Đang tải... (xem toàn văn)
Gîi ý : ở đây có bất đẳng thức giữa độ dài các đoạn thẳng , nên kẻ đường phụ để có các hình tam giác, lại có trung điểm của các cạnh, nên nhgĩ đến việc áp dụng B định lí về đường trung b[r]
(1)Gi¸o ¸n BDHSG To¸n TiÕt 1-2-3-4 Chuyên đề 1: phÐp nh©n vµ phÐp chia ®a thøc D¹ng tæng qu¸t: Phép nhân đơn thức với đa thức,đa thức với da thức: A(B+C) = A.B +A.C ( A + B)( C+ D ) = A C + A D + B C + B D C¸c bµi to¸n vËn dông: Bµi to¸n 1: Cho biÓu thøc: M= a) Bằng cách đặt 1 432 (2 ) 229 433 229 433 229 433 1 a, b , h·y rót gän biÓu thøc M theo a vµ b 229 433 b) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc M Gi¶i: a) M = 3a(2 b) a(1 b) 4ab 5a b) M = 5a 229 229 Bµi to¸n 2: TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: A= x x x x x víi x= Gi¶i: C¸ch Thay x , ta cã A = -5.4 +5.4 -5.4 +5.4-1 = -(4+1).4 +(4+1).4 -(4+1)4 + (4+1).4-1 = 4-1 =3 C¸ch 2: Thay bëi x , ta cã: A = x ( x 1) x ( x 1) x ( x 1) x ( x 1) x = x5 x5 x4 x4 x3 x3 x + x2 x 1 = x 1 = Nhận xét: Khi tính giá trị biểu thức, ta thường thay chữ b»ng sè.Nhng ë vÝ dô vµ ë c¸ch cña vÝ dô 2, ta l¹i thay sè b»ng ch÷ Gi¸o viªn : TrÞnh V¨n Hïng- Trang Lop8.net -Trường THCS Quảng Hợp (2) Gi¸o ¸n BDHSG To¸n Bµi to¸n 3: Chứng minh đẳng thức ( x a )( x b) ( x b)( x c) ( x c)( x a ) ab bc ca x biÕt r»ng x a b c Gi¶i: Biến đổi vế trái ta được: x bx · ab x cx bx bc x cx ab x x(a b c) (ab bc ca) Thay a b c bëi x ®îc vÕ tr¸i b»ng x ab bc ca , b»ng vÕ ph¶i 2 bµi tËp: Bµi tËp 1: Rót gän bÓu thøc y x 2 x y y x (5 y x) Víi x a 2ab b , y a 2ab b Bµi tËp 2: a)Chøng minh r»ng 210 211 212 chia hÕt cho b) ViÕt 7.32 thµnh tæng cña ba luü thõa c¬ sè víi c¸c sè mò lµ ba sè tù nhiªn liªn tiÕp Bµi tËp 3: TÝnh 1 118 5 117 119 117 119 117 118 39 Bµi tËp 4: Chứng minh đẳng thức: ( (a b c ab bc ca)(a b c) a(a bc) b(b ca) c(c ab) Bµi tËp 5: Rót gän biÓu thøc ( x a)( x b)( x c) biÓu r»ng a b c 6, ab bc ca 7, abc 60 Gi¸o viªn : TrÞnh V¨n Hïng- Trang Lop8.net -Trường THCS Quảng Hợp (3) Gi¸o ¸n BDHSG To¸n TiÕt 5-6-7-8 Chuyên đề 2: các đẳng thức đáng nhớ Ngoài bảy đẳng thức quen thộc,h/s cần biết đến các đẳng thức mở réng từ đẳng thức (1) ta suy ra: (a b c) a b c 2ab 2bc 2ca Më réng: 2 2 (a1 a a n ) a1 a a n 1 a n 2a1a 2a n 1a n Tæng qu¸t: (a b) n B( a ) b n B(b ) a n C¸c vÝ dô : VÝ dô 1: Cho x+y=9 ; xy=14 TÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau: a) x-y ; b) x +y ; c)x +y Gi¶i a) (x-y) =x -2xy+y =x +2xy+y -4xy=(x+y) -4xy=9 -4.14=25=5 suy x-y = b) (x+y) =x +y +2xy suy x +y =(x+y) -2xy = -2.14 = 53 c) (x+y) = x +y +3x y+3xy = x +y +3xy(x+y) suy x +y =(x+y) -3xy(x+y) =9 -3.14.9 = 351 NhËn xÐt: Hai số có bình phương thì chúng đối nhau.Ngược lại , hai số đối nhau có bình phương ( A – B) = ( B – A ) 2 §Ó tiÖn sö dông ta cßn viÕt: ( A + B) = A + B + 3AB(A+B) ( A – B) = A - B - 3AB(A-B ) VÝ dô 3: Gi¸o viªn : TrÞnh V¨n Hïng- Trang Lop8.net -Trường THCS Quảng Hợp (4) Gi¸o ¸n BDHSG To¸n T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc : A = (x + 3y – 5) - 6xy + 26 Gi¶i : A = x + 9y + 25 + 6xy – 10x -30y – 6xy + 26 = ( x - 10x + 25) + ( 9y - 30y + 25 ) + = ( x -5) + ( 3y-5) + V× (x-5) (dÊu “ =” x¶y x=5 ); (3y-5) (dÊu “=” x¶y y= 5 ) nên A 1.Do đó GTNN a =1 (khi và x=5 ; y ) 3 Ta viÕt A = NhËn xÐt : Các đẳng thức vận dụng theo hai chiều ngược Ch¼ng h¹n: (A – B ) = A - 2AB + B ngược lại Bình phương số không âm : ( A – B ) (dÊu “ =” x¶y A = B) VÝ dô 4: Cho đa thức 2x - 5x +3.Viết đa thức trên dạng đa thức biến y đó y =x+ Gi¶i: thay x bëi y-1, ta ®îc : 1x - 5x +3 = 2( y – 1) - 5( y-1 ) + = ( y - 2y + 1) – 5y + + = 2y - 9y + 10 VÝ dô 5: Sè nµo lín h¬n hai sè A vµ B ? A = (2+1)(2 +1)(2 +1)(2 +1)(2 16 +1) B = 32 Gi¶i: Nh©n hai vÕ cña A víi 2-1, ta ®îc : A = (2-1)(2+1)(2 +1)(2 +1)(2 +1)(2 16 +1) áp dụng đẳng thức (a+b)(a-b) = a - b nhiều lần, ta được: A = 32 -1 VËy A < B VÝ dô 6: Rót gän biÓu thøc : A = (a + b + c) + (a - b – c) -6a(b + c) Gi¶i : A = [a + (b + c)] + [a – (b + c)] - 6a(b + c ) = a + 3a (b + c) + 3a(b + c) + (b + c) + a -3a (b + c) + + a - 3a (b + c) + 3a(b + c) - (b + c) - 6a(b + c) = 2a Gi¸o viªn : TrÞnh V¨n Hïng- Trang Lop8.net -Trường THCS Quảng Hợp (5) Gi¸o ¸n BDHSG To¸n Bµi tËp vËn dông: A – C¸c đẳng thức (1),(2),(3),(4) Bµi 6: TÝnh nhamh kÕt qu¶ c¸c biÓu thøc sau: a) 127 +146.127 + 73 ; b) 8 - (18 - 1)(18 + 1) ; c) 100 - 99 + 98 - + 2 - d) (20 +18 + +4 +2 ) – (19 +17 + +3 +1 ) ; 780 220 e) 125 150.125 75 Bµi : TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc b»ng c¸ch hîp lÝ : a) A = 2582 242 ; b) B = 263 + 74.263 + 37 ; C = 136 -92.136 + 46 ; 2 254 246 c) D = (50 + 48 + +2 ) – (49 +47 + +3 + ) Bµi : Cho a + b + c = ab + bc + ca Chng minh r»ng a = b = c Bµi : T×m x vµ t×m n N biÕt x + 2x + n - n1 +2 = B – C¸c Bµi 10 : đẳng thức (5), (6), (7) : Rót gän c¸c biÓu thøc : a) x(x-1)(x+1) – (x+1)(x2-x+1) ; b) 3x2(x+1)(x-1) – (x2-1)(x4+x2+1)+(x2-1)3; c) (a+b+c)3+((a-b-c)3+(b-c-a)3+(c-a-b)3 ; Bµi 11 : T×m x biÕt : 6(x+1)2-2(x+1)3+2(x-1)(x2+x+1) = Bµi 12 : Chứng minh các đẳng thức : (a+b+c)3 = a3+b3+c3+3(a+b)(b+c)(c+a) Bµi 13 : Gi¸o viªn : TrÞnh V¨n Hïng- Trang Lop8.net -Trường THCS Quảng Hợp (6) Gi¸o ¸n BDHSG To¸n Cho a+b+c+d = Chøng minh r»ng : a3+b3+c3+d3 = 3(ab – cd)(c +d) Bµi 14 : Cho a+b = TÝnh gi¸ trÞ cña M = 2(a3+b3) – 3(a2 +b2) Gi¸o viªn : TrÞnh V¨n Hïng- Trang Lop8.net -Trường THCS Quảng Hợp (7) Gi¸o ¸n BDHSG To¸n TiÕt 9-10-11-12 Chuyên đề 3: Tø Gi¸c – h×nh Thang – H×nh thang c©n *) Kh¸i niÖm chung vÒ tø gi¸c: +) §Þnh nghÜa : a) Tứ giác ABCD là hình gồm bốn đoạn thẳng AB, BC, CD, DA đó bất kì hai ®o¹n th¼ng nµo còng kh«ng cïng n»m trªn mét ®êng th¼ng A, B, C, D là các đỉnh ; AB, BC, CD, DA là các cạnh Ta xét tứ giác đơn đó các cạnh có thể cắt các đỉnh Trong tứ giác đơn ABCD, ta phân biệt : hai đỉnh kề (cùng nằm trên cạnh ) với hai đỉnh đối nhau(không kề nhau(xuất phat từ đỉnh) với hai cạnh đối (không kề nhau) Đường chéo tứ giác là đoạn thẳng nối hai đỉnh đối Trong tập hợp , các điểm mặt phẳng chứa tứ giác đơn, ta phân biệt ®iÓm thuéc tø gi¸c, ®iÎm tø gi¸c, ®iÓm ngoµi tø gi¸c b) ABCD lµ tø gi¸c låi ABCD lu«n thuéc nöa mÆt ph¼ng víi bê lµ ®êng th¼ng chøa bÊt kú c¹nh nµo cña nã Tứ giác (đơn) không lồi là tứ giác lõm Trong h×nh, ABCD lµ tø gi¸c låi A B D C §Þnh lÝ: Tæng c¸c gäc tø gi¸c b»ng 3600 *) T×m hiÓu s©u vÒ tø gi¸c gi¸c låi: §Þnh lÝ : Trong mét tø gi¸c låi , hai ®êng chÐo c¾t Đảo lại, tứ giác có hai đường chéo cắt thì đó là tứ giác låi ABCD låi ABCD cã hai ®êng chÐo c¾t Để chứng minh định lí, cần nhớ lại định lí sau đây: (I) Tia Oz n»m gäc xOy tia Oz c¾t ®o¹n th¼ng MN, víi M Oz, N Oy (II) NÐu tia Oz n»m xOy th× Oz vµ Oy n»m nöa mÆt ph¼ng bê chøa Oy; Oz vµ O x n»m nöa mÆt ph¼ng bê chøa Oy (III) Cho tam gi¸c ABC a) C¸c trung tuyÕn xuÊt ph¸t tõ c¸c ®iÓm A vµ C c¾t t¹i ®iÓm M Tø gi¸c ABCM lµ låi hay kh«ng låi? V× sao? Gi¸o viªn : TrÞnh V¨n Hïng- Trang Lop8.net -Trường THCS Quảng Hợp (8) Gi¸o ¸n BDHSG To¸n b) M lµ mét ®iÓm tuú ý thuéc miÒn cña tam gi¸c ABC( kh«ng th¼ng hàng với hai đỉnh nào tam giác) Với vị trí nào điểm M thì ABCM lµ tø gi¸c låi? c) M vµ N lµ hai ®iÓm tuú ý thuéc miÒn cña tam gi¸c ABC( vµ kh«ng thẳng hàng với đỉnh nào tam giác) Chứng minh năm điểm A, B, M, N, C chọn bốn điểm là đỉnh tứ giác låi B Gi¶i a) ABCM kh«ng låi (lâm), v× B vµ C n»m ë hai nöa mÆt M phẳng đối có bờ chứa AM (h 2a) b) Kết câu a/ đúng M là điểm bÊt k× thuéc miÒn cña tam gi¸c ABC NÕu M thuéc miÒn ngoµi cña ABC th× A có hai trường hợp : - M góc đối đỉnh góc cña tam gi¸c h 2b, M ë góc đối đỉnh góc B Dễ thấy lúc đó đỉng B lại là điểm thuộc miền tam giác MAC, đó AMCB không lồi(lõm) - M ë mét gãc cña tam gi¸c h×nh 2b, M’ n»m gãc A Do đó AM’ là tia góc A, mà A và M’ nằm hai phía cạnh BC, cho nªn ®o¹n Am’ c¾t ®o¹n th¼ng BC vµ ABM’C lµ tø gi¸c låi C Tãm l¹i, h 2b, c¸c miÒn ®îc g¹ch chÐo lµ tËp hîp c¸c ®iÓm M mµ MABC lµ tø gi¸c lâm Các miền khác (để trắng ) là tập hợp các điểm M mà M, A, B, C là các j M đỉnh tứ giác lồi B M' A C c) §êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm M vµ N bao giê còng kh«ng c¾t mét c¹nh cña tam gi¸c ABC Trong h 2c, ®êng th¼ng MN kh«ng c¾t AC Tø gi¸c MNCA lµ B tø gi¸c låi(®iÓm N thuéc miÒn ngoµi cña tam gi¸c MAC vµ n»m gãc MAC) M N A Gi¸o viªn : TrÞnh V¨n Hïng- Trang Lop8.net -Trường THCS Quảng Hợp C (9) Gi¸o ¸n BDHSG To¸n H 2a c¸c vÝ dô : VÝ dô 1: Chứng minh tứ giác lồi tổng độ dài các cạnh(chu vi) lớn tổng độ dài các đường chéo và nhỏ hai lần tổng độ dài các đường chÐo *) NhËn xÐt : Đây là bài toán chứng minh bất đẳng thức các độ dài nên kẻ thêm các đường phụ, xét các tam giác để áp dụng mệnh đề :” Trong tam giác, toỏng độ dài hai cạnh lớn độ dài cạnh thứ ba” Gi¶i B Cho tø gi¸c ABCD(h 7) Ta ph¶i chøng minh : AC + BD < AB + BC + CD + DA < 2( AC + BD) C 1) Chøng minh AC + BD < AB + BC + CD + DA o Ta cã : AC < AB +BC (bất đẳng thức ABC) A AC < AD + DC (bất đẳng thức ADC) BD < BC + CD (bất đẳng thức BCD) BD < BA + AD (bất đẳng thức BAD) Từ đó : 2( AC + BD) < 2(AB +BC + CD + DA) AC + BD < AB + BC + CD + DA 2) Chøng minh AB + BC + CD + DA < 2( AC + BD) Trong tam gi¸c ABO vµ CDO, ta cã : AB < BO + OA (1) CD < CO + OD (2) Céng (1) vµ (2) ta cã : AB + CD < BO + OD + CO + OA AB + CD < BD + AC (3) Tương tự, tam giác BCO và ADO, ta có : AD + BC < BD + AC (4) Tõ (3) vµ (4) ta ®îc : AB + BC + CD + DA < 2( AC + BD) (®pcm) *) NhËn xÐt: 1) Từ bất đẳng thức (3) và (4) ta thấy vế trái là tổng hai cạnh tứ giác, còn vế phải là tổng hai đường chéo Vậy có thể phát biểu mệnh đề : “ Trong tứ giác giác lồi, tổng hai cạnh đối nhỏ tổng hai đường chÐo” Gi¸o viªn : TrÞnh V¨n Hïng- Trang Lop8.net -Trường THCS Quảng Hợp D (10) Gi¸o ¸n BDHSG To¸n 2) Nếu tứ giác ABCD không lồi, thì hai bất đẳng thức bài có còn đúng không ? vì sao? VÝ dô 2: Cho tứ giác lồi ABCD, Tronh đó AB + BD không lớn AC + CD Chøng minh r»ng : AB < AC C Gi¶i Gäi giao ®iÓm cña AC vµ BD lµ O B Trong tam gi¸c AOB, ta cã : O D AB < AO + OB (1) Trong tam gi¸c COD, ta cã : CD < CO + OD (2) Tõ (1) vµ (2) ta cã : AB + CD < BO + OD + CO + OA A AB + CD < AC + BD (3) Theo gi¶ thiÕt : AB + BD AC + CD (4) Tõ (3) vµ (4) suy AB < AC.(®pcm) VÝ dô : Cho tø gi¸c låi ABCD Gäi P vµ Q lµ trung ®iÓm cña hai c¹nh AD vµ BC Chøng minh r»ng : PQ DC AB Gîi ý : đây có bất đẳng thức độ dài các đoạn thẳng , nên kẻ đường phụ để có các hình tam giác, lại có trung điểm các cạnh, nên nhgĩ đến việc áp dụng B định lí đường trung bình tam giác Gi¶i A GT Tø gi¸c ABCD PA = PD, QB = QC KL PQ Q DC AB P Cm: F Ta kÎ thªm ®êng chÐo AC vµ lÊy trung ®iÓm F cña AC D Trong tam giác ACD, PF là đường trung bình, đó : PF = DC Trong tam giác ACD, PF là đường trung bình đó : Gi¸o viªn : TrÞnh V¨n Hïng- Trang 10 Lop8.net -Trường THCS Quảng Hợp C (11) Gi¸o ¸n BDHSG To¸n QF = AB NÕu P,Q vµ F kh«ng th¼ng hµng th× tam gi¸c PQF ta cã: PQ < PF + QF = DC AB NÕu P, Q, vµ F th¼ng hµng th× F lµ ®iÓm n»m gi÷a cña hai ®o¹n th¼ng PQ vµ ta cã : PQ = PF + QF = DC AB Như trường hợp, ta có : PQ DC AB ( ®pcm) NhËn xÐt : Cã thÓ thÊy r»ng : P, Q, F th¼ng hµng Do đó ta chứng minh : PQ AB//CD DC AB Trong đó dấu = xảy và AB//CD Như vậy, qua việc giải bài toán trên, ta chứng minh cùng lúc hai định lÝ: CD AB CD AB (2) NÕu ABCD kh«ng lµ h×nh thang (AB//CD) th× PQ DC AB vµ PQ < (1) NÕu ABCD lµ h×nh thang (AB//CD) th× PQ = C¸c bµi tËp : Bµi tËp 1: Cho A, B, C, D là bốn đỉnh tứ giác lồi,E là điểm thuộc miÒn cña ttam gi¸c OCD, víi O lµ giao ®iÓm cña hai ®o¹n th¼ng AC vµ BD ChØ tø gi¸c låi nhËn bèn n¨m ®iÓm A, B, C, D, E Bµi tËp 2: Gi¸o viªn : TrÞnh V¨n Hïng- Trang 11 Lop8.net -Trường THCS Quảng Hợp (12) Gi¸o ¸n BDHSG To¸n Chøng minh r»ng tõ n¨m ®iÓm bÊt k× mÆt ph¼ng(kh«ng cã ba điểm nào thẳng hàng) Bao chọn bốn điểm là các đỉnh tứ gi¸c låi Bµi tËp 3: Chøng minh r»ng mét tø gi¸c låi cã c¸c gãc kh«ng b»ng th× cã Ýt nhÊt mét gãc tï Bµi tËp 4: Cho tø gi¸c låi ABCD, hai c¹nh AD vµ BC kÐo dµi gÆp t¹i E, hai c¹nh AB vµ CD kÐo dµi gÆp t¹i M KÎ hai ph©n gi¸c cña hai gãc CED vµ BMC c¾t t¹i K tÝnh gãc EKM theo c¸c gãc cña tø gi¸c ABCD *) h×nh thang – h×nh thang c©n: H×nh thang: -) §Þnh nghÜa: H×nh thang lµ tø gi¸c cã hai c¹nh song song AB//CD ABCD lµ h×nh thang hoÆc (AB//CD,AD//BC) AD//BC B A A B D C A D B D C C Trong hình thang, hai cạnh song song là hai cạnh đáy; hai cạnh là hai c¹nh bªn, ®o¹n th¼ng nèi trung ®iÓm cña hai c¹nh bªn gäi lµ ®êng trung b×nh §Þnh lÝ (vÒ ®êng trung b×nh) AB//CD PQ//AB vµ PQ = AB CD h×nh thang c©n §Þnh nghÜa: Hình thang cân là hình thang có hai gọc đáy TÝnh chÊt: §Þnh lÝ 1: Trong h×nh thang c©n, hai c¹nh bªn b»ng H×nh thang ABCD (AB//CD) : BC= AD Gi¸o viªn : TrÞnh V¨n Hïng- Trang 12 Lop8.net -Trường THCS Quảng Hợp (13) Gi¸o ¸n BDHSG To¸n §Þnh lÝ : Trong h×nh thang c©n hai ®êng chÐo b»ng H×nh thang ABCD(AB//CD) : AC = BD Định lí :(đảo định lí 2) NÕu h×nh thang cã hai ®êng chÐo b»ng th× nã lµ h×nh thang c©n DÊu hiÖu nhËn biÕt h×nh thang c©n: §Ó chøng minh h×nh thang lµ c©n, ta cã thÓ chøng minh h×nh thang đó có các tính chất sau : 1) Hai gọc đáy nhau(định nghĩa) 2) Hai ®êng chÐo b»ng VÝ dô : Cho tam giác ABC cân, đỉnh A Lấy các điểm E, K trên các tia AB vµ AC cho : AE + AK = AB + AC Chøng minh r»ng : BC < EK A K L Gi¶i : LÊy trªn AB mét ®iÓm L cho AL = AK LÊy trªn AC mét ®iÓm D cho AD = AE Râ rµng c¸c tam gi¸c ALK vµ AED lµ nh÷ng tam gi¸c c©n cã chung gãc ë đỉnh A nên các góc đáy chúng Suy LK// ED, đó DELK là h×nh thang c©n, cã c¸c ®êng chÐo b»ng DL = EK (1) Gäi O lµ giao ®iÓm cña hai ®êng chÐo DL vµ EK, ta xÐt tæng : EK + DL = (EO + OK) + (DO + OL) = (EO + OD) + (OK + OL) Từ (1) và đẳng thức cuối cùng này, ta có : EK = (EO + OD) + (OK + OL) (2) O B C D E Nhng tam gi¸c OKL, ta cã : OK + OL > LK Trong DEO : EO + OD > ED (3) (4) Tõ (2), (3) vµ (4) : 2EK > LK + ED Tõ gi¶ thiÕt AE + AK = AB + AC Suy BE = CK MÆt kh¸c dÔ thÊy BCDE lµ h×nh thang c©n nªn BE = CK (5) Gi¸o viªn : TrÞnh V¨n Hïng- Trang 13 Lop8.net -Trường THCS Quảng Hợp (14) Gi¸o ¸n BDHSG To¸n VËy DC = CK Tương tự, ta chứng minh B là trung điểm EL Từ đó, BC ;là đường trung bình hình thang DELK, suy : LK + ED = 2BC Tõ (5) vµ (6), ta cã : EK > BC ( ® p c m) (6) VÝ dô : Cho h×nh thang ABCD (AB//CD) cã hai ®êng chÐo vu«ng gãc BiÕt đường cao AH = h, Tính tổng hai đáy Gi¶i : VÏ AE// BD (E CD) V× AC BD (gt) nªn AC AE B A (quan hÖ gi÷a tÝnh song song vµ vu«ng gãc) Ta cã AE = BD ; AB = DE (tÝnh chÊt ®o¹n ch¾n) AC = BD (tÝnh chÊt ®êng chÐo h×nh thang O c©n)Suy AC = AE ; A AEC vu«ng c©n t¹i A ; ®êng cao AH còng lµ trung tuyÕn, 1 đó AH = EC (AB CD) hay E D H 2 AB + CD =2h NhËn xÐt: Khi giải toán hình thang, đặc biệt là hình thang cân, cần vẽ đường phô ta cã thÓ : - Từ đỉng vẽ đường thẳng song song với đường chéo (như ví dụ trªn) - Từ đỉnh vẽ đường thẳng song song với cạnh bên - Từ đỉnh vẽ thêm đường cao VÝ dô : A C A 1800 Chøng minh r»ng Cho tø gi¸c ABCD cã AD = AB = BC vµ A a) Tia DB lµ tia ph©n gi¸c cña gãc D b) Tø gi¸c ABCD lµ h×nh thang c©n K Gi¶i : A B A A víi a) VÏ BH CD, BK AD Ta cã A1 C (cïng bï A A ) đó BHC = BKA(cạnh huyền, góc nhän), suy BH = BK D C H VËy DB lµ tia ph©n gi¸c cña gãc D b) Góc A1 là góc ngoài đỉnh A tam giác cân ADB nên A 2D A A A ADC A A AB // CD (vì có cặp góc đồng vị nhau) 1 Gi¸o viªn : TrÞnh V¨n Hïng- Trang 14 Lop8.net -Trường THCS Quảng Hợp C (15) Gi¸o ¸n BDHSG To¸n A A (v× cïng b»ng C VËy tø gi¸c ABCD lµ h×nh thang H×nh thang nµy cã ADC A A ) nªn lµ h×nh thang c©n NhËn xÐt : Để chứng minh tứ giác là hình thang cân, trước tiên phải chứng minh tứ giác đó là hình thang, sau đó chứng minh hai góc kề đáy nhau(theo định nghÜa) hoÆc hai ®êng chÐo b»ng Trong vÝ dô trªn, sau chøng minh ®îc AB//CD cÇn tr¸nh sai lÇm cho r»ng v× AD = BC (gt) nªn ABCD lµ h×nh thang c©n, sai lÇm ë chç h×nh thang cã hai c¹nh chưa đã là hình thang cân C¸c bµi tËp vËn dônG Bµi tËp 5: Cho tứ giác lồi ABCD đó AD = DC và đường chéo AC là ph©n gi¸c cña gãc DAB Chøng minh r»ng ABCD lµ h×nh thang Bµi tËp : Chøng minh r»ng mét h×nh thang ®êng th¼ng ®i qua trung điểm cạnh bên song song với hai đáy thì qua trung điểm cạnh bên Bµi tËp 7: Cho tứ giác ABCD đó CD> AB Gọi E, F là trung ®iÓm cña BD vµ AC Chøng minh r»ng nÕu E F = CD AB th× tø gi¸c ABCD lµ h×nh thang Bµi tËp 8: Cho tam giác ABC đó AB > AC Gọi H là chân đường cao kẻ từ đỉnh A và M, N, P là trung điểm các cạnh AB, AC, BC Chøng minh r»ng tø gi¸c MNHP lµ h×nh thang c©n Bµi tËp 9: Cho tam giác ABC cân, đỉnh A Lấy các điểm E, K trên các tia AB vµ AC cho : AE + AK = AB +AC Chøng minh r»ng : BC < EK Gi¸o viªn : TrÞnh V¨n Hïng- Trang 15 Lop8.net -Trường THCS Quảng Hợp (16) Gi¸o ¸n BDHSG To¸n TiÕt 13 =>18 Chuyên đề (6tiết): §êng trung b×nh cña tam gi¸c, cña h×nh thang *) KiÕn thøc c¬ b¶n : a) §êng th¼ng ®i qua trung ®iÓm mét c¹nh cña tam gi¸c vµ song song víi c¹nh thø hai th× nã ®i qua trung ®iÓm cña c¹nh thø ba b) §êng th¼ng ®i qua trung ®iÓm mét c¹nh bªn cña h×nh thang vµ song song với hai đáy thì qua trung điểm cạnh bên thứ hai a) §êng trung b×nh cña tam gi¸c lµ ®o¹n th¼ng nèi trung ®iÓm hai c¹nh cña tam gi¸c (h.8) b) §êng trung b×nh cña h×nh thang lµ ®o¹n nèi trung ®iÓm hai c¹nh bªn cña h×nh thang.(h.9) A A E E F D B F D C C h.8 h.9 3.a) §êng trung b×nh cña tam gi¸c th× song song víi c¹nh thø ba vµ b»ng nöa cạnh b) Đường trung bình hình thang thì song song với hai đáy và nửa tổng hai đáy Bæ sung : Trong h×nh thang cã hai c¹nh bªn kh«ng song song, ®o¹n th¼ng nèi trung điểm hai đường chéo thì song song với hai đáy và nửa hiệu hai đáy Trong h.10 : A B MN // AB // CD CD AB MN M N D Gi¸o viªn : TrÞnh V¨n Hïng- Trang 16 Lop8.net -Trường THCS Quảng Hợp C (17) Gi¸o ¸n BDHSG To¸n C¸c vÝ dô minh häa *) VÝ dô 1: Cho tứ giác ABCD Gọi M, N là trung điểm AD và BC Chứng AB CD minh r»ng nÕu MN th× tø gi¸c ABCD lµ h×nh thang Gi¶i : Gọi O là trung điểm BD Các đoạn thẳng OM, ON là đường trung b×nh cña ABD vµ BCD nªn B AB OM vµ OM // AB ; (1) CD ON = vµ ON // CD ; (2) A O N Suy O n»m gi÷a M vµ N VËy ba ®iÓm M, O, N th¼ng hµng (3) M Từ (1), (2), (3) suy AB // CD đó tứ giác ABCD lµ h×nh thang D C +) NhËn xÐt : Trong giả thiết bài toán có trung điểm hai cạnh đối tứ giác, nối hai điểm này ta chưa đường trung bình tam giác nào Vì ta đã vẽ thêm trung điểm đường chéo BD ( AC ) và vận dụng định lí đường trung bình tam giác để chứng minh Việc vẽ thêm trung điểm đoạn thẳng để vận dụng đường trung bình tam giác là việc vẽ đường phụ thường gặp giải bài toán hình học *) VÝ dô : Cho hình thang ABCD ( đáy AB nhỏ đáy CD ) Tìm điều kiện hình thang này để hai đường chéo nó chia đường trung bình thành ba phần b»ng A B Gi¶i : Gọi M, N là trung điểm AD và BC ; MN c¾t BD t¹i P, c¾t AC t¹i Q ; MN lµ ®êng trung b×nh cña M Q P h×nh thang nªn MN // AB // CD XÐt ABD cã MA = MD ; MP // AB nªn PB = PD D XÐt ADC cã MA = MD ; MQ // CD nªn QA = QC MP và NQ là đường trung bình ABD và ABC nên AB MP NQ PQ lµ ®o¹n nèi trung ®iÓm hai ®êng chÐo cña h×nh thang ABCD nªn Gi¸o viªn : TrÞnh V¨n Hïng- Trang 17 Lop8.net -Trường THCS Quảng Hợp N C (18) Gi¸o ¸n BDHSG To¸n CD AB AB2 CD AB Ta cã : MP = +Q = QN 2 AB CD AB CD 2.AB +) NhËn xÐt : Nếu không có điều kiện đáy AB nhỏ đáy CD thì AB = 2.CD , chứng minh tương tự trên ta có hai đường chéo chia đường trung bình thµnh ba phÇn b»ng Tóm lại, hình thang có đáy gấp đôi đáy thì hai đường chéo nó chia ®êng trung b×nh lµm ba phÇn b»ng *) VÝ dô : Từ ba đỉnh tam giác, hạ các đường vuông góc xuống đường thẳng d không cắt cạnh nào tam giác đó Chứng minh tổng độ dài ba đường vuông góc đó gấp ba lần độ dài đoạn thẳng vuông góc hạ từ trọng tâm tam gi¸c xuèng ®êng th¼ng d Gi¶i : Gi¶ sö ABC cã ba ®êng trung tuyÕn AD, BE, CF c¾t t¹i O; c¸c đoạn thẳng AG, BH, OI, CK vuông góc với đường thẳng d Ta phải chứng minh: AG + BH + CK = 3OI PQ A F E O M C B D H N I G P Tõ trung ®iÓm M cña K BO vµ tõ E, ta h¹ MN vµ EP vu«ng gãc víi d Ta cã BH // MN // OI // AG // EP //CK ( chóng cïng vu«ng gãc víi d) V× O lµ täng t©m cña tam gi¸c ABC nªn BM = MO = OE Ta lại có HN = IN = IP (đường thẳng song song cách đều) Như ta ba hình thang vuông BOIH, MEPN, ACKG có MN, OI, EP là các đường trung bình Từ đó suy MN + EP = 2.OI hay 2MN + 2EP = 4.OI (1) Nhng 2MN = BH + OI, 2EP = AG + CK, thay vµo (1) ta ®îc BH + OI + AG + CK = 4.OI suy AG + BH + CK = 3.OI VÝ dô : Gi¸o viªn : TrÞnh V¨n Hïng- Trang 18 Lop8.net -Trường THCS Quảng Hợp (19) Gi¸o ¸n BDHSG To¸n Cho mét ®iÓm C ë ngoµi mét ®o¹n th¼ng AB Dùng c¸c tam gi¸c vu«ng A AC = CBB' A = 1v ) Chøng minh c©n ACA’, BCB’ ngoµi tam gi¸c ABC ( A' r»ng vÞ trÝ cña ®iÓm M ( trung ®iÓm cña A’B’) kh«ng phô thuéc vµo vÞ trÝ chän ®iÓm C Gi¶i : H¹ A’H, C E vµ B’F cïng vu«ng gãc víi ®êng th¼ng AB Ta dÔ dµng chøng minh ®îc c¸c cÆp tam gi¸c vu«ng sau ®©y b»ng : B' M C A' H A E N B F A' HA = AEC (1) B'FB = BEC (2) Suy AH = BF = CE Gäi N lµ trung ®iÓm cña HF th× N còng lµ trung ®iÓm cña AB MN còng lµ ®êng trung b×nh cña h×nh thang vu«ng A’HFB’ nªn A'H + B'F MN AB vµ MN = Nhng tõ (1) vµ (2) ta cã A’H = AE ; B’F = BE AE + BE AB MN = nªn 2 AB VËy MN vu«ng gãc víi AB t¹i trung ®iÓm N cña AB vµ MN = , nghÜa là vị trí điểm M hoàn toàn xác định không phụ thuộc vào việc chọn điểm C ( C lµ ®iÓm bÊt k×, C vµ M cïng thuéc nöa mÆt ph¼ng cã bê lµ ®êng th¼ng AB) c¸c bµi tËp vËn dông Bµi 1: A = Trªn c¹nh CA lÊy ®iÓm D cho CD = AB Cho tam gi¸c ABC cã A KÎ ®êng th¼ng xy qua trung ®iÓm cña AD vµ BC tÝnh gãc ®êng th¼ng xy t¹o víi AB Bµi : Trên hai cạnh góc nhọn xOy, ta đặt các đoạn thẳng AB và CD ( A nằm O và B, C nằm O và D) Các điẻm I và E là trung ®iÓm cña AC vµ BD Chøng minh r»ng ®êng th¼ng IE song song víi tia ph©n gi¸c cña gãc xOy Cho tam gi¸c ABC Dùng tam gi¸c vu«ng c©n ABD( vu«ng ë A, D vµ C cïng thuéc nöa mÆt ph¼ng bê AB), dùng tam gi¸c vu«ng c©n AEC ( vu«ng ë A, E và B cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ AC) Gọi K, I, M là trung điểm EC, BD vµ BC Chøng minh r»ng tam gi¸c KMI vu«ng c©n Gi¸o viªn : TrÞnh V¨n Hïng- Trang 19 Lop8.net -Trường THCS Quảng Hợp (20) Gi¸o ¸n BDHSG To¸n Bµi 4: Cho hai ®iÓm A vµ B ë ngoµi ®êng th¼ng xy t×m hÖ thøc gi÷a kho¶ng c¸ch tõ trung điểm O đoạn thẳng AB đến xy và các khoảng cách từ A và B đến xy Bµi5 : Cho tam giác ABC Đường thẳng xy qua đỉnh A Gọi B’ và C’ là chân đường vuông góc kẻ từ B và C xuống xy Hãy xác định vị trí đường thẳng xy để tổng BB’ + CC’ đặt giá trị lớn Gi¸o viªn : TrÞnh V¨n Hïng- Trang 20 Lop8.net -Trường THCS Quảng Hợp (21)