Đang tải... (xem toàn văn)
2.Toán đố 3.Toán chứng minh đẳng thức 4.Áp dụng và chứng minh bất đẳng thức Qua việc giải các bài tập đa dạng về áp dụng tính chất của tỷ lệ thức các em đã nắm chắc chắn tính chất của tỷ[r]
(1)Lª V¨n Th¾ng – Y£N DòNG- B¾C GIANG Chuyên đề D·y Sè viÕt theo qui luËt - D·y c¸c ph©n sè viÕt theo qui luËt A- Kiến thức cần nắm vững: I Dãy số viết theo qui luật: Dãy cộng a Xét các dãy số sau: a) Dãy số tự nhiên: 0; 1; 2; 3; 4; (1) b) Dãy số lẻ: 1; 3; 5; 7; (2) c) Dãy các số chẵn: 0; 2; 4; 6; (3) d) Dãy các số tự nhiên lớn chia cho dư 1: 4; 7; 10; 13; (4) Trong dãy số trên, số hạng kể từ số hạng thứ 2, lớn số hạng đứng liền trước nó cùng số đơn vị: +) Số đơn vị là dãy (1) +) Số đơn vị là dãy (1) và (2) +) Số đơn vị là dãy (4) Khi đó ta gọi dãy các trên là "dãy cộng" b Công thức tính số hạng thứ n dãy cộng (khi biết n và d) - Xét dãy cộng a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , , an đó a2 a1 d Ta có: a3 a1 2d ; a4 a1 3d ; Tổng quát: an a1 (n 1)d (I) Trong đó : n gọi là số số hạng dãy cộng d hiệu hai số hạng liên tiếp Từ (I) ta có: n an a1 1 d (II) Công thức (II) giúp ta tính số số hạng dãy cộng biết : Số hạng đầu a1 , số hạng cuối an và hiệu d hai số hạng liên tiếp c.Để tính tổng S các số hạng dãy cộng: a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , , an Ta viết: S a1 a2 an 1 an S an an 1 a2 a1 Nên 2S (a1 an ) (a2 an 1 ) (an 1 a2 ) (an a1 ) (a1 an )n Do đó: S (a1 an ) (III) Chú ý: Trường hợp đặc biệt tổng n số tự nhiên liên tiếp bắt đàu từ là S 1 n n(n 1) 2- BÀI TẬP ÁP DỤNG Lop7.net (2) Lª V¨n Th¾ng – Y£N DòNG- B¾C GIANG Bài 1: Tìm chữ số thứ 1000 viét liên tiếp liền các số hạng dãy số lẻ 1; 3; 5; 7; Bài 2: a) Tính tổng các số lẻ có hai chữ số b) Tính tổng các số chẵn có hai chữ số c) Tính: S 2n với (n N ) d) Tính: S 2n với (n N * ) Bài 3: Có số hạng nào dãy sau tận cùng hay không? 1;1 2;1 3;1 4; H-íng dÉn: Sè h¹ng thø n cña d·y b»ng: n(n 1) NÕu sè h¹ng thø n cña d·y cã ch÷ sè tËn cïng b»ng th× n(n + 1) tËn cïng b»ng §iÒu nµy v« lÝ v× n(n + 1) chØ tËn cïng b»ng 0, hoÆc 2, hoÆc Bài 4: a) Viết liên tiếp các số hạng dãy số tự nhiên từ đến 100 tạo thành số A Tính tổng các chữ số A b) Cũng hỏi trên viết từ đến 1000000 Hướng dẫn: a) ta bổ sung thêm chữ số vào vị trí đầu tiên dãy số (không làm thay đổi kết quả) Tạm chưa xét số 100 Từ đến 99 có 100 số, ghép thành 50 cặp: và 99; và 98; và 97;… cặp có tổng các chữ số 18 Tổng các chữ số 50 cặp bằng: 18.50 = 900 Thêm số 100 có tổng các chữ số ĐS: 901 b) Tương tự: ĐS: 27000001 S1 2, S 5, Bài 5: Cho S3 9, S 10 11 12 13 14, Tính S100 ? Hướng dẫn: Số số hạng S1, , S99 theo thứ tự 2; 3; 4; 5; …100 ĐS: S100 = 515100 Bài 6: Khi phân tích thừa số nguyên tố, số 100! chứa thừa số nguyên tố với số mũ băng bao nhiêu? Bài 7: Tính số hạng thứ 50 các dãy sau: a) 1.6; 2.7; 3.8; b) 1.4; 4.7; 7.10; Bài 8: Cho A 32 33 320 ; B 321 : Tính B A Bài 9: Tính các tổng sau: Lop7.net (3) Lª V¨n Th¾ng – Y£N DòNG- B¾C GIANG a ) A 22 23 22007 b) B 22 23 2n c) C 22 24 22008 d ) D 22 24 22 n e) E 23 25 22007 f ) F 23 25 22 n 1 Bài 10: Tổng quát bài Tính : a) S a a a a n , với ( a 2, n N ) b) S1 a a a a n , với ( a 2, n N ) c) S2 a a a a n 1 , với ( a 2, n N * ) Bìa 11: Cho A 42 43 499 , B 4100 Chứng minh rằng: A B Bài 12: Tính giá trị biểu thức: a ) A 99 999 999 50 ch÷ sè b) B 99 999 999 200 ch÷ sè (NCPTT6T1) SUY NGHĨ TRÊN MỖI BÀI TOÁN Giải hàng trăm bài toán mà cốt tìm đáp số và dừng lại đó thì kiến thức thu lượm chẳng là bao Còn giải ít bài tập mà lại luôn suy nghĩ trên bài đó, tìm thêm cách giải, khai thác thêm ý bài toán, đó là đường tốt để lên học toán Dưới đây là thí dụ Bài toán : Cho A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10 và B = A.3 Tính giá trị B Lời giải : Theo đề bài ta có : B = (1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10).3 = 1.2.(3 - 0) + 2.3.(4 1) + 3.4.(5 - 2) + 4.5.(6 - 3) + 5.6.(7 - 4) + 6.7.(8 - 5) + 7.8.(9 - 6) + 8.9.(10 - 7) + 9.10.(11 - 8) = 1.2.3 - 1.2.3 + 2.3.4 - 2.3.4 + 3.4.5 - … + 8.9.10 - 8.9.10 + 9.10.11 = 9.10.11 = 990 Trước hết, ta nghĩ rằng, bài toán yêu cầu tính tổng A, ta có : A = B/3 = 330 Bây giờ, ta tạm thời quên đáp số 990 mà chú ý tới tích cuối cùng 9.10.11, đó 9.10 là số hạng cuối cùng A và 11 là số tự nhiên kề sau 10, tạo thành tích ba số tự nhiên liên tiếp Ta dễ dàng nghĩ tới kết sau : Nếu A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + (n - 1).n thì giá trị B = A.3 = (n - 1).n.(n + 1) Các bạn có thể tự kiểm nghiệm kết này cách giải tương tự trên Bây ta tìm lời giải khác cho bài toán Lop7.net (4) Lª V¨n Th¾ng – Y£N DòNG- B¾C GIANG Lời giải : B = (1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10).3 = (0.1 + 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10).3 = [1.(0 + 2) + 3.(2 + 4) + 5.(4 + 6) + 7.(6 + 8) + 9.(8 + 10)].3 = (1.1.2 + 3.3.2 + 5.5.2 + 7.7.2 +9.9.2).3 = (12 + 32 + 52 + 72 + 92).2.3 = (12 + 32 + 52 + 72 + 92).6 Ta chưa biết cách tính tổng bình phương các số lẻ liên tiếp 1, liên hệ với lời giải 1, ta có : (12 + 32 + 52 + 72 + 92).6 = 9.10.11, hay (12 + 32 + 52 + 72 + 92) = 9.10.11/6 Hoàn toàn hợp lí ta nghĩ đến bài toán tổng quát : Bài toán : Tính tổng : P = 12 + 32 + 52 + 72 + … + (2n + 1)2 Kết : P = (2n + 1)(2n + 2)(2n + 3)/6 Kết này có thể chứng minh theo cách khác, ta xem xét sau Loạt bài toán sau là kết liên quan đến bài toán và bài toán Bài toán : Tính tổng : Q = 112 + 132 + 152 + … + (2n + 1)2 Bài toán : Cho A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10 và C = A + 10.11 Tính giá trị C Theo cách tính A bài toán 1, ta kết là : C = 10.11.12/3 Theo lời giải bài toán 1, ta đến kết : C = 2.(22 + 42 + 62 + 82 + 102) Tình cờ, ta lại có kết bài toán tổng quát : tính tổng bình phương các số tự nhiên chẵn liên tiếp, Bài toán : Chứng minh : 22 + 42 + 62 + …+ (2n)2 = 2n.(2n + 1).(2n + 2)/6 Từ đây, ta tiếp tục đề xuất và giải các bài toán khác Bài toán : Tính tổng : 202 + 222 + … + 482 + 502 Bài toán : Cho n thuộc N* Tính tổng : n2 + (n + 2)2 + (n + 4)2 + … + (n + 100)2 Hướng dẫn giải : Xét hai trường hợp n chẵn và n lẻ ; áp dụng kết bài toán 2, bài toán và cách giải bài toán Bài toán có kết nhất, không phụ thuộc vào tính chẵn lẻ n Bài toán : Chứng minh : 12 + 22 + 32 + … + n2 = n.(n + 1)(2n + 1)/6 Lời giải : Xét trường hợp n chẵn : 12 + 22 + 32 + … + n2 = (12 + 32 + 52 + … + (n – 1)2) + (22 + 42 + 62 + … + n2) = [(n – 1).n.(n + 1) + n.(n + 1).(n + 2)]/6 = n.(n + 1).(n -1 + n + 2)/6 = n.(n + 1).(2n + 1)/6 Tương tự với trường hợp n lẻ, ta có đpcm Lop7.net (5) Lª V¨n Th¾ng – Y£N DòNG- B¾C GIANG Lời giải : Ta có : 13 = 13 23 = (1 + 1)3 = 13 + 3.12.1 + 3.1.12 + 13 33 = (2 + )3 = 23 + 3.22.1 + 3.2.12 + 13 ……… (n + 1)3 = n3 + 3.n2.1 + 3.n.12 + 13 Cộng vế các đẳng thức trên : 13 + 23 + 33 + … + n3 + (n + 1)3 = = (13 + 23 + 33 + … + n3) + 3(12 + 22 + 32 + … + n2) + 3(1 + + + … + n) + (n + 1) => (n + 1)3 = 3(12 + 22 + 32 + … + n2) + 3(1 + + + … + n) + (n + 1) => 3(12 + 22 + 32 + … + n2) = (n + 1)3 – 3(1 + + + … + n) – (n + 1) = (n + 1)2.(n + 1) – 3.n.(n + 1)/2 – (n + 1) = (n + 1)[2(n + 1)2 – 3n + 2]/2 = (n + 1).n.(2n + 1)/2 => 12 + 22 + 32 + … + n2 = (n + 1).n.(2n + 1)/6 Bài toán : Tính giá trị biểu thức : A = - 12 + 22 – 32 + 42 - … - 192 + 202 Lời giải : Đương nhiên, ta có thể tách A = (22 + 42 + … + 202) – (12 + 32 + …+ 192) ; tính tổng các số ngoặc đơn tìm kết bài toán Song ta còn có cách giải khác sau : A = (22 -12) + (42 – 32) + … + (202 -192) = (2 + 1)(2 – 1) + (4 + 3)(4 – 3) + … + (20 + 19)(20 – 19) = + + 11 + 15 + 19 + 23 + 27 + 31 + 35 + 39 = (3 + 39).10/2 = 210 Trở lại bài toán Phải bài toán cho B = A.3 vì là số tự nhiên liền sau nhóm đầu tiên : 1.2 Nếu đúng thì ta có thể giải bài toán sau : Bài toán 10 : Tính A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + 5.6.7 + 6.7.8 + 7.8.9 + 8.9.10 Lời giải : A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + 5.6.7 + 6.7.8 + 7.8.9 + 8.9.10 = (1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + 5.6.7 + 6.7.8 + 7.8.9 + 8.9.10).4/4 = [1.2.3.(4 – 0) + 2.3.4.(5 – 1) + … + 8.9.10.(11 – 7)] : = (1.2.3.4 – 1.2.3.4 + 2.3.4.5 – 2.3.4.5 + … + 7.8.9.10 – 7.8.9.10 + 8.9.10.11) : = 8.9.10.11/4 = 1980 Tiếp tục hướng suy nghĩ trên, ta có kết tổng quát bài toán 10 : Bài toán 11 : Tính A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + … + (n – 1).n.(n + 1) Đáp số : A = (n -1).n.(n + 1)(n + 2)/4 <DD.BàI Các bạn thấy ! Chỉ với bài toán 1, chịu khó tìm tòi, suy nghĩ, ta có thể tìm nhiều cách giải, đề xuất bài toán thú vị, thiết lập mối liên hệ các bài toán Kết tất yếu quá trình tìm tòi suy nghĩ trên bài toán, đó là làm tăng lực giải toán các bạn Chắc chắn còn nhiều điều thú vị xung quanh bài toán Các bạn hãy cùng tiếp tục suy nghĩ nhé Lop7.net (6) Lª V¨n Th¾ng – Y£N DòNG- B¾C GIANG II- Dãy các phân số viết theo qui luật: * Các công thức cần nhớ đến giải các bài toán dãy các phân số viết theo qui luật: 1 n(n 1) n n k 1 k 2) n(n 1) n n 1 1 1 3) n( n k ) k n n k k 1 4) n( n k ) n n k 1 1 1 5) 2n(2n 2) 4n(n 1) 2n 2n n n 1 1 6) (2n 1)(2n 3) 2n 2n 1 2 7) n.(n 1) n (n 1).n (Trong đó: n, k N , n ) 1) TỪ MỘT BÀI TOÁN TÍNH TỔNG Chúng ta cùng bài toán tính tổng quen thuộc sau : Bài toán A : Tính tổng : Lời giải : Vì = ; = ; ; 43 44 = 1892 ; 44 45 = 1980 ta có bài toán khó chút xíu Bài : Tính tổng : Và tất nhiên ta nghĩ đến bài toán ngược Lop7.net (7) Lª V¨n Th¾ng – Y£N DòNG- B¾C GIANG Bài : Tìm x thuộc N biết : Hơn ta có : ta có bài toán Bài : Chứng minh : Do vậy, cho ta bài toán “tưởng khó” Bài : Chứng tỏ tổng : không phải là số nguyên Chúng ta nhận a1 ; a2 ; ; a44 là các số tự nhiên lớn và khác thì Giúp ta đến với bài toán Hay và Khó sau : Bài : Tìm các số tự nhiên khác a1 ; a2 ; a3 ; ; a43 ; a44 cho Ta còn có các bài toán “gần gũi” với bài toán sau : Bài : Cho 44 số tự nhiên a1 ; a2 ; ; a44 thỏa mãn Chứng minh rằng, 44 số này, tồn hai số Bài : Tìm các số tự nhiên a1 ; a2 ; a3 ; ; a44 ; a45 thỏa mãn a1 < a2 a3 < < a44 < a45 và Các bạn còn phát điều gì thú vị ? Bài toán 2: Tính nhanh: 1 1 1 3 3 3 1 1 1 b) B 2007 2008 3 3 3 a) A Lop7.net (8) Lª V¨n Th¾ng – Y£N DòNG- B¾C GIANG 1 1 1 n 1 n ; n N 3 3 3 c) C Bài toán 3: (Bài toán tổng quát bài toán 2) a Tính nhanh: S 1 1 n 1 n ; ( n N ; a 0) a a a a a Bài toán 3: Tính tổng 100 số hạng đầu tiên các dãy sau: a) 1 1 ; ; ; ; 1.2 2.3 3.4 4.5 b) ; 1 ; ; , 66 176 336 Hướng dẫn: b) Ta thấy = 1.6; 66 = 6.11; 176 = 11.16; 336 = 16.21,… Do đó số hạng thứ n dãy có dạng (5n – 4)(5n + 1) Bài toán 4: Tính tổng: 1 1 1.2.3 2.3.4 3.4.5 37.38.39 1 1 b) S 1.2.3 2.3.4 3.4.5 2006.2007.2008 1 1 ; (n N ) c) S 1.2.3 2.3.4 3.4.5 n.(n 1).(n 2) a) S Bài toán 5: Tính giá trị biểu thức: 1 1 1 97 99 a) A 1 1 1.99 3.97 5.99 97.3 99.1 1 1 99 100 b) B 99 98 97 99 Hướng dẫn: a) Biến đổi số bị chia: (1 1 1 1 100 100 100 100 ) ( ) ( ) ( ) 99 97 95 49 51 1.99 3.97 5.95 49.51 Biểu thức này gấp 50 lần số chia Vậy A = 50 100 100 100 100 99 99 100 100 100 100 99 b) Biến đổi số chia: 99 99 1 1 1 1 100 100 99 100 99 99 100 2 2 Biểu thức này 100 lần số bị chia Vậy B 100 Bài toán 6: Tìm tích 98 số hạng đầu tiên dãy: Lop7.net (9) Lª V¨n Th¾ng – Y£N DòNG- B¾C GIANG 1 1 1 ; ; ; ; ; 15 24 35 Hướng dẫn: các số hạng đầu tiên dãy viết dạng: 16 25 36 ; ; ; ; ; 15 24 35 22 32 52 62 ; ; ; ; Hay 1.3 2.4 3.5 4.6 5.7 ; 992 98.100 22 32 42 52 62 992 99 Ta cần tính: A 1.3 2.4 3.5 4.6 5.7 98.100 50 Do đó số hạng thứ 98 có dạng Chuyên đề tØ lÖ thøc – tÝnh chÊt cña d·y tØ sè b»ng I./ NỘI DUNG Lý thuyết Tỷ lệ thức là đẳng thức hai tỷ số * Tính chất tỷ lệ thức: Tính chất 1: Từ tỷ lệ thức a c b d a c suy a.d = b.c b d Tính chất 2: Từ đẳng thức a.d = b.c với a, b, c, d ≠ cho ta các tỷ lệ thức: a c a b d c d b , , , b d c d b a c a Tính chất 3: Từ tỷ lệ thức a c a b d c d b suy các tỷ lệ thức: , , b d c d b a c a * H ệ qu ả : Từ đẳng thức a.d = b.c với a, b, c, d ≠ ta suy ra: a = c= a.d b.c ,d= b a Lop7.net b.c a.d ,b= , d c (10) Lª V¨n Th¾ng – Y£N DòNG- B¾C GIANG * Tính chất dãy tỷ lệ thức nhau: a c a ac ac suy các tỷ lệ thức sau: , (b ≠ ± d) b d b bd bd Tính chất 1: Từ tỷ lệ thức a c i suy các tỷ lệ thức sau: b d j Tính chất 2: a cci aci , (b, d, j ≠ 0) b bd j bd j Tính chất 3: a, b,c tỷ lệ với 3, 5, tức là ta có: a b c Thực tế năm trước chưa chú trọng việc rèn kỹ theo chuyen đề này học sinh gặp nhiều sai sót quá trình giải toán Ví dụ các em hay sai trình bày lời giải , nhầm lẫn dấu “=” với dấu “=>” Ví dụ: x y x y () thì các em lại dung dấu là sai d 5.3 7.3 Hãy tìm x, y, z biết Giải: x y z và x – z = x y z xz x () x 5.7 S 54 Ở trên các em dùng dấu suy là sai Hay biến đổi các tỷ lệ thức chậm chạp Hiện các sai sót trên ít gặp Các em giải dạng toán này tương đối thành thạo tôi phân chia thành dạng toán nhỏ 1.Toán tìm x, y, z, 2.Toán đố 3.Toán chứng minh đẳng thức 4.Áp dụng và chứng minh bất đẳng thức Qua việc giải các bài tập đa dạng áp dụng tính chất tỷ lệ thức các em đã nắm chắn tính chất tỷ lệ thức Biến đổi từ tỷ lệ thức tỷ lệ thức linh hoạt II./ BÀI TẬP CỤ THỂ A./ lo¹i to¸n t×m x,y,z tØ lÖ thøc Bài Tìm hai số x,y biết: a x y 13 và x + y = 40 c 10 Lop7.net x 17 và x + y = - 60 y (11) Lª V¨n Th¾ng – Y£N DòNG- B¾C GIANG x y b 21 và x – y = - 20 17 d 3x = 5y và y – x = -36 Bài Tìm hai số x,y biết: a x y và 2x – y =34 19 21 b 5x = 7y và x – 2y = -36 e x y và xy = 54 (2) g x y và xy = 112 x y 1 v à x + y = c d x y f x y và x2 + y2 = 100 và x y (x, y > 0) HD : Làm nào để xuất xy mà sử dụng giả thiết x y x x y x x xy 54 1 9 2 6 e x 4.9 2.3 6 x 6 2 Thay vào (2) ta có: x y 54 9 x 6 y 54 9 6 x y x2 y x2 y 25 25 16 f 25 x2 x y2 y V ì x, y > suy x = ,y= 2 Bài Tìm x, y, z biết: a x y z và x y 186 15 20 28 Giải: Giả thiết cho x y 186 11 Lop7.net (12) Lª V¨n Th¾ng – Y£N DòNG- B¾C GIANG Làm nào để sử dụng hiệu giả thiết trên? Từ x y z 2x 3y z x y z 186 3 15 20 28 30 60 28 30 60 28 62 x = 3.15 = 45 y= 3.20 = 60 z = 3.28 = 84 b x y z và x – y + z = 78 10 12 c x y z và x – 3y + 4z = 62 d x y z và x – y – z = - 44 13 e x y z và 4x – 3y + 2z = 40 Bài Tìm x, y, z cho: x y a và y z và x y z 372 Giải: Nhận xét bài này và bài trên có gì giống nhau? Đưa bài này dạng bài trên cách nào? Đưa tử số có cùng số chia Ta có: x y x y (chia hai vế cho 5) 15 20 y z y z (chia hai vế cho 4) 20 28 x y z 15 20 28 Tương tự học sinh tự giải tiếp: x = 90; y = 120; z = 168 x b y y z ; và x + y + z = 98 Giải: Hãy nêu phương pháp giải (tìm GCNN (3;5)=?) Học sinh nên tự giải (tương tự bài nào em gặp) ĐS: x = 20; y = 30; z = 42 x y c e y và và x – y + z = - 15 z x y y z ; và x2 – y2 = -16 d x y và và 2x + 5y – 2z = 100 y 20 z f x y y z ; và x + 2y + 3z = 164 Bài T ìm a,b,c biết : a a b c , a= và a2 + 2b2 – 3c2 = - 650 10 15 12 Lop7.net (13) Lª V¨n Th¾ng – Y£N DòNG- B¾C GIANG b 3a = 2b, 4b = 3c và 3a2 – 2( b2 – c2) = 234 Bài Tìm x, y, z biết a.2x = 3y = 5z (1) và x + y –z = 95 (*) x Cách 1: Từ 2x = 3y 3y = 5z y y z Đưa cách giải giống ba bài trên: cách này dài dòng Cách 2: + Nếu có tỷ lệ x, y, z tương ứng ta giải (*) + Làm nào để (1) cho ta (*) + chia hai vế (1) cho BCNN (2;3;5) = 30 2x = 3y = 5z x y 5z x y z x yz 95 5 30 30 30 15 10 15 10 19 => x = 75, y = 50, z = 30 b 5x = 8y = 20z và x – y – z = c 18 x = y = z và - x + y + z = - 120 11 Bài Tìm x, y, z biết: 2 3 a x y z 1 và x – y = 15 Giải: Hãy nêu cách giải (tương tự bài 11) BCNN(1 ;2 ;3) = Chia các vế (1) cho ta có x y z x y 15 5 12 12 => x = 2.15 = 60; y = 5.9 = 45; z = 8.5 = 40 x b y z và 2x – y = - 12 c Bài Tìm x, y, z biết: a x 1 y z 1 và 2x + 3y –z = 50 b 2x y 4z và x + y +z = 49 c x 1 y z 3 và x – 2y + 3z = 22 13 Lop7.net x y z và z – y = 12 (14) Lª V¨n Th¾ng – Y£N DòNG- B¾C GIANG Giải: a Với giả thiết phần a ta co cách giải tương tự bài nào? (bài 11) x 1 y z x y z 494 Từ (1) ta có: x y z 2 50 9 x 1 x 11 y2 x 17 z 3 x 23 b ? Nêu cách giải phần b? (tương tự bài 15) Chia các vế cho BCNN (2;3;4) = 12 2x 3y 4z 2x 3y 4z 3.12 4.12 5.12 x y z x yz 49 1 18 10 15 18 16 15 49 => x = 18; y = 16; z = 15 Bài Tìm các số a1, a2, …a9 biết: a 9 a1 a và a1 a a 90 Giải : a1 a1 a a 1 90 45 1 9 45 Từ đó dễ dàng suy a1; a2; … Bài 10 Tìm x; y; z biết: a y z 1 x z x y 1 x y z x yz Giải: Theo tính chất dãy tỷ số ta có từ (1) y z 1 y z 1 x z x y 2 x y z x x yz x yz 14 Lop7.net (15) Lª V¨n Th¾ng – Y£N DòNG- B¾C GIANG x y z 0,5 x yz y z 1 y z 1 2x x y z 1 2x x x 1,5 x x xz2 x y z 3y Nếu a + y + z ≠ : y 2,5 y y x y 3 x y z 3z z 5 3z z b Tương tự các em tự giải phần b Tìm x, y, z biết: x y z x yz y z 1 x z 1 x y Nếu x + y + z ≠ => x + y + z = 0,5 2 ĐS : x ; y ; z Nếu x + y + z = => x = y = z = Bài 11 Tìm x,y biết : a 1 y 1 y 1 y 18 24 6x b 2x 1 3y 2x 3y 1 4x c 2x 1 3y 2x 3y 1 6x Giải: a 15 Lop7.net (16) Lª V¨n Th¾ng – Y£N DòNG- B¾C GIANG 1 y 1 y 1 y 8y 1 y 8y 24 18 x 18 x 24 18 x 1 y 24 1 y 24 24 18 x 1 y 18 x 18 x 24.2 x 6.4.2 3 x x b.Theo tính chất dãy tỉ số ta có : 2x 1 3y 2x 3y 1 2x 3y 1 12 4x (*) + Nếu 2x + 3y – thì từ (*) ta có 4x = 12 => x = Khi x = => y = 59 15 + Nếu 2x + 3y – = thì từ (*) ta có x = V ậy (x = 3, y = 1 ,y= 59 1 ) ho ặc (x = , y = ) 15 Bài 12 Tìm x, y,z biết rằng: x y z và xyz = 810 a x y z x x x x y z xyz 2 2 30 x3 x 810 27 27 10 2 x3 8.27 23.33 2.3 x6 x y 3.6 y 9 mà z 15 b x3 y z3 và 2x2 + 2y2 – z2 = 64 216 HD : x3 y z 23 43 63 x y z KQ : x = 1, y = 2, z = c ( x 1)3 ( y 2)3 ( z 3)3 và x – 2y + 3z 27 64 = 28 16 Lop7.net (17) Lª V¨n Th¾ng – Y£N DòNG- B¾C GIANG Bài 13 Tìm các số x1, x2, …xn-1, xn biết rằng: x x x1 x2 n 1 n và x1 x2 xn c a1 a2 an 1 an ( a1 0, , an 0; a1 a2 an ) Giải: x x x x xn x1 x2 c n 1 n a1 a2 an 1 an a1 a2 an a1 a2 an xi c.ai a1 a2 an đó: i = 1, 2,…, n Bài 14 Tìm các số x; y; z ЄQ biết rằng: x y : z : y z : y :1: : Giải: Ta có: x y 5 z y z 9 y k (1) x y 5 z y z 9 y x y 1 x y k k 4 x y x y 3k k 3k 2k k 5 z k z 5k 52 Từ (1) y 5k y 5k 10 x y 3k x 3k y x y 1 z Bài 15 Tổng các luỹ thừa bậc ba số là -1009 Biết tỷ số số thứ và số thứ là ; số thứ và số thứ là Tìm số đó? Giải: 17 Lop7.net (18) Lª V¨n Th¾ng – Y£N DòNG- B¾C GIANG x3 y z 1009 x x y x y y 3 x x z x y z z 9 x 4k , y 6k , z 9k Ta có: x3 y z 4k 6k 9k 64k 216k 729k 1009k 1009 3 k 1 k 1 x 1.4 4 y 1.6 6 z 1.9 9 B Toán đố (ngoài dạng đơn giản sgk giáo viên soạn bổ sung thêm) Bài Có đội A; B; C có tất 130 người trồng cây Biết số cây người đội A; B; C trồng theo thứ tự là 2; 3; cây Biết số cây đội trồng Hỏi đội có bao nhiêu người trồng cây? Giải: + Gọi số người trồng cây đội A; B; C là: x; y; z (người), đk: x; y; z ЄN* + Theo bài ta có: x.2 = y.3 = 4.z (1) và x + y+ z =130 BCNN (2;3;4) = 12 x.2 y.3 4.z x y z x y z 130 10 12 12 12 6 13 x 60; y 10; z 30 Trả lời: Đội A; B; C có số người trồng cây theo thứ tự là 60; 40; 30 ĐS: 60; 40; 30 Bài Trường có lớp 7, biết có số học sinh lớp 7A số học sinh 7B và số học sinh 7C Lớp 7C có số học sinh ít tổng số học sinh lớp là 57 bạn Tính số học sinh lớp? Giải: Gọi số học sinh 7A; 7B; 7C là x; y; z (em), x; y; z ≠0 Theo bài ta có: 18 Lop7.net (19) Lª V¨n Th¾ng – Y£N DòNG- B¾C GIANG x y z 1 và x + y + z = 57 Chia (1) cho BCNN (3;4;5) = 12 x y z x yz 57 18 16 15 18 16 15 19 => x = 54; y = 18; z =45 Trả lời: số học sinh các lớp 7A; 7B; 7C là: 54; 18; 45 ĐS: 54; 18; 45 Bài Tìm ba số nguyên dương biết BCNN chúng là 3150 và tỷ số số thứ với số thứ là 10 , số thứ với số thứ ba là Giải: Gọi ba số nguyên dương là: x; y; z Theo bài ta có: BCNN (x;y;z) = 3150 x x 10 x y x z ; ; y z 10 x y z k 10 18 x 10k 2.5.k y 18.k 32.2.k z 7.k BCNN (x;y;z)=3150 = 2.32.5.7 k=5 x=50; y = 90; z = 35 Vậy số nguyên dương là x = 50; y = 90; z = 35 C./ Loại toán chứng minh đẳng thức Bài Chứng minh : Nếu a c ab cd thì với a, b, c, d ≠ b d a b c d Giáo viên hỏi: Muốn chứng minh trước hết xác định bài toán cho ta điều gì? Bắt chứng minh điều gì? Giải: Với a, b, c, d ≠ ta có: a c a c ab cd 1 1 b d b d b d ab b (1) cd d 19 Lop7.net (20) Lª V¨n Th¾ng – Y£N DòNG- B¾C GIANG a c a b c d a b b (2) b d b d cd d Từ (1) và (2) => Bài 2: Nếu a b a b ab cd (ĐPCM) cd cd a b c d a c thì: b d a, 5a 3b 5c 3d 5a 3b 5c 3d b, a 3ab 7c 3cd 11a 8b 11c 8d Giải: - Nhận xét điều phải chứng minh? - Làm nào để xuất 5a, 5c, 3b, 3d? - Bài gợi ý gì cho giải bài 2? a Từ b a c a b 5a 3b 5a 5c 5a 3b 5c 3d (đpcm) b d c d 5c 3d 3b 3d 5a 3b 5c 3d a c a b a b ab a 8b 3ab 11a b d c d c d cd 7c 8d 3cd 11c a 3ab 11a 8b (đpcm) 7c 3cd 11c 8d Bài 3: CMR: Nếu a bc thì ab ca điều đảo lại có đúng hay không? a b c a a c b a Giải: + Ta có: a bc a b a b ab ca ca ca a b c a + Điều đảo lại đúng, thật vậy: ab ca a b c a a b c a a b c a Ta có: ac a bc ab ac a bc ab 2bc 2a a bc Bài 4: Cho a a c CMR : b d ac a c bd b d 20 Lop7.net (21)