Tổ Toán THPT Phong Điền... Giáo viên: LÊ BÁ BẢO.[r]
(1)www.VNMATH.com Chuyên đề MŨ_LOGARITH Luyện thi Đại học 2012 Dạng toán: CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC MŨ_ LOGARITH Bài tập 1: Chứng minh rằng: x2 x 1) e ³ + x + ( "x ³ ) 2) Hàm số y = f ( x ) = 5x ( ) x + - x đồng biến trên R Bài giải: x2 1) Xét hàm số f ( x ) = e - - x với x ³ , ta có: f / ( x ) = e x - - x; f / / ( x ) = e x - Þ f / / ( x ) = Û x = Lập bảng biến thiên suy ra: f / / ( x ) ³ f / / (0) = Þ f / ( x ) ³ f / (0) = ( "x ³ ) x Þ f ( x ) ³ f (0) = ( "x ³ ) (đ.p.c.m) 2) TXĐ: D = R Ta có: y / = f / ( x ) = ( 5x ln 5) ( ) æ x ö x + - x + 5x ç - ÷ = 5x è x +1 ø ( ) æ ö x + - x ç ln ÷ x + è ø ì x2 + - x > x2 - x ³ ï Ta có: í Þ f / ( x ) > ( "x Î R ) 1 Þ ln >0 ïln > > x2 + x2 + î Vậy hàm số y = f ( x ) đồng biến trên R (đ.p.c.m) Bài tập 2: Chứng minh các bất đẳng thức sau: a+b 1) ln a + ln b £ ln ( "a, b > 1) 2) a log c + blog a + c log b ³ 3 abc ( "a, b > 1) b 2y æ x+yö 3) ln ç > ( "x, y > ) ÷ è x ø 2x + y Bài giải: c a b 1ö æ 1ö æ 4) ç a + a ÷ £ ç b + b ÷ ø è ø è a ( "a ³ b > ) a+b æa+bö 1) Ta có: ln a + ln b £ ( ln a + ln b ) = ln ab £ ln ç = ln ÷ è ø Dấu “=” xãy Û a = b 2) Ta có: a log c = c log a Þ a log c + c log b = c log a + c log b ³ c log a c log Tương tự: a log c + b log c ³ a , b log a + c log b ³ b Cộng ba BĐT trên lại với ta có: a log c + b log a + c log b ³ a + b + c ³ 3 abc Dấu “=” xãy Û a = b = c x+y > Þ tx = x + y Û y = x ( t - 1) 3) Đặt t = x b b b b c b a a c b a b a b ³ 2c a a Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Trang1 Lop12.net Tổ Toán THPT Phong Điền (2) www.VNMATH.com Chuyên đề MŨ_LOGARITH x ( t - 1) 2y t -1 =2 = Do đó: t +1 x + y x + x ( t - 1) Bài toán trở thành chứng minh: ln t > Luyện thi Đại học 2012 t -1 ( "t > 1) t +1 t -1 ( "t ³ 1) t +1 t - 1) ( = ³ ( "t ³ 1) Þ f (t ) ³ f (1) = ( "t ³ 1) t ( t + 1) Xét hàm số f (t ) = ln t - Ta có: f / (t ) = t ( t + 1) t -1 ( "t > 1) (đ.p.c.m) t +1 4) Ta có BĐT cần chứng minh tương đương với b a b a æ a 1ö æ b 1ö a b 2 4 £ + Û + £ + Û b ln ( a + 1) £ a ln ( b + 1) + ( ) ( ) ç ç b ÷ a ÷ ø è ø è hay ln t > Û ln ( a + 1) a £ ln ( b + 1) (1) b ln ( t + 1) ( t > 0) t t ln ( t + 1) - ( t + 1) ln ( t + 1) Xét hàm số f (t ) = Ta có: f / (t ) = t ( t + 1) nên hàm số f (t ) nghịch biến trên ( 0;+¥ ) Vậy: a ³ b > Û f (a) £ f (b) Û ln ( a + 1) < ( "t > ) ln ( b + 1) £ (đ.p.c.m) a b Bài tập 3: Chứng minh các bất đẳng thức sau: x 2) < ln (1 + x ) < x ( "x > ) 1) ln + + x < + ln x ( "x > ) x 1+ x ( æ x+aö 3) ç ÷ è x+bø ) x +b æaö >ç ÷ èbø æ x +1ö 5) x ³ ç ÷ è ø Bài giải: x x +1 b ( "x, a, b > 0, a ¹ b ) y x ( "x > y > ) ( "x > 1) ( ) 1) Xét hàm số f ( x ) = ln + + x Ta có: f / ( x ) = 4) ( x + 3x ) < ( y + 3y ) x2 + - x x + 1x Giáo viên: LÊ BÁ BẢO - ln x ( "x > ) x > ( "x > ) Þ f ( x ) là hàm tăng trên ( 0;+¥ ) Trang2 Lop12.net Tổ Toán THPT Phong Điền (3) www.VNMATH.com Chuyên đề MŨ_LOGARITH æ + + x2 ö - ÷ = Þ f ( x ) < "x > Mặt khác: lim ç ln x ®+¥ ç x x ÷ø è Luyện thi Đại học 2012 x với x > x +1 x +b æ x+aö æ x+aö Þ ln f ( x ) = ( x + b ) ln ç 3) Xét hàm số f ( x ) = ç ÷ ÷ è x+bø è x+bø é æ x +aö b-aù f / (x) æ x+aö b-a = ln ç + Þ f / ( x ) = ê ln ç Þ ÷ ÷+ ú f ( x) f (x) è x+bø x+a ë è x + b ø x + aû 2) Xét hai hàm số f ( x ) = ln (1 + x ) - x và g ( x ) = ln (1 + x ) - ( b - a) æ x+aö b-a Þ g / (x) = < , suy g ( x ) nghịch biến, Đặt g ( x ) = ln ç ÷+ è x+bø x+a ( x + a) ( x + b) mà lim g ( x ) = x ®+¥ Þ g ( x ) > ( "x > ) Þ f / ( x ) > ( "x > ) suy f ( x ) đồng biến trên [ 0;+¥ ) æaö Þ f ( x ) > f (0) = ç ÷ èbø b ( "x > ) 4) Ta có: ( x + 3x ) < ( y + 3y ) y y x (đ.p.c.m) y x é æ öx ù é æ öy ù xy xy Û ê1 + ç ÷ ú < ê1 + ç ÷ ú ëê è ø ûú ëê è ø ûú x é æ öx ù x é æ öy ù y é æ öx ù é æ öy ù 1 Û ê1 + ç ÷ ú < ê1 + ç ÷ ú Û ê1 + ç ÷ ú < ê1 + ç ÷ ú Û ln (1 + a x ) < ln (1 + a y ) (1) x y êë è ø úû êë è ø úû êë è ø úû êë è ø úû với a = a t ln (1 + a t ) - (1 + a t ) ln (1 + a t ) / t < ( "t > ) Đặt f (t ) = ln (1 + a ) Þ f (t ) = t t2 Vậy f (t ) nghịch biến trên ( 0;+¥ ) mà x > y > Þ f ( x ) < f ( y) (1) đúng nên BĐT chứng minh 5) Ta có x +1 x +1 æ x +1ö x x ³ç Û x ln x - ( x + 1) ln > Û x ln x - ( x + 1) ln ( x + 1) + ( x + 1) ln > ÷ è ø Khảo sát hàm số f ( x ) = x ln x - ( x + 1) ln ( x + 1) + ( x + 1) ln ( "x ³ 1) ta có điều phải chứng minh Bài tập 4: Chứng minh với a, b, c > ta có: a a b b c c ³ ( abc ) ( a+ b+c) Bài giải: Vì hàm số y = lg x đồng biến trên ( 0;+¥ ) Ta lấy logarith với số 10 hai vế BĐT trên ta BĐT tương đương cần chứng minh: ( a lg a + b lg b + c lg c ) ³ ( a + b + c )( lg a + lg b + lg c ) Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Trang3 Lop12.net Tổ Toán THPT Phong Điền (4) www.VNMATH.com Chuyên đề MŨ_LOGARITH Ta có: ( a - b ) ( lg a - lg b ) ³ Û a lg a + b lg b ³ a lg b + b lg a (1) ( b - c ) ( lg b - lg c ) ³ Û b lg b + c lg c ³ b lg c + c lg b ( c - a ) ( lg c - lg a ) ³ Û c lg c + a lg a ³ c lg a + a lg c Luyện thi Đại học 2012 (2) (3) a lg a + b lg b + c lg c = a lg a + b lg b + c lg c (4) Cộng (1), (2), (3) và (4) vế theo vế ta đ.p.c.m Bài tập 5: a) Chứng minh với a, b > thì với c ³ ta có log a b ³ log a + c b và dấu đẳng thức xãy c = b) Chứng minh với b ³ a > thì với c ³ ta có log a b ³ log a + c ( b + c ) và dấu đẳng thức xãy c = a = b c) Không dùng bảng số và máy tính, chứng tỏ log3 29 < + log2 2 d) Tìm x thỏa mãn phương trình log x - x + ( x - x + 5) = log3 x -6 x + ( x - x + ) 2 Bài giải: a) Vì a, b > và c ³ nên log b ( a + c ) ³ log b a Dấu “=” xãy Û c = Do đó: 1 hay log a b ³ log a + c b (đ.p.c.m) £ log b ( a + c ) log b a b) Ta có: log a b ³ log a + c ( b + c ) Û log a b - ³ log a + c ( b + c ) - Û log a b+c b ³ log a + c a a+c b b+c b+c ³ và ³ , đó: a+c a a+c b b+c b+c ( theo c©u a ) log a ³ log a ³ log a + c a a+c a+c Rõ ràng dấu đẳng thức xãy khi c = a = b c) Ta có 3 1 log3 29 < + log2 Û log3 29 < log2 28 Û log3 29 < log2 28 Û log9 29 < log8 28 2 Áp dụng BĐT câu b) với a = 8, b = 28, c = ta suy đ.p.c.m d) Ta có: log x - x + ( 3x - x + 5) = log3 x -6 x + ( x - x + ) Vì b ³ a > 1, c ³ suy Û log x 2 -4 x +4 ( 3x - x + 5) = log x - x + + ( x +1) é( x - x + 5) + ( x + 1) ù ë û é2 x - x + = 3x - x + Ûê ( Theo kÕt qu¶ c©u b) ) êë( x + 1) = Û ( x + 1) = Û x = Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Trang4 Lop12.net Tổ Toán THPT Phong Điền (5) www.VNMATH.com Chuyên đề MŨ_LOGARITH Luyện thi Đại học 2012 Bài tập 6: Chứng minh với a, b, c > thỏa mãn ( a + b )( b + c )( c + a ) = ( a + b + c ) : log a + b a + log b + c b + logc + a c < Bài giải: Ta có, theo bài tập 5, ta có: log a ( a + b ) > log a + c ( a + b + c ) Þ log a + b a < log a + b + c ( a + c ) (1) log b + c b < log a + b + c ( a + b ) (2) Tương tự, ta có: logc + a c < log a + b + c ( b + c ) (3) Cộng vế theo vế các BĐT (1), (2) và (3), kết hợp với giả thiết, ta suy điều phải chứng minh Bài tập 7: Chứng minh với "x Î ( 0;1) ta có: ne xn - x < Bài giải: BĐT cần chứng minh Û n (1 - x ) x n < Ta có: e Theo BĐT Cauchy: n +1 n +1 é ( n - nx ) + nx ù æ 2n ö 2n x x x £ ê n (1 - x ) x = ( n - nx ) =ç ú ÷ n + è 2n + ø 2n ë û n +1 æ 2n ö < hay ( n + 1) éë ln n - ln ( n + 1) ùû < -1 Ta cần chứng minh: ç ÷ e è 2n + ø hay ln ( n + 1) - ln n > 2n + 1 Xét hàm số f ( x ) = ln x, ( 2n £ x £ 2n + 1) có f / ( x ) = x ln ( n + 1) - ln n = Theo định lí La-gơ-răng thì $c Î ( n;2 n + 1) để: c ( 2n + 1) - 2n 1 > suy đ.p.c.m c 2n + Bài tập 8: Chứng minh với x > 0, a > ta có: mà c < n + nên a x ( x ln a ) > + x ln a + ( x ln a ) + + n n! 2! Bài giải: Ta có: a x = e x ln a và đặt t = x ln a > t2 tn BĐT cần chứng minh trở thành: Với t > , ta có: e > + t + + + 2! n! t Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Trang5 Lop12.net Tổ Toán THPT Phong Điền (6) www.VNMATH.com Chuyên đề MŨ_LOGARITH Luyện thi Đại học 2012 t2 tn - 2! n! t / t Với n = 1: f1 (t ) = e - - t Þ f1 (t ) = e - > ( "t > ) Chứng minh quy nạp fn (t ) = et - - t - ( "t > ) (*) Suy f1 (t ) đồng biến trên [ 0; +¥ ) Þ f1 (t ) > f1 (0) = BĐT (*) đúng với n = Giả sử (*) đúng đến n = k Î N * , tức là fk (t ) > ( "t > ) Ta cần chứng minh (*) đúng đến n = k + Î N * , tức là fk +1 (t ) > ( "t > ) t2 tk t k +1 Thật vậy, ta có: fk +1 (t ) = e - - t - - - 2! k ! ( k + 1) ! t tk t2 - - = fk (t ) > ( "t > ) ( theo giả thiết quy nạp ) 2! k! Vậy fk +1 (t ) đồng biến trên [ 0; +¥ ) Þ fk +1 (t ) > fk +1 (0) = (đ.p.c.m) Þ fk/+1 (t ) = et - - t - Bài tập 9: Chứng minh với < a < b ta có: b-a b b-a < ln < b a a Bài giải: ln b - ln a < (*) BĐT cần chứng minh tương đương với < b b-a a Xét hàm số f ( x ) = ln x, x Î [ a; b ] Rõ ràng f ( x ) là hàm số liên tục trên [ a; b ] và ta có ln b - ln a 1 "x Î ( a; b ) ) , tồn c Î ( a; b ) để = ( x b-a c 1 Mà < a < c < b nên < < Từ đây, BĐT (*) chứng minh b c a f / (x) = Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Trang6 Lop12.net Tổ Toán THPT Phong Điền (7)