Chuyên đề: Phương trình - Bất phương trình - Hệ phương trình Mũ_Logarit (Thái Thanh Tùng)

Phương pháp hàm số Các tính chất: Tính chất 1: Nếu hàm f tăng hoặc giảm trên khoảng a;b thì phương trình fx=k kR có không quá một nghiệm trong khoảng a;b.. Tính chất 3: Nếu hàm f tăng v[r]

Chuyên đề: Phương trình Bất phương trình hệ phương trình Mũ_Logarit KIẾN THỨC CẦN NHỚ I Hàm số mũ  y=ax; TXĐ D=R  Bảng biến thiên a>1 x  y   Đồ thị 0<a<1 x  y + + +  y 3 y=3x 16-6 -15-5 -14-4 -13-3 -12-2 -11-1 -10 -1 x -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -2 II Hàm số lgarit -3 x   y=logax, ĐK:-4 ; D=(0;+) 0  a  -3 -8  Đồ thị f(x)=ln(x)/ln(1/3) f(x)=(1/3)^x f(x)=x x -7 y + + -8 -10 y -11y=3x -12 -13 -14 y=log3 x -15 x -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -7 +  -1 x -2 III Các công -3 thức Công thức lũy thừa: -4 Với a>0, b>0; m, nR ta có: (an)m =anm ; -11 y y=x -12 y  log x 3 -13 x -14 1 y  -15 3 -2 -6 + -10 y=x -5 -9 -4-15 -3-14 -2-13 -1-12 -11 1-10 -9 -8 -1 anam =an+m; -6 -9 x -5 0<a<1 x -4 -5  Bảng biến thiên -6 a>1 x -7 y 1 y  3 -1 -2  + y )=(1/3)^x -3 -4 -5 1 an nm m ; a0=1; a1= ;( =a );  a -6 a an am n n  a  -7 a    m ;  b  -8b (ab)n=anbn; -8 m a n  n am Công thức logarit: logab=cac=b (0<a1; b>0) -9 -9 Với 0<a1, 0<b1; x, x1, x2>0; R ta có: -10 -10 x loga(x1x2)=logax1+logax2 ; loga = logax1logax2; -11 -11 x2 -12 -13 -14 -15 Thái Thanh Tùng Lop12.net -12 -13 -14 -15 Chuyên đề: Phương trình Bất phương trình hệ phương trình Mũ_Logarit logax=logax; log b x logax= ;(logab= )  log b a log b a logba.logax=logbx; alogbx=xlogba IV Phương trình và bất phương trình mũlogarit Phương trình mũlogarit a Phương trình mũ: Đưa cùng số +0<a1: af(x)=ag(x) (1)  f(x)=g(x) b  + 0<a1: af(x)=b   f x   log a b a log a x  x ; log a x  log a x ;(logaax=x); Chú ý: Nếu a chứa biến thì (1) (a1)[f(x)g(x)]=0 Đặt ẩn phụ: Ta có thể đặt t=ax (t>0), để đưa phương trình đại số Lưu ý cặp số nghịch đảo như: (2  ), (7 4 ),… Nếu phương trình có chứa {a2x;b2x;axbx} ta có thể chia hai vế cho b2x(hoặc a2x) đặt t=(a/b)x (hoặc t=(b/a)x Phương pháp logarit hóa: af(x)=bg(x) f(x).logca=g(x).logcb,với a,b>0; 0<c1 b Phương trình logarit: Đưa cùng số: 0  a  0  a   g x   0 +logaf(x)=g(x)  +logaf(x)= logag(x)  f x   g x  f x   a  f x   g x   Đặt ẩn phụ Bất phương trình mũlogarit a Bất phương trình mũ: a  a   af(x)>ag(x)   ;  af(x)ag(x)   a  1 f x   g x   a  1 f  x   g  x   Đặt biệt: * Nếu a>1 thì: af(x)>ag(x)  f(x)>g(x); f(x) g(x) a a  f(x)g(x) * Nếu 0<a<1 thì: af(x)>ag(x)  f(x)g(x); af(x)ag(x)  f(x)g(x) b Bất phương trình logarit: 0  a  0  a    logaf(x)>logag(x)  f x   0, g x   ; logaf(x)logag(x)  f  x   0, g  x   a  1 f x   g x   0 a  1 f  x   g  x   0   Đặt biệt:  f x   g x  + Nếu a>1 thì: logaf(x)>logag(x)  ;   g x   + Nếu 0<a<1 thì: logaf(x)>logag(x)   f x   g x    f x   * * * Thái Thanh Tùng Lop12.net Chuyên đề: Phương trình Bất phương trình hệ phương trình Mũ_Logarit MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNHBẤT PHƯƠNG TRÌNHHỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ-LOGARIT I Biến đổi thành tích Ví dụ 1: Giải phương trình: x x  4.2 x x   22 x    x    22 x    x Nhận xét: Mặc dù cùng số không thể biến đổi để đặt ẩn phụ đó ta phải phân tích thành tích: 2 x2  x    22 x    Đây là phương trình tích đã biết cách giải Ví dụ 2: Giải phương trình:  log x   log x.log   2x     Nhận xét: Tương tự trên ta phải biến đổi phương trình thành tích: log x  log x    log x    Đây là phương trình tích đã biết cách giải Tổng quát: Trong nhiều trường hợp cùng số không thể biến đổi để đặt ẩn phụ thì ta biến đổi thành tích II Đặt ẩn phụ-hệ số chứa ẩn Ví dụ 1: Giải phương trình: x  2( x  2)3x  x   Đặt t = 3x (*), đó ta có: t   x   t  x    t  1, t   x Thay vào (*) ta tìm x Lưu ý: Phương pháp này sử dụng  là số chính phương Ví dụ 2: Giải phương trình: log 32  x  1   x   log  x  1  x   Đặt t = log3(x+1), ta có: t   x   t  x    t  2, t   x  x = và x = III Phương pháp hàm số Các tính chất: Tính chất 1: Nếu hàm f tăng (hoặc giảm) trên khoảng (a;b) thì phương trình f(x)=k (kR) có không quá nghiệm khoảng (a;b) Tính chất 2: Nếu hàm f tăng (hoặc giảm) trên khoảng (a;b) thì u, v (a,b) ta có f (u )  f  v   u  v Tính chất 3: Nếu hàm f tăng và g là hàm giảm khoảng (a;b) thì phương trình f(x)=g(x) có nhiều nghiệm thuộc khoảng (a;b) Định lý Lagrange: Cho hàm số F(x) liên tục trên đoạn [a;b] và tồn F'(x) trên khoảng (a;b) thì c  a; b  : F ' c   F b   F a  Khi áp dụng giải phương trình có F(b) – F(a) = thì ba c   a; b  : F '  c    F '  x   có nghiệm thuộc (a;b) Định lý Rôn: Nếu hàm số y=f(x) lồi lõm trên miền D thì phương trình f(x)=0 không có quá hai nghiệm thuộc D Ví dụ 1: Giải phương trình: x  2.3log2 x  Hướng dẫn: x  2.3log2 x   2.3log2 x   x , vế trái là hàm đồng biến, vế phải là hàm nghịch biến nên phương trình có nghiệm x=1 Ví dụ 2: Giải phương trình: x  x  x  3x Phương trình tương đương x  x  3x  x , giả sử phương trình có nghiêm  Khi đó:     3   Xét hàm số f t   t  1  t  , với t > Ta nhận thấy f(5) = f(2) nên theo định lý lagrange tồn c   2;5    1  c 1      0,   , thử lại ta thấy x = 0, x = là nghiệm cho: f '  c      c  1   phương trình 2 Ví dụ 3: Giải phương trình: 2 x  x  x 1  ( x  1) Viết lại phương trình dạng x 1  x   x  x  x  x , xét hàm số f t   t  t là hàm đồng biến trên R ( ??? ) Vậy phương trình viết dạng: f  x  1  f  x  x   x   x  x  x  Ví dụ 4: Giải phương trình: 3x  x  x  Dễ dàng ta tìm nghiệm: x = và x = Ta cần chứng minh không còn nghiệm nào khác Thái Thanh Tùng Lop12.net Chuyên đề: Phương trình Bất phương trình hệ phương trình Mũ_Logarit Xét hàm số f  x   3x  x  x   f ''  x   3x ln  x ln 2   Đồ thị hàm số này lõm, suy phương trình không có quá hai nghiệm  x e  2007  Ví dụ 5: Chứng minh hệ phương trình  e y  2007    y y  có đúng hai nghiệm thỏa mãn x > 0, y > x x2  HD: Dùng tính chất để x = y đó xét hàm số f  x   e x  x x 1  2007 Nếu x < 1 thì f  x   e 1  2007  suy hệ phương trình vô nghiệm Nếu x > dùng định lý Rôn và với x0 = thì f(2) < để suy điều phải chứng minh b a 1 Ví dụ 6: Cho a  b  Chứng minh  2a  a    2b  b  (ĐH Khối D2007)     1 HD: BĐT  b ln  2a  a   a ln  2b  b       1 ln  x  x  ln  2a  a  ln  2b  b  2      Xét hàm số f  x     x a b với x > Suy f’(x) < với x > 0, nên hàm số nghịch biến với a  b  ta có f (a )  f b  (Đpcm) IV Một số bài toán (đặc biệt là các bài logarrit) ta thường phải đưa phương trình – hệ phương trình – bất phương trình mũ sử dụng các phương pháp trên 1.Dạng 1: Khác số: Ví dụ: Giải phương trình log x  log3 ( x  2) Đặt t = log x  x  7t Khi đó phương trình trở thành: t t  7 t  log (  2)           3   2.Dạng 2: Khác số và biểu thức dấu log phức tạp Ví dụ 1: Giải phương trình log ( x  x  2)  log t t t Đặt t = x2 – 2x – ta có log  t  1  log5 t   x2  x    Ví dụ 2: Giải phương trình log x  3log6 x  log x Đặt t  log x , phương trình tương đương t 3 6t  3t  2t  3t     2 logb  x  c   x ( Điều kiện: b = a + c ) log x 3 Ví dụ 1: Giải phương trình    x Đặt t  log Dạng 3: a t  x    7t  x  , phương trình tương t 4 1 đương 4t  7t         7 7 log  x   Ví dụ 2: Giải phương trình  x  Đặt t = x+4 phương trình tương đương log3 t 1  t Ví dụ 3: Giải phương trình log3  x 1   x  1 log3  x 1  x  ax  b  c log s  dx  e    x   , với d  ac   , e  bc   Dạng 4: s Phương pháp: Đặt ay  b  log s (dx  e) chuyển hệ hai phương trình, lấy phương trình hai trừ phương trình ta được: s ax b  acx  s ay b  acy Xét f  t   s at b  act Ví dụ: Giải phương trình x 1  log (6 x  5)  Đặt y   log  x   Khi đó chuyển thành hệ 7 x 1   y  1  7 x 1  y    y 1  x 1  x  y 1  y Xét hàm số f  t   7t 1  6t suy x=y, Khi  7  x   y   log  x   đó: x 1  x   Xét hàm số g  x   x 1  x  Áp dụng định lý Rôn và nhẩm nghiệm ta nghiệm phương trình là: x = 1, x = Thái Thanh Tùng Lop12.net Chuyên đề: Phương trình Bất phương trình hệ phương trình Mũ_Logarit Dạng 5: Đặt ẩn phụ chuyển thành hệ phương trình 2x 18 Ví dụ: Giải phương trình x 1  x  x 1   2  21 x  18 HD: Viết phương trình dạng x 1 , đặt u  x 1  1, v  21 x  1.u , v   1 x  x 1 1 x 1  2   18 8    Nhận xét: u.v = u + v Từ đó ta có hệ:  u v u  v u.v  u  v Bài tập Bài 1: Giải các phương trình sau: a          x b  x 2   x 2  x 4 c          x x d     16     x x e  x    x 1  x   2  (ĐH_Khối B 2007) ĐS: x=1, x=1 f 3.8x+4.12x18x2.27x=0 (ĐH_Khối A 2006) 2 g x  x  4.2 x  x  22 x   (ĐH_Khối D 2006) ĐS: x=1 ĐS: x=0, x=1 k x  x  22  x  x  (ĐH_Khối D 2003) i 3.16 x  2.8 x  5.32 x 1 ĐS: x=1, x=2 j 2.4 x  x  x Bài 2: Giải các hệ phương trình sau: 4 x  y  128 a  53 x 2 y 3  2 x  y  12 c   x  y  log  x  y    log  xy  d  2 3x  xy  y  81  x    y  e  3log  x   log y   log  y  x   log y  f   x  y  25   23 x  y  y  g  x  x 1 y  x  2 Bài 3: Giải và biện luận phương trình: a  m   x  m.2 x  m  5 x  y  125  b  4( x  y ) 1  (ĐH_Khối A 2009) ĐS: (2;2), (2;2) (ĐH_Khối B 2005) ĐS: (1;1), (2;2) (ĐH_Khối A 2004) ĐS: (3;4) (ĐH_Khối D 2002) ĐS: (0;1), (2;4) b m.3x  m.3 x  Bài 4: Cho phương trình log 32 x  log 32 x   2m   (m là tham số) (ĐH_Khối A 2002) a Giải phương trình m=2 b Tìm m để phương trình có ít nghiệm thuộc đoạn 1;3    Thái Thanh Tùng Lop12.net Chuyên đề: Phương trình Bất phương trình hệ phương trình Mũ_Logarit   Bài 5: Cho bất phương trình x 1  m x   Bài 6: Giải các phương trình sau: a log5 x  log5  x    log5  x    b log5 x  log 25 x  log 0,2 x3 0 d lg( x  x  3)  lg x 1 (ĐH Khối A_2008) ĐS: x=2; x=5/4 (ĐH_Khối D 2008) ĐS: x=1, x=3  c log x x  x   e log2x1(2x2+x1)+logx+1(2x1)2=4 f log 22  x  1  log x    g log  x  15.2 x  27   log 4.2  x ĐS: a x  3 , b  m  16 a Giải bất phương trình m= b Định m để bất phương trình thỏa x  R 0 Bài 7: Giải bất phương trình: a log (4 x  3)  log  x  3  (ĐH_Khối D 2007) ĐS: x=log23 (ĐH Khối A_2007) ĐS: 3/4  x  3  x2  x  b log 0,7  log 0 x4   (ĐH_Khối B 2008) ĐS: 4< x < 3, x > c log  x  144   log   log  x  1 d log x  3x  0 x (ĐH_Khối B 2006) ĐS: < x <   (ĐH_Khối D 2008) ĐS:   2;1  2;    Thái Thanh Tùng Lop12.net