Tìm m để hàm số 1 có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị cùng với gốc tọa độ O tạo thành tam giác vuông tại O.. Tìm m để hàm số 1 có cực đại, cực tiểu và các điểm [r]
(1)CÁC CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC PHẦN I CÁC DẠNG BÀI TOÁN GIẢI TÍCH A HÀM SỐ Dạng 1: CÁC BÀI TOÁN VỀ TIẾP XÚC Cho hàm số y f x ,đồ thị là (C) Có ba loại phương trình tiếp tuyến sau: Loại 1: Tiếp tuyến hàm số điểm M x0 ; y0 C Tính đạo hàm và giá trị f ' x0 Phương trình tiếp tuyến có dạng: y f ' x0 x x0 y0 Chú ý: Tiếp tuyến điểm M x0 ; y0 C có hệ số góc k f ' x0 Loại 2: Biết hệ số góc tiếp tuyến là k Giải phương trình: f ' x k , tìm nghiệm x0 y0 Phương trình tiếp tuyến dạng: y k x x0 y0 Chú ý: Cho đường thẳng : Ax By C , đó: Nếu d // d : y ax b hệ số góc k = a Nếu d d : y ax b a hệ số góc k Loại 3: Tiếp tuyến (C) qua điểm A x A ; y A C Gọi d là đường thẳng qua A và có hệ số góc là k, đó d : y k x x A y A Điều kiện tiếp xúc d và C là hệ phương trình sau phải có nghiệm: f x k x x A y A f ' x k Tổng quát: Cho hai đường cong C : y f x và C ' : y g x Điều kiện để hai đường cong tiếp f x g x f ' x g ' x xúc với là hệ sau có nghiệm Cho hàm số y x x a khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số b Viết phương trình tiếp tuyến (C): i Tại điểm có hoành độ x ;ii Tại điểm có tung độ y = iii.Tiếp tuyến song song với đường thẳng: d1 : 24 x y 2010 ;iiii.Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng: d : x 24 y 2011 Cho hàm số y x2 x có đồ thị là (C) x 1 a Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số trên b Viết phương trình tiếp tuyến (C): i.Tại giao điểm (C) với trục tung ii.Tại giao điểm (C) với trụng hoành iii.Biết tiếp tuyến qua điểm A(1;1) iv.Biết hệ số góc tiếp tuyến k = 13 Cho hàm số y x2 x có đồ thị (C) x 1 http://kinhhoa.violet.vn Lop2.net BS: Vũ Ngọc Vinh (2) a Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số trên.;b Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm x = c Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm có tung độ y = d Tìm tất các điểm trên trục tung mà từ đó kẻ hai tiếp tuyến đến (C) Cho hàm số y = x3 + mx2 + có đồ thị (Cm) Tìm m để (Cm) cắt d: y = – x + ba điểm phân biệt A(0;1), B, C cho các tiếp tuyến (Cm) B và C vuông góc với Cho hàm số y x2 Tìm tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ để từ đó có thể kẻ đến (C) x hai tiếp tuyến vuông góc Cho hàm số y 2x x 1 (ĐH KhốiD 2007) a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho b Tìm tọa độ điểm M thuộc (C), biết tiếp tuyến (C) M cắt Ox, Oy A, B và diện tích x x 1 Cho hàm số y x2 tam giác OAB (ĐH KhốiB 2006) a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số đã cho b Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết tiếp tuyến đó vuông góc với tiệm cận xiên ĐS: b y x m x (*) (m là tham số) (ĐH KhốiD 2005) Gọi (Cm) là đồ thị hàm số: y x3 a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (*) m=2 b Gọi M là điểm thuộc (Cm) có hoành độ 1 Tìm m để tiếp tuyến (Cm) M song song với đường thẳng x y Cho hàm số y x3 3mx x 3m Cm Định m để Cm tiếp xúc với trục hoành 10 Cho hàm số y x x3 m 1 x x m Cm Định m để Cm tiếp xúc với trục hoành 11 Cho đồ thị hàm số C : y x2 Tìm tập hợp các điểm trên trục hoành cho từ đó kẻ x 1 tiếp tuyến đến (C) 12 Cho đồ thị hàm số C : y x3 3x Tìm tập hợp các điểm trên trục hoành cho từ đó có thể kẻ tiếp tuyến với (C) 13 Cho đồ thị hàm số C : y x x Tìm các điểm M nằm trên Oy cho từ M kẻ tiếp tuyến đến (C) 14 Cho đồ thị hàm số C : y x3 3x Tìm các điểm trên đường thẳng y = cho từ đó có thể kẻ tiếp tuyến với (C) 15 Cho hàm số y = 4x3 – 6x2 + (1) (ĐH KhốiB 2008) a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) b Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đó qua điểm M(–1;–9) Dạng 2: CÁC BÀI TOÁN VỀ CỰC TRỊ Cho hàm sô y f x ,đồ thị là (C) Các vấn đề cực trị cần nhớ: http://kinhhoa.violet.vn Lop2.net BS: Vũ Ngọc Vinh (3) f ' x0 thì hàm số đạt cực đại x x0 f '' x0 f ' x0 thì hàm số f '' x0 Nếu Nếu đạt cực tiểu x x0 Nghiệm phương trình f ' x là hoành độ điểm cực trị Một số dạng bài tập cực trị thường gặp a y ' yCĐ yCT Để hàm số y f x có hai cực trị nằm phía trục hoành Để hàm số y f x có cực trị Để hàm số y f x có hai cực trị nằm phía trục tung Để hàm số y f x có hai cực trị nằm phía trên trục hoành Để hàm số y f x có hai cực trị nằm phía trục hoành xCĐ xCT yCĐ yCT yCĐ yCT yCĐ yCT yCĐ yCT yCĐ yCT Để hàm số y f x có cực trị tiếp xúc với trục hoành Cách viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị Dạng 1: hàm số y ax3 bx cx d Lấy y chia cho y’, thương là q(x) và dư là r(x) Khi đó y = r(x) là đường thẳng qua điểm cực trị Dạng 2: Hàm số y y ax bx c ' dx e ' ax bx c dx e Đường thẳng qua hai điểm cực trị có dạng 2a b x d d Chứng minh hàm số y = x m m2 x m4 xm luôn có có cực trị với m Tìm m cho hai cực trị nằm trên đường thẳng y=2x Cho hàm số y x3 mx m x Định m để: a Hàm số luôn có cực trị; b.Có cực trị khoảng 0; ; khoảng 0; c.Có hai cực trị Định m để hàm số y x3 3mx m 1 x b 4ac đạt cực đại x = Cho hàm số y = x3 + 3x2 + 3mx + 3m + a Khảo sát hàm số m = ; b.Định m để hàm số không có cực trị ; c.Định m để hàm só có cực đại và cực tiểu Cho hàm số y x3 3mx x 3m Định m để đồ thị hàm số có cực đại cực tiểu, viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị x m 1 x m Cho hàm số Chứng minh đồ thị hàm số luôn có cực đại, cực tiểu với y xm m Hãy định m để hai cực trị nằm hai phía trục hoành Cho hàm số y x3 1 2m x m x m Định m để đồ thị hàm số có hai cực trị đồng thời hoành độ điểm cực tiểu nhỏ http://kinhhoa.violet.vn Lop2.net BS: Vũ Ngọc Vinh (4) Cho hàm số y x 2mx 3m2 xm Định m để đồ thị hàm số có hai cực trị nằm hai phía trục tung Cho hàm số y x3 mx 2m 1 x m Cm Định m để hàm số có hai điểm cực trị cùng dương 10 Cho hàm số y x m 1 x m 4m x2 (1) (ĐH KhốiA năm 2007) a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị đồ thị hàm (1) số m=1 b Tìm m để hàm số (1) có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực trị đồ thị cùng với gốc tọa độ O tạo thành tam giác vuông O 11 Cho hàm số y x3 3x m 1 x 3m (1), m là tham số (ĐH KhốiB năm 2007) a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị đồ thị hàm (1) số m=1 b Tìm m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị đồ thị hàm số (1) cách gốc tọa độ 12 Cho hàm số y mx m2 x 10 (1) (m là tham số) a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị đồ thị hàm số m=1 b Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị (ĐH KhốiB năm 2002) x m 1 x m 13 Gọi (C ) là đồ thị hàm số (*) (m là tham số) m y x 1 a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị đồ thị hàm số m=1 b Chứng minh với m bất kỳ, đồ thị (Cm) luôn có hai điểm cực đại, cực tiểu và khoảng cách hai điểm đó 20 Dạng 3: CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐỒNG BIẾNNGHỊCH BIẾN Cho hàm sô y f x có tập xác định là miền D f(x) đồng biến trên D f ' x , x D f(x) nghịch biến trên D f ' x , x D (chỉ xét trường hợp f(x) = số hữu hạn điểm trên miền D) Thường dùng các kiến thức xét dấu tam thức bậc hai: f x ax bx c Nếu thì f(x) luôn cùng dấu với a Nếu thì f(x) có nghiệm x b b và f(x) luôn cùng dấu với a x 2a 2a Nếu thì f(x) có hai nghiệm, khoảng nghiệm f(x) trái dấu với a, ngoài khoảng nghiệm f(x) cùng dấu với a So sánh nghiệm tam thức với số * x1 x2 P S * x1 x2 P S * x1 x2 P Thường dùng các kiến thức max, min: f ( x ) m, x D max D f ( x ) m; f ( x ) m, x D D f ( x ) m Cho hàm số y x3 m 1 x m 1 x Định m để: a Hàm số luôn đồng biến trên R ; b Hàm số luôn đồng biến trên khoảng 2; http://kinhhoa.violet.vn Lop2.net BS: Vũ Ngọc Vinh (5) Xác định m để hàm số y x3 mx 2x b Đồng biến trên 1; a Đồng biến trên R.; Cho hàm số y x3 2m 1 x 12m x a Định m để hàm số đồng biến trên khoảng 2; ; biến trên khoảng ; 1 Cho hàm số y b Định m để hàm số nghịch mx x Định m để hàm số nghịch biến trên 1; x2 Dạng 4: CÁC BÀI TOÁN VỀ GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG CONG Quan hệ số nghiệm và số giao điểm Cho hai hàm số y=f(x) có đồ thị (C1) và y=g(x) có đồ thị (C2) Khảo sát tương giao hai đồ thị (C1) và (C2) tương đơưng với khảo sát số nghiệm phương trình: f(x) = g(x) (1) Số giao điểm (C1) và (C2) đúng số nghiệm phương trình hoành độ giao điểm (1) (1) vô nghiệm (C1) và (C2) không có điểm chung (1) có n nghiệm (C1) và (C2) có n điểm chung (1) có nghiệm đơn x1 (C1) và (C2) cắt N(x1;y1) (1) có nghiệm kép x0 (C1) tiếp xúc (C2) M(x0;y0) Cho hàm số y x 12 x 1 có đồ thị là (C) a Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số x2 m 2 x m b.Biện luận theo m số nghiệm phương trình 2 Cho hàm số y x 1 x 1 có đồ thị là (C) a Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên b Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm phương trình x 1 2m Cho hàm số y x3 kx a Khảo sát hàm số trên k = b Tìm các giá trị k để phương trình x3 kx có nghiệm Cho hàm số y x3 3x (ĐH KhốiD 2006) a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số đã cho b Gọi d là đường thẳng qua điểm A(3;20) có hệ số góc m Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) ba điểm phân biệt Cho hàm số y x 3x x 1 a Khảo sát hàm số (1) điểm A, B cho AB =1 http://kinhhoa.violet.vn (1) (ĐH KhốiA 2004) b Tìm m để đường thẳng y=m cắt đồ thị hàm số (1) hai Lop2.net BS: Vũ Ngọc Vinh (6) Cho hàm số y mx x m x 1 (*) (m là tham số) (ĐH KhốiA 2003) a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị đồ thị hàm số m=1 b Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành hai điểm phân biệt và hai điểm đó có hoành độ dương a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y x2 x (1) x2 (ĐH KhốiD 2003) b Tìm m để đường thẳng d m : y mx 2m cắt đồ thị hàm số (1) hai điểm phân biệt Cho hàm số y = x3 + 3mx2 + 3(1 m2)x + m3 m2 (1) (m là tham số) (ĐH KhốiA 2002) a Khảo sát biến thiên và vẽ đố thị hàm số (1) m = b Tìm k để phương trình x3 + 3x2 + k3 3k2 = có nghiệm phân biệt c Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số (1) Dạng 5: CÁC BÀI TOÁN VỀ KHOẢNG CÁCH Các công thức khoảng cách: Khoảng cách hai điểm (độ dài đoạn thẳng): AB xB x A 2 yB y A 2 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng: Cho đường thẳng : Ax By C và điểm Ax0 By0 C M(x0;y0) đó d M ,. A2 B Cho hàm số y x3 3mx x 3m Cm Định m để Cm có cực đại cực tiểu đồng thời khoảng cách chúng là bé 2x Tìm tọa độ các điểm M nằm trên (C) có tổng khoảng cách đến hai x 1 Cho hàm số C : y tiệm cận là nhỏ x2 x Tìm các điểm M thuộc (C) có tổng khoảng cách đến tiệm cận x 1 Cho hàm số C : y là nhỏ Cho hàm số C : y 2x Tìm hai điểm M, N thuộc hai nhánh khác (C) cho x 1 đoạn MN nhỏ x2 x Tìm hai điểm M, N thuộc nhánh khác (C) cho x 1 Cho hàm số C : y đoạn MN nhỏ Cho hàm số C : y x2 x x 1 a Tìm các điểm thuộc đồ thị (C) có tổng khoảng cách đến hai trục tọa độ là nhỏ b Tìm hai điểm M, N thuộc hai nhánh khác (C) cho đoạn MN nhỏ Gọi (Cm) là đồ thị hàm số: y mx (*) (m là tham số) x (ĐH KhốiA 2005) a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (*) m = / b Tìm m để đồ thị hàm số (*) có cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu (Cm) đến tiệm cận xiên / http://kinhhoa.violet.vn Lop2.net BS: Vũ Ngọc Vinh (7) Dạng 6: CÁC ĐIỂM CỐ ĐỊNH Phương pháp: Từ hàm số y f x, m ta đưa dạng F x, y mG x, y Khi đó tọa độ điểm cố định có là nghiệm hệ phương trình F x, y G x, y Cho hàm số m thay đổi y x3 m 1 x 3mx Cm x2 m x Cho hàm số Cm : y mx Chứng minh Cm luôn qua hai điểm cố định Chứng minh đồ thị Cm luôn qua điểm cố định m thay đổi Cho hàm số Cm : y 1 2m x 3mx m 1 Tìm các điểm cố định họ đồ thị trên Chứng minh đồ thị hàm số y m 3 x3 m 3 x 6m 1 x m Cm luôn qua ba điểm cố định Dạng 7: ĐỒ THỊ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI y = f(x) có đồ thị (C) y f x có đồ thị (C “) y f x có đồ thị (C’) y f x 0, x D Do đó ta phải y f x có f x f x , giữ nguyên phần phía trên trục Ox và x D nên đây là hàm số chẵn lấy đối xứng phần phía trục Ox đó có đồ thị đối xứng qua lên trên trục tung Oy Cho hàm số C : y x2 x 2x a Khảo sát hàm số.; b.Định k để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt x2 x x 2 k 2.Cho hàm số C : y x 3x x 1 a Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số b Biện luận theo m số nghiệm phương trình: x 3x m x 1 3.Cho hàm số C : y x x x 1 a Khảo sát hàm số.;b.Định m để phương trình x m x m có bốn nghiệm phân biệt Cho hàm số C : y x2 x x2 a.Khảo sát hàm số.;b.b.Định m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt: x 1 m x 2m a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y x3 x 12 x b Tìm m để phương trình sau có sáu nghiệm phân biệt: x x 12 x m (ĐH Khối A2006) http://kinhhoa.violet.vn Lop2.net BS: Vũ Ngọc Vinh (8) Dạng 8: CÁC CẶP ĐIỂM ĐỐI XỨNG Điểm I x0 ; y0 là tâm đối xứng đồ thị C : y f x Tồn hai điểm M(x;y) và M’(x’;y’) x ' x0 x x x ' x0 Vậy I x0 ; y0 là tâm đối xứng f x f x ' y0 f x f x x y0 (C) f x y0 f x0 x thuộc (C) thỏa: Cho hàm số y x2 x m có đồ thị Cm Tìm giá trị m để Cm có hai điểm phân biệt 2x đối xứng qua gốc tọa độ O x 2m x m Định m để Cm có hai điểm phân biệt đối xứng qua x 1 Cho hàm số Cm : y gốc tọa độ O Cho hàm số y x3 x m 1 (m là tham số) a Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm phân biệt đối xứng với qua gốc tọa độ.b Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1) m=2 4.Cho hàm số y x3 11 có đồ thị C Tìm trên (C) hai điểm M, N đối xứng x 3x 3 qua trục tung Cho hàm số y x3 ax bx c 1 Xác định a, b, c để đồ thị hàm số (1) có tâm đối xứng là I(0;1) và qua điểm M(1;1) Cho hàm số y = x – 3x + (1) (ĐH Khối D2008) a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) b Chứng minh đường thẳng qua điểm I(1;2) với hệ số góc k (k > – 3) cắt đồ thị hàm số (1) ba điểm phân biệt I, A, B đồng thời I là trung điểm đoạn thẳng AB Dạng 9: MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TIỆM CẬN Cách xác định tiệm cận a Tiệm cận đứng: lim f x d : x x0 x x0 b Tiệm cận ngang: lim f x y0 d : y y0 x c Tiệm cận xiên: TCX có phương trình: y=x+ đó: f x lim ; lim f x x x x x Cho hàm số y mx 3m x 1 , với m là tham số thực x 3m a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) m =1 hai đường tiệm cận đồ thị hàm số (1) 450 Cho hàm số y f x mx m 1 x m x b Tìm các giá trị m để góc Tìm m cho đồ thị hàm số f có tiệm cận xiên qua gốc tọa độ Cho hàm số y ax (2a 1).x a a 1, a có đồ thị (C) Chứng minh đồ thị x2 hàm số này có tiệm cận xiên luôn qua điểm cố định http://kinhhoa.violet.vn Lop2.net BS: Vũ Ngọc Vinh (9) Cho hàm số y f ( x) x 3x có đồ thị (C) x 1 a Chứng minh tích khoảng cách từ điểm M trên (C) đến hai đường đường tiệm cận là số không đổi b Tìm tọa độ điểm N thuộc (C) cho tổng khoảng cách từ N đến hại tiệm cận nhỏ Cho hàm số y f ( x) x mx có đồ thị (Cm) Tìm m để đường tiệm cận xiên đồ thị hàm x 1 số tạo với hai trục tọa độ tam giác có diện tích Dạng 10: DIỆN TÍCHTHỂ TÍCH a Diện tích: Cho hai hàm số y=f(x) và y=g(x) có đồ thị (C1), (C2) Diện tích hình phẳng giới hạn (C1), (C2) và y hai đường thẳng x=a, x=b tính công thức: f(x) b S f x g x dx a g(x) O a b x để tìm a, Chú ý: Nếu diện tích thiếu các đường thẳng x=a, x=b ta phải giải phương trình f(x)=g(x) b b Thể tích y Thể tích hình phẳng giới hạn y {(C):y=f(x),y=0,x=a,x=b} quay quanh Ox b d f(x) tính công thức: V f x dx a (x) Thể tích hình phẳng giới hạn b x c O a x {(C): x=(y), x=0, y=c, y=d} quay quanh Oy d O tính công thức: V y dy c Thể tích tròn xoay hình phẳng giới hạn hai đường y=f(x), y=g(x) quay quanh Ox b 2 (f(x)g(x), x[a;b]) tính công thức: V f x g x dx a Cho hàm số y 2m 1 x m2 (1) (m là tham số) x 1 (ĐH KhốiD 2002) a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số (1) ứng với m=1 b Tính diện tích hình phẳng giới hạm đường cong (C) và hai trục tọa độ c Tìm m để đồ thị hàm số (1) tiếp xúc với đường thẳng y=x Ị Ớ Ấ Ỏ Ấ ƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ y http://kinhhoa.violet.vn cos x sin x sin x cos x Lop2.net BS: Vũ Ngọc Vinh (10) cos x m cos x tgx y sin x cos x y cos x sin x sin x cos x 2.(sin x cos x) cos x sin x m a sin x cos x sin x cos x 8/ y = sin x cos3 x ; 7/ y = x3 2(1 x3 1) x3 2(1 x3 1) 9/ y = ;0 x 1 x x ; x cos x cos ;0 ; x x cos 12/ S = 4/x + 1/4y , TìmGTNN S, với x + y = 5/4; 13/ Ch/ m P= x4 +y4 1/8 , với x, y là số thực vàx + y = 10/ y = x3 (a x) ;0 x a ; 11/ y = 14/ y = lg2x + 1/ ( lg2x +2) ; y 4sin x sin(2 x ) 15/ y sin x sin x ; 16/ 17/ :Xác định m để y m sin x có GTNN nhỏ -1; cos x 18/ : Xác định m để y = 4x2+4mx+m2-2m trên [-2;0] có GTNN 4 2 ax b 19/ : Tìm GTNN F = a4 b a2 b a b với a,b 0;20/ : Xác định a, b để y = x 1 b a b a b a coù GTLN baèng 4; GTNN baèng-1 x mx n 21/ : Xác định m,n để y = coù GTLN baèng ; GTNN baèng x2 12 22/ : Goïi x1 ; x2 laø nghieäm cuûa : 12 x 6mx m2 m 3 Xác định m để x1 +x2 đạt GTLN ;GTNN 2k cos x k 23/ : Cho haøm soá yk 1/ Tìm GTLN & GTNN cuûa haøm soá k = 1; cos x sin x 2/ Tìm k để GTLN yk là nhỏ http://kinhhoa.violet.vn 10 Lop2.net BS: Vũ Ngọc Vinh (11) BÀI TẬP ÔN TỔNG HỢP Câu I: Cho hàm số y x 1 (C) 2x 1 I.1 Viết phương trình tiếp tuyến qua điểm M(2 ; 3) đến (C) I.2 Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết tiếp tuyến đó qua giao điểm đường tiệm cận I.3 Viết phương trình tiếp tuyến điểm M C , biết tiếp tuyến cắt trục tọa độ tạo thành tam giác có diện tích I.4 Viết phương trình tiếp tuyến điểm M C , biết tiếp tuyến cắt trục tọa độ tạo thành tam giác cân Câu II: Cho hàm số y m 1 x m C m xm II.1 CMR đồ thị hàm số luôn tiếp xúc với đường thẳng cố định điểm cố định II.2 Tiếp tuyến M Cm cắt tiệm cận A, B CMR M là trung điểm AB II.3 Cho điểm M x , y C3 Tiếp tuyến C3 M cắt các tiệm cận (C) các điểm A và B Chứng minh diện tích tam giác AIB không đổi, I là giao tiệm cận Tìm M để chu vi tam giác AIB nhỏ Câu III: x 2mx 3m Cho hàm số y Tìm tham số m để hàm số có: xm Hai điểm cực trị nằm hai phía trục tung Hai điểm cực trị cùng với gốc tọa độ O lập thành tam giác vuông O Hai điểm cực trị cùng với điểm M(0; 2) thẳng hàng Khoảng cách hai điểm cực trị m 10 Cực trị và tính khoảng cách từ điểm cực tiểu đến TCX Cực trị và thỏa mãn: yCD yCT Câu IV: Cho hàm số y x 1 (C) 2x 1 Tìm m để (C) cắt đường thẳng dm : y mx 2m điểm phân biệt A, B: a Thuộc nhánh đồ thị (C) b Tiếp tuyến A, B vuông góc với http://kinhhoa.violet.vn 11 Lop2.net BS: Vũ Ngọc Vinh (12) c Thỏa mãn điều kiện 4OA.OB x 3x Câu V: Cho hàm số y (1) x 1 a.Tìm m để đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số (1) A và B cho AB=2 b.Tìm m để đường thẳng d: y m x và đường cong (1) cắt A, B phân biệt cho M(2; 3) làm trung điểm AB Câu VI: Cho hàm số y m 1 x m C m xm Dựa vào đồ thị hàm số, tùy theo m hãy biện luận số nghiệm phương trình: 2x log m ; a x 3 b 2x 2m x 3 x 3x Câu VII: Cho hàm số y (1) x 1 a Tìm trên đồ thị điểm A, B thuộc nhánh cho AB b Tính diện tích tam giác tạo tiệm cận xiên và các trục tọa độ Câu VIII: Cho hàm số y x 1 (C) 2x 1 a Tìm điểm M thuộc (C) cho tổng khoảng cách từ M đến trục tọa độ đạt GTNN b Tìm điểm M thuộc (C) cho tổng khoảng cách từ M đến tiệm cận đạt GTNN c Tìm điểm A; B thuộc nhánh đồ thị hàm số cho AB TÍCH PHAÂN b 1.TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ I f ( x )dx a .Tích phân đổi biến loại I : * Daïng x = atgt a x dx Ñaët x = t Đặt x = asint với t , ; 2 * Daïng a dx x2 Ñaët t , 2 http://kinhhoa.violet.vn 12 Lop2.net BS: Vũ Ngọc Vinh (13) b .Tích phân đổi biến loại II : I f x / x dx a dt = x dx + Ñaët t = x t = b / b ; + Đổi cận x = a t = a x= b + Suy : I f x / a x dx f t dt b TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN b b a u.dv uv vdu a a x e Daïng1: I = px sin x dx a cos x p(x) ; dv= phaàn coøn laïi b px ln xdx Daïng : I = 1/ ( Trong đó p(x) là đa thức theo x); u= Ñaët : u = lnx ; dv= phaàn coøn laïi dx Ñaët (KA-03); 2/ x x2 x 1 x 1 dx (KA-04); 3/ sin x sin x cos x dx (KA-05) sin x dx ( KA-06); 5/ dx (KB-03) sin x cos x sin x sin x 4/ e ; 6/ 1 ln x ln x dx x (KB-04) sin x cos x 7/ dx cos x ln dx ; 8/ x x 3 ln e 2e ;9/ cos x(sin x cos x)dx ( BK HN 98) 10/ (e sin x cos x) cos xdx (KD-05) ;11/ tg x 0 cos x dx (KA- 2008) sin x dx 4 12/ (KB- 2008) sin x ( sin x cos x ) e 13) ln( x x)dx http://kinhhoa.violet.vn 2x (KD-04) 14) ( x 2)e dx (KD-06) ;15/ 13 Lop2.net x ln xdx (KD-07) BS: Vũ Ngọc Vinh (14) 16/ x ln( x )dx x 1 dx ; dv = dx ( ñaët u = cos x cos x cos x ;17/ 18/ ln x dx x (KD- 2008) Ố Ứ Bài toán 1: Tìm số phức, tính môđun,…Cho hai số phức a+bi và c+di 1) a+bi = c+di a = c; b = d 2) môđun số phức z a bi a b2 ; hiệp z = a+bi là z = a bi * z+ z = 2a; z z = z a b2 ; 4) (a+bi ) +( c+di) = (a+c)+(b+d)i (a+bi ) ( c+di) = (ac)+(bd)i.; 6) ) (a+bi )( c+di) = (ac bd)+(ad+bc)i 7) c di 2 [(ac+bd)+(ad-bc)i] a bi 3) số phức liên 5) a b Bài toán 2: Giải phương trình bậc 2.Cho phương trình ax2 + bx + c = với = b2 4ac Nếu = thì phương trình có nghiệp kép x1 x b (nghiệm thực) 2a Nếu > thì phương trình có hai nghiệm thực: nghiệm phức x x b 2a ; Nếu < thì phương trình có hai b i 2a Bài tốn 3/ Dạng lượng giác số phức z = a + bi (a, b R, z 0) * z = r (cos i sin ) (r > 0) laø daïng löông giaùc cuûa r a b a cos r b sin r + laø moät acgumen cuûa z + (Ox, OM ) 8/ Nhân chia số phức dạng lượng giác.Nếu z = r(cos i sin ) , z ' r ' (cos 'i sin ' ) thì : z r [cos( ' ) i sin( ' )] a) z.z ' r.r '[cos( ' ) i sin( ' ) ] b) z' r ' 9/ Công thức Moa-vrơ : n N * thì [r (cos i sin )]n r n (cos n i sin n ) 10/ Căn bậc hai số phức dạng lượng giác : Căn bậc hai số phức z = r(cos i sin ) (r > 0) là r (cos i sin ) 2 o o 1: Áp dụng công thức Moivre để tính:a/ (cos15 i sin15 ) b/ cos 30o i sin 30o c/ (1 i )16 12 d/ i 2 2: Tìm các bậc 1.CMR: Tổng các giá trị này 3:a/Hãy tìm các bậc các số phức : 3+4i ; - i b/Hãy tìm các bậc số phức : i c/Hãy tìm các bậc các số phức : -1 ; 3i 4: Hãy giải các phương trình sau tập C http://kinhhoa.violet.vn 14 Lop2.net ; -2 + 3i; BS: Vũ Ngọc Vinh (15) a/ 3x x x 3x x (3 i ) x 3i b/ ix 2ix x 16 c/ 3x 24 5: Giải các phương trình sau với ẩn là z 2i 1 3i z a/ b/ z z 1 8i 1 i 2i d/ ((2 i ) z i )(iz ) e/ z z 2i x 3x 3ix x i ( x 2)5 c/ z 3z 12i f/ z z zi g/ z z h/ z z 4i k/ 1 z i 6.a/Trong các số z thoả mãn : z 2i hãy tìm số z có moidule nhỏ 2 b/Trong các số z thoả mãn : z 5i hãy tìm số z có acgumen dương nhỏ Cho biết z Ổ a Tìm số phức có module lớn , module nhỏ z Ợ Ể Ị Ứ .1) Đa thức: P x 1 x 21 x 2 31 x 3 201 x 20 viết dạng: P x a a1 x a x a 20 x 20 Tìm a15 a C n0 C n1 C n2 C nn n 2) CMR: b C 21n C 23n C 25n C 22nn 1 C 20n C 22n C 24n C 22nn a C n0 C n1 C nn C 2nn 3) CMR: 2 b 2.1C 3.2.C 4.3.C n n 1C n n 1.2 n 4) Giả sử k,m,n là số tự nhiên thoả mãn: C m0 C nk C m1 C nk 1 C m2 C nk C mm C nk m C mk n n n n n n n1 5).CMR Cn 4Cn n2 Cn n.4 Cn n 1.4 Cn n 24 Cn 1 Cn n1 6) CMR: n n1 n2 n3 n1 C n1 2.C n2 3C n3 nC nn n.2 n b a 12.C n1 2.C n2 2.C n3 n C nn n n n 7) a Tính: x1 x n dx n b CMR: C n0 C n1 C n2 C n3 1 C nn 8).a Tính: n 1 x dx (nє N) 9) a Tính 1 x dx n 2n 2n 1 1 n 1 b CMR: C n1 C n2 C nn n 1 n 1 n n b C n C n C n 1 C n 2.4.6 2n 2.2n 2n 1.3.5 2n 1 10) Trong các số nguyên dương thoả mãn: C 1x 6C x2 6C x3 x 14 x 11) Tìm các số nguyên dương thoả mãn: C xy1 : C xy 1 : C xy 1 : : 12) Tìm hệ số x 31 1 khai triển f x x x http://kinhhoa.violet.vn 40 15 Lop2.net BS: Vũ Ngọc Vinh (16) n 1 13) Trong khai triển x , hệ số số hạng thứ ba lớn hệ số số hạng thứ 35 Tìm số x hạng không chứa x khai triển trên 10 14) Tìm hệ số x4 khai triển x x3 15) Tìm hệ số đơn thức x y z khai triển P 2 x y z 15 16) a) Tính 1 x n dx n 1 n 1 b) CMR: 2C n0 C n1 C n2 C nn n 1 n 1 PHẦN II CÁC DẠNG BÀI TOÁN HÌNH HỌC A HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG d : x y 1 (E) http://kinhhoa.violet.vn x2 y2 1 64 16 Lop2.net BS: Vũ Ngọc Vinh (17) 10 (E) x2 y2 1 (C ) : x y x y x2 y2 1 16 B HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Phần 1: Thể tích, diện tích các khối hình Bài toán 1: Tính diện tích xung quanh (Sxq), diện tích toàn phần(Stp) khối nón,trụ,cầu Khối nón: Sxq = rl; Stp = r(r + l).Khối trụ: Sxq = 2rl; Stp = 2r(r + l).Khối cầu: S = 4r2 Bài toán 2: Tính thể tích các khối hình * Khối hình chóp V = Bh ; * Khối nón V = r 2h * Khối hình trụ V = r2h ; * Khối cầu V = r 3 * Khối lăng trụ: V= Bh Phần 2: Phương pháp tọa độ không gian Tích có hướng véc tơ : [ Đk đồng phẳng véc tơ : a , b ] a , b , c = a a3 b b3 ; a a1 a a ; b3 b1 b1 b đồng phẳng [ a , b ] a , b ] c = *[ a ĐK để điểm A,B,C,D không đồng phẳng ( tạo thành tứ diện ) là: ba véc tơ ;[ a , b ] b AB , AC , AD không đồng phẳng <=> [ AB , AC ] AD http://kinhhoa.violet.vn 17 Lop2.net BS: Vũ Ngọc Vinh (18) 2 AB2AC2 (AB.AC) tứ diện ABCD : VABCD = [ AB , AC ] AD hình hoäp : VABCD.A'B'C 'D' = [ AB , AD ] AA Dieän tích tam giaùc ABC : SABC = Theå tích Hoặc SABC = [ AB , AC ] Theå tích Phần 3: Mặt cầu Phöông trình maët caàu taâm I(a;b;c) ; bk R laø : (x a)2 + (y b)2+ (zc )2 = R2 Phương trình tổng quát mặt cầu ( S): x2 + y2+ z2+ 2.Ax+ 2.By + 2.Cz + D = với A2 + B2 + C2D > coù taâm I(A ;B;C) ; baùn kính R = A B2 C2 D Phần 4: Mặt phẳng, Đường thẳng Bài ( KD 2002)Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc với mặt phẳng (ABC), AC = AD = 4, AB = 3, BC = Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD) Bài 2.Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC vuông góc với đôi có OA = a, OB = b, OC = c Trong tứ diện OABC vẽ nội tiếp hình lập phương cho đỉnh trùng với O còn đỉnh đối diện thuộc mặt phẳng (ABC) Tính độ dài cạnh hình lập phương Bài 3.Cho tam giác ABC có AB = c, AC = b, BC nằm mặt phẳng (P) Gọi H là hình chiếu A lên mặt phẳng (P) Biết tam giác HBC vuông H và HA = m Tính:1) Khoảng cách từ H tới mặt phẳng (ABC).2) Góc tạo mặt phẳng (P) và mp’(ABC) Bài ( ĐH 2001 )Cho tam giác vuông cân ABC có AB = AC = a, M là trung điểm BC Trên các nửa đường thẳng AA1, MM1 vuông góc với mặt phẳng (ABC) cùng phía, lấy tương ứng các điểm N, I cho 2MI = NA = a.Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ A xuống NB.Chứng minh rằng: AH NI Bài5.Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC vuông góc với đôi có OA = a, OB = b, OC = c 1) Chứng minh rằng: a2tanA = b2tanB = c2tanC.2) 2) Giả sử c = a + b Chứng minh rằng: OCA + OCB + BCA = 900 Bài Trên ba tia Ox, oy, oz vuông góc với đôi lấy các điểm A, B, C Giả sử A cố định còn B, C thay đổi cho OA = OB + OC Hãy xác định vị trí B, C cho thể tích tứ diện OABC là lớn BàI7.Cho ba tia ox, oy, oz vuông góc với đôi Tìm tập hợp tâm các đường tròn bán kính R luôn tiếp xúc với các mặt phẳng (oxy), (oyz), (ozx) Bài 8.Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ Gọi (S) là mặt cầu nội tiếp hình lập phương đó Mặt phẳng (P) quay xunh quanh điểm A tiếp xúc với (S) và cắt cạnh A’B’, A’D’ theo thứ tự R, T Tìm tập hợp tâm các mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AA’ RT Bài 9: Cho khối chóp S.ABC có đường cao SA = a, đáy là tam giác vuông cân có AB = BC = a Gọi B’ là trung điểm SB, C’ là đường cao hạ từ A tam giác SAC a) Tính thể tích khối chóp S.ABC;;b.CMR: SC vuông góc với mp(AB’C’);c.Tính thể tích khối chóp S.AB’C’ Bài 10: Cho hình chóp tam giác OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi vuông góc với và OA = a, OB = b, OC = c a) Chứng minh tam giác ABC có ba góc nhọn.b) Tính đường cao OH hình chóp Bài11: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a và chiều cao h Gọi I là trung điểm cạnh SC a) Tính khỏang cách từ S đến mặt phẳng (ABI ).bMặt phẳng (ABI ) cắt SD J Tính thể tích khối chóp S.ABIJ http://kinhhoa.violet.vn 18 Lop2.net BS: Vũ Ngọc Vinh (19) Bài 12 Cho hình chóp S.ABC có ABC là tam giác vuông cân B, BA = BC = 2a hình chiếu vuông góc S lên (ABC) là trung điểm E AB, SE = 2a Gọi I, J là trung điểm 90o và H là hình EC, SC M là điểm di động trên tia đối tia BA cho góc ECM chiếu vuông góc S lên MC Tính thể tích khối tứ diện EHIJ theo a, và tìm để thể tích đó lớn Bài 13 Cho lăng trụ đứng ABC A1 B1C1 có đáy ABC là tam giác vuông, AB = AC = a, AA1 a Gọi M, N là trung điểm AA1 , BC1 Chứng minh MN là đường vuông góc chung AA1 và BC1 Tính thể tích khối chóp MA1 BC1 Bài 14 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, BDA 60o , SA đáy, SA = a Gọi C’ là trung điểm SC Mặt phẳng (P) qua AC’ và song song với BD, cắt các cạnh SB, SD hình chóp B’,D’ Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’ a 60o Bài 15 Ch hình hộp đứng ABCD A′B′C′D′ có các cạnh AB = AD = a, AA ' vaø BAD Gọi M và N là trung điểmcủa các cạnh A′D′ và A′B′ Chứng minh AC ' BDMN Tính theå tích khoái choùp A.BDMN * PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ Bài : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai điểm A ( , , ) , B ( , , -2 ) và mặt phaúng (P) : 3x + y + 2z – = a/ Tìm toạ độ giao diểm M đường thẳng AB với mặt phẳng (P) b/ Viết phương trình đường thẳng (d) qua điểm A và vuông góc với mặt phẳngP c/ Tìm toạ độ điểm A / đối xứng với điểm A qua mặt phẳng (P) d/ Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua hai điểm A , B và vuông góc với mặt phẳngP e/ Vieát phöông trình maët caàu (S) có tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng (P) 2 x y z 2/ Bài : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho :Đường thẳng (D) : 2 x z Maët phaúng (P) : x + y + z – = a/ Tìm toạ độ giao điểm đường thẳng (D) và mặt phẳng (P) b/ Viết phương trình hình chiếu đường thẳng (D) lên mặt phẳng (P) c/ Viết phương trình đường thẳng ( ) qua diểm M (1 , -2 , ) cắt trục Ox và cắt đường thaúng (D) 3/ Bài : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai đường thẳng : (d) : : x y z (d/) : x y x 2z a/ Chứng tỏ hai đường thẳng (d) và (d/) chéo Tính khoảng cách hai đường thaúng (d) vaø (d/) b/ Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d) và song song đường thẳng (d/) c/ Viết phương trình đường vuông góc chung hai đường thẳng (d) và (d/) Bài : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho Mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 2x + 2y + 4z – = và hai đường thẳng : (1 ) : x y x 2z ( ) : x t ; y 1 2t ; z http://kinhhoa.violet.vn a/ Chứng minh (1 ) và ( ) chéo 19 Lop2.net BS: Vũ Ngọc Vinh (20) b.Viết phương trình tiếp diện mặt cầu (S) , biết tiếp diện đó song song với hai đương thẳng (1 ) vaø ( ) Bài : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho bốn điểm A ( , -1 ,2) , B ( , , ) , C ( , , ) , D ( , -1 , ) a/ Chưng minh bốn điểm A , B , C , D đồng phẳng b/ Goïi A/ laø hình chieáu vuoâng goùc cuûa ñieåm A treân maët phaúng Oxy Haõy vieát phöông trình maët caàu (S) ñi qua boán ñieåm A/ , B , C , D c/ Vieát phöông trình tieáp dieän cuûa (S) taïi ñieåm A/ Bài : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho bốn điểm A , B , C , D có tọa độ xác định các hệ thức: A = ( , , -1) , OB i j k , C ( , , ) , OD 2i j k a/ Chứng minh AB AC , AC AD , AD AB Tính thể tích khối tứ diện ABCD b/ Viết phương trình tham số đường vuông góc chung hai đường thẳng AB và CD Tính góc đường thẳng vaø maët phaúng (ABD) c/ Vieát phöông trình maët caàu (S) ñi qua boán ñieåm A , B , C , D Vieát phöông trình tieáp dieän cuûa maët caàu (S) song song maët phaúng (ABD) Bài : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho mặt phẳng (P) : 2x - 3y + 4z – = và mặt caàu (S) : x2 + y2 + z2 + 3x + 4y - 5z + = a/ Xaùc ñònh taâm I vaø baùn kính R cuûa maët caàu (S) b/ Tính khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (P) Từ đó suy mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo đường tròn mà ta ký hiệu là (C) Xác định tọa độ tâm H và bán kính r đường troøn (C) Bài : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho ba điểm A ( , , ) , B ( , -2 , ) , C(0,0,3) a/ Xác định tọa độ điểm D cho ABCD là hình bình hành b/ Vieát phöông trình maët phaúng ñi qua ba ñieåm A , B , C c/ Thí sinh tự chọn điểm M ( khác A , B , C ) thuộc mặt phẳng , viết phương trình đường thẳng (d) qua điểm M và vuông góc với mặt phẳng Bài : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho bốn điểm A ( -2 , ,1) , B ( , 10 , ) , C ( , , -1 ) , D ( , , -1 ) a/ Viết phương trình mặt phẳng (P) qua ba điểm A , B , C.b/ Viết phương trình đường thẳng (d) qua điểm D và vuông góc với mặt phẳng (P) Viết phương trình mặt cầu (S) tâm D và tiếp xúc với mặt phẳng (P) Bài 10 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho ba điểm A ( , , 0) ,B ( , , ) , C ( , , -4 ) a/ Viết phương trình tham số đường thẳng AB b/ Viết phương trình mặt phẳng qua điểm C và vuông góc với đường thẳng AB.Xác định tọa độ giao điểm đường thẳng AB với mặt phẳng http://kinhhoa.violet.vn 20 Lop2.net BS: Vũ Ngọc Vinh (21)