Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị C biết tiếp tuyến này cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại các điểm A và B thỏa mãn OA = 4OB.. Giải phương trình: 4 log.[r]
(1)SỞ GD- ĐT HÒA BÌNH ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT (B), NĂM HỌC 2010-2011 Môn: Toán Ngày thi: 23/12/2010 (Thời gian làm bài 180' không kể thời gian giao đề) ĐỀ CHÍNH THỨC Câu (5 điểm) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số sau: y sin x cos x sin x Cho hàm số y x x 1 (C) Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) biết tiếp tuyến này cắt các trục Ox, Oy các điểm A và B thỏa mãn OA = 4OB Câu (6 điểm) Giải phương trình: 2sin ( x ) 2sin x – tan x Giải phương trình: log x log x x y x y Giải hệ phương trình: 2 x x y y Câu (2 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân A Gọi G là trọng tâm tam giác đó, biết BC và BG có phương trình là: x y ; x y ,và đường thẳng CG qua điểm E (4;1) Viết phương trình đường cao AH Câu (2 điểm) Tìm m để phương trình sau có nghiệm: x 2mx x Câu (4 điểm) Cho hình chóp S ABCD có SA x và tất các cạnh còn lại có độ dài a Chứng minh đường thẳng BD vuông góc với mặt phẳng ( SAC ) Tìm x theo a để thể tích khối chóp S ABCD a3 Câu (1 điểm) Tính các góc tam giác ABC biết: 2sin A sin B(1 cos C ) HẾT Cán coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Họ tên Giám thị Chữ kí Họ tên Giám thị Chữ kí Lop6.net (2) HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN Câu (5đ) Ý Nội dung Ta có: y sin x (1 2sin x) sin x Điểm 0,5 y sin x 2sin x sin x Đặt t sin x điều kiện t Bài toán trở thành tìm GTLN-GTNN hàm số y t 2t 7t trên đoạn 1;1 Ta có: y ' 3t 4t 0, x 1;1 max y t 1 sin x 1 x y 3 t sin x x 0,5 0,5 0,5 k 2 0,5 k 2 Cách 1: Giả sử tiếp tuyến d (C) điểm M ( x0 ; y0 ) cắt Ox A và Oy B cho OA=4OB Do OAB vuông O nên tan A số góc d 1 4 OB Hệ OA 1,0 Hệ số góc d M là y '( x0 ) 1 1 1 y '( x0 ) 2 ( x0 1) ( x0 1) x0 1 y (1) x y (3) 0,5 Khi đó có hai tiếp tuyến (C) thỏa mãn bài toán là: 1 ( x 1) x 4y 1 x y 13 ( x 3) Cách 2: Gọi tiếp tuyến điểm M ( x0 ; y0 ) (C ) có dạng 2x 1 1 y ( x x0 ) (d) ( x0 1) x0 y y 1,0 0,5 (d) cắt Ox A cho y=0 tìm x suy A(2 x02 x0 1;0) (d) cắt Oy B cho x=0 tìm y suy B 0; 2x 02 2x ( x0 1) x Theo giả thiết OA=4OB suy tìm Từ đó ta có kết x0 1 Lop6.net 1,0 1,0 (3) C©u (6đ) ĐK: x k Phương trình đã cho tương đương với phương trỡnh sinx sinx cos(2 x ) 2sin x sin x 2sin x cosx cosx (1 sin x )cosx sin 2xsinx sinx (1 sin x )(cosx+sinx) x k sin x x k tan x 1 x k ĐK x Phương trình đã cho tương đương với 0,5 1,0 0,5 log x log x 2 0,5 x log x x log x 24 1,0 KL: 0,5 t t 3 Phương trình thứ đặt t x y ta t t 1,0 x y y x thay vào phương trình thứ hai ta phương trình: x3 x x ( x 1)( x x 5) x 21 x 0,5 + x 1 y C©u (2đ) + x 21 21 y 2 + x 21 21 y 2 0,5 Tọa độ đỉnh B là nghiệm hệ x 2y x B 0; 2 7x 4y y 2 Kẻ EF song song với BC F BG Vì tam giác ABC cân A nên đường cao AH là trung trực EF Phương trình đường thẳng EF: x y 1 x 2y Tọa độ điểm F là nghiệm hệ x 2y x F 4;5 7x 4y y Lop6.net 1,0 (4) Tọa độ trung điểm I EF: I 0;3 Phương trình đường trung trực EF: x y 3 2x y 1,0 KL: C©u (2đ) C©u (4đ) ĐK: x Phương trình đã cho tương đương với 0,5 1,0 0,5 x 2mx x x 2mx x x Chia hai vế cho x ( vì x ) 2m x 2 (do x 2) x x m 1 KL: Cỏch 1: Do B và D cách S,A,C nên BD ( SAC ) Cách 2: Gọi O là tâm đáy ABCD Ta cú BD AC (tớnh chất hỡnh thoi) BD SO (do SBD cân) 1,0 0,5 BD ( SAC ) S 0,5 B C O A D Các tam giác ABD, BCD,SBD là các tam giác cân có đáy BD chung nên OA=OC=OS Do đó ASC vuông S Ta cã: 1 a2 x2 VS ABCD 2VS ABC SC.SA.SO ax a ax 3a x 6 1,0 Theo giả thiết ta có phương trình: x a a3 ax 3a x 6 x a Lop6.net 1,0 (5) C©u (1đ) 2sin A sin B(1 cos C ) cos( A B) cos( A B) (1 cos C ) cos( A B) cos C (1 cos C ) (*) Do cos( A B) cos( A B) cos C cos C 0,5 VT (*) (1 cos C )(1 cos C ) sin C VP(*) cos( A B) C 90 Vậy đẳng thức xảy sin C A B 45 Mọi lời giải đúng xem xét và cho điểm tương ứng HẾT Lop6.net 0,5 (6)