Nêu tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng, tính chất 3 đường trung trực của tam giác, vẽ hình, ghi giả thuyết, kết luận.. GV: PHAN ĐÌNH VƯƠNG Lop7.net..[r]
(1)TRƯỜNG THCS HỒNG SƠN ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KÌ II NĂM HỌC 2008 – 2009 MÔN : TOÁN ĐẠI SỐ: CHƯƠNG III: THỐNG KÊ A KIẾN THỨC CẦN NHỚ: 1/ Bảng số liệu thống kê ban đầu 2/ Đơn vị điều tra 3/ Dấu hiệu ( kí hiệu là X ) 4/ Giá trị dấu hiệu ( kí hiệu là x ) 5/ Dãy giá trị dấu hiệu (số các giá trị dấu hiệu kí hiệu là N) 6/ Tần số giá trị (kí hiệu là n) 7/ Tần suất giá trị dấu hiệu tính theo công thức f n Tần suất f thường tính dạng N tỉ lệ phần trăm 8/ Bảng “tần số” (bảng phân phối thực nghiệm dấu hiệu) 9/ Biểu đồ ( biểu đồ đoạn thẳng, biểu đồ hình chữ nhật, biểu đồ hình quạt) 10/ Số trung bình cộng dấu hiệu 11/ Mốt dấu hiệu B KĨ NĂNG: - Biết dấu hiệu cần tìm hiểu bài toán và số các giá trị là bao nhiêu? - Tìm số các giá trị khác và tần số tương ứng chúng - Biết lập bảng tần số, vẽ biểu đồ đoạn thẳng, biểu đồ hình chữ nhật, biểu đồ hình quạt và từ đó rút số nhận xét - Biết tính số trung bình cộng và tìm mốt dấu hiệu C BÀI TẬP: Bài 1: Một bạn học sinh đã ghi lại số việc tốt (đơn vị: lần ) mà mình đạt ngày học, sau đây là số liệu 10 ngày Ngày thứ 10 Số việc tốt 3 3 a) Dấu hiệu mà bạn học sinh quan tâm là gì ? b) Hãy cho biết dấu hiệu đó có bao nhiêu giá trị ? c) Có bao nhiêu số các giá trị khác ? Đó là giá trị nào ? d) Hãy lập bảng “tần số” Bài 2: Năm học vừa qua, bạn Minh ghi lại số lần đạt điểm tốt ( từ trở lên ) tháng mình sau: Tháng 10 11 12 Số lần đạt điểm tốt a) Dấu hiệu mà bạn Minh quan tâm là gì ? Số các giá trị là bao nhiêu ? b) Lập bảng “tần số” và rút số nhận xét c) Hãy vẽ biểu đồ đoạn thẳng Bài 3: Một cửa hàng bán Vật liệu xây dựng thống kê số bao xi măng bán hàng ngày ( 30 ngày ) ghi lại bảng sau GV: PHAN ĐÌNH VƯƠNG Lop7.net (2) TRƯỜNG THCS HỒNG SƠN 20 35 15 20 25 40 25 20 30 35 30 20 35 28 30 15 30 25 25 28 20 28 30 35 20 35 40 25 40 30 a) Dấu hiệu mà cửa hàng quan tâm là gì ? Số các giá trị là bao nhiêu ? b) Lập bảng “tần số” c) Hãy vẽ biểu đồ hình chữ nhật, từ đó rút số nhận xét d) Hỏi trung bình ngày cửa hàng bán bao nhiêu bao xi măng ? Tìm mốt dấu hiệu Bài 4: Điểm kiểm tra Toán ( tiết ) học sinh lớp 7B lớp trưởng ghi lại bảng sau: Điểm số (x) 10 Tần số (n) 13 10 N = 45 a) Dấu hiệu đây là gì ? Có bao nhiêu học sinh làm bài kiểm tra ? b) Hãy vẽ biểu đồ đoạn thẳng và rút số nhận xét c) Tính điểm trung bình đạt học sinh lớp 7B Tìm mốt dấu hiệu Bài 5: Điểm trung bình môn Toán năm các học sinh lớp 7A cô giáo chủ nhiệm ghi lại sau: 6,5 7,3 5,5 4,9 8,1 5,8 7,3 6,5 5,5 6,5 7,3 9,5 8,6 6,7 9,0 8,1 5,8 5,5 6,5 7,3 5,8 8,6 6,7 6,7 7,3 6,5 8,6 8,1 8,1 6,5 6,7 7,3 5,8 7,3 6,5 9,0 8,0 7,9 7,3 5,5 a) Dấu hiệu mà cô giáo chủ nhiệm quan tâm là gì ? Có bao nhiêu bạn lớp 7A ? b) Lập bảng “tần số” Có bao nhiêu bạn đạt loại khá và bao nhiêu bạn đạt loại giỏi ? c) Tính điểm trung bình môn Toán năm học sinh lớp 7A Tìm mốt dấu hiệu Bài 6: Một trại chăn nuôi đã thống kê số trứng gà thu hàng ngày 100 gà 20 ngày ghi lại bảng sau : Số lượng (x) 70 75 80 86 88 90 95 Tần số (n) 1 N = 20 a) Dấu hiệu đây là gì ? Có bao nhiêu giá trị khác nhau, đó là giá trị nào ? b) Hãy vẽ biểu đồ hình quạt và rút số nhận xét c) Hỏi trung bình ngày trại thu bao nhiêu trứng gà ? Tìm mốt dấu hiệu Bài 7: Biểu đồ hình chữ nhật biểu diễn số trẻ em sinh các năm từ 1998 đến 2002 huyện 250 200 150 150 100 1998 1999 2000 2001 2002 a) Hãy cho biết năm 2002 có bao nhiêu trẻ em sinh ? Năm nào số trẻ em sinh nhiều ? Ít ? b) Sao bao nhiêu năm thì số trẻ em tăng thêm 150 em ? c) Trong năm đó, trung bình số trẻ em sinh là bao nhiêu ? GV: PHAN ĐÌNH VƯƠNG Lop7.net (3) TRƯỜNG THCS HỒNG SƠN Bài 8: Có 10 đội bóng tham gia giải bóng đá Mỗi đội phải đá lượt và lượt với đội khác a) Mỗi đội phải đá bao nhiêu trận suốt giải ? b) Số bàn thắng qua các trận đấu đội suốt mùa giải ghi lại đây : Số bàn thắng (x) Tần số (n) 1 N = 16 Hãy vẽ biểu đồ đoạn thẳng c) Có bao nhiêu trận đội bóng đó không ghi bàn thắng ? Có thể nói đội bóng này đã thắng 16 trận không ? Gợi ý: a) Mỗi đội phải đá 18 trận ( Vì đội phải đá lượt và lượt với đội còn lại nên = 18 trận ) c) Có trận đội bóng đó không ghi bàn thắng ( Vì N = 16 nghĩa là có 16 trận ghi bàn thắng, mà đội phải đá 18 trận nên có trận đội bóng đó không ghi bàn thắng ) Không thể nói đội này đã đá 16 trận ( Vì tổng số bàn thắng đội này có 15 bàn thắng ) Bài 9: Có 10 đội bóng tham gia giải bóng đá Mỗi đội phải đá lượt và lượt với đội khác a) Có tất bao nhiêu trận toàn giải ? b) Số bàn thắng các trận đấu toàn giải ghi lại bảng sau : Số bàn thắng (x) Tần số (n) 12 16 20 12 N = 80 Hãy vẽ biểu đồ đoạn thẳng và nhận xét c) Có bao nhiêu trận không có bàn thắng ? d) Tính số bàn thắng trung bình trận giải e) Tìm mốt dấu hiệu Gợi ý: a) Có tất 90 trận ( Nếu xếp 10 đội theo thứ tự từ đến 10, thì đội đá với đội còn lại 18 trận, vì số trận đội thứ đá với đội thứ là trận đã tính nên đội thứ hai còn đá 16 trận, tương tự đội thứ còn đá 14 trận, đội thứ ) b) Có 10 trận không có bàn thắng ( Vì N = 80 nghĩa là có 80 trận ghi bàn thắng, mà có tất 90 trận nên có 10 trận không có bàn thắng ) c) X 272 bàn 90 Bài 10: Khối lượng học sinh lớp 7C ghi bảng sau (đơn vị là kg) Tính số trung bình cộng Khối lượng (x) Tần số (n) Trên 24 – 28 Trên 28 – 32 Trên 32 – 36 12 Trên 36 – 40 Trên 40 – 44 Trên 44 – 48 Trên 48 - 52 Bài 11: Diện tích nhà các hộ gia đình khu dân cư thống kê bảng sau (đơn vị : m2) Tính số trung bình cộng GV: PHAN ĐÌNH VƯƠNG Lop7.net (4) TRƯỜNG THCS HỒNG SƠN Diện tích (x) Trên 25 – 30 Trên 30 – 35 Trên 35 – 40 Trên 40 – 45 Trên 45 – 50 Trên 50 – 55 Trên 55 – 60 Trên 60 – 65 Trên 65 - 70 Tần số (n) 11 20 15 12 12 10 Gợi ý: Bài 10 và 11 - Tính số trung bình cộng khoảng ( Ví dụ: Trung bình cộng khoảng 24 -28 là 24 28 26 ) - Nhân các số trung bình vừa tìm với các tần số tương ứng - Thực tiếp các bước theo quy tắc đã học CHƯƠNG IV: BIỂU THỨC ĐẠI SỐ A KIẾN THỨC CẦN NHỚ: 1/ Khái niệm biểu thức đại số, khái niệm biến và cho ví dụ biểu thức đại số 2/ Tính giá trị biểu thức đại số giá trị cho trước biến 3/ Các khái niệm đơn thức, bậc đơn thức Nhân hai đơn thức và viết đơn thức thành đơn thức thu gọn 4/ Khái niệm đơn thức đồng dạng Cộng, trừ các đơn thức đồng dạng 5/ Khái niệm đa thức Thu gọn đa thức Bậc đa thức Cộng, trừ đa thức 6/ Đa thức biến, xếp đa thức, hệ số cao nhất, hệ số tự do, khái niệm số 7/ Cộng, trừ đa thức biến 8/ Nghiệm đa thức B KĨ NĂNG: - Biết tìm bậc đơn thức và đa thức - Thực thành thạo phép nhân hai đơn thức, cộng, trừ các đơn thức đồng dạng, cộng, trừ đa thức - Biết tìm nghiệm đa thức C BÀI TẬP: * Dạng 1: Thu gọn biểu thức đại số: Bài 1: Thu gọn đơn thức, tìm bậc, hệ số A x2 y.2xy3 3 D ( x3 y2 z)3 B 2xy2 z x2 yz C E ( x y).( 2xy2 ) F (xy)3 x2 2 K = x3 x y x3 y L = x5 y xy 5 Phương pháp: Bước 1: Dùng qui tắc nhân đơn thức để thu gọn Bước 2: Xác định hệ số, bậc đơn thức đã thu gọn Bài 2: Thu gọn đa thức, tìm bậc, hệ số cao 89 x xy ( yz) y A 15 x y x x3 y 12 x 11x3 y 12 x y 3 B x5 y xy x y x5 y xy x y 3 1 C x2 y xy2 x2 y xy2 3 D xy2 z 3xyz xy z xyz GV: PHAN ĐÌNH VƯƠNG Lop7.net (5) TRƯỜNG THCS HỒNG SƠN E 3xy5 x2 y xy 3xy5 3x2 y xy F 12x3 y2 x y2 2xy3 x3 y2 x y2 xy3 K 5x3 4x x2 6x3 4x Phương pháp: Bước 1: Nhóm các hạng tử đồng dạng, tính cộng, trừ các hạng tử đòng dạng Bước 2: Xác định hệ số cao nhất, bậc đa thức đã thu gọn * Dạng 2: Tính giá trị biểu thức đại số : Bài : Tính giá trị biểu thức 1 a) A = 3x3 y + 6x2y2 + 3xy3 x ; y b) B = x2 y2 + xy + x3 + y3 x = –1; y = 3 c)C 0, 25xy2 3x2 y 5xy xy2 x2 y 0, 5xy x =0,5 và y = -1 1 d) D xy x2 y3 2xy 2x x2 y3 y x = 0,1 và y = -2 2 Phương pháp : Bước 1: Thu gọn các biểu thức đại số Bước 2: Thay giá trị cho trước biến vào biểu thức đại số Bước 3: Tính giá trị biểu thức số Bài : Cho đa thức P(x) = x4 + 2x2 + 1; Q(x) = x4 + 4x3 + 2x2 – 4x + 1; Tính : P(–1); P( ); Q(–2); Q(1); * Dạng : Cộng, trừ đa thức nhiều biến Bài : Tính tổng và hiệu hai đa thức và tìm bậc đa thức thu a) A = 4x2 – 5xy + 3y2 ; B = 3x2 + 2xy - y2 xy y4 ; D x3 x2 y xy2 y4 2 c) E 5xy x2 y xyz ; F 2x2 y xyz xy x 3 3 d) M 2, 5x 0,1x y y ; N 4x y 3, 5x xy y b) C x3 2x2 y Phương pháp : Bước 1: Viết phép tính cộng, trừ các đa thức Bước 2: Áp dung qui tắc bỏ dấu ngoặc Bước 3: Áp dụng tính chất giao hoán và kết hợp để kết hợp các hạng tử đồng dạng lại với Bước 4: Cộng hay trừ các hạng tử đồng dạng Bài : Tìm đa thức M, biết : b) M (x y x y xy) 2x y a M + (5x2 – 2xy) = 6x2 + 9xy – y2 2 3 xy c) ( xy x x y) M xy x y 2 2 Phương pháp : a) M + ( Đa thức đã biết ) = Đa thức tổng M = ( Đa thức tổng ) - ( Đa thức đã biết ) c) ( Đa thức bị trừ ) – M = Đa thức hiệu M = ( Đa thức bị trừ ) – ( Đa thức hiệu ) b) M – ( Đa thức trừ ) = Đa thức hiệu M = ( Đa thức hiệu ) + ( Đa thức trừ ) GV: PHAN ĐÌNH VƯƠNG Lop7.net (6) TRƯỜNG THCS HỒNG SƠN * Dạng 4: Cộng , trừ đa thức biến: Bài 1: tính tổng và hiệu hai đa thức sau: a) A(x) = 3x4 – 3 x + 2x2 – Tính : A(x) + B(x); b) C(x) 2x x B(x) = 8x4 + ; A(x) - B(x); x – 9x + 5 B(x) - A(x); x ; D(x) 2x3 3x2 x 3 Tính C(x) + D(x) ; C(x) - D(x) ; D(x) - C(x) c) P(x) 15x 0,75x 2x x ; Q(x) x 3x 5 Tính P(x) + Q(x) ; P(x) - Q(x) ; Q(x) - P(x) x x2 d) M(x) 0, 25x 3x x 2x 8x x ; N(x) 0,75x 2x 2x x Tính M(x) + N(x) ; M(x) - N(x) ; N(x) - M(x) Phương pháp: Cách 1: - Bước 1: Thu gọn các đơn thức ( có ) và xếp theo lũy thừa giảm dần biến - Sau đó thực tương tự các bước phép cộng, trừ đa thức nhiều biến Cách 2: ( Thực theo cách xếp ) Bước 1: Thu gọn các đơn thức ( có ) và xếp theo lũy thừa giảm dần biến Bước 2: Viết các đa thức cho các hạng tử đồng dạng thẳng cột với Bước 3: Thực phép tính cộng trừ các hạng tử đồng dạng cùng cột Chú ý: A(x) - B(x)=A(x) +[-B(x)] * Dạng : Tìm nghiệm đa thức biến Kiểm tra số cho trước có là nghiệm đa thức biến không Bài : Cho đa thức f(x) = x4 + 2x3 – 2x2 – 6x + Trong các số sau : 1; –1; 2; –2 số nào là nghiệm đa thức f(x) Phương pháp : Bước 1: Tính giá trị đa thức giá trị biến cho trước đó Bước 2: Nếu giá trị đa thức thì giá trị biến đó là nghiệm đa thức Tìm nghiệm đa thức biến Bài : Tìm nghiệm các đa thức sau F(x) = 3x – 6; H(x) = –5x + 30 G(x)=(x-3)(16-4x) K(x)=x2-81 M(x) = x2 +7x -8 N(x)= 5x2+9x+4 Phương pháp : Bước 1: Cho đa thức Bước 2: Giải bài toán tìm x Bước 3: Giá trị x vừa tìm là nghiệm đa thức Chú ý : – Nếu A(x).B(x) = => A(x) = B(x) = – Nếu đa thức P(x) = ax2 + bx + c có a + b + c = thì ta kết luận đa thức có nghiệm là x = 1, nghiệm còn lại x2 = c/a – Nếu đa thức P(x) = ax2 + bx + c có a – b + c = thì ta kết luận đa thức có nghiệm là x = –1, nghiệm còn lại x2 = -c/a * Dạng : Tìm hệ số chưa biết đa thức P(x) biết P(x0) = a Bài : Cho đa thức P(x) = mx – Xác định m biết P(–1) = Bài : Cho đa thức Q(x) = -2x2 +mx -7m+3 Xác định m biết Q(x) có nghiệm là -1 Phương pháp : Bước 1: Thay giá trị x = x0 vào đa thức Bước 2: Cho biểu thức số đó a Bước 3: Tính hệ số chưa biết 3 4 GV: PHAN ĐÌNH VƯƠNG Lop7.net (7) TRƯỜNG THCS HỒNG SƠN HÌNH HỌC CHƯƠNG II: TAM GIÁC A KIẾN THỨC CẦN NHỚ: 1/ Định lí tổng ba góc tam giác Tính chất góc ngoài tam giác A A AA + ABC có A A B ACB 180 (đ/I tổng ba góc tam giác) + Tính chất góc ngoài Acx: A A ACx AA B x B C 2/ Định nghĩa tính chất tam giác cân A * Định nghĩa: Tam giác ABC có AB = AC * Tính chất: A ABC cân A A A C A 180 A + B + AB = AC A + A A 180 B A C A + B B C 3/ Định nghĩa tính chất tam giác đều: A * Định nghĩa: Tam giác ABC có AB = AC = BC * Tính chất: + AB = AC = BC A ABC là tam giác A C A 60 + A A B C B 4/ Tam giác vuông: A ABC là tam giác vuông A B * Định nghĩa: Tam giác ABC có A A 90 * Tính chất: A A C A 90 + B * Định lí Pytago: ABC vuông A BC2 = AB2 + AC2 * Định lí Pytago đảo: ABC có BC2 = AB2 + AC2 ABC vuông A C 5/ Tam giác vuông cân: B A A A * Định nghĩa: Tam giác ABC có A A 90 và AB = AC * Tính chất: + AB = AC = c + BC2 = AB2 + AC2 BC = c C A A C A 45 + B 6/ Ba trưòng hợp hai tam giác: + Trưòng hợp 1: Cạnh - cạnh - cạnh( c-c-c) D A B CE A ABC là vuông cân A F AB DE A ABC và A DEF có: AC DF BC EF A ABC = A DEF ( c-c-c) GV: PHAN ĐÌNH VƯƠNG Lop7.net (8) TRƯỜNG THCS HỒNG SƠN +Trưòng hợp 2: Cạnh - góc - cạnh ( c-g-c) AB DE A ABC và A DEF có: BA EA BC EF A ABC = A DEF ( c-g-c) D A F CE B +Trưòng hợp 3: Góc - cạnh - góc ( g-c-g) D A F CE B 7/ Bốn trường hợp tam giác vuông + Trưòng hợp 1: Hai cạnh góc vuông B E A E A B A ABC và A DEF có: BC EF A A C F A ABC = A DEF ( g-c-g) A 90 ) A ABC ( AA 900 ) và A DEF ( D AB DE AC DF A ABC = A DEF ( Hai cạnh góc vuông ) có: A C D F + Trưòng hợp 2: Cạnh góc vuông – góc nhọn B A 90 ) A ABC ( AA 900 ) và A DEF ( D E AC DF A C D F có: A F A C AB DE A E A B A ABC = A DEF ( Cạnh góc vuông- góc nhọn ) + Trưòng hợp 3: Cạnh huyền – góc nhọn B E A 90 ) A ABC ( AA 900 ) và A DEF ( D BC EF A C D F có: A F A C BC EF A E A B A ABC = A DEF ( Cạnh huyền - góc nhọn ) + Trưòng hợp 4: Cạnh huyền - cạnh góc vuông B E A 90 ) A ABC ( AA 900 ) và A DEF ( D CB EF CB EF AC DF AB DE A ABC = A DEF ( Cạnh huyền - cạnh góc vuông ) có: A C D F B KĨ NĂNG: - Biết vận dụng các trưòng hợp hai tam giác để chứng minh hai tam giác nhau, hai đoạn thẳng nhau, hai góc - Biết vận dụng định nghĩa, tính chất để chứng minh tam giác là tam giác cân, tam giác đều, tam giác vuông, tam giác vuông cân - Biết vận dụng định lí Pytago để chứng minh và tính toán GV: PHAN ĐÌNH VƯƠNG Lop7.net (9) TRƯỜNG THCS HỒNG SƠN CHƯƠNG III QUAN HỆ GIỮA CÁC YẾU TỐ TRONG TAM GIÁC CÁC ĐƯỜNG ĐỒNG QUY TRONG TAM GIÁC A KIẾN THỨC CẦN NHỚ: Nêu định lý quan hệ góc và cạnh đối diện tam giác, vẽ hình, ghi giả thuyết, kết luận A A A B C B C AC AB Xét A ABC có A C A AC AB B Nêu quan hệ đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu, vẽ hình, ghi giả thuyết, kết A luận B d A d , B d , AH d Khi đó AB > AH AB = AH ( điều này xảy B H ) d A d , B d , C d , AH d Khi đó AB AC HB HC AB AC HB HC H A B H C Nêu định lý bất đẳng thức tam giác, vẽ hình, ghi giả thuyết, kết luận A * Với ba điểm A,B,C bất kì, luôn có : AB + AC > BC AB + AC = BC ( điều này xảy A nằm B và C ) C B B C A Nêu tính chất đường trung tuyến tam giác, vẽ hình, ghi giả thuyết, kết luận A * Trong ABC , ba đường trung tuyến AD, BE, CF đồng quy điểm G A F E G D B và GA GB GC AD BE CF * Điểm G là trọng tâm C A ABC Nêu tính chất đường phân giác góc, tính chất đường phân giác tam giác, vẽ hình, ghi giả thuyết, kết luận A * Trong ABC , ba đường phân giác đồng quy điểm I và điểm I cách L ba cạnh : M IK = IL = IM * Điểm I là tâm đường tròn nội tiếp ABC I A A B C K Nêu tính chất đường trung trực đoạn thẳng, tính chất đường trung trực tam giác, vẽ hình, ghi giả thuyết, kết luận A * Trong ABC , ba đường trung trực đồng quy điểm O và điểm O cách ba đỉnh : OA = OB = OC * Điểm O là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC A A O B C GV: PHAN ĐÌNH VƯƠNG Lop7.net (10) TRƯỜNG THCS HỒNG SƠN Nêu tính chất đường cao tam giác, vẽ hình, ghi giả thuyết, kết luận A A K L * Trong ABC , ba đường cao AI, BK, CL đồng quy điểm H * Điểm H là trực tâm ABC A H B C I Tam giác ABC cân A thì đường cao xuất phát từ đỉnh A là đường trung trực, là đường trung tuyến và là đường phân giác Tam giác ABC thì đường cao xuất phát từ đỉnh là đường trung trực, là đường trung tuyến và là đường phân giác Đồng thời giao điểm ba đường cao vừa cách ba đỉnh và ba cạnh tam giác B KĨ NĂNG: - Vận dụng thành thạo các kiến thức đã học chương III vào giải toán Một số phương pháp chứng minh chương II và chương III Chứng minh hai đoạn thẳng nhau, hai góc nhau: - Cách1: Chứng minh hai tam giác - Cách 2: Sử dụng tính chất bắc cầu, cộng trừ theo vế, hai góc bù v v Chứng minh tam giác cân: - Cách1: Chứng minh hai cạnh hai góc - Cách 2: Chứng minh đường trung tuyến đồng thời là đường cao, phân giác … - Cách 3:Chứng minh tam giác có hai đường trung tuyến v.v Chứng minh tam giác đều: - Cách 1: Chứng minh cạnh góc - Cách 2: Chứng minh tam giác cân có góc 600 Chứng minh tam giác vuông: - Cách 1: Chứng minh tam giác có góc vuông - Cách 2: Dùng định lý Pytago đảo - Cách 3: Dùng tính chất: “đường trung tuyến ứng với cạnh cạnh thì tam giác đó là tam giác vuông” Chứng minh tia Oz là phân giác góc xOy: - Cách 1: Chứng minh góc xOz yOz - Cách 2: Chứng minh điểm M thuộc tia Oz và cách cạnh Ox và Oy Chứng minh bất đẳng thức đoạn thẳng, góc Chứng minh điểm thẳng hàng, đường đồng qui, hai đường thẳng vuông góc v v (dựa vào các định lý tương ứng) C BÀI TẬP: Bài : Cho ABC cân A, đường cao AH Biết AB=5cm, BC=6cm a) Tính độ dài các đoạn thẳng BH, AH? b) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC Chứng minh ba điểm A,G,H thẳng hàng? A A c) Chứng minh: ABG ? ACG ( Học sinh tự làm ) Bài 2: Cho ABC cân A Gọi M là trung điểm cạnh BC a) Chứng minh : ABM = ACM A b) Từ M vẽ MH AB và MK AC Chứng minh BH = CK c) Từ B vẽ BP AC, BP cắt MH I Chứng minh IBM cân Hướng dẫn: P a) Chứng minh : ABM = ACM H I ( Theo trường hợp c-c-c c-g-c g-c-g ) K b) Chứng minh BH = CK Chứng minh BHM CKM ( Cạnh huyền – góc nhọn ) M C B BH = CK ( Hai cạnh tương ứng ) A A GV: PHAN ĐÌNH VƯƠNG Lop7.net (11) TRƯỜNG THCS HỒNG SƠN c) Chứng minh IBM cân A KMC A ( ) IMB A A Chứng minh IBM IMB A KMC A ( ) IBM Bài : Cho ABC vuông A Từ điểm K thuộc cạnh BC vẽ KH AC Trên tia đối tia HK lấy điểm I cho HI = HK Chứng minh : a) AB // IK b) AKI cân A A AIK c) BAK d) AIC = AKC Hướng dẫn: C a) Chứng minh AB và IK cùng vuông góc với AC b) Xét AKI cần c/m AH vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao AKI cân A c/m AHI AHK ( Hai cạnh góc vuông ) H K AI = AK AKI cân A I A c) C/m BAK vµ A AIK cùng với A AKI A A B A d) C/m AIC = AKC ( c-g-c) A KAC A , AC lµ c ¹nh chung ) ( AI AK ( ), IAC Bài : Cho ABC cân A ( AA 900 ), vẽ BD AC và CE AB Gọi H là giao điểm BD và CE a) Chứng minh : ABD = ACE b) Chứng minh AED cân c) Chứng minh AH là đường trung trực ED A DKC A d) Trên tia đối tia DB lấy điểm K cho DK = DB Chứng minh ECB Hướng dẫn: A a) Chứng minh : ABD = ACE ( Cạnh huyền – góc nhọn ) b) Từ câu a AE = AD ( hai cạnh tương ứng ) K AED cân A D c) Cần c/m HE = HD ( C/m nhiều cách ) E H thuộc đường trung trực ED.(1) H Và AE = AD ( cmt ) A thuộc đường trung trực ED.(2) B C Từ (1) và (2) suy AH là đường trung trực ED A A A d) C/m ECB cùng với CBD ( C/m nhiều cách ) vµ DKC Bài : Cho ABC cân A Trên tia đối tia BA lấy điểm D, trên tia đối tia CA lấy điểm E cho BD = CE Vẽ DH và EK cùng vuông góc với đường thẳng BC Chứng minh : a) HB = CK b) A AHB A AKC A c) HK // DE d) AHE = AKD e) Gọi I là giao điểm DK và EH Chứng minh AI DE Hướng dẫn: a) C/ m BHD CKE ( Cạnh huyền – góc nhọn) A A BD CE( ) A A ( ) HBD KCE H HB = CK ( Hai cạnh tương ứng ) D C B I K E GV: PHAN ĐÌNH VƯƠNG Lop7.net (12) AB AC( ) A AHỒNG KCA ( )SƠN TRƯỜNG THCS HBA HB CK (c©u a ) A ABH A ACK ( c-g-c ) b) C/m AH AK ( ) A A HAE KAD( ) AE AD( ) d) C/m AHE = AKD ( c-g-c ) A AHB A AKC ( Hai góc tương ứng ) e) C / m : ID IE( ) I thuéc ®êng trung trùc cña DE Vµ AD AE( ) Athuéc ®êng trung trùc cña DE c) C/ m : DH là khoảng cách từ D đến HK EK là khoảng cách từ E đến HK Mà DH = EK ( BHD CKE câu a ) HK // DE ( D và E nằm cùng phía HK ) A A Do đó: AI là đường trung trực DE AI DE Bài 6: Cho góc xOy; vẽ tia phân giác Ot góc xOy Trên tia Ot lấy điểm M bất kỳ; trên các tia Ox và Oy lấy các điểm A và B cho OA = OB gọi H là giao điểm AB và Ot Chứng minh: a) MA = MB b) OM là đường trung trực AB c) Cho biết AB = 6cm; OA = cm Tính OH? y Hướng dẫn: a) C/m OAM OBM ( c-g-c ) MA = MB ( hai cạnh tương ứng ) B t b) C/m tương tự câu c bài áp dụng tam giác cân M đường phân giác xuất phát từ đỉnh nên là đường O trung trực A c) Áp dụng định lí Pytago để tính OH A A x Bài 7: Cho tam giác ABC có B = 900, vẽ trung tuyến AM Trên tia đối tia MA lấy điểm E cho ME = MA Chứng minh: a) ABM = ECM b) EC BC c) AC > CE d) BE //AC A Hướng dẫn: a) C/m ABM = ECM ( c-g-c ) A b) A ( vì ABM = ECM câu a ) ABC ECM A A Mà ABC 90 (gt) ECM 900 EC BC M C B c) AB = EC ( ) Mà AB là đường vuông góc kẻ từ A đến BC AC là đường xiên kẻ từ A đến BC AC > AB ( Quan hệ đường vuông góc và đường xiên ) Do đó AC > EC A A d) C/m BME CMA ( c-g-c ) MEB và vị trí so le BE //AC MAC Bài : Cho tam giác ABC cân A có AB = AC = cm; kẻ AH BC ( H BC) A A E A A a) Chứng minh BH = HC và BAH CAH b) Tính độ dài BH biết AH = cm c) Kẻ HD AB ( d AB), kẻ EH AC (E AC).Tam giác ADE là tam giác gì? Vì sao? ( Học sinh tự làm ) GV: PHAN ĐÌNH VƯƠNG Lop7.net (13) TRƯỜNG THCS HỒNG SƠN Bài : Cho tam giác ABC cân A Trên tia đối tia BC lấy điểm D, trên tia đối tia CB lấy điểm E cho BD = CE A a) Chứng minh ADE là tam giác cân b) Kẻ BH AD ( H AD ), kẻ CK AE ( K AE ) Chứng minh BH = CK, AH = AK c) Gọi I là giao điểm BH và CK Tam giác IBC là tam giác gì ? Vì ? d) Chứng minh AI là tia phân giác góc BAC A 60 và BD = CE = BC, hãy tính số đo các góc tam giác ADE và xác định dạng e) Khi BAC tam giác IBC ( Xem lại bài giải bài tập 70/ sgk/ 141 tập ) Bài 10: Cho tam giác ABC cân A Trên cạnh BC lấy hai điểm M, N cho BM = CN a) Chứng minh AMN là tam giác cân b) Kẻ BH AM ( H AM ), kẻ CK AN ( K AN ) Chứng minh BH = CK, AH = AK c) Gọi O là giao điểm BH và CK Tam giác OBC là tam giác gì ? Vì ? A A d) Khi MAN 60 và BM = MN = CN, hãy tính số đo các góc tam giác ABC ( Cách chứng minh và tính toán tương tự bài ) Bài 11 : Cho tam giác ABC cân A Trên cạnh AB lấy điểm D, trên cạnh AC lấy điểm E cho AD = AE Gọi A M là giao điểm BE và CD.Chứng minh: a) Các hình chiếu BD và CE trên BC D b) BE = CD E c) BMD CME d) AM là tia phân giác góc BAC M A A e) BE BC DE B Hướng dẫn: a) Vẽ DH BC; EK BC BH và CK là hai hình chiếu BD và CE trên cạnh BC C/m BDH CEK ( cạnh huyền –góc nhọn ) BH = CK b) C/m ABE ACD ( c-g-c ) BE = CD c) C/m BMD CME ( g-c-g ) A A A d) C/m K C A AMB A AMC ( c-c-c c-g-c ) A A MAC MAB AM là tia phân giác góc BAC e) C/m DE // BC DE = HK (tính chất đoạn chắn) A A A Ta có BE > BK ; CD > CH ( quan hệ đường xiên và đường vuông góc ) Mà BE = CD ( cmt ) Suy ra: BE + CD > BK + CH hay BE + BE > (BH + HK) + CH 2BE > ( BH + CH ) + HK 2BE > BC + DE A A Cần C/m BD = CE ; MDB MEC A Và A MBD MCE ( vì H A ABE A ACD câu b ) BE BC DE Bài 12 : Cho ∆ ABC (AB <AC ) Có AD là phân giác góc A ( D BC ) Trên tia AC lấy điểm E cho AE = AB a) Chứng minh : BD = DE b) Gọi K là giao điểm các đường thẳng AB và ED Chứng minh ABC AEK và ∆ DBK = ∆ DEC c) ∆ AKC là tam giác gì ? Chứng minh điều đó? A d) Chứng minh AD KC Hướng dẫn: a) C/m ADB ADE ( c-g-c ) BD = DE ( hai cạnh tương ứng ) E b) C/m ABC AEK ( g-c-g ) D B C * Xét ∆ DBK và ∆ DEC A A A A A A A A ( đối đỉnh ) Ta đã có BD = DE ( cmt) và BDK CDE K GV: PHAN ĐÌNH VƯƠNG Lop7.net (14) TRƯỜNG THCS HỒNG SƠN A A Cần C/m: DBK DEC ∆ DBK = ∆ DEC ( g-c-g ) c) ∆ AKC là tam giác cân A Cần C/m: AK = AC ( dựa vào tính chất cộng đoạn thẳng ) d) Áp dụng ∆ AKC cân A Mà AD là đường phân giác nên là đường cao AD KC Bài 13 : Cho ∆ ABC có AA = 90° Đường trung trực AB cắt AB E và BC F a) Chứng minh FA = FB C b) Từ F vẽ FH AC ( H AC ) Chứng minh FH EF c) Chứng minh FH = AE BC d) Chứng minh EH = ; EH // BC F H Hướng dẫn: a) C/m AEF BEF ( Hai cạnh góc vuông ) FA = FB ( hai cạnh tương ứng ) b) Ta có AB AC, FH AC AB // FH A E Mà EF AB ( vì EF là đường trung trực AB ) EF FH c) FH = AE ( Áp dụng tính chất đoạn chắn ) d) C/m HFE BEF ( hai cạnh góc vuông ) (1) EH = BF C/m FHC HFE ( cạnh góc vuông – góc nhọn ) (2) EH = FC Mà BC = BF + FC ( tính chất cộng đoạn thẳng ) (3) BC Từ (1), (2) và (3) suy EH = * C/m: EH // BC A A A A B A A A HFE A BEF câu d ) A A Mà HEF vµ EFB vị trí so le EH // BC A A ( vì Có HEF EFB GV: PHAN ĐÌNH VƯƠNG Lop7.net (15)