A/Môc tiªu Học xong buổi học này HS cần phải đạt đ−ợc : KiÕn thøc - HS thµnh th¹o c¸c ph−¬ng ph¸p ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö vµ thÊy ®−îc sù quan träng cña viÖc ph©n ph©n tÝch ®a [r]
(1)Tr−êng THCS Hång H−ng N¨m häc 2011 - 2012 Ngµy so¹n : 22/08/11 Ngµy d¹y : 26/08/11 Chủ đề ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö Buæi c¸c ph−¬ng ph¸p ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö A/Môc tiªu Học xong buổi học này HS cần phải đạt đ−ợc : KiÕn thøc - Häc sinh nhí l¹i vµ vËn dông ®−îc c¸c ph−¬ng ph¸p ph©n tÝch ®a thức thành nhân tử: Đặt nhân tử chung; dùng đẳng thức; nhóm các h¹ng tö - Häc sinh hiÓu vµ vËn dông ®−îc c¸c ph−¬ng ph¸p ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: T¸ch mét h¹ng tö thµnh nhiÒu h¹ng tö; hoÆc thªm, bít cïng mét h¹ng tö KÜ n¨ng - RÌn kÜ n¨ng ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö - N©ng cao kh¶ n¨ng t− duy, quan s¸t, t×m h−íng gi¶i, tr×nh bµy Thái độ - Học sinh có thái độ học tập nghiêm túc, tự giác, tích cực, chủ động B/ChuÈn bÞ cña thÇy vµ trß - GV: - HS: ¤n l¹i c¸c ph−¬ng ph¸p ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö C/TiÕn tr×nh bµi d¹y I Tæ chøc - sÜ sè II KiÓm tra bµi cò (5 phót) - HS: Nªu c¸c ph−¬ng ph¸p ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö mµ em đã đ−ợc học trên lớp ? - GV: Nh¾c l¹i, bæ sung III Bµi míi (170 phót) Ph−¬ng ph¸p 1: §Æt nh©n tö chung LÝ thuyÕt: a) Ph−ơng pháp đặt nhân tử chung đ−ợc dùng các hạng tử đa thức cã nh©n tö chung Cô thÓ: AB + AC + AD = A(B + C + D) b) C¸c b−íc tiÕn hµnh: B−ớc 1: Phát nhân tử chung và đặt nhân tử chung ngoài dấu ngoÆc Gi¸o ¸n Båi d−ìng HSG PhÇn §¹i sè Lop8.net (2) Tr−êng Tr−êng THCS Hång H−ng B−íc 2: ViÕt c¸c h¹ng tö ngoÆc b»ng c¸ch chia tõng h¹ng tö cña ®a thøc cho nh©n tö chung Bµi tËp: Bµi 1: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö : A = 2x2 + x => A = x(2x + 1) B = 17x3y - 34x2y2 + 51xy3 ⇒ B = 17xy( x2 - 2xy + 3y2) C = 16x2(x - y) -10y(y - x) ⇒ C = (x - y)(16x2 + 10y) D = 2ax3 + 4bx2y + 2x2(ax - by) => D = 2x2(ax + 2by + ax - by) = 2x2(2ax + by) Bµi 2: Ph©n tÝch A vµ B thµnh nh©n tö: A = 10a − b 5a + a B=x y −y x (a ≥ 0) (x ≥ 0;y ≥ 0) Ph−ơng pháp 2: Dùng đẳng thức LÝ thuyÕt: a) Phân tích đa thức thành nhân tử ph−ơng pháp dùng đẳng thức đ−ợc dùng các hạng tử đa thức có dạng đẳng thức b) Các đẳng thức quan trọng 1) a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 a + a.b + b = ( a + b)2 2 (a,b ≥ 0) 2) a - 2ab + b = (a - b) a − a.b + b = ( a − b)2 (a,b ≥ 0) 3) a – b = (a + b).(a – b) 4) a − b = ( a + b).( a − b) (a,b ≥ 0) 2 3 5) a + 3a b + 3ab + b = (a + b) a3 + 3a b + 3b a + b3 = ( a + b)3 2 6) a - 3a b + 3ab - b = (a - b) (a,b ≥ 0) a3 − 3a b + 3b a − b3 = ( a − b)3 (a,b ≥ 0) 7) a + b = (a + b)(a − ab + b ) 3 2 a a + b b = a3 + b3 = ( a + b)(a − ab + b) n n n-1 a + b =(a + b)(a n-2 n-2 - a b + - ab (a,b ≥ 0) n-1 + b ) víi n lÎ (n ≥ , nguyªn) 8) a − b = (a − b)(a + ab + b ) 3 2 a a − b b = a3 − b3 = ( a − b)(a + ab + b) (a,b ≥ 0) an - bn = (a - b)(an-1 + an-2b + + abn-2 + bn-1)víi n lÎ (n ≥ , nguyªn) 9) a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc = (a + b + c)2 a + b + c + ab + ac + bc = ( a + b + c)2 2 (a,b ≥ 0) 2 a + b + c + d + 2ab + 2ac + 2ad + 2bc + 2bd + 2cd = (a + b + c + d ) 10) Lòy thõa bËc n cña mét nhÞ thøc (nhÞ thøc Niu t¬n) Gi¸o viªn: Ph¹m V¨n HiÖu Lop8.net (3) Tr−êng THCS Hång H−ng N¨m häc 2011 - 2012 (a + b) = 1 (a + b) = 1a + 1b 2 (a + b) = 1a + 2ab + 1b 3 2 (a + b) = 1a + 3a b + 3ab + 1b 4 2 (a + b) = 1a + 4a b + 6a b + 4ab + 1b 5 2 (a + b) = 1a + 5a b + 10a b + 10a b + 5ab + 1b ………………………………………………………… Viết tam giác Pa – xcan để khai triển (a + b)n nh− sau: 1 1 1 3 1 1 10 10 ……………………………………… C¸ch viÕt: + Mỗi dòng bắt đầu và kết thúc + Mỗi số trên dòng kể từ dòng thứ hai số liền trên cộng víi sè bªn tr¸i cña sè liÒn trªn Bµi tËp: Bµi 1: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö : a) x2 - = x2 - 22 = (x - 2)(x + 2) b) x2 + 2xy + y2 - 25 = (x + y)2 - 52 = (x + y + 5)(x + y - 5) Bµi 2: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö : P =(a2+ 4)2- 16a2 =(a2+ 4)2- (4a)2 = [(a2 + 4) - 4a][(a2 + 4) + 4a] = (a - 2)2(a + 2)2 Q = (x + y)2 - 2(x + y) + = ( x + y - 1)2 R = a3+ 6a2 + 12a + = (a + 2)3 Bµi 3: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö : a) (x - y)2 - (y - z)2 b) 8x3 - 36x2y + 54xy2 - 27y3 c) 4a2b2 - (a2 + b2 - c2)2 Bµi 4: Ph©n tÝch M, N, P thµnh nh©n tö : M = a2 − N = 9a − (a ≥ 0) P = x + 1+ x (x ≥ 0) Ph−¬ng ph¸p 3: Nhãm c¸c h¹ng tö LÝ thuyÕt Ph−¬ng ph¸p nµy th−êng ®−îc dïng cho nh÷ng ®a thøc cÇn ph©n tÝch thµnh nh©n tö ch−a cã nh©n tö chung hoÆc ch−a ¸p dông ®−îc h»ng đẳng thức mà sau nhóm các hạng tử đó biến đổi sơ nhóm lại Gi¸o ¸n Båi d−ìng HSG PhÇn §¹i sè Lop8.net (4) Tr−êng Tr−êng THCS Hång H−ng thì xuất đẳng thức có nhân tử chung, cụ thể: B−ớc 1: Phát nhân tử chung đẳng thức nhóm B−ớc 2: Nhóm để áp dụng ph−ơng pháp đẳng thức đặt nhân tö chung B−íc 3: §Æt nh©n tö chung cho toµn ®a thøc Bµi tËp Bµi 1: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö : a) xy - xz - y + z = (xy - xz) - (y - z ) = x(y - z) - (y - z) = (y - z)(x - 1) b) x2 + y2 - z2 + 2xy + 2z - = (x2 + 2xy + y2) - (z2 - 2z + 1) = (x + y)2- (z - 1)2 = (x + y - z + 1)(x + y + z - 1) Bµi 2: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö : a) 5x2 - 5xy - 10x + 10y b) x3 - x2y - x2z - xyz c) 2x2 + 2y2 - x2z + z - y2z - d) (a2 + b2)xy + (x2 + y2)ab Bµi 3: Ph©n tÝch D, E thµnh nh©n tö : D = a − a + 1− b (a ≥ 0;b ≥ 0) E = a b − a + ab − b − b a (a ≥ 0,b ≥ 0) Ph−¬ng ph¸p 4: T¸ch mét h¹ng tö thµnh nhiÒu h¹ng tö; hoÆc thªm, bít cïng mét h¹ng tö LÝ thuyÕt *) Lí thuyết chung: Ph−ơng pháp này nhằm biến đổi đa thức để tạo hạng tử thích hợp để nhóm sử dụng đẳng thức: *) C¸c tr−êng hîp: a, Tr−êng hîp ®a thøc d¹ng ax2 + bx + c ( a, b, c ∈ Z; a, b, c ≠ 0) TÝnh : ∆ = b2 - 4ac: - NÕu ∆ = b2 - 4ac < 0: §a thøc kh«ng ph©n tÝch ®−îc - NÕu ∆ = b2 - 4ac = 0: §a thøc chuyÓn vÒ d¹ng b×nh ph−¬ng cña mét nhÞ thøc bËc nhÊt - NÕu ∆ = b2 - 4ac > +) ∆ = b2 - 4ac = k2 ( k ∈ Q) ®a thøc ph©n tÝch ®−îc tr−êng Q +) ∆ = b2 - 4ac ≠ k2 ®a thøc ph©n tÝch ®−îc tr−êng sè thùc R b, Tr−êng hîp ®a thøc tõ bËc trë lªn: - NhÈm nghiÖm cña ®a thøc: +) NÕu tæng c¸c hÖ sè cña c¸c h¹ng tö b»ng ⇒ ®a thøc cã nghiÖm b»ng +) NÕu tæng c¸c hÖ sè cña c¸c h¹ng tö bËc ch½n b»ng tæng c¸c hÖ sè cña c¸c h¹ng tö bËc lÎ ⇒ ®a thøc cã nghiÖm b»ng - - L−u ý định lý: " Nếu đa thức có nghiệm nguyên thì nghiệm nguyên đó phải lµ −íc cña h¹ng tö tù NÕu ®a thøc cã nghiÖm h÷u tØ d¹ng p th× p lµ −íc q cña h¹ng tö tù do, q lµ −íc d−¬ng cña hÖ sè cña h¹ng tö cã bËc cao nhÊt" Gi¸o viªn: Ph¹m V¨n HiÖu Lop8.net (5) Tr−êng THCS Hång H−ng N¨m häc 2011 - 2012 - Khi biÕt mét nghiÖm cña ®a thøc ta cã thÓ dïng phÐp chia ®a thøc, hoÆc dùng sơ đồ Hooc – ne để hạ bậc đa thức Bµi tËp Bµi 1: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö : 5x2 + 6xy + y2 C¸ch 1: T¸ch 6xy thµnh 5xy + xy cã: 5x2 + 6xy + y2 = (5x2 + 5xy) + (xy + y2 ) = 5x(x + y) + y(x + y) = (5x + y)(x + y) 2 C¸ch 2: Thªm 4x vµo 5x råi bít 4x ta cã : 5x2 + 6xy + y2 = 9x2 + 6xy + y2- 4x2 = (9x2 + 6xy + y2)- 4x2 = (3x + y)2 - (2x)2= (5x + y)(x + y) Bµi 2: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö : x3 + 3x2 - C¸ch 1: x3 + 3x2 - = x3 + 4x2 - x2 - 4x + 4x - = x2(x - 1)+ 4x( x - 1) + 4(x - 1) = (x - 1)(x + 2)2 C¸ch 2: x3 + 3x2 - = x3 - x2 + 4x2 – = = (x - 1)(x + 2)2 C¸ch 3: x3 + 3x2 - = x3 - + 3x2 – = (x - 1)(x + 2)2 Bµi 3: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö : a) A = 3x3 + 2x2 + 2x – b) B = x4 + c) C = x2 - 6x + Gi¶i: a) NhÈm ®−îc nghiÖm x = 3 A = 3x + 2x + 2x – = 3x - x2 + 3x2 + 3x - x - = x2( 3x - 1) + 3x( x + 1) - (x +1) = x2(3x - 1) + (x + 1)( 3x - 1) = (3x - 1) ( x2 + x + 1) b) B = x4 + = x4 + + 4x2 - 4x2 = (x2 + 2)2- (2x)2 = (x2 + 2x + 2)(x2 – 2x + 2) c) C = x2 - 6x + = x2- 6x + + - 1= (x - 3)2- = (x - - 1)( x - + 1) = (x - 4)(x - 2) HoÆc C = x2 - 6x + = x2 - 2x - 4x + = x( x - 2) - ( x - 2) = (x - 2)( x - 4) Bµi 4: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö : P = x2 - 7xy + 12y2 = x2 - 3xy - 4xy + 12y2 P = x(x - 3y) - 4y(x - 3y) = (x - 3y)(x - 4y) Q = x3 - 3x + = x3 - - 3x + = (x - 1)(x2 + x + 1) - 3(x - 1) = (x - 1)(x2 + x - 2) Bµi 5: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö : Q = x4 + 64 = x4 + 16x2 + 64 - 16x2 Gi¸o ¸n Båi d−ìng HSG PhÇn §¹i sè Lop8.net (6) Tr−êng Tr−êng THCS Hång H−ng = ( x2 + 8)2 - (4x)2 = (x2 + - 4x)(x2 + + 4x) Bµi 6: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö : a) 4x4 + 81 = 4x4 + 36x2 + 81 - 36x2 = (4x4 + 36x2 + 81) - (6x)2 = (2x2 + 9)2- (6x)2 = (2x2 + - 6x)(2x2 + + 6x) b) x7 + x2 + = x7 – x + x2 + x + = (x7 - x) + (x2 + x + 1) = x(x6 - 1) + (x2 + x + 1) = x(x3 - 1)(x3 + 1) + (x2 + x + 1) = x(x - 1)(x3 + 1)(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)[x(x - 1)(x3 + 1) + 1] = (x2 + x + 1)(x5 - x4 + x2 – x + 1) *) Chú ý: Các đa thức dạng: x3m+1 + x3n+2 + chứa thừa số x2 + x + với mäi sè tù nhiªn m, n Chøng minh: Ta cã x3m+1 + x3n+2 + = x3m+1 - x + x3n+2 - x2 + x2 + x + = x(x3m - 1) + x2(x3n - 1) + (x2 + x + 1) Ta thấy x3m - và x3n - chia hết cho x3 - đó chia hết cho x2 + x + VËy x3m+1 + x3n+2 + chia hÕt cho x2 + x + Bµi 7: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö: a) x4 + 5x3 + 10x − b) x3 + y3 + z3 − 3xyz c) x8 + x + d) x5 + x4 + H−íng dÉn: a) Thêm bớt 2x2, đáp số: ( x2 + 5x − 2)( x2 + 2) HoÆc nhãm: 4 e) x10 + x5 + 2 x + 5x + 10x − = ( x − ) + (5x + 10x ) = ( x + 2)( x − 2) + 5x( x + 2) = b) Thªm bít 3xy(x + y), ta ®−îc: 3 3 x + y + 3xy ( x + y ) + z - 3xy ( x + y ) − 3xyz = ( x + y ) + z − 3xy( x + y + z) 2 = ( x + y + z )( x + y + z − xy − yz − zx ) c) Thªm bít x2, ta cã kÕt qu¶: ( x2 + x + 1)( x6 − x5 + x3 − x2 + 1) d) Thªm bít x3, ta cã kÕt qu¶: ( x2 + x + 1)( x3 − x + 1) e) Thªm bít x2 + x Ta cã: Gi¸o viªn: Ph¹m V¨n HiÖu Lop8.net (7) Tr−êng THCS Hång H−ng 10 x 10 N¨m häc 2011 - 2012 2 + x + = ( x − x ) + ( x − x ) + ( x + x + 1) 3 = x x − 1 + x x − + ( x + x + 1) 3 = x( x − 1)( x + x + 1) + x x − + ( x + x + 1) ( ) ) ( ) ( = ( x + x + 1) x( x − 1)( x + x + 1) + x ( x − 1) + 1 = ( x + x + 1)( x − x + x − x + x − x + 1) Bµi 8: Cho x ∈ Z , chøng minh r»ng: x200 + x100 + x4 + x2 + H−íng dÉn: Thªm bít x4 + x2 200 100 200 100 4 A=x +x +1 = (x − x ) + (x − x ) + ( x + x + 1) 198 96 = x (x − 1) + x ( x − 1) + ( x + x + 1) 33 2 16 =x x − 1 + x x − 1 + ( x + x + 1) ( ) ( ) 6 = x ( x − 1).B( x ) + x ( x − 1).C( x ) + ( x + x + 1) 4 = ( x − 1) x B( x ) + x C( x ) + ( x + x + 1) 3 4 = ( x − 1)( x + 1) x B( x ) + x C( x ) + ( x + x + 1) 2 4 = ( x − 1)( x + 1)( x + x + 1) x B( x ) + x C( x ) + ( x + x + 1) => A x + x + ( ) Bµi 9: Ph©n tÝch Q, K thµnh nh©n tö : Q = a−3 a +2 (a ≥ 0) K = x − x + 12 (x ≥ 0) IV H−íng dÉn vÒ nhµ (5 phót) - Xem l¹i c¸c ph−¬ng ph¸p ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö vµ c¸c bµi tËp đã chữa - Gi¶i tiÕp c¸c bµi tËp sau: Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử ph−ơng pháp đặt nhân tö chung a) a − b b) x(y + z) + 3(y + z) c) m(n - p) - n + p d) a(b - a)(a + b) - (a + b)(a2 - ab + b2) e) xm + - xm Bµi 2: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö b»ng ph−¬ng ph¸p dïng đẳng thức a) 25a2 + 10a + Gi¸o ¸n Båi d−ìng HSG PhÇn §¹i sè Lop8.net (8) Tr−êng Tr−êng THCS Hång H−ng b) 9x2 – xy + y 36 c) x4 – y4 Bµi 3: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö b»ng ph−¬ng ph¸p nhãm c¸c h¹ng tö a) 5a2 – 5ax – 9a + 9x b) ma – mb + na – nb – pa + pb c) ax2 + 5y – bx2 + ay + 5x2 – by Bµi 4: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö b»ng ph−¬ng ph¸p t¸ch mét h¹ng tö thµnh nhiÒu h¹ng tö; hoÆc thªm, bít cïng mét h¹ng tö a) P = ab(a - b) + bc(b - c) + ac(a - c) b) Q = x3 + 3x2 - Bµi 5: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö b»ng ph−¬ng ph¸p t¸ch mét h¹ng tö thµnh nhiÒu h¹ng tö; hoÆc thªm, bít cïng mét h¹ng tö b) 4x2 – 3x – a) 9x2 + 6x – Ngµy Ngµy so¹n : 25/08/11 Ngµy d¹y : 30/08/11 Chủ đề ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö Buæi c¸c ph−¬ng ph¸p ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö A/Môc tiªu Học xong buổi học này HS cần phải đạt đ−ợc : KiÕn thøc - Häc sinh hiÓu vµ vËn dông ®−îc c¸c ph−¬ng ph¸p ph©n tÝch ®a thøc thành nhân tử: Ph−ơng pháp dùng phép chia đa thức; ph−ơng pháp đặt ẩn phô - Häc sinh hiÓu vµ vËn dông ®−îc c¸c ph−¬ng ph¸p ph©n tÝch ®a thøc thành nhân tử: Ph−ơng pháp hệ số bất định; Ph−ơng pháp vận dụng định lí vÒ nghiÖm cña tam thøc bËc hai; thÊy ®−îc sù quan träng cña viÖc ph©n ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö viÖc gi¶i mét sè bµi to¸n th−êng gÆp KÜ n¨ng - RÌn kÜ n¨ng ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö - N©ng cao kh¶ n¨ng t− duy, quan s¸t, t×m h−íng gi¶i, tr×nh bµy Thái độ - Học sinh có thái độ học tập nghiêm túc, tự giác, tích cực, chủ động B/ChuÈn bÞ cña thÇy vµ trß - GV: - HS: C/TiÕn tr×nh bµi d¹y I Tæ chøc – sÜ sè Gi¸o viªn: Ph¹m V¨n HiÖu Lop8.net (9) Tr−êng THCS Hång H−ng N¨m häc 2011 - 2012 II KiÓm tra bµi cò (15 phót) - HS1: Giải bài tập 1d đã cho tiết tr−ớc - HS2: Giải bài tập 2b đã cho tiết tr−ớc - HS3: Giải bài tập 4a đã cho tiết tr−ớc III Bµi míi (160 phót) Ph−¬ng ph¸p 5: Dïng phÐp chia ®a thøc (nhÈm nghiÖm) LÝ thuyÕt: - §a thøc f(x) chia hÕt cho ®a thøc g(x) vµ chØ khi: f(x)= g(x).q(x) (q(x) lµ th−¬ng cña phÐp chia) *) §Æc biÖt : f(x) chia hÕt cho x - a <=> f(a) = Bµi tËp: VÝ dô : Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö : x4 - 2x3 + x2 - §a thøc trªn nÕu cã nghiÖm h÷u tØ th× nghiÖm sÏ lµ −íc cña ¦(4) = {±1; ±2; ±4} ThÊy x = - lµ nghiÖm nªn : x4 - 2x3 + x2 - 4= (x + 1)(x3 - 3x2 + 4x - 4) Mµ g(x) = x3 - 3x2 + 4x - cã x = lµ nghiÖm Do vËy g(x) = (x - 2)(x2 – x + 2) Víi ®a thøc : x2 – x + cã ∆ = 1- = - < nªn ®a thøc nµy kh«ng ph©n tÝch ®−îc trªn R Do vËy: x4 - 2x3 + x2 - = (x + 1)(x - 2)(x2 – x + 2) Ph−ơng pháp 6: Ph−ơng pháp đặt ẩn phụ (đổi biến) LÝ thuyÕt: - Dựa vào đặc điểm đa thức đ1 cho ta đ−a vào nhiều biến để đa thức trở thành đơn giản Ph−ơng pháp này th−ờng đ−ợc sử dụng để đ−a mét ®a thøc bËc cao vÒ ®a thøc bËc mµ ta cã thÓ ph©n tÝch ®−îc dùa vµo t×m nghiÖm cña ®a thøc bËc - Cần phát giống các biểu thức đa thức để chọn và đặt ẩn phụ cho thích hợp Bµi tËp: Bµi 1: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö A = (x2 + x)2 + 4x2 + 4x -12 = (x2 + x)2 + 4(x2 + x)2- 12 §Æt (x2 + x)2 = X Ta cã: A = X2 + 4X - 12 = X2 + 4X + - 16 = (X+ 2)2 - 42 = (X + 6)(X - 2) Thay X = x2 + x Ta cã: A = (x2 + x + 6)(x2 + x - 2) Bµi 2: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö f(x) = (2x2 + 3x + 5)2 + 5(2x2 + 3x + 5) + §Æt : 2x2 + 3x + = t ta cã f(t) = t2 + 5t + Gi¸o ¸n Båi d−ìng HSG PhÇn §¹i sè Lop8.net (10) Tr−êng Tr−êng THCS Hång H−ng Dễ dàng phân tích đ−ợc f(t) = (t + 2)(t + 3), từ đó ta có : f(x) = (2x2 + 3x + 7)(2x2 + 3x + 8) Bµi 3: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö f(x) = (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x +7 ) - = [(x + 1)(x + 7)][(x + 5)(x + 3)] - = (x2 + 8x + 7)(x2 + 8x + 15) - §Æt : x2 + 8x + 11 = t, ta cã f(t) = (t - 4)(t + 4) - Suy f(t) = t2 -16 - = t2 - 25 = (t - 5)(t + 5) Do vËy : f(x) = (x2 + 8x + 6) (x2 + 8x + 16) Bµi 4: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö a) P = (x2 + x) + 3(x2 + x) + §Æt x2 + x = y ta cã: P = y2 + y + = y2 + y + 2y + P = y(y +1) + 2(y + 1) = (y + 1)(y + 2) Thay x2 + x = y ta cã: P = (x2 + x + 1)( x2 + x + 2) b) Q = x2 - 2xy + y2 + 3x - 3y – 10 = (x - y)2 + 3(x - y) - 10 §Æt x - y = t ta cã: Q = t2 + 3t - 10 = t2 - 2t + 5t - 10 = t(t - 2) + 5(t - 2) =(t - 2)(t + 5) Thay x - y = t ta cã: Q = (x - y - 2)(x - y + 5) Bµi 5: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö a) A = x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 b) B = x4 + 6x3 + 7x2 - 6x + H−íng dÉn: a) A =(x2 + 10x)(x2 + 10x + 24) + 128 §Æt x2 + 10x + 12 = y => §a thøc cã d¹ng A = (y - 12)(y + 12) + 128 = y2 - 16= (y + 4)(y - 4) => A = x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 = (x2 + 10x + 16)(x2 + 10x + 8) = (x + 2)(x + 8)(x2 + 10x + 8) b) B = x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + = x4 - 6x3 - 2x2 + 9x2 - 6x + B = x4 + (6x3 - 2x2) + (9x2 - 6x + 1) = x4 + 2x2(3x - 1)+ (3x - 1)2 §Æt y = 3x – => B = (x2 )2+ 2x2y + y2 = (x2 + y)2 VËy B = (x2 + 3x - 1)2 LuyÖn tËp chung Bµi 6: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö b»ng ph−¬ng ph¸p dïng phÐp chia ®a thøc a) 2x3 - 5x2 + 8x - b) 2x3 + 5x2 + 5x + c) + 6x - 6x2 - x3 Bài 7: Phân tích đa thức sau thành nhân tử ph−ơng pháp đặt ẩn phụ: (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) - 24 Bài 8: Phân tích đa thức sau thành nhân tử ph−ơng pháp đặt ẩn phụ: Gi¸o viªn: Ph¹m V¨n HiÖu Lop8.net (11) Tr−êng THCS Hång H−ng N¨m häc 2011 - 2012 A = ( x2 − 3x − 1)2 − 12( x2 − 3x − 1) + 27 KÕt qu¶: A = ( x + 1)( x − 4)( x + 2)( x − 5) Bµi 9: a) Chøng minh r»ng: ( x + y + z)3 − x3 − y3 − z3 = 3( x + y )( y + z )(z + x ) b) Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö A = (a + b + c)3 + (a − b − c)3 + ( b − c − a )3 + ( c − a − b)3 H−íng dÉn: 3 3 3 3 a )( x + y + z) − x − y − z = [( x + y ) + z] − x − y − z 3 3 = ( x + y ) + z + 3z( x + y )( x + y + z) − x − y − z 3 3 3 = x + y + 3xy( x + y ) + z + 3z( x + y )( x + y + z) − x − y − z = 3( x + y )( xy + xz + yz + z ) = 3( x + y )( y + z)(z + x ) b) §Æt x = b + c – a; y = c + a − b;z = b + a − c => x + y + z = a + b + c Do đó A = ( x + y + z)3 − x3 − y3 − z3 = 3( x + y )( y + z)(z + x ) = 24abc Bµi 10: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö a) A = ( x2 − 2x )( x2 − 2x − 1) − b) B = ( x2 + 4x − 3)2 − 5x( x2 + 4x − 3) + 6x2 c) C = ( x2 + x + )2 + x( x2 + x + ) + 15x2 H−íng dÉn: a) §Æt a = x2 − 2x => A = ( x + 1)( x − 3)( x2 − 2x + 2) b) §Æt b = x2 + 4x − => B = ( x + 3)( x − 1)( x2 + x − 3) c) §Æt c = x2 + x + => C = ( x + 2)2 ( x2 + 6x + 4) Bµi 11: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö A = 2( x2 − 6x + 1)2 + 5( x2 − 6x + 1)( x2 + 1) + 2( x2 + 1)2 H−íng dÉn: §Æt a = x2 − 6x + vµ b = x2 + => A = (2a + b)(a + 2b) = 9( x − 1)2 ( x2 − 4x + 1) Bµi 12: Cho M = 4( x − 2)( x − 1)( x + )( x + ) + 25x2 Chøng minh M kh«ng cã gi¸ trÞ ©m H−íng dÉn: M = 4( x2 + 2x − )( x2 + 7x − ) + 25x2 §Æt: a = x2 + 2x − => M = (2a + 5x )2 = (2x2 + 9x − 16 )2 ≥ Ph−ơng pháp 7: Ph−ơng pháp hệ số bất định LÝ thuyÕt: Trên sở bậc đa thức phải phân tích, ta xác định các dạng kết quả, phá ngoặc đồng hệ số và giải Bµi tËp: Bµi 1: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö Gi¸o ¸n Båi d−ìng HSG PhÇn §¹i sè Lop8.net (12) Tr−êng Tr−êng THCS Hång H−ng B = 2x3 - 5x2 + 8x - NÕu ®a thøc B ph©n tÝch thµnh nh©n tö th× B cã d¹ng B = (ax + b )(cx2 + dx + m) B = acx3 + (ad + bc)x2 + (am + bd)x + bm §ång nhÊt hÖ sè cña (1) vµ (2) ta cã hÖ sau: (1) (2) a = ac = b = − ad + bc = −5 am + bd = ⇒ c = bm = −3 d = LÊy = m VËy B = 2x3 - 5x2 + 8x - = (2x - 1)(x2 - 2x + 3) Bµi 2: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö b»ng ph−¬ng ph¸p hÖ sè bất định a) P = 3x2 - 22xy - 4x + 8y + 7y2 + b) Q = 12x2 + 5x - 12y2 + 12y - 10xy - Gi¶i: (1) a) P = 3x2 - 22xy - 4x + 8y + 7y2 + NÕu ®a thøc P ph©n tÝch ®−îc th×: P = (3x + ay + b)( x + cy + d) P = 3x2 + (3c + a )xy + (3d + b)x + (ad + bc)y + acy2 + bd (2) §ång nhÊt hÖ sè cña (1) vµ (2) ta cã: 3c + a = −22 a = −1 3d + b = −4 b = −1 ad + bc = ⇒ c = −7 ⇒ P = (3x - y - 1)( x - 7y - 1) ac = d = −1 db = b, Q = 12x2 + 5x - 12y2 + 12y - 10xy - (3) NÕu ®a thøc Q ph©n tÝch ®−îc th×: Q = (ax + by + 3)(cx + dy - 1) Q = cax2 + ( ad + bc)xy + (3c - a)x + (3d - b)y +bdy2 - (4) §ång nhÊt hÖ sè cña (3) vµ (4) ta cã: ac = 12 ad + bc = −10 3c − a = 3d − b = 12 bd = −12 ⇒ a = b = −6 ⇒ Q = (4x - 6y + 3)(3x + 2y -1) c = d = Bµi 3: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö b»ng ph−¬ng ph¸p hÖ sè bÊt định x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + Thö: x = ± 1; ± kh«ng lµ nghiÖm cña ®a thøc, ®a thøc kh«ng cã nghiÖm nguyªn còng kh«ng cã nghiÖm h÷u tû §a thøc trªn ph©n tÝch ®−îc thµnh thõa sè th× ph¶i cã d¹ng: (x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = x4 + (a + c)x3+ (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd = x4 -6x3 +12x2 -14x + Gi¸o viªn: Ph¹m V¨n HiÖu Lop8.net (13) Tr−êng THCS Hång H−ng N¨m häc 2011 - 2012 => a + c = - 6; ac + b + d = 12; ad + bc = - 14; bd = bd = mµ b,d ∈ Z => b ∈ {±1; ±3} Víi b = => d = => a + c = - ; ac = 8; a + 3c = -14 => a = - 2; c = - VËy: a = - 2; b = 3; c = - 4; d = => x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + = (x2 - 2x + 3)(x2 - 4x + 1) Bµi 4: Ph©n tÝch ®a thøc A thµnh tÝch cña hai tam thøc bËc hai víi hÖ sè nguyªn: A = x4 − 3x3 + 6x2 − 5x + H−íng dÉn: A cã d¹ng ( x2 + ax + 1)( x2 + bx + 3) hoÆc ( x2 + ax − 1)( x2 + bx − 3) XÐt tr−êng hîp : A = ( x2 + ax + 1)( x2 + bx + 3) = x4 + (a + b)x3 + (ab + )x2 + (3a + b)x + §ång nhÊt hÖ sè ta ®−îc a = - ; b = - VËy A = (x2 - x + 1)(x2 - 2x + 3) Chó ý: NÕu tr−êng hîp hai hÖ sè tù lµ vµ kh«ng tháa m·n th× ta xÐt tr−êng hîp cßn l¹i vµ lµm t−¬ng tù nh− trªn Ph−ơng pháp 8: Ph−ơng pháp vận dụng định lí nghiÖm cña tam thøc bËc hai LÝ thuyÕt: - áp dụng định lý: Nếu đa thức P = ax2 + bx + c có nghiệm x1, x2 thì : P = a(x - x1)(x - x2) Bµi tËp: Bµi 1: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö P = 2a2 - b2 + ab - 5a + b + P = 2a2 + (b - 5)a - (b2 - b - 2) P lµ tam thøc bËc hai biÕn a ∆= (b - 5)2 + 4.2(b2 - b - 2) = b2 -10b + 25 + 8b2 – 8b – 16 = 9b2 – 18b + = (3b - 3)2 b +1 ; a2 = − b Tam thøc bËc hai P cã nghiÖm a1 = ⇒ P = 2(a - a1)(a - a2) = a − b + 1 (a − + b) = (2a − b − 1)(a + b − 2) Bµi 2: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö P = x2 + y2 - 2xy + 2x - 2y - P = x2 - 2xy + 2x + y2 - 2y - P = x2 - 2(y - 1)x + (y2 - 2y - 3) ∆'= b'2 - ac =[- (y - 1)]2 - (y2 - 2y - 3) = ⇒ Tam thøc cã hai nghiÖm x1 = y + , x2 = y - ⇒ P = (x - y - 1)(x - y + 3) Gi¸o ¸n Båi d−ìng HSG PhÇn §¹i sè Lop8.net (14) Tr−êng Tr−êng THCS Hång H−ng IV LuyÖn tập - Giải đề thi Bµi 1: §Ò thi vµo THPT tØnh Qu¶ng Ninh n¨m häc 2010 - 2011 Cho biÓu thøc : P = xy(x - 2)(y + 6) + 12x2 - 24x + 3y2 + 18y + 36 Chøng minh P lu«n d−¬ng víi mäi x; y thuéc R H−íng dÉn: P = xy(x - 2)(y + 6) + 12x2 - 24x + 3y2 + 18y + 36 = xy(x - 2)(y + 6) + 12x(x - 2) + 3y(y + 6) + 36 = x(x - 2) y ( y + ) + 12 + y ( y + ) + 12 2 = ( y + y + 12 )( x − x + 3) Mµ y + y + 12 = ( y + 3) + > ; x − x + = ( x − 1) + > VËy P > víi mäi x; y thuéc R Bài 2: Đề thi khảo sát chọn HSG đợt I huyện Gia Lộc năm học 2009 - 201 2010 C©u 1: Ph©n tÝch thµnh nh©n tö M = ( a − b ) c3 + ( b − c ) a3 + ( c − a ) b3 H−íng dÉn: C¸ch 1: M = ( a − b ) c3 + ( b − a + a − c ) a3 + ( c − a ) b3 M = (a − b)(c3 − a3 ) + ( c − a )( b3 − a3 ) = (a − b)( c − a )(c2 + a2 + ac − b2 − a2 − ab) M = (a − b)(c − a )(c − b)(a + b + c) C¸ch 2: H−íng dÉn HS nh©n ph¸ ngoÆc vµ ph©n tÝch thµnh nh©n tö Bµi 3: §Ò thi chÝnh thøc chän HSG huyÖn Gia Léc n¨m häc 2007 - 2008 2008 Chøng minh r»ng víi mäi sè a, b, c tháa m·n ®iÒu kiÖn a > b > c th× biÓu thøc c¨n bËc hai sau lu«n cã nghÜa: 2 a ( b − c ) + b ( c − a ) + c (a − b) H−íng dÉn: a2 ( b − c) + b2 (c − a ) + c2 (a − b) = a2 b − a2 c + b2 c − b2 a + c2 (a − b) 2 2 = (a b − b a ) − (a c − b c) + c (a − b) = = (a − b)( b − c )(a − c) Mµ a > b > c => (a − b)( b − c)(a − c) > VËy víi mäi sè a, b, c tháa m·n ®iÒu kiÖn a > b > c th× biÓu thøc trªn lu«n cã nghÜa Bµi 4: Bµi 5: Bµi 6: Bµi 1: Bµi 1: Bµi 1: V H−íng dÉn vÒ nhµ (5 phót) - Gi¶i tiÕp c¸c bµi tËp sau Bµi 1: Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh sau a) (x2 + 2x + 3)2 - 9(x2 + 2x + 3) + 18 = Gi¸o viªn: Ph¹m V¨n HiÖu Lop8.net (15) Tr−êng THCS Hång H−ng N¨m häc 2011 - 2012 b) (x - 1)(x + 1)(x + 3)(x + 5) = Bµi 2: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö a) x3 - 5x2 + 3x + , kÕt qu¶: (x + 1)(x - )2 b) 4x3 - 13x2 + 9x - 18 , kÕt qu¶: (x - 3)(4x2 – x + 6) Bµi 3: Cho x + y + z = Chøng minh r»ng x3 + y3 + z3 = 3xyz H−ớng dẫn: Nghĩ đến x + y + z = => x + y = - z Bµi 4: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö a) A = (a − b)3 + ( b − c)3 + ( c − a )3 b) B = (a + b − 2c)3 + ( b + c − 2a )3 + (c + a − 2b)3 H−ớng dẫn: áp dụng kết bài tập để phân tích KÕt qu¶: a) A = 3(a − b)( b − c )( c − a ) ; b) B = 3(a + b − 2c )( b + c − 2a )( c + a − 2b) Gi¸o ¸n Båi d−ìng HSG PhÇn §¹i sè Lop8.net (16) Tr−êng Tr−êng THCS Hång H−ng Ngµy so¹n : 15/09/10 Ngµy d¹y : 06/09/11 Chủ đề ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö Buæi c¸c bµi to¸n ¸p dông ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö A/Môc tiªu Học xong buổi học này HS cần phải đạt đ−ợc : KiÕn thøc - HS thµnh th¹o c¸c ph−¬ng ph¸p ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö vµ thÊy ®−îc sù quan träng cña viÖc ph©n ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö viÖc gi¶i mét sè bµi to¸n th−êng gÆp - Häc sinh hiÓu vµ gi¶i quyÕt ®−îc mét sè bµi to¸n ¸p dông ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: Gi¶i ph−¬ng tr×nh bËc cao; gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh bËc cao; chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức; chứng minh biểu thức là số chÝnh ph−¬ng; chøng minh tÝnh chia hÕt; rót gän, tÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc; T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt, lín nhÊt cña mét biÓu thøc; gi¶i ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyên; tìm giá trị biến số để biểu thức đạt giá trị nguyên KÜ n¨ng - RÌn kÜ n¨ng ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö - N©ng cao kh¶ n¨ng t− duy, quan s¸t, t×m h−íng gi¶i, tr×nh bµy Thái độ - Học sinh có thái độ học tập nghiêm túc, tự giác, tích cực, chủ động B/ChuÈn bÞ cña thÇy vµ trß - GV: - HS: C/TiÕn tr×nh bµi d¹y I Tæ chøc - sÜ sè II KiÓm tra bµi cò - HS1: Giải bài tập 1a đã cho tiết tr−ớc - HS2: Giải bài tập đã cho tiết tr−ớc - HS3: Giải bài tập 4a đã cho tiết tr−ớc III Bµi míi c¸c bµi to¸n ¸p dông ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö Gi¶i ph−¬ng tr×nh bËc cao: Bµi 1: Gi¶i ph−¬ng tr×nh: x3 + 3x2 - = - §a thøc: x3 + 3x2 - tæng c¸c hÖ sè b»ng nªn cã mét nghiÖm x = tøc lµ ®a thøc x3 + 3x2 - chia hÕt cho x - Thùc hiÖn phÐp chia: x3 + 3x2 - cho Gi¸o viªn: Ph¹m V¨n HiÖu Lop8.net (17) Tr−êng THCS Hång H−ng N¨m häc 2011 - 2012 x-1 ta ®−îc th−¬ng lµ x2 + 4x + hay (x + 2)2 - Nªn ph−¬ng tr×nh: x3 + 3x2 – = ⇔ (x - 1)(x + 2)2 = <=> x = hoÆc x = - - VËy ph−¬ng tr×nh ®l cho cã hai nghiÖm x1 = vµ x2 = - Bµi 2: Gi¶i ph−¬ng tr×nh: (x2 + x)2 + 4x2 + 4x – 12 = - §Æt: x2 + x = t ta cã ph−¬ng tr×nh: t2 + 4t – 12 = - Ph©n tÝch ®a thøc t2 + 4t - 12 thµnh nh©n tö ta ®−îc: t2 + 4t – 12 = (t + 6)(t - 2) , ta cã ph−¬ng tr×nh : (x2 + x + 6)( x2 + x - 2) = - TiÕp tôc ph©n tÝch ®a thøc x2 + x – thµnh nh©n tö ta ®−îc: x2 + x – = (x - 1)(x + 2) - Do đó ph−ơng trình cho đ−ợc viết nh− sau: (x - 1)(x + 2)(x2 + x + 6) = ⇔ x = hoÆc x = - (v× x2 + x + > 0, víi mäi x) - VËy ph−¬ng tr×nh ®l cho cã hai nghiÖm x1 = vµ x2 = - 2 Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh bËc cao: Bµi 1: Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh: x2 + 5x + > - Ta ph©n tÝch ®a thøc x2 + 5x + thµnh nh©n tö x2 + 5x + = (x2 + 2x) + (3x + 6)= x(x + 2) + 3(x + 2) = (x + 2)(x + 3) - Ta cã bÊt ph−¬ng tr×nh : (x + 2)(x + 3) > x + > x > −2 x > −2 x + > x > −3 <=> <=> <=> x + < x < −2 x < −3 x + < x < −3 - VËy nghiÖm cña bÊt ph−¬ng tr×nh lµ x < - hoÆc x > - Bµi 2: Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh: x4 - 5x3 + 7x2 - 5x + < Ta cã : x4 - 5x3 + 7x2 - 5x + = x4 - 5x3 + 6x2 + x2 - 5x + = x2(x2 - 5x + 6) + (x2 - 5x + 6) = (x2 - 5x + 6)(x2 + 1) Ph©n tÝch ®a thøc x2 - 5x + thµnh nh©n tö ta ®−îc : (x2 - 5x + 6) = (x - 2)(x - 3) Do đó bất ph−ơng trình đl cho t−ơng đ−ơng với bất ph−ơng trình sau: (x - 2)(x - 3)(x2 + 1) < ⇔ ( x - 2)(x - 3) < (v× x2 + > 0, ∀x) x − > x > 2< x<3 x − < x < <=> <=> <=> <=> < x < x − < x < v« nghiÖm x − > x > VËy bÊt ph−¬ng tr×nh ®l cho cã nghiÖm lµ : < x < 3 Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức: Bµi 1: Chøng minh r»ng: (a + b + c)3- (a3 + b3 + c3) = 3(a + b)(b + c)(a + c) Ta biến đổi vế trái cách phân tích thành nhân tử : Gi¸o ¸n Båi d−ìng HSG PhÇn §¹i sè Lop8.net (18) Tr−êng Tr−êng THCS Hång H−ng (a + b + c)3 - (a3 + b3 + c3) = (a + b)3 + c3 + 3(a + b)c (a + b + c)- a3- b3- c3 = a3 + b3 + c3 + 3ab(b + a) + 3(a + b)(a + b + c)c - a3- b3- c3 = 3(a + b)(ab + bc + ac + c2) = 3(a + b)[a(b + c) + c(b + c)] = 3(a + b)(b + c)(a + c) VËy: (a + b + c)3 - (a3 + b3 + c3) = 3(a + b)(b + c)(a + c) Bµi 2: Chøng minh r»ng: NÕu a + b + c = th×: a3 + b3 + c3 = 3abc Gi¶i Do a + b + c = => c = - (a + b) nªn a3 + b3 + c3 = a3 + b3- (a + b)3 Ta ph©n tÝch ®a thøc a3 + b3- (a + b)3 thµnh nh©n tö Ta cã a3 + b3 - (a + b)3 = a3 + b3 - a3 - 3a2b - 3ab2 - b3 = - 3ab(a + b) = - 3ab(- c) = 3abc 3 VËy : a + b + c = 3abc víi a + b + c = Bài 3: Chứng minh a,b, c là độ dài ba cạnh tam giác thì : A = (b2 + c2 - a2)2 - 4b2c2 lu«n ©m Chøng minh : Ta ph©n tÝch ®a thøc A thµnh nh©n tö Ta cã: A = (b2 + c2 - a2)2 - 4b2c2 = (b2 + c2 - a2)2 - (2bc)2 = (b2 + c2 - a2 - 2bc) (b2 + c2 - a2 + 2bc) = [(b2 - 2bc + c2) - a2][(b2 + 2bc + c2) - a2] = [(b - c)2 - a2][(b + c)2 - a2]2 = (b – c - a)(b – c + a)(b + c - a)(b + c + a) VËy A = ( b – c - a)(b – c + a)(b + c - a) (b + c + a) Do a, b, c là độ dài ba cạnh tam giác nên b-c-a<0 b–c+a>0 b+c-a>0 ⇒ A < (§PCM) b+c+a>0 Bµi 4: Chøng minh r»ng: P = (x - 1)(x - 3)(x - 4)(x - 6) + lu«n kh«ng ©m, ∀ x∈ R Gi¶i : Ta cã : P = (x - 1)(x - 6)(x - 4)(x - 3) + = (x2 - 7x + 6) (x2 - 7x + 12) + §Æt: x2 - 7x + = t Ta cã P = (t - 3)(t + 3) + = t2 – + = t2 ≥ , ∀ t VËy: P= (x2-7x + 9)2 ≥ víi ∀x (§PCM) Chøng minh mét biÓu thøc lµ sè chÝnh ph−¬ng Bµi 1: Chøng minh r»ng ∀ x ∈ Z th× biÓu thøc: P = (x - 1)(x - 3)(x - 4)(x - 6) + lµ sè chÝnh ph−¬ng Gi¶i Ta ph©n tÝch ®a thøc P thµnh nh©n tö Gi¸o viªn: Ph¹m V¨n HiÖu Lop8.net (19) Tr−êng THCS Hång H−ng N¨m häc 2011 - 2012 P = (x - 1)(x - 6)(x - 3)(x - 4) + = (x2 - 7x + 6) (x2 - 7x + 12) + = [(x2 - 7x + 9) - 3][ (x2 - 7x + 9) + 3] + = (x2 - 7x + 9)2 – + = (x2 - 7x + 9)2 Do x ∈ Z nªn (x2 - 7x + 9) ∈ Z => (x2 - 7x + 9)2 lµ b×nh ph−¬ng cña mét sè nguyªn VËy P lµ sè chÝnh ph−¬ng ∀x ∈ Z Bµi 2: Chøng minh r»ng víi x , y nguyªn th× biÓu thøc: M = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 lµ sè chÝnh ph−¬ng Gi¶i: M = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 = (x2 + 5xy + 4y2)(x2 + 5xy + 6y2) + y4 = [(x2 + 5xy + 5y2) - y2][(x2 + 5xy + 5y2) + y2] + y4 = (x2 + 5xy + 5y2)2 - y4 + y4 = (x2 + 5xy + 5y2)2 Do x, y ∈ Z nªn x2 + 5xy + 5y2∈ Z Suy M = (x2 + 5xy + 5y2)2 lµ sè chÝnh ph−¬ng Chøng minh tÝnh chia hÕt Bµi 1: Chøng minh A = n3 - n chia hÕt cho , ∀ n ∈ Z Gi¶i: Ta cã n3 - n = n(n2 - 1) = n(n -1)(n + 1) n ∈ Z nªn A lµ tÝch cña sè nguyên liên tiếp đó A chia hết cho Bµi 2: Chøng minh M = m3(m2 - 7)2 - 36m chia hÕt cho 5040 víi ∀ m lµ sè nguyªn Gi¶i : Ta cã M = m3(m2 - 7)2 - 36m = m {[m(m2-7)]2 - 62} = m[m(m2-7) - 6] [m(m2 - 7) + 6] = m(m3- 7m - 6)(m3 - 7m + 6) Ta cã (m3 - 7m - 6)= m3 - 9m + 2m - = m(m2 - 9) + 2(m - 3) = (m - 3)[m(m + 3) + 2] =( m - 3)(m2 + 3m + 2) = (m - 3)[m(m + 2) + (m + 2)] = (m+1)(m + 2)(m - 3) T−¬ng tù ta cã: m3 - 7m + = (m - 1)(m - 2)(m + 3) VËy M = (m + 1)(m + 2)(m + 3)m(m - 1)(m - 2)(m - 3) Do m ∈ Z nên M là tích số nguyên liên tiếp đó M chia hết cho: 1.2.3.4.5.6.7 = 5040 VËy M chia hÕt cho 5040 Bµi 3: Chøng minh r»ng ∀ x ∈ Z ta cã: P = [( x + 3) − 25] Gi¶i: P = ( 4x + 3)2 - 25 = ( 4x + 3)2 – 52 = ( 4x + - 5)( 4x + + 5) = ( 4x - 2)(4x + 8) = 8( 2x - 1)(x + 2) V× x ∈ Z ⇒ ( 2x - 1)( x + 2) ∈ Z ⇒ P = 8( 2x - 1)( x+2) ⇔ P = [(4 x + 3) − 25] Gi¸o ¸n Båi d−ìng HSG PhÇn §¹i sè Lop8.net (20) Tr−êng Tr−êng THCS Hång H−ng Rót gän, TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc a) LÝ thuyÕt Vận dụng tính chất phân thức đại số để thu gọn biểu thức Ta phải tiến hành phân tích đa thức tử và mẫu thành nhân tử sau đó rút gọn các nh©n tö chung b) Bµi tËp Bµi 1: Rót gän biÓu thøc A = 2 x + 3x − y − 3y x −y víi x ≠ ± y H−íng dÉn: A= x + 3x − y − 3y 2 = ( x − y ) + (3x − 3y ) x −y x −y ( x − y )( x + y + 3) x+y+3 = = ( x + y )( x − y ) x+y = ( x − y )( x + y ) + 3( x − y ) ( x + y )( x − y ) Bµi 2: TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc 5x + víi x = 2005 x + 8x + 5( x + 1) 5x + 5 = = = = P= ( x + 1)( x + 7) x +7 2005 + 2012 x + 8x + P= Bài 3: Cho a, b, c là các số thực đôi khác nhau, hly rút gọn : A= 1 + + 2 2 ( b − c)(a + ac − b − bc ) ( c − a )( b + ba − c − ac ) (a − b)( c + bc − a − ab) H−íng dÉn: Ta ph©n tÝch c¸c mÉu thµnh nh©n tö: a2 + ac - b2 – bc = (a2 - b2) + (ac - bc) = (a - b)(a + b) + c(a -b) = (a - b)(a+b+c) T−¬ng tù: b2 + ab - c2 – ac = (b - c)(a + b + c) c2 + bc - a2 - ab = (c - a)(a + b + c) Do đó mẫu chung là : MC = (a - b)(b - c)(c - a)(a + b + c) ( c − a ) + (a − b) + ( b − c ) A= (a − b)( b − c)( c − a )(a + b + c) = =0 (a − b)( b − c )( c − a )(a + b + c ) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt cña mét biÓu thøc Bµi 1: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc sau: N = (x2 + 3x + 2)(x2 + 7x + 12) + 2003 Gi¶i: Tr−íc hÕt ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö : (x2 + 3x + 2) vµ (x2 + 7x + 12) Ta cã x2 + 3x + = (x2 + 2x) + (x + 2) = x(x + 2) + (x + 2) = (x + 2)(x + 1) x2 + 7x + 12 = x2 + 4x + 3x + 12 = x(x + 4) + 3(x + 4) = (x + 3)(x + 4) Khi đó N = (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) + 2003 = (x + 1)(x + 4)(x + 3)(x + 2) + 2003 = (x2 + 5x + 4) (x2 + 5x + 6) + 2003 Gi¸o viªn: Ph¹m V¨n HiÖu Lop8.net (21)