Khaûo saùt haøm soá VẤN ĐỀ 1: Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị Để biện luận số nghiệm của phương trình Fx, m = 0 * ta biến đổi * về một trong các dạng như trên, trong đó [r]
(1)Khaûo saùt haøm soá VII MỘT SỐ BAØI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HAØM SỐ SỰ TƯƠNG GIAO CỦA CÁC ĐỒ THỊ Cho hai đồ thị (C1): y = f(x) và (C2): y = g(x) Để tìm hoành độ giao điểm (C1) và (C2) ta giải phương trình: f(x) = g(x) (*) (gọi là phương trình hoành độ giao điểm) Số nghiệm phương trình (*) số giao điểm hai đồ thị Đồ thị hàm số bậc ba y ax bx cx d (a 0) cắt trục hoành điểm phân biệt Phöông trình ax bx cx d coù nghieäm phaân bieät Hàm số y ax bx cx d có cực đại, cực tiểu và yCĐ yCT Bài Tìm toạ độ giao điểm các đồ thị các hàm số sau: x2 y x 2 a) x y 2 2x y b) x 1 y x x c) y x x y x y x x d) y x y x x 10 x e) y x x y x f) x 1 y 3 x Bài Biện luận theo m số giao điểm các đồ thị các hàm số sau: a) y x x y m( x 2) x3 x2 2x y b) y m x 13 12 y x 3x c) y m( x 3) 2x d) y x y x m x 1 e) y x y 2 x m y x 6x f) x2 y x m g) y x x h) y mx Bài Tìm m để đồ thị các hàm số: a) y y x 3x x 2 y mx 4m y x x i) y m( x 1) ( x 2)2 ; y mx caét taïi hai ñieåm phaân bieät x2 x 3x m ; y x m caét taïi hai ñieåm phaân bieät b) y x 1 c) y mx x m ; y mx cắt hai điểm có hoành độ trái dấu x 1 d) y x2 4x ; y mx cắt hai điểm có hoành độ trái dấu x2 e) y ( x 2)2 ; y mx caét taïi hai ñieåm thuoäc hai nhaùnh khaùc 1 x Trang 21 Lop12.net (2) Khaûo saùt haøm soá mx x m cắt trục hoành hai điểm phân biệt có hoành độ dương x 1 Bài Tìm m để đồ thị các hàm số: f) y a) y x x mx 2m; y x caét taïi ba ñieåm phaân bieät b) y mx 3mx (1 2m) x cắt trục hoành ba điểm phân biệt c) y ( x 1)( x mx m 3) cắt trục hoành ba điểm phân biệt d) y x x x 2m 1; y x x caét taïi ba ñieåm phaân bieät e) y x x m x 3m; y x caét taïi ba ñieåm phaân bieät Bài Tìm m để đồ thị các hàm số: a) y x x 1; y m caét taïi boán ñieåm phaân bieät b) y x m(m 1) x m3 cắt trục hoành bốn điểm phân biệt c) y x (2m 3) x m 3m cắt trục hoành bốn điểm phân biệt Bài Tìm m để đồ thị các hàm số: 3x ; y x 2m cắt hai điểm phân biệt A, B Khi đó tìm m để đoạn a) y x4 AB ngaén nhaát 4x 1 ; y x m cắt hai điểm phân biệt A, B Khi đó tìm m để đoạn b) y 2 x AB ngaén nhaát x2 2x ; y mx 2m cắt hai điểm phân biệt A, B Khi đó tính x 2 AB theo m Bài Tìm m để đồ thị các hàm số: c) y a) y x 3mx 6mx cắt trục hoành ba điểm có hoành độ lập thành cấp soá coäng b) y x x x 1; y x m cắt ba điểm A, B, C với B là trung điểm đoạn AC c) y x (2m 4) x m cắt trục hoành bốn điểm có hoành độ lập thành cấp soá coäng d) y x (m 1) x (m 1) x 2m cắt trục hoành ba điểm có hoành độ lập thaønh moät caáp soá nhaân e) y x (2m 2) x 9mx 192 cắt trục hoành ba điểm có hoành độ lập thành moät caáp soá nhaân Trang 22 Lop12.net (3) Khaûo saùt haøm soá BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ Cơ sở phương pháp: Xét phương trình: f(x) = g(x) (1) Soá nghieäm cuûa phöông trình (1) = Soá giao ñieåm cuûa (C1): y = f(x) vaø (C2): y = g(x) Nghiệm phương trình (1) là hoành độ giao điểm (C1): y = f(x) và (C2): y = g(x) Để biện luận số nghiệm phương trình F(x, m) = (*) đồ thị ta biến đổi (*) moät caùc daïng sau: Daïng 1: F(x, m) = f(x) = m (1) y (C) Khi đó (1) có thể xem là phương trình hoành độ c (d) : y = m m A c giao điểm hai đường: yCÑ c c c (C): y = f(x) d: y = m d là đường thẳng cùng phương với trục hoành xA x y CT Dựa vào đồ thị (C) ta biện luận số giao điểm c (C) và d Từ đó suy số nghiệm (1) Daïng 2: F(x, m) = f(x) = g(m) (2) Thực tương tự trên, có thể đặt g(m) = k Biện luận theo k, sau đó biện luận theo m y d1 y = kx Daïng 3: F(x, m) = f(x) = kx + m (3) c b1 c.d (k: không đổi) d Khi đó (3) có thể xem là phương trình hoành độ M1 giao điểm hai đường: (C): y = f(x) O d: y = kx + m x M2 m Vì d có hệ số góc k không đổi nên d cùng phương (C) A với đường thẳng y = kx và cắt trục tung điểm A(0; m) c c c Vieát phöông trình caùc tieáp tuyeán d1, d2, … cuûa (C) b2 coù heä soá goùc k Dựa vào các tung độ gốc m, b1, b2, … d, d1, d2, … để biện luận Daïng 4: F(x, m) = f(x) = m(x – x0) + y0 (4) m = + Khi đó (4) có thể xem là phương trình y hoành độ giao điểm hai đường: d3 c m>0 I (C) (C): y = f(x) d c M (+) d: y = m(x – x0) + y0 y0 M1 d1 m=0 d quay quanh ñieåm coá ñònh M0(x0; y0) c (–) IV m < M2 Vieát phöông trình caùc tieáp tuyeán d1, d2, … x0 x cuûa (C) ñi qua M0 Cho d quay quanh điểm M0 để biện luận d2 m = – Chuù yù: Nếu F(x, m) = có nghiệm thoả điều kiện: x thì ta vẽ đồ thị (C): y = f(x) với x Nếu có đặt ẩn số phụ thì ta tìm điều kiện ẩn số phụ, sau đó biện luận theo m Trang 23 Lop12.net (4) Khaûo saùt haøm soá VẤN ĐỀ 1: Biện luận số nghiệm phương trình đồ thị Để biện luận số nghiệm phương trình F(x, m) = (*) ta biến đổi (*) các dạng trên, đó lưu ý y = f(x) là hàm số đã khảo sát và vẽ đồ thị Bài Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số Dùng đồ thị (C) biện luận theo m soá nghieäm cuûa phöông trình: a) y x x 1; x x m b) y x x 1; x x m c) y x x 1; x x m 2m d) y x x 1; x x m x4 x 2; x x 2m f) y x x 2; x x m Bài Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số Dùng đồ thị (C) biện luận theo m soá nghieäm cuûa phöông trình: e) y x 5x ; a) y x 3 x (m 5) x 3m b) y 2x2 4x ; 2x x 2(m 2) x 3m c) y x2 ; x (m 1) x x x2 2x ; x 2(m 1) x 4(m 1) 2x Bài Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số Dùng đồ thị (C) biện luận theo m soá nghieäm cuûa phöông trình: d) y a) y 2x2 ; 2x 1 2sin2 2m cos m (0 ) b) y x 3x ; x 2 cos 2 (m 3) cos 2m (0 ) c) y x 3x ; x2 cos2 (3 m) cos 2m (0 ) d) y x x 6; cos3 x 3cos2 x m Bài Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số Dùng đồ thị (C) biện luận theo m soá nghieäm cuûa phöông trình: a) y x 5x ; x 3 x2 x ; b) y x 1 c) y x 5x ; x 1 2t (3m 7)2t m 2t (m 1)2t m 2e2t (5 m)et m x 5x ; e2t (5 m)et x Bài Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số Từ đồ thị (C) hãy suy đồ thị (T) Dùng đồ thị (T) biện luận theo m số nghiệm phương trình: d) y Trang 24 Lop12.net (5) Khaûo saùt haøm soá x 3x x 3x x 3x a) (C ) : y ; (T ) : y ; 2m x 1 x 1 x 1 b) (C ) : y x 5x x 5x x 5x ; (T ) : y ; m2 x x x c) (C ) : y x x 6; (T ) : y x x ; x x m 3 d) (C ) : y x x 12 x 4; (T ) : y x x 12 x 4; x x 12 x m e) (C ) : y ( x 1)2 (2 x ); (T ) : y ( x 1)2 x ;( x 1)2 x (m 1)2 (2 m) x2 x2 ; (T ) : y ; (m 1) x x x x x2 Baøi Cho haøm soá y f ( x ) x 1 a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) vuông góc với đường thẳng x 3y c) Dùng đồ thị (C), biện luận số nghiệm phương trình: f) (C ) : y x (m 2) x m x 1 x 1 a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) vuông góc với đường thẳng x y c) Dùng đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm phương trình: Baøi Cho haøm soá y f ( x ) x (m 1) x m x2 x 1 a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số b) Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa (C) ñi qua ñieåm A(0; 1) c) Dùng đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm phương trình: Baøi Cho haøm soá y f ( x ) (1 m) x (1 m) x VẤN ĐỀ 2: Biện luận số nghiệm phương trình bậc ba đồ thị Cơ sở phương pháp: Xét phương trình bậc ba: ax bx cx d (a 0) (1) Gọi (C) là đồ thị hàm số bậc ba: y f ( x ) ax bx cx d Số nghiệm (1) = Số giao điểm (C) với trục hoành Daïng 1: Bieän luaän soá nghieäm cuûa phöông trình baäc Trường hợp 1: (1) có nghiệm (C) và Ox có điểm chung f không có cực trị (h.1a) f có cực trị (h.1b) yCÑ yCT Trang 25 Lop12.net (6) Khaûo saùt haøm soá y y (C) (C) yCÑ A x0 O (h.1a) yCT x1 o A x0 x x2 x (h.1b) Trường hợp 2: (1) có đúng nghiệm (C) tiếp xúc với Ox f có cực trị (h.2) yCÑ yCT y y (C) (C) yCÑ A x0 o yCÑ (H.2) A B x1 x'0 x B x2 x0 x1 x'0 o yCÑ C x"0 x (H.3) (yCT = f(x0) = 0) Trường hợp 3: (1) có nghiệm phân biệt (C) cắt Ox điểm phân biệt f có cực trị (h.3) yCÑ yCT Daïng 2: Phöông trình baäc ba coù nghieäm cuøng daáu Trường hợp 1: (1) có nghiệm dương phân biệt (C) cắt Ox điểm phân biệt có hoành độ dương f có cực trị y y CÑ CT xCÑ 0, xCT a f (0) (hay ad 0) y y a>0 (C) yCÑ yCÑ o yCT A B x2 xA x1 xB a<0 C xC f(0) o x yCT A x1 B xA xB x2 f(0) C xC x (C) Trường hợp 2: (1) có nghiệm có âm phân biệt (C) cắt Ox điểm phân biệt có hoành độ âm f có cực trị y y CÑ CT xCÑ 0, xCT a f (0) (hay ad 0) Trang 26 Lop12.net (7) Khaûo saùt haøm soá y a>0 a<0 (C) (C) f(0) yCÑ A B x2 xA x1 xB C xC o yCT y yCÑ A x1 B C xA xB x2 xC o yCT f(0) x x Bài Tìm m để các phương trình sau có nghiệm: a) x 3(m 1) x 6mx b) x x 3(1 m) x 3m c) x 3mx 6(m 1) x 3m 12 d) x x 3(m 4) x 4m e) x 3(m 1) x 6(m 2) x m f) x 3mx 2m Bài Tìm m để các phương trình sau có nghiệm: a) x (m 1) x (2m 3m 2) x 2m(2m 1) b) x 3mx 2m c) x (2m 1) x (3m 1) x (m 1) d) x x 3(1 m) x 3m Bài Tìm m để các phương trình sau có nghiệm phân biệt: a) x 3mx 3(m 1) x (m 1) b) x x 3(m 4) x 4m x xm 0 Bài Tìm m để các phương trình sau có nghiệm dương phân biệt: c) x 3(m 1) x 6(m 2) x m d) a) x 3mx 3(m 1) x (m 1) b) x x 3(m 4) x 4m x x 4x m d) x mx (2m 1) x m Bài Tìm m để các phương trình sau có nghiệm âm phân biệt: c) a) x 3(m 1) x 6(m 2) x m b) x 3mx 3(m 1) x (m 1) c) x x x m d) x x 18mx 2m Trang 27 Lop12.net (8) Khaûo saùt haøm soá SỰ TIẾP XÚC CỦA HAI ĐƯỜNG TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG CONG Ý nghĩa hình học đạo hàm: Đạo hàm hàm số y = f(x) điểm x0 là hệ số góc tiếp tuyến với đồ thị (C) hàm số điểm M0 x0 ; f ( x0 ) Khi đó phương trình tiếp tuyến (C) điểm M0 x0 ; f ( x0 ) là: y – y0 = f (x0).(x – x0) (y0 = f(x0)) Điều kiện cần và đủ để hai đường (C1): y = f(x) và (C2): y = g(x) tiếp xúc là hệ phöông trình sau coù nghieäm: f ( x ) g( x ) (*) f '( x ) g '( x ) Nghiệm hệ (*) là hoành độ tiếp điểm hai đường đó Neáu (C1): y = px + q vaø (C2): y = ax2 + bx + c thì (C1) vaø (C2) tieáp xuùc phöông trình ax bx c px q coù nghieäm keùp VẤN ĐỀ 1: Lập phương trình tiếp tuyến đường cong (C): y = f(x) Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến (C): y =f(x) điểm M0 x0 ; y0 : Neáu cho x0 thì tìm y0 = f(x0) Neáu cho y0 thì tìm x0 laø nghieäm cuûa phöông trình f(x) = y0 Tính y = f (x) Suy y(x0) = f (x0) Phöông trình tieáp tuyeán laø: y – y0 = f (x0).(x – x0) Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến (C): y =f(x), biết có hệ số góc k cho trước Cách 1: Tìm toạ độ tiếp điểm Goïi M(x0; y0) laø tieáp ñieåm Tính f (x0) coù heä soá goùc k f (x0) = k (1) Giải phương trình (1), tìm x0 và tính y0 = f(x0) Từ đó viết phương trình Caùch 2: Duøng ñieàu kieän tieáp xuùc Phương trình đường thẳng có dạng: y = kx + m tiếp xúc với (C) và hệ phương trình sau có nghiệm: f ( x ) kx m (*) f '( x ) k Giải hệ (*), tìm m Từ đó viết phương trình Chú ý: Hệ số góc k tiếp tuyến có thể cho gián tiếp sau: + tạo với chiều dương trục hoành góc thì k = tan + song song với đường thẳng d: y = ax + b thì k = a Trang 28 Lop12.net (9) Khaûo saùt haøm soá + vuông góc với đường thẳng d: y = ax + b (a 0) thì k = a k a tan ka Bài toán 3: Viết phương trình tiếp tuyến (C): y = f(x), biết qua điểm A( x A ; y A ) + tạo với đường thẳng d: y = ax + b góc thì Cách 1: Tìm toạ độ tiếp điểm Gọi M(x0; y0) là tiếp điểm Khi đó: y0 = f(x0), y0 = f (x0) Phöông trình tieáp tuyeán taïi M: y – y0 = f (x0).(x – x0) ñi qua A( x A ; y A ) neân: yA – y0 = f (x0).(xA – x0) (2) Giải phương trình (2), tìm x0 Từ đó viết phương trình Caùch 2: Duøng ñieàu kieän tieáp xuùc Phương trình đường thẳng qua A( x A ; y A ) và có hệ số góc k: y – yA = k(x – xA) tiếp xúc với (C) và hệ phương trình sau có nghiệm: f ( x) k( x x A ) yA (*) f '( x ) k Giải hệ (*), tìm x (suy k) Từ đó viết phương trình tiếp tuyến Bài Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm ra: a) (C): y x x x taïi A(0; 1) b) (C): y x x taïi B(1; 0) 3x taïi C(1; –7) d) (C): y x taïi D(0; 3) 2x 2x 1 Bài Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm ra: c) (C): y x 3x taïi ñieåm A coù xA = x 2 3( x 2) b) (C): y taïi ñieåm B coù yB = x 1 x 1 c) (C): y các giao điểm (C) với trục hoành, trục tung x 2 a) (C): y d) (C): y x x các giao điểm (C) với trục hoành, trục tung e) (C): y x x taïi ñieåm uoán cuûa (C) x x các giao điểm (C) với trục hoành 4 Bài Viết phương trình tiếp tuyến (C) các giao điểm (C) với đường ra: f) (C): y a) (C): y x x x vaø d: y x b) (C): y x x x vaø (P): y x x c) (C): y x x x vaø (C’): y x x x Bài Tính diện tích tam giác chắn hai trục toạ độ tiếp tuyến đồ thị (C) điểm ra: x 11 a) (C): y taïi ñieåm A coù xA = 2x b) (C): y x x 26 taïi ñieåm B coù xB = Trang 29 Lop12.net (10) Khaûo saùt haøm soá Bài Tìm m để tiếp tuyến đồ thị (C) điểm chắn hai trục toạ độ tam giác có diện tích S cho trước: 2x m a) (C): y taïi ñieåm A coù xA = vaø S = x 1 x 3m b) (C): y taïi ñieåm B coù xB = –1 vaø S = x2 c) (C): y x m( x 1) taïi ñieåm C coù xC = vaø S = Bài Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết có hệ số góc k ra: 2x 1 a) (C): y x x ; k = 12 b) (C): y ; k = –3 x 2 x 3x ; k = –1 d) (C): y x x ; k = x 1 Bài Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết song song với đường thẳng d cho trước: c) (C): y a) (C): y x3 x x ; d: y = 3x + b) (C): y 2x 1 ; d: y x x 2 x2 2x 3 c) (C): y ; d: x y d) (C): y x x ; d: y = 4x 2 –4x + Bài Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết vuông góc với đường thẳng d cho trước: a) (C): y x3 x x x ; d: y b) (C): y 2x 1 ; d: y x x 2 x2 x2 x ; d: y = –3x d) (C): y ; d: x – x 1 x2 Bài Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết tạo với chiều dương trục Ox góc : c) (C): y x3 x3 x x 4; 600 x x 4; 750 b) (C): y 3 3x ; 450 c) (C ) : y x 1 Bài 10 Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết tạo với đường thẳng d góc : a) (C): y a) (C): y x3 x x 4; d : y x 7; 450 x3 x x 4; d : y x 3; 300 4x ; d : y x; 450 c) (C ) : y x 1 3x ; d : y x; 600 d) (C ) : y 2 x b) (C): y x2 x ; d : y x 1; 600 x 2 Bài 11 Tìm m để tiếp tuyến (C) điểm vuông góc với đường thẳng d cho trước: e) (C ) : y Trang 30 Lop12.net (11) Khaûo saùt haøm soá a) (C): y x (2m 1) x m taïi ñieåm A coù xA = vaø d laø tieäm caän xieân cuûa (C) x 1 x mx ; taïi ñieåm B coù xB = vaø d: x – 12y + = x 3 Bài 12 Tìm m để tiếp tuyến (C) điểm song song với đường thẳng d cho trước: b) (C): y (3m 1) x m m (m 0) taïi ñieåm A coù yA = vaø d: y x 10 xm Bài 13 Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết qua điểm ra: a) (C): y a) (C): y x x ; A(2; –4) b) (C): y x x ; B(1; –6) 3 x x ; D 0; 2 2 3x f) (C): y ; F(2; 3) x 1 c) (C): y x ; C(0; 4) e) (C): y d) (C): y x2 ; E(–6; 5) x 2 x 3x g) (C): y ; G(1; 0) x 2 x2 x h) y ; H(2; 2) x 1 VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hai đường tiếp xúc Điều kiện cần và đủ để hai đường (C1): y = f(x) và (C2): y = g(x) tiếp xúc là hệ phöông trình sau coù nghieäm: f ( x ) g( x ) (*) f '( x ) g '( x ) Nghiệm hệ (*) là hoành độ tiếp điểm hai đường đó Neáu (C1): y = px + q vaø (C2): y = ax2 + bx + c thì (C1) vaø (C2) tieáp xuùc phöông trình ax bx c px q coù nghieäm keùp Bài Tìm m để hai đường (C1), (C2) tiếp xúc nhau: a) (C1 ) : y x (3 m) x mx 2; (C2 ) : trục hoành b) (C1 ) : y x x (m 1) x m; (C2 ) : trục hoành c) (C1 ) : y x m( x 1) 1; (C2 ) : y x d) (C1 ) : y x x x 1; (C2 ) : y x m Bài Tìm m để hai đường (C1), (C2) tiếp xúc nhau: a) (C1 ) : y x x 1; (C2 ) : y 2mx m b) (C1 ) : y x x 1; (C2 ) : y x m c) (C1 ) : y x x ; (C2 ) : y x m 4 d) (C1 ) : y ( x 1)2 ( x 1)2 ; (C2 ) : y x m e) (C1 ) : y (2m 1) x m ; (C2 ) : y x x 1 f) (C1 ) : y x2 x ; (C2 ) : y x m x 1 Trang 31 Lop12.net (12) Khaûo saùt haøm soá VẤN ĐỀ 3: Lập phương trình tiếp tuyến chung hai đồ thị (C1): y = f(x) vaø C2): y = g(x) Goïi : y = ax + b laø tieáp tuyeán chung cuûa (C1) vaø (C2) u là hoành độ tiếp điểm và (C1), v là hoành độ tiếp điểm và (C2) tiếp xúc với (C1) và (C2) và hệ sau có nghiệm: f (u) au b (1) f '(u) a (2) g ( v ) av b (3) (4) g '(v) a Từ (2) và (4) f (u) = g (v) u = h(v) (5) Thế a từ (2) vào (1) b = (u) (6) Thế (2), (5), (6) vào (3) v a u b Từ đó viết phương trình Nếu (C1) và (C2) tiếp xúc điểm có hoành độ x0 thì tiếp tuyến chung (C1) và (C2) là tiếp tuyến (C1) (và (C2)) điểm đó Bài Viết phương trình tiếp tuyến chung hai đồ thị: a) (C1 ) : y x x 6; (C2 ) : y x x 11 b) (C1 ) : y x x 6; (C2 ) : y x x 14 c) (C1 ) : y x x 6; (C2 ) : y x x 10 VẤN ĐỀ 4: Tìm điểm trên đồ thị (C): y = f(x) cho đó tiếp tuyến (C) song song vuông góc với đường thẳng d cho trước Goïi M(x0; y0) (C) laø tieáp tuyeán cuûa (C) taïi M Tính f (x0) Vì // d neân f (x0) = kd (1) d neân f (x0) = (2) kd Giải phương trình (1) (2) tìm x0 Từ đó tìm M(x0; y0) (C) Bài Tìm các điểm trên đồ thị (C) mà tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng d cho trước: a) (C): y x 3x ; d: y x x 1 b) (C): y x2 x ; d laø tieäm caän xieân cuûa (C) x 1 x2 x c) (C): y ; d là đường thẳng qua hai điểm cực đại, cực tiểu (C) x 1 x2 x ; d: y = x x Bài Tìm các điểm trên đồ thị (C) mà tiếp tuyến đó song song với đường thẳng d cho trước: d) (C): y a) (C): y x x x 10 ; d: y x b) (C): y Trang 32 Lop12.net x2 x ; d: y = –x x (13) Khaûo saùt haøm soá VẤN ĐỀ 5: Tìm điểm trên đường thẳng d mà từ đó có thể vẽ 1, 2, 3, … tiếp tuyến với đồ thị (C): y = f(x) Giả sử d: ax + by +c = M(xM; yM) d Phương trình đường thẳng qua M có hệ số góc k: y = k(x – xM) + yM tiếp xúc với (C) hệ sau có nghiệm: f ( x ) k ( x x M ) yM (1) (2) f '( x ) k Thế k từ (2) vào (1) ta được: f(x) = (x – xM).f (x) + yM Số tiếp tuyến (C) vẽ từ M = Số nghiệm x (3) (3) Bài Tìm các điểm trên đồ thị (C) mà từ đó vẽ đúng tiếp tuyến với (C): a) (C ) : y x x b) (C ) : y x x Bài Tìm các điểm trên đường thẳng d mà từ đó vẽ đúng tiếp tuyến với (C): x2 x b) (C ) : y ; d là trục hoành x 1 x 1 a) (C ) : y ; d laø truïc tung x 1 2x2 x x 3x ; d: y = d) (C ) : y ; d: x = x 1 x2 x 3 e) (C ) : y ; d: y = 2x + x 1 Bài Tìm các điểm trên đường thẳng d mà từ đó vẽ ít tiếp tuyến với (C): c) (C ) : y x2 6x x 3x ; d laø truïc tung b) (C ) : y ; d laø truïc tung x x 1 2x 3x c) (C ) : y ; d: x = d) (C ) : y ; d: y = x 2 4x Bài Tìm các điểm trên đường thẳng d mà từ đó vẽ hai tiếp tuyến với (C): a) (C ) : y x2 x a) (C ) : y ; d là trục hoành x2 x2 x b) (C ) : y ; d laø truïc tung x 1 x 3x ; d: y = –5 x2 Bài Tìm các điểm trên đường thẳng d mà từ đó vẽ ba tiếp tuyến với (C): c) (C ) : y a) (C ) : y x x ; d: y = b) (C ) : y x x ; d: x = c) (C ) : y x x ; d là trục hoành d) (C ) : y x 12 x 12 ; d: y = –4 e) (C ) : y x x ; d laø truïc tung e) (C ) : y x x ; d laø truïc tung Bài Từ điểm A có thể kẻ bao nhiêu tiếp tuyến với (C): 4 4 a) (C ) : y x x 17 x ; A(–2; 5) b) (C ) : y x x x 4; A ; 9 3 c) (C ) : y x x 5; A(1; 4) Bài Từ điểm bất kì trên đường thẳng d có thể kẻ bao nhiêu tiếp tuyến với (C): a) (C ) : y x x x ; d: x = b) (C ) : y x x ; d: x = Trang 33 Lop12.net (14) Khaûo saùt haøm soá VẤN ĐỀ 6: Tìm điểm mà từ đó có thể vẽ tiếp tuyến với đồ thị (C): y = f(x) và tiếp tuyến đó vuông góc với Goïi M(xM; yM) Phương trình đường thẳng qua M có hệ số góc k: y = k(x – xM) + yM tiếp xúc với (C) hệ sau có nghiệm: f ( x ) k ( x x M ) yM (1) (2) f '( x ) k Thế k từ (2) vào (1) ta được: f(x) = (x – xM).f (x) + yM (3) Qua M vẽ tiếp tuyến với (C) (3) có nghiệm phân biệt x1, x2 Hai tiếp tuyến đó vuông góc với f (x1).f (x2) = –1 Từ đó tìm M Chú ý: Qua M vẽ tiếp tuyến với (C) cho tiếp điểm nằm hai phía với trục (3) coù nghieäm phaân bieät hoành thì f ( x1 ) f ( x2 ) Bài Chứng minh từ điểm A luôn kẻ hai tiếp tuyến với (C) vuông góc với Viết phương trình các tiếp tuyến đó: 1 a) (C ) : y x x 1; A 0; 4 x2 x ; A(1; 1) b) (C ) : y x 1 x2 2x ; A(1; 0) c) (C ) : y d) x 1 Bài Tìm các điểm trên đường thẳng d mà từ đó có thể vẽ hai tiếp tuyến với (C) vuông góc với nhau: a) (C ) : y x x ; d: y = –2 b) (C ) : y x x ; d là trục hoành 2x2 x c) (C ) : y ; d laø truïc tung x 1 x2 2x d) (C ) : y ; d laø truïc tung x 1 x 3x ; d: x = x Bài Tìm m để d cắt (C) hai điểm phân biệt mà đó hai tiếp tuyến với (C) vuông góc với nhau: e) (C ) : y a) (C ) : y x2 x m ; d: y = –1 2x m b) (C ) : y x mx ; d là trục hoành xm x 2mx m c) (C ) : y ; d là trục hoành xm Bài Tìm m để từ điểm A kẻ tiếp tuyến với (C) cho tiếp điểm nằm hai phía với trục hoành; x2 ; A(0; m) a) (C ) : y b) x 1 VẤN ĐỀ 7: Các bài toán khác tiếp tuyến Baøi Cho hypebol (H) vaø ñieåm M baát kì thuoäc (H) Goïi I laø giao ñieåm cuûa hai tieäm caän Tieáp tuyeán taïi M caét tieäm caän taïi A vaø B Trang 34 Lop12.net (15) Khaûo saùt haøm soá 1) Chứng minh M là trung điểm đoạn AB 2) Chứng minh diện tích IAB là số 3) Tìm điểm M để chu vi IAB là nhỏ 2x 1 x 1 4x a) ( H ) : y b) ( H ) : y c) ( H ) : y x 1 x 1 2 x Baøi Cho hypebol (H) vaø ñieåm M baát kì thuoäc (H) Goïi I laø giao ñieåm cuûa hai tieäm caän Tieáp tuyeán taïi M caét tieäm caän taïi A vaø B 1) Chứng minh M là trung điểm đoạn AB 2) Chứng minh tích các khoảng cách từ M đến đường tiệm cận là không đổi 2) Chứng minh diện tích IAB là số 3) Tìm điểm M để chu vi IAB là nhỏ x 3x x 3x x2 2x b) ( H ) : y c) ( H ) : y 2x x 1 x 1 Bài Tìm m để tiếp tuyến điểm M bất kì thuộc hypebol (H) cắt hai đường tiệm cận taïo thaønh moät tam giaùc coù dieän tích baèng S: 2mx ; S 8 a) ( H ) : y xm Bài Tìm điểm M thuộc hypebol (H) đó tiếp tuyến cắt các trục toạ độ các điểm A, B cho OAB vuoâng caân: a) ( H ) : y x2 x a) ( H ) : y x 1 x 5x b) ( H ) : y x2 x 3x c) ( H ) : y x2 2x2 x Chứng minh trên đường thẳng d: y = có điểm x 1 cho từ điểm có thể kẻ đến (C) hai tiếp tuyến tạo với góc 450 Bài Viết phương trình tiếp tuyến với đường cong (C) tạo với các trục toạ độ tam giác có diện tích S cho trước: Baøi Cho (C): y a) (C ) : y x ; S x b) (C ) : y x3 1 ;S x Trang 35 Lop12.net (16) Khaûo saùt haøm soá HỌ ĐỒ THỊ Cho họ đường (Cm): y = f(x, m) (m là tham số) M(x0; y0) (Cm) y0 = f(x0, m) (1) Xem (1) laø phöông trình theo aån m Tuỳ theo số nghiệm (1) ta suy số đồ thị họ (Cm) qua M Nếu (1) nghiệm đúng với m thì đồ thị họ (Cm) qua M Khi đó, M gọi là điểm cố định họ (Cm) Nếu (1) có n nghiệm phân biệt thì có n đồ thị họ (Cm) qua M Nếu (1) vô nghiệm thì không có đồ thị nào họ (Cm) qua M VẤN ĐỀ 1: Tìm điểm cố định họ đồ thị (Cm): y = f(x, m) Caùch 1: Goïi M(x0; y0) laø ñieåm coá ñònh (neáu coù) cuûa hoï (Cm) M(x0; y0) (Cm), m y0 = f(x0, m), m Biến đổi (1) các dạng sau: Daïng 2: (1) Am Bm C , m Daïng 1: (1) Am + B = 0, m A B (1) A B C (2a) (2b) Giải hệ (2a) (2b) ta tìm toạ độ (x0; y0) điểm cố định Chuù yù: Caùc heä (2a), (2b) laø caùc heä phöông trình coù aån x0, y0 Caùch 2: Goïi M(x0; y0) laø ñieåm coá ñònh (neáu coù) cuûa hoï (Cm) M(x0; y0) (Cm), m y0 = f(x0, m), m (1) Đặt F(m) = f(x0, m) thì F(m) = y0 không đổi F (m) = (3) Giải (3) tìm x0 Thay x0 vào (1) tìm y0 Từ đósuy các điểm cố định Bài Tìm các điểm cố định họ đồ thị (Cm) có phương trình sau: a) y (m 1) x 2m b) y mx 2(m 2) x 3m c) y (m 1) x 2mx (m 2) x 2m d) y (1 2m) x (3m 1) x 5m e) y x mx x 9m f) y (m 2) x mx g) y 2mx x 4m h) y x mx m Trang 36 Lop12.net (17) Khaûo saùt haøm soá x 3m (m 2) x 4m i) y (m 1) x (m 1, m 2) xm k) y l) y x 5mx mx m) y n) y m 3 x (m 1) x m 2 x (m 2) x m (m 0) 2x m x x 4m o) y x (5m 2) x x 2mx 2m Bài Chứng minh họ đồ thị (Cm) có điểm cố định thẳng hàng Viết phương trình đường thẳng qua điểm cố định đó: a) y (m 3) x 3(m 3) x (6m 1) x m b) y (m 2) x 3(m 2) x x 2m c) y (m 4) x (6m 24) x 12mx 7m 18 d) y (m 1) x (2m 1) x m VẤN ĐỀ 2: Tìm điểm mà không có đồ thị nào họ đồ thị (Cm): y = f(x, m) qua Gọi M(x0; y0) là điểm mà không có đồ thị nào họ (Cm) qua M(x0; y0) (Cm), m y0 = f(x0, m) voâ nghieäm m (1) Biến đổi (1) các dạng sau: Daïng 1: (1) Am + B = voâ nghieäm m A (2a) B A B C Daïng 2: (1) Am Bm C voâ nghieäm m (2b) A B AC Chú ý: Kết là tập hợp điểm Những điểm nằm trên tiệm cận đứng cố định hàm hữu tỷ là điểm đồ thị khoâng ñi qua Bài Tìm các điểm mặt phẳng mà không có đồ thị nào họ (Cm) qua: m 1 m2 a) y (m 2) x m 2m b) y c) y mx 2(1 m) x m (m 0) d) y x m3 x m e) y x 3mx m3 5m f) y mx m x 4mx 4m g) y (m 2) x m 2m xm h) y x mx m i) y x 1 l) y m2 m x m2 m (3m 1) x m m xm x 2mx m k) y xm x mx 2m m) y x (3m 1) x 10 x2 2x x 3x Bài Tìm các điểm thuộc (L) mà không có đồ thị nào họ (Cm) qua: a) (Cm): y mx m x 4mx 4m ; (L) là trục hoành b) (Cm): y x 3(m 3) x 18mx ; (L): y x 14 Trang 37 Lop12.net (18) Khaûo saùt haøm soá c) (Cm): y x mx m m ; (L) laø truïc tung mx m m (m 1) x m x d) (Cm): y ; (L): x = xm e) (Cm): y m2 x ; (L): y = x VẤN ĐỀ 3: Tìm điểm mà số đồ thị họ đồ thị (Cm): y = f(x, m) qua Ta coù: M(x0; y0) (Cm) y0 = f(x0, m) (1) Biến đổi (1) các dạng sau: Am + B = (2a) Am Bm C Số nghiệm (2a) (2b) theo m = Số (Cm) qua M (2b) Bài Tìm các điểm mặt phẳng cho có đúng k đồ thị họ (Cm) qua: x mx m b) (Cm): y ; k = xm 2mx m 2m a) (Cm): y ; k = 2( x m) c) (Cm): xy 2my 2mx m x 4m ; k = Bài Tìm các điểm thuộc (L) cho có đúng k đồ thị họ (Cm) qua: a) (Cm): y x (m 1) x 4m ; (L): x = 2; k = b) (Cm): y x (m 1) x 4m ; (L): x = 2; k = c) (Cm): y x (m 1) x 4m ; (L): x = 2; k = Bài Chứng minh các điểm thuộc (L) có đúng k đồ thị họ (Cm) qua: a) (Cm): y mx (m m 1) x m m ; (L): x > 1; k = xm (m 1) x m b) (Cm): y ; (L): x > 0; k = xm c) (Cm): y x 2mx m ; (L): y = 1; k = d) (Cm): y x (m 1) x (2m3 3m 2) x 2m(2m 1) ; (L): x = 1, y > –2; k = Trang 38 Lop12.net (19) Khaûo saùt haøm soá TẬP HỢP ĐIỂM Bài toán: Tìm tập hợp các điểm M(x; y) thoả tính chất Nhận xét: Tìm tập hợp điểm M mặt phẳng toạ độ là tìm phương trình tập hợp điểm đó Dạng 1: Tìm toạ độ điểm M 1) Tìm điều kiện (nếu có) tham số m để tồn điểm M 2) Tính toạ độ điểm M theo tham số m Có các trường hợp xảy ra: x f (m ) Trường hợp 1: M y g(m) Khử tham số m x và y, ta có hệ thức x, y độc lập với m có dạng: F(x, y) = (goïi laø phöông trình quó tích) x a (haèng soá ) Trường hợp 2: M y g(m) Khi đó điểm M nằm trên đường thẳng x = a x f (m ) Trường hợp 3: M y b (haèng soá ) Khi đó điểm M nằm trên đường thẳng y = b 3) Giới hạn quĩ tích: Dựa vào điều kiện (nếu có) m (ở bước 1), ta tìm điều kiện x y để tồn điểm M(x; y) Đó là giới hạn quĩ tích 4) Kết luận: Tập hợp các điểm M có phương trình F(x, y) = (hoặc x = a, y = b) với điều kiện x y (ở bước 3) Dạng 2: Trong trường hợp ta không thể tính toạ độ điểm M theo tham số m mà thiết lập hệ thức chứa toạ độ M thì ta tìm cách khử tham số m hệ thức để tìm hệ thức dạng F(x, y) = Chú ý: Nếu bài toán hỏi : Điểm M chạy trên đường nào thì ta tìm phương trình F(x, y) = mà không cần tìm giới hạn quĩ tích Bài Tìm tập hợp các điểm đặc biệt họ đồ thị đã cho a) (Pm): y x (m 2) x 2m Tìm tập hợp các đỉnh (Pm) b) (Cm): y x 3mx x 3m Tìm tập hợp các điểm uốn (Cm) c) (Cm): y x 3(2m 1) x 6m(m 1) x Tìm tập hợp các điểm cực đại (Cm) Trang 39 Lop12.net (20) Khaûo saùt haøm soá d) (Hm): y (m 1) x Tìm tập hợp các tâm đối xứng (Hm) mx x 3mx 5m e) (Hm): y Tìm tập hợp các điểm cực đại (Hm) x 2 Bài Cho (C) và (C) Tìm tập hợp trung điểm đoạn thẳng 1) Tìm m để (C) và (C) cắt hai điểm phân biệt A, B 2) Tìm tập hợp các trung điểm I đoạn thẳng AB a) (C): y x x mx vaø (C’): y x x b) (C): y x mx vaø (C): y mx c) (C): y x 1 vaø (C): x y m x 1 d) (C): y ( x 2)2 và (C) là đường thẳng qua A(0; 3) và có hệ số góc m 1 x x2 4x e) (C): y vaø (C): y mx x2 Bài Cho (C) và (C).Tìm tập hợp các điểm 1) Tìm m để (C) cắt (C) điểm phân biệt A, B, C (trong đó xC không đổi) 2) Tìm tập hợp các trung điểm I đoạn thẳng AB a) (C): y x x vaø (C): y mx b) (C): y x 2(m 1) x (m 1) x m vaø (C): y 3mx m c) (C): y x x x vaø (C): y mx d) (C): y ( x 2)( x 1)2 và (C) là đường thẳng qua C(–2; 0) và có hệ số góc m Bài Cho (C) Tìm tập hợp các điểm từ đó có thể vẽ hai tiếp tuyến (C) vuông góc với a) (C): y x x b) (C): y x2 x x 1 Baøi x 2 Tìm tập hợp các điểm trên trục tung mà từ đó có thể kẻ x 1 tiếp tuyến với (C) a) Cho (C): y b) Cho (C): y x x Tìm tập hợp các điểm trên đường thẳng y = mà từ đó có thể kẻ tiếp tuyến với (C) Trang 40 Lop12.net (21)