x 3x x , giả sử phương trình có nghiêm Khi đó: 3 Xét hàm số f t t 1 t , với t > Ta nhận thấy f(5) = f(2) nên theo định lý lagrange tồn c 2;5 1 c 1 0, , thử lại ta thấy x = 0, x = là nghiệm cho: f ' c c 1 phương trình 2 Ví dụ 3: Giải phương trình: 2 x x x 1 ( x 1) Viết lại phương trình dạng x 1 x x x x x , xét hàm số f t t t là hàm đồng biến trên R ( ??? ) Vậy phương trình viết dạng: f x 1 f x x x x x x Ví dụ 4: Giải phương trình: 3x x x Dễ dàng ta tìm nghiệm: x = và x = Ta cần chứng minh không còn nghiệm nào khác Thái Thanh Tùng Lop12.net (4) Chuyên đề: Phương trình Bất phương trình hệ phương trình Mũ_Logarit Xét hàm số f x 3x x x f '' x 3x ln x ln 2 Đồ thị hàm số này lõm, suy phương trình không có quá hai nghiệm x e 2007 Ví dụ 5: Chứng minh hệ phương trình e y 2007 y y có đúng hai nghiệm thỏa mãn x > 0, y > x x2 HD: Dùng tính chất để x = y đó xét hàm số f x e x x x 1 2007 Nếu x < 1 thì f x e 1 2007 suy hệ phương trình vô nghiệm Nếu x > dùng định lý Rôn và với x0 = thì f(2) < để suy điều phải chứng minh b a 1 Ví dụ 6: Cho a b Chứng minh 2a a 2b b (ĐH Khối D2007) 1 HD: BĐT b ln 2a a a ln 2b b 1 ln x x ln 2a a ln 2b b 2 Xét hàm số f x x a b với x > Suy f’(x) < với x > 0, nên hàm số nghịch biến với a b ta có f (a ) f b (Đpcm) IV Một số bài toán (đặc biệt là các bài logarrit) ta thường phải đưa phương trình – hệ phương trình – bất phương trình mũ sử dụng các phương pháp trên 1.Dạng 1: Khác số: Ví dụ: Giải phương trình log x log3 ( x 2) Đặt t = log x x 7t Khi đó phương trình trở thành: t t 7 t log ( 2) 3 2.Dạng 2: Khác số và biểu thức dấu log phức tạp Ví dụ 1: Giải phương trình log ( x x 2) log t t t Đặt t = x2 – 2x – ta có log t 1 log5 t x2 x Ví dụ 2: Giải phương trình log x 3log6 x log x Đặt t log x , phương trình tương đương t 3 6t 3t 2t 3t 2 logb x c x ( Điều kiện: b = a + c ) log x 3 Ví dụ 1: Giải phương trình x Đặt t log Dạng 3: a t x 7t x , phương trình tương t 4 1 đương 4t 7t 7 7 log x Ví dụ 2: Giải phương trình x Đặt t = x+4 phương trình tương đương log3 t 1 t Ví dụ 3: Giải phương trình log3 x 1 x 1 log3 x 1 x ax b c log s dx e x , với d ac , e bc Dạng 4: s Phương pháp: Đặt ay b log s (dx e) chuyển hệ hai phương trình, lấy phương trình hai trừ phương trình ta được: s ax b acx s ay b acy Xét f t s at b act Ví dụ: Giải phương trình x 1 log (6 x 5) Đặt y log x Khi đó chuyển thành hệ 7 x 1 y 1 7 x 1 y y 1 x 1 x y 1 y Xét hàm số f t 7t 1 6t suy x=y, Khi 7 x y log x đó: x 1 x Xét hàm số g x x 1 x Áp dụng định lý Rôn và nhẩm nghiệm ta nghiệm phương trình là: x = 1, x = Thái Thanh Tùng Lop12.net (5) Chuyên đề: Phương trình Bất phương trình hệ phương trình Mũ_Logarit Dạng 5: Đặt ẩn phụ chuyển thành hệ phương trình 2x 18 Ví dụ: Giải phương trình x 1 x x 1 2 21 x 18 HD: Viết phương trình dạng x 1 , đặt u x 1 1, v 21 x 1.u , v 1 x x 1 1 x 1 2 18 8 Nhận xét: u.v = u + v Từ đó ta có hệ: u v u v u.v u v Bài tập Bài 1: Giải các phương trình sau: a x b x 2 x 2 x 4 c x x d 16 x x e x x 1 x 2 (ĐH_Khối B 2007) ĐS: x=1, x=1 f 3.8x+4.12x18x2.27x=0 (ĐH_Khối A 2006) 2 g x x 4.2 x x 22 x (ĐH_Khối D 2006) ĐS: x=1 ĐS: x=0, x=1 k x x 22 x x (ĐH_Khối D 2003) i 3.16 x 2.8 x 5.32 x 1 ĐS: x=1, x=2 j 2.4 x x x Bài 2: Giải các hệ phương trình sau: 4 x y 128 a 53 x 2 y 3 2 x y 12 c x y log x y log xy d 2 3x xy y 81 x y e 3log x log y log y x log y f x y 25 23 x y y g x x 1 y x 2 Bài 3: Giải và biện luận phương trình: a m x m.2 x m 5 x y 125 b 4( x y ) 1 (ĐH_Khối A 2009) ĐS: (2;2), (2;2) (ĐH_Khối B 2005) ĐS: (1;1), (2;2) (ĐH_Khối A 2004) ĐS: (3;4) (ĐH_Khối D 2002) ĐS: (0;1), (2;4) b m.3x m.3 x Bài 4: Cho phương trình log 32 x log 32 x 2m (m là tham số) (ĐH_Khối A 2002) a Giải phương trình m=2 b Tìm m để phương trình có ít nghiệm thuộc đoạn 1;3 Thái Thanh Tùng Lop12.net (6) Chuyên đề: Phương trình Bất phương trình hệ phương trình Mũ_Logarit Bài 5: Cho bất phương trình x 1 m x Bài 6: Giải các phương trình sau: a log5 x log5 x log5 x b log5 x log 25 x log 0,2 x3 0 d lg( x x 3) lg x 1 (ĐH Khối A_2008) ĐS: x=2; x=5/4 (ĐH_Khối D 2008) ĐS: x=1, x=3 c log x x x e log2x1(2x2+x1)+logx+1(2x1)2=4 f log 22 x 1 log x g log x 15.2 x 27 log 4.2 x ĐS: a x 3 , b m 16 a Giải bất phương trình m= b Định m để bất phương trình thỏa x R 0 Bài 7: Giải bất phương trình: a log (4 x 3) log x 3 (ĐH_Khối D 2007) ĐS: x=log23 (ĐH Khối A_2007) ĐS: 3/4 x 3 x2 x b log 0,7 log 0 x4 (ĐH_Khối B 2008) ĐS: 4< x < 3, x > c log x 144 log log x 1 d log x 3x 0 x (ĐH_Khối B 2006) ĐS: < x < (ĐH_Khối D 2008) ĐS: 2;1 2; Thái Thanh Tùng Lop12.net (7)