PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ BẰNG PHƯƠNG PHÁP DÙNG HẰNG ĐẲNG THỨC I.Bài tập trong sách giáo khoa Bµi 43.. PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ BẰNG PHƯƠNG PHÁP NHÓM HẠNG TỬ I.Bài tập trong[r]
(1)ĐẠI SỐ CHƯƠNG I: PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA ĐA THỨC Tuần 1: § NHÂN ĐƠN THỨC VỚI ĐA THỨC I Bài tập sách giáo khoa: Bài ( SGK – ): Làm tính nhân: 1 ) = 5x5 – x3 - x2 2 2 b) ( 3xy – x2 + y ) x2y = 2x3y2 – x4y2 + x2y2 3 c) ( 4x3 – 5xy + 2x ) ( - xy ) = - 2x4y + x2y2 – x2y 2 a) x2 ( 5x3 – x - Bài ( SGK – 5): Thực phép nhân, rút gọn tính giá trị biểu thức: a) x ( x – y ) + y ( x + y ) = x2 + y2 Tại x = - và y = có giá trị ( - )2 + 82 = 100; b) x ( x2 – y ) – x2 ( x + y ) + y ( x2 – x ) = x3 – xy – x3 – xy + x2y – xy = - 2xy Tại x = 1 và y = - 100 có giá trị là – ( - 100) = 100 2 Bài ( SGK – 5) a/ 3x(12x – 4) – 9x (4x – 3) = 30 b/ x(5-2x) + 2x(x-1) = 15 2 36x – 12x – 36x + 27x = 30 5x – 2x2 + 2x2 – 2x =15 15x = 30 3x = 15 x =2 x=5 Bài ( SGK – ) Nếu gọi số tuổi là x thì ta có kết cuối cùng là: [ (x + ) + 10] – 100 = 10x Thực chất kết cuối cùng đọc lên chính là 10 lần số tuổi bạn Vì vậy, đọc kết cuối cùng việc bỏ chữ số tận cùng là số tuối bạn Chẳng hạn bạn đọc là 140 thì tuổi bạn là 14 Bài ( SGK – 6) b/ xn-1(x + y) –y(xn-1yn-1) = xn-1.x + xn-1.y – xn-1.y – y.yn-1 = xn-1+1 + xn-1.y – xn-1.y – y1+n+1 = x n - yn Bài ( SGK – ) Đánh dấu “x” vào ô 2a II Bài tập Sách Bài tập: Bµi ( SBT – 3) Rót gän biÓu thøc sau: a) x(2x2 - 3) - x2 (5x + 1) + x2 = - 3x2 - 3x b) 3x(x - 2) - 5x(1 - x) - 8(x2 - 3) = = - 11x + 24 Bµi ( SBT – 3) TÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau: a) P = 5x(x2 - 3) + x2(7 - 5x) - 7x2 t¹i x = -5 b) Q = x(x - y) + y(x - y) t¹i x=Lop8.net 1,5 ; y = 10 (2) Nghĩa đồng Năm học 2010 - 2011 Gi¶i : a) Rót gän P = - 15 T¹i x = -5 P = 75 b) Rót gän Q = x2 – y T¹i x= 1,5 ; y = 10 B = - 97,75 Bµi ( SBT – ) T×m x: 2x(x - 5) - x(3 + 2x) = 26 2x2 – 10x – 3x – 2x2 = 26 - 13x = 26 x = - § NHÂN ĐA THỨC VỚI ĐA THỨC I Bài tập sách giáo khoa: Bài ( SGK – ): Làm tính nhân: a) ( x2 – 2x + ) ( x - ) = x3 – 3x2 + 3x – 1; b) ( x3 – 2x2 + x – ) ( – x ) = - x4 + 7x3 – 11x2 + 6x – (x – y) (x2 + xy + y2) = x (x2 + xy + y2) –y (x2 + xy + y2) = x3 + x2y + xy2 – x2y – xy2 – y3 = x3 – y3 Bài ( SGK – ): (x – y) (x2 + xy + y2) = x (x2 + xy + y2) –y (x2 + xy + y2) = x3 + x2y + xy2 – x2y – xy2 – y3 = x3 – y3 Giaù trò cuûa x, y x = -10 ; y = x = -1 ; y = x = ; y = -1 x = -0,5 ; y = 1,25 (Trường hợp này có thể dùng máy tính bỏ túi) Bài 10 ( SGK – ): Thực phép tính: Giá trị biểu thức (x – y) (x2 + xy + y2) -1008 -1 - 133 64 1 x – 2x x + x + x2.(-5) – 2x.(-5) + 3.(-5) 2 3 = x – x2 + x – 5x2 + 10x – 15 2 23 = x3 – 6x2 + x – 15 2 a, (x2 – 2x + 3).( x – ) = x2 b, (x2 – 2xy + y2).(x – y ) = x3 – 2x2y + xy2 – x2y + 2xy2 – y3 = x3 – 3x2y + 3xy2 – y3 Bài 11 ( SGK – 8): Ta có: (x - 5)(2x + 3) – 2x.(x – 3) + x + = x.2x + x.3 – 5.2x – 5.3 – 2x.x – 2x(-3) + x + Trần Thị Bích Đào Trường THCS Yên Hợp Lop8.net (3) Nghĩa đồng Năm học 2010 - 2011 = 2x2 + 3x – 10x – 15 – 2x2 + 6x + x + = -8 VËy gi¸ trÞ cña BT kh«ng phô thuéc vµo gi¸ trÞ cña biÕn Bài 12 ( SGK – 9): Rót gän biÓu thóc ta cã: (x2 – 5).(x + 3) + (x + 4).(x – x2) = x2.x + x2.3 – 5.x – 5.3 + x.x + x(-x2) + 4.x + 4.(-x2) = x3 + 3x2 – 5x – 15 + x2 – x3 + 4x - 4x2 = - x – 15 a, x = Gi¸ trÞ biÓu thøc lµ: - 15; b, x = 15 Gi¸ trÞ biÓu thøc lµ: - 30 c, x = -15 Gi¸ trÞ biÓu thøc lµ: 0; d, x = 0,15 Gi¸ trÞ biÓu thøc lµ: - 15,15 Bài 13 ( SGK – 9): T×m x, biÕt: (12x - 5)(4x - 1) + (3x - 7)(1 -16 x) = 81 48x2 – 12x – 20x + + 3x – 48x2 – + 112x = 81 83x – = 81 83x = 81 + 83x = 83 x = 83 : 83 x = Bài 14 ( SGK – 9): Gäi sè tù nhiªn ch½n liªn tiÕp lµ: a; a + 2; a + - Ta cã: (a + 2)(a + 4) = a(a + 2) + 192 a2 + 6a + = a2 + 2a + 192 4a = 184 a = 46 Bài 15 ( SGK – 9): Lµm tÝnh nh©n: x + y) 1 1 = x x + x.y + y x + y.y 2 2 = x2 + xy + y2 1 y)(x - y) 2 1 = x2 - xy - xy + y2 2 = x2 – xy + y2 a, ( x + y)( b, (x - Bµi ( SBT – ) Thùc hiÖn phÐp tÝnh: a) (5x - 2y)(x2 - xy + 1) = 5x2 - 7x2y + 2xy2 + 5x - 2y b) (x - 1)(x + 1)(x + 2) = x3 + 2x2 - x – c) 2 x y ( 2x + y ) ( 2x – y ) = 2x4y2 - x2y4 2 Bµi ( SBT – ): Cho a vµ b lµ hai sè tù nhiªn nÕu a ghia cho d 1, b chia cho d chøng minh r»ng ab chia cho d Gi¶i: §Æt a = 3q + ; b = 3p + (p, q N) Ta cã a.b = (3q + 1)( 3p + ) = 9pq + 6q + 3p + VËy a.b chia cho d Trần Thị Bích Đào Trường THCS Yên Hợp Lop8.net (4) Nghĩa đồng Năm học 2010 - 2011 II Bài tập sách bài tập: Chøng minh: Bµi (SBT - ): a) ( x 1)( x x 1) ( x3 1) Biến đổi VT ta có: VT ( x 1)( x x 1) b) ( x x y xy y )( x y ) x y Biến đổi VT ta có: VT ( x3 x y xy y )( x y ) x3 x x x x x x3 y x3 y x y x y xy xy y x VP x y VP Bµi 10 ( SBT – ) Gi¶i: Ta cã: n ( 2n – 3) – 2n(n + 1) = 2n2 – 3n – 2n2 – 2n = - 5n Tuần + + 4: § 3; 4; NHỮNG HẰNG ĐẢNG THỨC ĐÁNG NHỚ I Bài tập sách giáo khoa: Bài 16 ( SGK – 11) Viết các biểu thức sau dạng bình phương tổng hiệu: a) ( x2 + 2x + ) = ( x + 1)2 b) 9x2 + y2 + 6xy = ( 3x + y)2 c) 25a2 + 4b2 – 20ab = ( 5a + 2b)2 d) x2 – x + 1 =(x- ) Bài 17 ( SKG – 11) Chứng minh rằng: ( 10a + 5)2 = 100a (a + 1) + 25 Giải: 2 Ta có: ( 10a + 5) = 100a + 100a + 25 = 100a (a + 1) + 25 Bài 18 ( SGK – 12) Kết quả: a) x2 + 6xy + 9y2 = (x + 3y)2 b) x2 – 10xy + 25y2 = (x – 5y)2 Bài 19 ( SGK – 12) PhÇn diÖn tÝch cßn l¹i lµ (a + b) - (a - b) = 4ab vµ kh«ng phô thuéc vµo vÞ trÝ c¾t Bµi 20 (SGK – 12) (x + 2y)2 = x2 + 2.x.2y + (2y)2 = x2 + 4xy + 4y2 x2 + 2xy + 4y2 Vậy kết x2 + 2xy + 4y2 = (x + 2y)2 là sai Kết đúng là: Trần Thị Bích Đào Trường THCS Yên Hợp Lop8.net (5) Nghĩa đồng Năm học 2010 - 2011 x2 + 4xy + 4y2 = (x + 2y)2 Bµi 21 (SGK – 12) a) (2x + 3y)2 + 2.(2x + 3y) + = (2x + 3y)2 + 2.(2x + 3y).1 + 12 = [(2x + 3y) + 1]2 = (2x + 3y + 1)2 b) 9x2 – 6x + = (3x)2 – 2.3x.1 + 12 = (3x – 1)2 Tương tự: x2 + 6x + = (x + 3)2 Bµi 22 (SGK – 12) Gi¶i: 2 2 a, 101 = (100 + 1) = 100 + 2.100.1 + = 10000 + 200 + = 10201 b, 1992 = (200 - 1)2 = 2002 – 2.200.1 + 12 = 40000 – 4000 + = 39601 c, 47.53 = (50 - 3)(50 + 3) = 502 – 32 = 2500 – = 2491 Bµi 23 (SGK – 12) Chóng minh r»ng: Gi¶i: b)2 a, C/M (a + = (a + 4ab XÐt VP = (a - b) + 4ab = a2 – 2ab + b2 + 4ab = a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 = VT (®pcm) b, C/M (a - b)2 = (a + b)2 - 4ab XÐt VP = (a + b)2 - 4ab = a2 + 2ab +b2 – 4ab = a2 – 2ab + b2 = (a -b)2 = VT (®pcm) * Lµm bµi tËp ¸p dông a, Theo C/M trªn ta cã: (a - b)2 = (a + b)2 – 4ab = 72 – 4.12 = 49 – 48 = b, Theo C/M trªn ta cã: (a + b)2 = (a - b)2 + 4ab = 202 + 2.3 = 400 + = 406 Bµi 24 (SGK – 12) Ta cã: 49x2 – 70x = 25 = (7x – 5)2 a) T¹i x = gi¸ trÞ cña biÓu thøc lµ : (7 – 5)2 = 302 = 900 b) T¹i x = b)2 1 , gi¸ trÞ cña biÓu thøc lµ (7 - 5)2 = (- 4)2 = 16 7 Bµi 25 (SGK – 12) Tính: a) (a + b + c)2 = [(a + b) + c]2 = (a + b)2 + 2.(a +b) c + c2 = a2 + b2 + c2 + 2ab+ 2ac + 2bc Bµi 26 (SGK – 12) TÝnh: a) (2x2 + 3y)3 = 8x8 + 36x4y + 53x2y2 + 27y3; b) ( x 3) x x 27 x 27 Bài 27 (SGK – 12) Viết các biểu thức sau dạng lập phương tổng hiÖu: a) – x3 + 12x2 + 48x + 64 = (1 – x)3; b) (8 – 12x + 6x2 – x3) = (2 – x)3 Bµi 28 (SGK – 12) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: a) x3 + 12x2 + 48x + 64 = (x + 4)3 t¹i x = ta cã gi¸ trÞ cña biÓu thøc lµ: (10 + 4)3 = 203 = 000 Trần Thị Bích Đào Trường THCS Yên Hợp Lop8.net (6) Nghĩa đồng x3 6x2 Năm học 2010 - 2011 2)3, b) – + 12x – = (x – t¹i x = 22 ta cã gi¸ trÞ cña biÓu thøc lµ: (22 – 2)3 = 203 = 000 Bµi 29 (SGK – 12) (x – 1)3 (x + 1)3 (y – 1)2 (x – 1)3 (1 + x)3 (y – 1)2 (x + 4)2 N H  N H  U Bµi 30 (SGK – 16) Rót gän c¸c biÓu thøc sau: a) (x + 3)(x2 – 3x + 9) – (54 + x3) = x3 + 27 – 54 – x3 = - 27 b) (2x + y)(4x2 – 2xy +y2) – (2x – y)(4x2 + 2xy + y2) = 8x3 + y3 – 8x3 + y3 = 2y3 Bµi 31 (SGK – 16) Chøng minh r»ng: a) a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b) Biến đổi vế phảI ta có: VP = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 – 3a2b – 3ab2 = a3 + b3 = VT Vậy đẳng thức đã chứng minh b) a3 – b3 = (a - b)3 + 3ab(a + b) Biến đổi vế phảI ta có: VP = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 + 3a2b - 3ab2 = a3 – b3 = VT Vậy đẳng thức đã chứng minh Bài 32 (SGK – 16) Điền các đơn thức thích hợp vào ô trống: a, (3x + y)(9x2 – 3xy + y2) = 27x3 + y3; b, (2x – 5)(4x2 + 10x + 25) = 8x3 – 125 Bµi 33 (SGK – 16) TÝnh: a, (2 + xy)2 = + 4xy + x2y2 ; b, (5 – 3x)2 = 25 – 30x + 9x2 c, (5 – x2)(5 + x2) = 25 – x4 ; d, (5x – 1)3 = 125x3 – 75x2 + 15x – e, (2x – y)(4x2 + 2xy + y2) = 8x3 – y3 ; f, (x + 3)(x2 – 3x + 9) = x3 + 27 Bµi 34 (SGK – 17) Rót gän c¸c biÓu thøc sau: a, (a + b)2 – (a – b)2 = [(a + b) – (a – b)][(a + b) + (a – b)] = 2b.2a = 4ab b, (a + b)3 – (a – b)3 – 2b3 = (a3 + 3a2b + 3ab2 + b3) – (a3 - 3a2b + 3ab2 - b3) – 2b3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 – a3 + 3a2b - 3ab2 + b3 – 2b3 = 6a2b c, (x + y + z)2 – 2(x + y + z)(x + y) + (x + y)2 = [ x + y + z – (x + y)]2 = z2 Bµi 35 (SGK – 17) TÝnh nhanh: a, 342 + 662 + 68.66 b, 742 + 242 – 48.74 = 342 + 2.34.66 + 662 = 742 – 2.74.24 + 242 = (34 + 66)2 = (74 – 24)2 = 1002 = 10000 = 502 = 2500 Bµi 36 (SGK – 17) a, x2 + 4x + = x2 + 2.x.2 + 22 = (x + 2)2 Thay x = 98 vµo biÓu thøc ta ®îc: (98 + 2)2 = 1002 = 10000 b, x3 + 3x2 + 3x + = (x + 1)3 Thay x = 99 vµo biÓu thøc ta ®îc: (99 + 1)3 = 1003 = 1000000 Bài 38 (SGK – 17) Chứng minh các đẳng thức sau: a) (a – b)3 = - (a - b)3 Ta cã: VT = (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 = - (b3 – 3b2a + 3ba2 – a3) = - (a - b)3 VËy §T ®îc chøng minh Trần Thị Bích Đào Trường THCS Yên Hợp Lop8.net (7) Nghĩa đồng Năm học 2010 - 2011 II Bài tập sách bài tập: Bµi 11 (SBT – 4) TÝnh: a) (x + 2y)2 = x2 + 4xy + 4y2; b) c)(x - 3y)(x + 3y) = x2 – 9y2 Bµi 12 (SBT – 4) TÝnh: a) (x – 1)2 = x2 - 2x + 1; c) (x - b) (5 - x)2 = 25 – 10x + x2; ) = x2 – x + ; b) (3 – y)2 = – 6y + y2; Bài 13 (SBT – 4) Viết các biểu thức sau dạng bình phương tổng: a) x2 + 6x + = (x + 3)2 b) x2 + x + 1 = (x + )2 c) 2xy2 + x2y4 + = (xy2)2 + 2xy2 + = ( xy2 + 1)2 Bµi 14 (SBT – 4) Rót gän biÓu thøc a) (x - y)2 + (x + y)2 = 2(x2 + y2) b) (x + y)2 + (x - y)2 + 2(x + y)(x - y) = (x + y)2 + 2(x + y)(x - y) + (x - y)2 = ( x + y + x – y)2 = = 4x2 Bµi 15 (SBT – 5) Gi¶i: §Æt a = 5q + ( q N), ta cã: a2 = 25q2 + 40q + 16 = (25q2 + 40q + 15) + chia cho d Bµi 16 (SBT – 5) a) Ta cã: x2 - y2 = (x + y) (x – y) T¹i x = 87 ; y = 13 gi¸ trÞ cña biÓu thøc lµ: (87 + 13) (87 – 13) = 100 74 = 400 b) Ta cã: x3 - 3x2 + 3x – = (x – 1)3 T¹i x = 101 gÝa trÞ cña biÓu thøc lµ: (101 – 1)3 = 1003 = 000 000 c) Ta cã: x3 + 9x2 + 27x + 27 = (x + 3)3 T¹i x = 97, gi¸ trÞ cña biÓu thøc lµ: ( 97 + 3)3 = 1003 = 000 000 Bµi 17 (SBT – 5) a) (a + b)(a2 - ab + b2) + (a - b)( a2 + ab + b2) = 2a3 Biến đổi vế trái ta có : a3 + b3 + a3 - b3 = 2a3 VP = VT Vậy đẳng thức chứng minh b) a3 + b3 = (a + b)[(a - b)2 + ab] Biến đổi vế phải ta có : (a + b)[(a - b)2 + ab] = (a + b)(a2 - 2ab + b2+ ab) = (a + b)(a2 - ab + b2) = a3 + b3 VP = VT Vậy đẳng thức chứng minh c) (a2 + b2)(c2 + d2) = (ac + bd)2 + (ad - bc)2 Biến đổi vế trái ta có : (a2 + b2)(c2 + d2) = (ac)2 + (ad)2 + (bc)2 + (bd)2 Biến đổi vế phải ta có VP : (ac + bd)2 + (ad - bc)2 Trần Thị Bích Đào Trường THCS Yên Hợp Lop8.net (8) Nghĩa đồng Năm học 2010 - 2011 (ac)2 = + 2abcd + - 2abcd + (bc)2 = (ac)2 + (ad)2 + (bc)2 + (bd)2 VP = VT Vậy đẳng thức chứng minh Bµi 18 (SBT – 5) Chøng tá r»ng: a) x2 – 6x + 10 = (x2 – 2.x.3 + 32) + = (x + 3)2 + V× (x + 3)2 (x + 3)2 + Víi x c) 4x – x2 – = - - (x2 – 4x + 4) = - (x – 2)2 – < víi x Bµi 19 (SBT – 5) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña c¸c ®a thøc: Gi¶i: 2 a) P = x - 2x + = (x - 1) + ≥ VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A = t¹i x = b) Q = 2x2 - 6x = 2(x2 - 3x) = 2(x VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña B = (bd)2 +(ad)2 9 ) - ≥ 2 t¹i x = 2 Bµi 20 (SBT – 5) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña c¸c ®a thøc: Gi¶i: A = 4x - x2 + = - (x2 - 4x + 4) + = - (x - 2)2 + ≤ VËy gi¸ trÞ lín nhÊt cña C = t¹i x = Tuần 5+6+7 § PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT NHÂN TỬ CHUNG I.Bài tập sách giáo khoa Bµi 39 (SGK – 19) Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö: a) 3x – 6y = 3(x – 2y) b) 2 x 5x x y x ( 5x y) 5 c) 14x2y – 21xy2 + 28x2y2 = 7xy(2x – 3y + 4xy) d) 2 x(y – 1) - y(y – 1) = (y – 1) (x – y) 5 Bµi 40 (SGK – 19) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: a) 15 91,5 + 150 0,85 = 15 91,5 + 15 8,5 = 15(91,5 + 8,5) = 15 100 = 500 b) x(x – 1) – y(1 – x) t¹i x = 2001 vµ y = 999 Ta cã: x(x – 1) – y(1 – x) = x(x – 1) + y(x – 1) = (x – 1)(x + y) T¹i x=2001 vµ y = 1999,gi¸ trÞ cña biÓu thøc lµ: (2001 – 1)(2001 + 1999) = 8000000 Bµi 41 (SGK – 19) T×m x, biÕt: a) 5x(x – 2000) – x + 2000 = (x – 2000)(5x – 1) = x – 2000 = x = 2000 hoÆc 5x – = x = ; b) x3 – 13x = x(x2 – 13) = Trần Thị Bích Đào Trường THCS Yên Hợp Lop8.net (9) Nghĩa đồng Năm học 2010 - 2011 hoÆc x = ho Æc x = 13 Bµi 42 (SGK – 19) Ta cã: 55n +1 – 55n = 55n(55 – 1) = 55n Gi¶i: 54 54, víi n lµ sè tù nhiªn § PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ BẰNG PHƯƠNG PHÁP DÙNG HẰNG ĐẲNG THỨC I.Bài tập sách giáo khoa Bµi 43 (SGK – 20) Ph©n tÝch c¸c da thøuc sau thµnh nh©n tö: a) x2 + 6x + = (x + 3)2; b) 10x – 25 – x2 = -(x – 5)2 hoÆc = -(5 – x)2 c) 8x3 - 1 (2 x )(4 x x ) d) 1 x 64 y ( x y )( x y ) 25 5 Bµi 44 (SGK – 20) Ph©n tÝch c¸c ®a thøuc sau thµnh nh©n tö: a) x3 + 1 1 ( x )( x x ) ; 27 3 b) ( a + b)3 – ( a – b)3 = 2b(3a2 + b2) c) ( a + b)3 + ( a – b)3 = 2a(a2 + 3b2); d) 8x3 + 12x2y + 6xy2 + y3 = (2x + y)3 e) –x3 + 9x2 – 27x + 27 = -( x3 - 9x2 + 27x – 27) = - (x – 3)3 Bµi 45 (SGK – 20) T×m x, biÕt: a) – 25x2 = x ; b) x2 – x + 1 x Bµi 46 (SGK – 21) TÝnh nhanh: a) 732 – 272 = (73 + 27)(73 – 27) = 100 46 = 4600; b) 372 – 132 = ( 37 + 13)(37 – 13) = 50 24 = 1200; c) 20022 – 22 = (2002 +2)(2002 – 2) = 2004 2000 = 008 000 § PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ BẰNG PHƯƠNG PHÁP NHÓM HẠNG TỬ I.Bài tập sách giáo khoa Bµi 47 (SGK – 22) Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö: a) x2 – xy + x – y = x(x – y) + ( x – y) = (x-y)(x + 1); b) xz + yz – 5(x + y) = z(x + y) – 5(x + y) = (x + y)(z – 5) c) 3x2 – 3xy – 5x + 5y = 3x(x – y) -5(x – y) = ( x- y)(3x – 5) Bµi 48 (SGK – 22) Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö: a) x2 + 4x – y2 + = (x + 2)2 – y2 = ( x + y +2)( x- y + 2); b) 3x2 + 6xy + 3y2 – 3z2 = 3[(x2 + 2xy + y2) – z2] = 3( x+y+z)( x+y – z); Trần Thị Bích Đào Trường THCS Yên Hợp Lop8.net (10) Nghĩa đồng Năm học 2010 - 2011 Bµi 49 (SGK – 22) TÝnh nhanh: b) 452 +402 -152 +80 45 = ( 452 + 45.40+402 ) – 152 = ( 45 + 40 )2 – 152 = 852 – 152 = ( 85 – 15 ) ( 85 + 15) = 70 100 = 000 Bµi 50 (SGK – 23) T×m x, biÕt: a) x(x – 2) + x – = b) 5x(x- 3) – x + =0 (x – 2)(x + 1) = ( x – 3) ( 5x – 1) = x = hoÆc x = -1 x = hoÆc x = § PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ BẰNG PHƯƠNG PHÁP NHÓM HẠNG TỬ I.Bài tập sách giáo khoa Bµi 51 (SGK – 24) Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö: a) x3 – 2x2 + x = x(x2 – 2x + 1) = x(x – 1)2; b) 2x2 + 4x + – 2y2 = 2[(x2 + 2x + 1) – y2] = 2( x+ y + 1)(x – y + 1) c) 2xy - x2 - y2 +16 = -(-2xy + x2 + y2 - 16) = -[(x - y)2 - 42] = -(x – y + 4)(x – y - 4) = (y – x - 4)(-x + y + 4) =(x – y - 4)(y – x + 4) Bµi 52 (SGK – 24) Ta cã: (5n+2)2- = (5n+2)2-22 = [(5n+2)-2][(5n+2)+2] = 5n(5n+4) ( n lµ c¸c sè nguyªn) Bµi 53 (SGK – 24) Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö: a) x2 - 3x + ( T ách -3x = - x -2x); b) x2 + x - (Tách x = 3x - 2x) = x2 - x - 2x + = x2 + 3x - 2x - = (x2 - x) - (2x - 2) = (x2 + 3x) - (2x + 6) = x(x - 1) - 2(x - 1) = x(x + 3) - 2(x + 3) = (x - 1)(x - 2) = (x + 3)(x - 2) c) x + 5x + ( T ách 5x = 2x + 3x) = (x2 + 2x) + (3x + 6) = x(x + 2) + 3(x + 2) = (x + 2)(x + 3) Bµi 54 (SGK – 25) Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö: a) x3+ x2y + xy2- 9x =x[(x2+2xy+y2)-9] =x[(x+y)2-32] =x[(x+y+3)(x+y-3)] b) 2x- 2y-x2+ 2xy- y2 = 21(x-y)-(x2-2xy+x2) = 2(x-y)-(x-y)2=(x-y)(2- x+y) Bµi 55 (SGK – 25) T×m x, biÕt: 4 2 a) x3- x = x(x2- ) = x[x2-( )2] = x(x- )(x+ ) = x=0 x+ = x- = x=2 x= Trần Thị Bích Đào Trường THCS Yên Hợp Lop8.net (11) Nghĩa đồng Năm học 2010 - 2011 1 hoÆc x=2 2 b) (2x-1) -(x+3) = [(2x-1)+(x+3)][(2x-1)-(x+3)]= (3x+2)(x-4) = (3x+2) = x= (x- 4) = x = VËy x = hoÆc x= VËy x= hoÆc x = c) x2(x-3)3+12- 4x =x2(x-3)+ 4(3-x) =x2(x-3)- 4(x-3) =(x-3)(x2- 4) =(x-3)(x2-22) =(x-3)(x+2)(x-2)=0 Ta cã: (x-3) = x = (x+2) = x =-2 (x-2) = x = Bµi 57 (SGK – 25) Ph©n tÝch ®a thøuc thµnh nh©n tö: d) x4 + = x4 + 4x2 + – 4x2 ={(x2)2 + x2.2 + 22 }– (2x)2 =(x2 + 2)2 – (2x)2 =( x2 + + 2x )(x2 + – 2x) =( x2 + 2x + )(x2 – 2x + 2) Bµi 58 (SGK – 25) Ta cã: n3 – n = n(n2 – 1) = n(n + 1)(n –1) là số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho và , maø (2; 3) = neân chia heát cho 2.3 = Tuần § 10 CHIA ĐƠN THỨC CHO ĐƠN THỨC I.Bài tập sách giáo khoa Làm tính chia: Bµi 59 (SGK – 26) 4 a) 53 : (-5)2 = 5; b) ( ) : ( ) ( ) ; c) ( -12)3 : 83 = - Bµi 60 (SGK – 27) a) x10 : (-x)8 = x2; b) (-x)5 : (-x)3 = (-x)2 = x2 27 c) = -y Bµi 61 (SGK – 27) a) 5x2y4 : 10x2y = y ; b) = - xy ; c) = -x5y5 Bµi 62 (SGK – 27) Ta cã: 15x4y3z2 : 5xy2z2 = 3x3y T¹i x = 2; y = -10; z = 2004, gia strÞ cña biÓu thøc lµ: 23 (-10) = - 240; § 11 CHIA ĐA THỨC CHO ĐƠN THỨC Trần Thị Bích Đào Trường THCS Yên Hợp Lop8.net (12) Nghĩa đồng Năm học 2010 - 2011 Bài 63 (SGK – 27) Không làm tính chia, hãy xét xem đa thức A có chia hết cho đơn thức B kh«ng: A = 15xy2 + 17xy3 + 18y2; B = 6y2 §S: A chia hÕt cho B Bµi 64 (SGK – 27) Lµm tÝnh chia: a) ( - 2x5 + 3x2 – 4x3 ) : 2x2 = -x3 + 3/2- 2x b) ( 3x2y2 + 6x2y3 – 12xy ) : 3xy = xy + 2xy2 - c) (x3 – 2x2 + 3xy2) : ( - x) -2x2 + 4xy – 6y2 Bµi 65 (SGK – 28) = 3(x – y)2 + 2(x – y) – Bµi 66 (SGK – 28) - Quang trả lời đúng vì xét tính chia hết đơn thức A cho đơn thức B ta quan tâm đến phần biến mà không cần xét đến chia hết các hệ số đơn thức - Hµ tr¶ lêi sai Tuần 9: § 12 CHIA ĐA THỨC MỘT BIẾN Đà SẮP XẾP Bµi 67 (SGK – 31) S¾p xÕp c¸c ®a thøc theo luü thõa gi¶m dÇn cña biÕn råi lµm phÐp chia: a) ( x3 - x2- 7x + ) : (x - 3) x3 - x2- 7x + x3- 3x2 x-3 x2 + 2x - + 2x2- 7x +3 2x2- 6x - x+3 -x+3 Bài 68 (SGK – 31) áp dụng đẳng thức đáng nhớ để làm tính chia: a) (x2 + 2xy + 1) : (x + y) = x + y b) (125 x3 + 1) : (5x + 1) = (5x + 1)2 c) (x2 - 2xy + y2) : (y - x) = y – x Bµi 69 (SGK – 31) Trần Thị Bích Đào Trường THCS Yên Hợp Lop8.net (13) Nghĩa đồng 3x x Năm học 2010 - 2011 6x x2 1 3x x 3x 3x x 3x x x x3 3x x 3x 3 5x 3x4+x3+6x – = (x2+1)(3x2+x – ) + 5x – Bµi 71 (SGK – 32) a) Coù b) coù Bµi 72 (SGK – 32) Lµm tÝnh chia: 2x4 + x3 - 3x2 +5x - x2 – x + 2x4 – 2x3 + 2x2 2x2 +3x - + 3x3 – 5x2 + 5x - 3x3 – 3x2 + 3x - 2x2 + 2x - - 2x2 + 2x - Bµi 73 (SGK – 32) TÝnh nhanh: a) (4x2 - 9y2 ) : (2x-3y) = [(2x)2 - (3y)2] : (2x-3y) = (2x - 3y)(2x + 3y) : (2x-3y) = 2x + 3y b) (27x3 - 1) : (3x - 1) = [(3x)3 - 1] : (3x - 1) = (3x – 1)(9x2 + 3x + 1) : (3x – 1) = 9x2 + 3x + c) (8x3 + 1) : (4x2 - 2x + 1) = [(2x)3 + 1] : (4x2 - 2x + 1) =(2x + 1)( 4x2 - 2x + 1) : (4x2 - 2x + 1) = 2x + d) (x2 - 3x + xy - 3y) : (x + y) = [x(x - 3) + y (x - 3)] : (x + y) = (x + y) (x - 3) : ( x + y) = x – Bµi 74 (SGK – 32) 2x3 - 3x2 + x +a - 2x3 + 4x2 - 7x2 + x + a x+2 2x2 - 7x + 15 Trần Thị Bích Đào Trường THCS Yên Hợp Lop8.net (14) Nghĩa đồng Năm học 2010 - 2011 - -7x2 - 14x 15x + a - 15x + 30 a - 30 G¸n cho R = a - 30 = a = 30 VËy a = 30 th× ®a thøc 2x3 - 3x2 + x +a chia hÕt cho ®a thøc x + Bµi 75 (SGK – 33) Lµm tÝnh nh©n: a , 5x2 ( 3x2 – 7x + ) = 15x4 – 21 x3 +10x2 b, xy ( 2x2y – 3xy + y2 ) = x3y2 – 2x2y2 + xy3 3 Bµi 76 (SGK – 33) Lµm tÝnh nh©n: a) ( 2x2 – 3x ) ( 5x2 – 2x + ) = 10x4 – 4x3 + 2x2 – 15x3 + 6x2 – 3x = 10x4 – 19x3 + 8x2 – 3x b) ( x – 2y ) ( 3xy + 5y2 + x ) = 3x2y + 5xy2 +x2– 6xy2 – 10y3 – 2xy = 3x2y – x y2 + x2 – 10y3 – 2xy Bµi 77 (SGK – 33) Tính nhanh giá trị biểu thức: a , M = x2 + 4y2 – 4xy taïi x = 18 vaø y = M = ( x – 2y )2 = ( 18 – ) = 102 = 100 b , N = 8x3 – 12x2y + 6xy2 – y3 taïi x= y = -8 N = ( 2x – y ) = [ – (-8 ) ]3 = 203 = 8000 Bài 78 ( SGK – 33): Rót gän c¸c biÓu thøc sau: a) (x + 2)(x -2) - ( x- ) ( x+ 1) = x2 - - (x2 + x - 3x- 3) = x2 - - x2 - x + 3x + = 2x – b) (2x + )2 + (3x - )2+2(2x + 1)(3x- 1) = 4x2+ 4x+1 + 9x2- 6x+1+12x2- 4x + 6x -2 = 25x2 Bài 79 ( SGK – 33): Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö: a) x2 - + (x - 2)2 = x2 - 2x2 + (x - 2)2 = (x - 2)(x + 2) + (x - 2)2 = (x - )(x + + x - 2) = (x - ) 2x 2 b) x - 2x + x - xy = x(x - 2x + - y ) = x[(x - 1)2 - y2] = x(x - y - )(x + y - 1) c) x3 - 4x2 - 12x + 27 = x3 + 33 - (4x2 + 12x) = (x + 3)(x2 - 3x + 9) - 4x (x + 3) = (x + ) (x2 - 7x + 9) Bài 80 ( SGK – 33): Làm tính chia: a) 6x3 – 7x2 – x + 2x + Trần Thị Bích Đào Trường THCS Yên Hợp Lop8.net (15) Nghĩa đồng Năm học 2010 - 2011 6x3 + 3x2 3x2 – 5x + - 10x2 – x + - 10x2 – 5x 4x + 4x + b) x4 – x3 + x2 + 3x x2 – 2x + x4 – 2x3 + 3x2 x2 + x x3 - 2x2 + 3x x3 - 2x2 + 3x Bài 81 ( SGK – 33) T×m x, biÕt: a) x( x 4) x x x x 2 b) (x + 2)2 - (x - 2)(x + 2) = (x + 2)(x + - x + 2) = 4(x + ) = x + = x = -2 c) x + 2 x + 2x = x + x2 + x2 + 2x3 = x( x + 1) + x2 ( x + 1) = ( x + 1) (x +( x2) = x( x + 1) ( x + 1) = x( x + 1)2 = x=0 1 ( x + 1) = x = Bài 82 ( SGK – 33) Chóng minh: a) x2 - 2xy + y2 + > Mäi x, y R (x -y )2 + > v× (x - y2) mäi x, y VËy ( x - y)2 + > mäi x, y R Bài 83 ( SGK – 33) 2n n n 1 2n 2n Với n Z thì n – Z 2n2 – n + chia hết cho 2n + Khi Z 2n Hay 2n + Ö ( ) 2n + { ; 3 Vaäy: 2n2 – n + chia heát cho 2n + Khi n { ; -1 ; -2 ; Trần Thị Bích Đào Trường THCS Yên Hợp Lop8.net (16) Nghĩa đồng Năm học 2010 - 2011 CHƯƠNG II: PHÂN THỨC ĐẠI SỐ § PHÂN THỨC ĐẠI SỐ I Bài tập sách giáo khoa: Bài 1(SGK – 36): Dùng định nghĩa hai phân thức để chúng tỏ rằng: :a) y 20 xy v× 5y.28x = 7.20 xy = 140 xy 28 x x ( x 2)( x 1) ; V×: (x+2)(x2 -1) =( x+2)(x+1)(x-1) x 1 x 1 x x x 3x d) vì:(x2 – x –2)( x –1 ) = ( x + ) ( x – ) ( x – 1) x 1 x 1 c) (x2 – 3x+ 2)( x +1)=( x– )( x– )( x + 1) (x2 – x–2 )( x – )( x2 – 3x + 2)( x +1 ) § TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA PHÂN THỨC ĐẠI SỐ Bài 4(SGK – 38): Lan đúng vì : x3 x( x 3) x x(2 x 5) x 1) x x x2 x x 4 x x4 Giang đúng vì : 3 x 3x Hïng sai v× : Huy sai ( x- )3 = - ( – x ) = - ( – x )3 ( x 9)3 (9 x) 2(9 x) (9 x) (9 x) Hoặc ( Sửa vế trái ) 2(9 x) Phải sửa là : Bài 6(SGK – 38): * Cách 1: Chia x5 -1 cho x – thương là x4+x3+x2+x + x5 – = ( x -1 ) (x4+x3+x2+x + ) x ( x 1)( x x x x 1) x2 ( x 1)( x 1) x x3 x x x 1 * Cách Trần Thị Bích Đào Trường THCS Yên Hợp Lop8.net (17) Nghĩa đồng Năm học 2010 - 2011 x 1 x x x x x x x x x 1 ( x 1)( x 1) x2 1 5 4 3 2 x ( x 1) x ( x 1) x( x 1) ( x 1) ( x 1)( x 1) ( x 1)( x x x x 1) ( x 1)( x 1) x4 x3 x2 x 1 x 1 § RÚT GỌN PHÂN THỨC Bài 7.(SGK – 39): Rút gọn phân thức: x y 3x 10 xy ( x y ) 2y b ) ; ; xy 15 xy ( x y ) 3( x y ) x xy x y x( x y ) ( x y ) d) x xy x y x( x y ) ( x y ) ( x y )( x 1) x y ( x y )( x 1) x y : a) Bài 8(SGK – 40): Câu nào đúng, câu nào sai? xy x ; 9y a) b) xy x ; 9y 3 c) c) x x x( x 1) 2x x 1 x 1 xy x x ; 9y 3 d) xy x x 9y Câu a, d là đáp số đúng Câu b, c là sai( Chưa phân tích tử & mẫu thành nhân tử để tìm nhân tử chung mà đã rút gọn) Bài 9(SGK – 40): a) 36( x 2)3 36( x 2)3 36( x 2)3 32 16 x 16(2 x) 16( x 2) 9( x 2) x xy x( x y ) x( y x) y xy y ( y x) y ( y x) x 5y b) Bài 10 (SGK – 40): Bài 11 (SGK – 40): x x x x x x x 1 x2 1 x ( x 1) x ( x 1) x ( x 1) x ( x 1)( x 1) a) ( x 1)( x x x 1) x x x ( x 1)( x 1) x 1 Bài 12 (SGK – 40): a) Trần Thị Bích Đào 12 x y xy 2 x 2 x 18 xy xy y 3 y 15 x( x 5)3 3( x 5) b) 20 x ( x 5) 4x b) x 14 x 3x 3x 7( x x 1) x( x 1) 7( x 1) 7( x 1) Lop8.net Trường THCS Yên Hợp (18) Nghĩa đồng x 12 x 12 x 8x 3( x x 4) x( x 2)( x x 4) 3( x 2) x ( x x 4) Năm học 2010 - 2011 y x2 ( y x)( y x) 2 x x y xy y ( x y )3 b) ( x y )( x y ) ( x y ) ( x y )3 ( x y)2 Bài 13 (SGK – 40): a) 45 x(3 x) 45 x( x 3) 3 3 15 x( x 3) 15 x( x 3) ( x 3) § QUY ĐỒNG MẪU THỨC NHIỀU PHÂN THỨC Bài 14 (SGK – 43): Quy đồng mẫu thức các phân thức: a) MTC = 12x5y4 5.12 y 60 y x y x y 12 y 12 x y 7 x2 12 x y 12 x y Bài 15 (SGK – 43): Quy đồng mẫu thức các phân thức: b) 2x x x x 16 vµ x 12 x 2x x 2x x x x 16 ( x 4) ; x 12 x = x( x 4) MTC: 3x(x-4) 2x x.3 x 6x2 2x 2 x x 16 = ( x 4) = x( x 4) = x( x 4) x x( x 4) x x 12 x = x( x 4) = x( x 4) Bài 16 (SGK – 43): x 3x x 3x x 1 ( x 1)( x x 1) a) 2 2x (1 x)( x 1) x x ( x 1)( x x 1) Trần Thị Bích Đào 10 10.6( x 2) 60( x 2) b) x ( x 2).6( x 2) 6( x 2)( x 2) 5 5.3( x 2) x 2( x 2) 2( x 2).3( x 2) = 15( x 2) 6( x 2)( x 2) 1 2( x 2) Trường THCS Yên Hợp x 3( x 2) 6( x 2)( x 2) Lop8.net (19) Nghĩa đồng 2( x 1) -2 = ( x 1)( x x 1) Bài 17 (SGK – 43): 5x2 5x2 2 x 6x x ( x 6) x 3x 18 x 3x( x 6) x 36 ( x 6)( x 6) Năm học 2010 - 2011 -Hai bạn trả lời đúng, bạn Lan tìm mẫu thức chung đơn giản vì bạn đã rút gọn phân thức Bài 18 (SGK – 43): Quy đồng mẫu thức hai phân thức: a) x3 3x vaø x 4 2x 2x + = ( x +2 ); x – = ( x- ) ( x + ) MTC : ( x – ) ( x + ) 3x 3x x( x 2) x 2( x 2) 2( x 2)( x 2) x3 ( x 3).2 2x x 2( x 2)( x 2) 2( x 2)( x 2) b) x x5 vaø 3( x 2) x 4x MTC : 3(x + )2 x5 x5 ( x 5).3 x 15 2 x x ( x 2) 3( x 2) 3( x 2) 2 x x( x 2) x2 2x 3( x 2) 3( x 2)( x 2) 3( x 2) Bài 19 (SGK – 43): Quy đồng mẫu thức các phân thức: a) , x 2x x c) 2x – x2 = -x(x – 2) x3 -3x2y + 3xy2 – y3 = (x - y)3 y2 – xy = -y(x – y) 8 = x( x 2) x( x 2) 2x x MTC = x(x + 2)(x – 2) 1.x( x 2) x( x 2) = ( x 2) x( x 2) x( x 2)( x 2) x2 8 8( x 2) = = x( x 2) x( x 2) x( x 2)( x 2) 2x x b) x2 x3 x , 2 x x y xy y y xy x4 +1, x 1 x x = y xy y( x y) MTC = y(x – y)3 x3 x x y xy y = x3 x3 y ( x y )3 ( x y )3 y x( x y ) x x = = y ( x y )3 y xy y( x y) MTC = x2 – x ( x 1)( x 1) x +1= x2 1 x 1 x x 1 x2 Bài 20 (SGK – 44): Ta chøng tá MTC chia hÕt cho MT cña mçi PT V×: x + 5x - 4x – 20 = x + x + x + 6x – 10x – 20 = x (x + 2) + 3x(x + 2) – 10(x + 2) = (x + 2)( x + 3x – 10) vµ x + x - 4x – 20 = x + x - x + 10x – 14x – 20 Trần Thị Bích Đào Trường THCS Yên Hợp Lop8.net (20) Nghĩa đồng Năm học 2010 - 2011 = x (x – 2) + 7x(x – 2) + 10(x – 2) = (x – 2)( x + 7x + 10) (x3 + 5x2 – 4x –20):(x2 + 3x –10) = (x+2) (x3 + 5x2 – 4x –20):(x2 + 7x +10) = (x - 2) MTC : ( x + ) ( x -2 ) (x+5) Trần Thị Bích Đào Trường THCS Yên Hợp Lop8.net (21)