Đề tài đã giải thành công được một số bài toán điển hình cơ bản trong chương trình toán học trung học cơ sở, trở thành công cụ hữu ích cho người häc trong viÖc gi¶i c¸c bµi to¸n cÇn sö d[r]
(1)øng dông c«ng nghÖ th«ng tin vµo gi¶i mét sè bµi to¸n sè häc Cấu trúc đề tài A më ®Çu i lý chọn đề tài II mục đích nghiên cứu III phương pháp nghiên cứu b néi dung I số định nghĩa và kháI niệm liên quan II chương trình giảI các bài toán 1.BiÓu biÔn sè tù nhiªn hÖ g ph©n Céng c¸c sè hÖ nhÞ ph©n Biểu diễn số hữu tỷ dạng thập phân BiÓu diÔn liªn ph©n sè TÝnh gi¶n ph©n KiÓm tra sè nguyªn tè Ph©n tÝch mét sè thõa sè nguyªn tè Sè hoµn chØnh T×m íc chung lín nhÊt 10 T×m béi chung nhá nhÊt 11 Nh©n hai sè hÖ nhÞ ph©n C KÕt luËn D tµi liÖu tham kh¶o trang Trường CĐSP Nghệ An Sinh viªn: NguyÔn ThÞ Hoµ Líp: K29 To¸n- Tin -1Lop6.net (2) øng dông c«ng nghÖ th«ng tin vµo gi¶i mét sè bµi to¸n sè häc I lý chọn đề tài A më ®Çu Khoa häc kü thuËt ph¸t triÓn nh vò b·o, c«ng nghÖ th«ng tin bïng næ trªn toµn cÇu, nh©n lo¹i ®ang dÇn tiÕn tíi nÒn kinh tÕ tri thøc C«ng nhÖ th«ng tin có mặt khắp nơi tất các lĩnh vực để phục vụ và nâng cao đời sống cho người Hoà cùng xu đó tin học dần phổ biến hệ thống giáo dục Việt Nam, giúp người học làm quen với công nhệ thông tin và sử dụng nó để phục vụ cho việc học tập, tự tìm tòi, khám phá Tin học là công cụ hỗ trợ học tập sinh động và tiện ích phục vụ cho tất các ngành học như: toán, lý, hoá, văn, sử ,địa… Đặc biệt đối víi m«n to¸n, cã nh÷ng bµi to¸n yªu cÇu ph¶i tÝnh to¸n rÊt phøc t¹p nh: tÝnh các liên phân số, giản phân, đổi số…điều này gây khố khăn không nhỏ cho người dạy và người học Nhưng bất tiện này giải nhanh chóng ta sử dụng phần mềm tin học để viết các bài toán thành chương trình tổng quát chạy trên máy tính.Khi đã nghiên cứu thuật toán và viết thành công các chương trình thì lúc đó người học cần nhập yêu cầu và tính toán máy thực Từ đó giúp người học có thể tính to¸n nhanh chãng, chÝnh x¸c, gióp tiÕt kiÖm ®îc thêi gian vµ c«ng søc Tuy nhiên giải toán trên máy tính là vấn đề tương đối lạ với nhiều người và việc viết thành công chương trình là điều phức tạp, thành công th× phôc vô rÊt nhiÒu viÖc häc tËp §ång thêi rÌn luþªn rÊt nhiÒu kh¶ tư thật toán logic, viết thành thạo các chương trình trên máy tính gãp phÇn ph¸t triÓn trÝ tuÖ Lµ sinh viªn ®ang ®i s©u nghiªn cøu m«n: c¬ së số học nhận thấy tác dụng to lớn việc sử dụng tin học để giải các bài toán số học có tính toán phức tạp Nên Tôi định chọn nghiên cứu đề tài: ứng dụng công nghệ thông tin để giảI số bµi to¸n sè häc II mục đích nghiên cứu - Có các nhìn tổng quát thuật toán và chương trình, vừa nắm vững môn sở số học vừa biết cách viết chương trình cho bài toán - lµ tµi liÖu bæ Ých phôc vô cho viÖc häc tËp cña b¶n th©n - Bổ sung vào nguồn tài liệu để người cùng tham khảo, sử sụng - RÌn luyÖn, ph¸t triÓn t to¸n häc vµ tin häc Trường CĐSP Nghệ An Sinh viªn: NguyÔn ThÞ Hoµ Líp: K29 To¸n- Tin -2Lop6.net (3) øng dông c«ng nghÖ th«ng tin vµo gi¶i mét sè bµi to¸n sè häc III phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu từ góc độ môn sở số học: + Nghiªn cøu, n¾m v÷ng c¸c thuËt to¸n + TÝnh to¸n c¸c kh¶ n¨ng x¶y + X©y dùng thuËt to¸n tæng qu¸t cho bµi to¸n - nhiên cứu từ góc độ tin học: + Tõ c¸c thuËt to¸n tæng qu¸t t×m c¸ch x©y dùng c¸c gi¶i thuËt hîp lÝ + Viết chương trình + Kiểm định kết B néi dung I- Một số định nghĩa và khái niệm 1- §Þnh nghÜa tÝnh chia hÕt Cho hai sè nguyªn a vµ b , víi b # NÕu cã mét sè nguyªn q cho a=bq th× ta nãi r»ng b chia hÕt a hay b lµ íc cña a, vµ ký hiÖu lµ: b\ a Ta còng nãi a chia hÕt cho b hay b lµ béi cña a vµ ký hiÖu lµ: a:b 2- §Þnh nghÜa vÒ phÐp chia cã d Cho hai số nguyên a và b , với b # Khi đó có các số nguyên q và r cho: a = bq+r, r < b - §Þnh nghÜa sè nguyªn tè - hîp sè – sè hoµn chØnh a) Sè tù nhiªn lín h¬n kh«ng cã íc nµo kh¸c ngoµi vµ chÝnh nã ®îc gäi lµ sè nguyªn tè b) Sè tù nhiªn lín h¬n vµ kh«ng ph¶i lµ sè nguyªn tè ®îc gäi lµ hîp sè c) Mét sè tù nhiªn kh¸c ®îc gäi lµ sè hoµn chØnh nÕu tæng c¸c íc nó gấp hai lần số đó NÕu gäi d lµ tæng c¸c íc cña n th× d(n) = 2n Trường CĐSP Nghệ An Sinh viªn: NguyÔn ThÞ Hoµ Líp: K29 To¸n- Tin -3Lop6.net (4) øng dông c«ng nghÖ th«ng tin vµo gi¶i mét sè bµi to¸n sè häc - §Þnh nghÜa íc chung lín nhÊt a) Mét sè nguyªn ®îc gäi lµ íc chung cña nhiÒu sè a1, a2,…,an Khi nã là ước số đó b) Mét íc chung d cña c¸c sè a1, a2,…,an cho mäi íc chung cña a1, a2,…,an là ước d, thì d gọi là ước chung lớn a1, a2,…,an c) NÕu lµ íc chung lín nhÊt cña a1, a2,…,an th× c¸c sè a1, a2,…,an gäi lµ nguyªn tè cïng NÕu ta cßn cã lµ íc chung lín nhÊt cña mäi cÆp sè ai, aj ( víi i #j; i,j=1,2,3,…) thì các số a1, a2,…,an gọi là nguyên tố cùng đôi Hay là nguyên tố sánh đôi - §Þnh nghÜa béi chung nhá nhÊt a) Mét sè nguyªn ®îc gäi lµ béi chung cña nhiÒu sè a1, a2,…,an Khi nã là bội số đó b) Mét béi chung m cña c¸c sè a1, a2,…,an cho mäi béi chung cña a1, a2,…,an là bội m, thì m gọi là bội chung nhỏ a1, a2,…,an - §Þnh nghÜa hÖ ghi sè g- ph©n Giả sử g là số tự nhiên lớn Khi đó số tự nhiên a>0 biểu diễn dược cách dạng a= Cngn + Cn-1gn-1 + Cn-2gn-2 + … + C1g1 + C0g0 ë ®©y Ci g-1, i=0,1,2,…,n vµ Cn # Thì ta viết a=Cn Cn-1 Cn-2… C1 C0g và ta nói đó là biểu diễn a hệ gphân 7- §Þnh nghÜa sè thËp ph©n h÷u h¹n Trường CĐSP Nghệ An Sinh viªn: NguyÔn ThÞ Hoµ Líp: K29 To¸n- Tin -4Lop6.net (5) øng dông c«ng nghÖ th«ng tin vµo gi¶i mét sè bµi to¸n sè häc a x Gi¶ sö 10n lµ mét ph©n sè thËp ph©n, a lµ mét sè tù nhiªn cã (m+1) ch÷ sè: a=am10n + am-110m-1 + … + a110 + a0 - §Þnh nghÜa sè thËp ph©n v« h¹n tuÇn hoµn - Nếu (N,a1a2a3…) là dãy số tương ứng với dãy số hữu tỉ không âm, thì ta viết x=N,a1a2a3… và nói: đó là biểu diễn số hữu tỉ x dạng thập ph©n - Nếu x là số hữu tỉ âm thì ta viết x=- N, a1a2a3….Trong đó (N, a1a2a3…) lµ sù biÓu diÔn cña x - Kh¸i niÖm cña liªn ph©n sè h÷u h¹n q0 BiÓu thøc cã d¹ng q1 q2 1 qn Trong đó q0 Z; q1,q2,… N*; qn>1 gọi là liên phân số hữu hạn cấp n q1,q2,…,qn gäi lµ c¸c sè h¹ng cña liªn ph©n sè 10 Kh¸i niÖm gi¶n ph©n h÷u h¹n Giả sử đã cho liên phân số hữu hạn cấp n Đặt t0 = q0 , t1 = q0 + 1/q1 ,… Trường CĐSP Nghệ An Sinh viªn: NguyÔn ThÞ Hoµ Líp: K29 To¸n- Tin -5Lop6.net (6) øng dông c«ng nghÖ th«ng tin vµo gi¶i mét sè bµi to¸n sè häc q0 Tæng qu¸t: tk = q1 q2 1 qn Thùc hiÖn phÐp tÝnh chØ biÓu thøc tk ta ®îc mét ph©n sè, ch¼ng h¹n tk = Pk/Qk Ph©n sè Pk/Qk ®îc gäi lµ gi¶n ph©n cÊp k cña liªn ph©n sè cÊp n Nh vËy, gi¸ trÞ cña liªn ph©n sè h÷u h¹n cÊp n b»ng gi¶n ph©n cÊp n cña nã C«ng thøc tÝnh gi¶n ph©n P0 = q0 ; Q0 = 1; P1 =q1q0 + 1; Q1=q1; Pk = qkPk-1 + Pk-2; Qk = qkQk-1 + Qk-2; k n II chương trình giảI các bài toán BiÓu diÔn sè tù nhiªn hÖ g ph©n program doiso; uses crt; type psd=^node; node=record sodu:psd; sd:byte; next:psd; end; mangkt=array[1 100] of char; var last,p:psd; i,n,so,r,luuso,g:integer;a:mangkt; Begin clrscr; Trường CĐSP Nghệ An Sinh viªn: NguyÔn ThÞ Hoµ Líp: K29 To¸n- Tin -6Lop6.net (7) øng dông c«ng nghÖ th«ng tin vµo gi¶i mét sè bµi to¸n sè häc write('nhap so can doi = ');readln(so); luuso:=so; write('nhap co so = ');readln(g); while so <> begin r:=so mod g; n:=n+1; new(p); p^.sd:=r; if (r>=0) and (r<=9) then a[n]:=chr(r+48); if r=10 then a[n]:= 'A'; if r=11 then a[n]:= 'B'; if r=12 then a[n]:= 'C'; if r=13 then a[n]:= 'D'; if r=14 then a[n]:= 'E'; if r=15 then a[n]:= 'F'; so:=so div g; p^.next:=last; last:=p; end; write(luuso,' viet co so ',g,' la = '); p:=last; while p<> nil begin write(p^.sd); p:=p^.next; end; writeln; for i:= n downto write(a[i]); readln; End Céng c¸c sè nguyªn hÖ nhÞ ph©n Program cong_nhi_phan; type mang=array[0 100] of integer; var a,b,c,d,i,j,m,n,k:integer; x,y,s,tg:mang; Begin Trường CĐSP Nghệ An Sinh viªn: NguyÔn ThÞ Hoµ Líp: K29 To¸n- Tin -7Lop6.net (8) øng dông c«ng nghÖ th«ng tin vµo gi¶i mét sè bµi to¸n sè häc i:=0; Write('Nhap a= ');read(lnxa; while (a<>0) begin i:=i+1; x[i]:=a mod 2; a:=a div 2; end; n:=i; for i:=1 to n write(x[i]); i:=0; Write('Nhap b= '); readln(b); while (b<>0) begin i:=i+1; y[i]:=b mod 2; b:=b div 2; end; m:=i; for i:=1 to n write(x[i]); k:=n; if m>n then begin k:=m; for j:=1 to m tg[i]:=0; i:=m; j:=n; while (i>(m-n)) begin tg[i]:=x[j]; dec(i); dec(j); end; for j:=1 to m x[j]:=tg[j]; end else if m<n then begin Trường CĐSP Nghệ An Sinh viªn: NguyÔn ThÞ Hoµ Líp: K29 To¸n- Tin -8Lop6.net (9) øng dông c«ng nghÖ th«ng tin vµo gi¶i mét sè bµi to¸n sè häc k:=n; for j:=1 to n tg[i]:=0; i:=n; j:=m; while (i>(n-m)) begin tg[i]:=y[j]; dec(i); dec(j); end; for j:=1 to n y[j]:=tg[j]; end; writeln('ket qua'); for i:=1 to k write(x[i]); writeln; for i:=1 to k write(y[i]); writeln; c:=0; for j:=1 to k begin d:=(x[j]+y[j]+c) div 2; s[j]:=x[j]+y[j]+c-2*d; c:=d; end; s[k+1]:=c; writeln('Tong la s= '); for i:=k+1 downto write(s[i]); readln; end Biểu diễn số hữu tỷ dạng thập phân program so_huu_ti; uses crt; Trường CĐSP Nghệ An Sinh viªn: NguyÔn ThÞ Hoµ Líp: K29 To¸n- Tin -9Lop6.net (10) øng dông c«ng nghÖ th«ng tin vµo gi¶i mét sè bµi to¸n sè häc var i,k,a,b,q:integer; x:array [0 100] of integer; Begin clrscr; write('nhap a= ');readln(a); write('nhap b= ');readln(b); q:=a; k:=0; x[k]:=q div b; while (q mod b <>0) begin k:=k+1; q:=(q mod b)*10; x[k]:=q div b; write(q:4); end; writeln; write('Bieu dien huu ti cua ',a,'/',b,' la: ',x[0],','); for i:=1 to k write(x[i]); readln; end Liªn ph©n sè Program lien_phan_so; var i,a,b,x,y,k,du:integer; q:array [0 100] of integer; Begin write('Nhap a= '); readln(a); write('Nhap b= '); readln(b); x:=a; y:=b; k:=0; while (y<>0) begin q[k]:=x div y; du:=x mod y; x:=y; y:=du; inc(k); Trường CĐSP Nghệ An Sinh viªn: NguyÔn ThÞ Hoµ Líp: K29 To¸n- Tin - 10 Lop6.net (11) øng dông c«ng nghÖ th«ng tin vµo gi¶i mét sè bµi to¸n sè häc end; writeln; write('Bieu dien lien phan so cua ',a,'/',b,' la: [',q[0],';'); for i:=1 to k-2 write(q[i],','); write(q[k-1],']'); readln; End TÝnh gi¶n ph©n Program gianphan; uses crt; var a,p,q:array [0 100] of integer; i,n:integer; Begin clrscr; write('lien phan so cap n= ');readln(n); for i:=0 to n begin write('nhap a',i,'= '); readln(a[i]); end; p[0]:=a[0]; q[0]:=1; p[1]:=(a[1]*a[0])+1; q[1]:=a[1]; for i:=2 to n begin p[i]:=(a[i]*p[i-1])+p[i-2]; q[i]:=(a[i]*q[i-1])+q[i-2]; end; writeln('cac gian phan la: '); for i:=0 to n write(p[i],'/',q[i],'; '); writeln; writeln('Gia tri cua lien phan so la: ',p[n],'/',q[n]); readln; Trường CĐSP Nghệ An Sinh viªn: NguyÔn ThÞ Hoµ Líp: K29 To¸n- Tin - 11 Lop6.net (12) øng dông c«ng nghÖ th«ng tin vµo gi¶i mét sè bµi to¸n sè häc end KiÓm tra sè nguyªn tè program so_nguyen_to; uses crt; var j,k,n:word; tiep:char; Begin clrscr; write('SO N CO PHAI LA SO NGUYEN TO HAY KHONG '); repeat write('nhap so n = '); readln(n); k:=trunc(sqrt(n)); j:=1; repeat j:=j+1; until (j>k) or (n mod j=0); if j>k then writeln('so ',n,' la so nguyen to ') else writeln('so ',n,' khong phai la so nguyen to '); writeln; write('*thuc hien nua khong(c/k) '); readln(tiep); until ( upcase(tiep)='K'); end Ph©n tÝch mét sè thõa sè nguyªn tè Program phan_tich_ra_thua_so_nguyen_to; var n,m,i,j:integer; a:array [1 100] of integer; Function ktnt(c:integer):Boolean; var i:integer; Begin if c>=2 then ktnt:=true else ktnt:=false; for i:=2 to c-1 if c mod i=0 then begin Trường CĐSP Nghệ An Sinh viªn: NguyÔn ThÞ Hoµ Líp: K29 To¸n- Tin - 12 Lop6.net (13) øng dông c«ng nghÖ th«ng tin vµo gi¶i mét sè bµi to¸n sè häc ktnt:=false; break; end; end; BEGIN write('Nhap n= '); readln(n); m:=n; j:=0; i:=2; while ((i<=n) and (n>1)) begin if (ktnt(i) and (n mod i=0)) then begin inc(j); a[j]:=i; n:=n div i; end else inc(i); end; write(m,' = '); for i:=1 to j-1 write(a[i],'*'); write(a[j]); readln; end Sè hoµn chØnh program so_hoan_chinh; uses crt; var n,i,s:integer; begin clrscr; write('nhap n= ');readln(n); s:=1; for i:=2 to n div if n mod i = then s:=s+i; i:=i+1; if s=n then Trường CĐSP Nghệ An Sinh viªn: NguyÔn ThÞ Hoµ Líp: K29 To¸n- Tin - 13 Lop6.net (14) øng dông c«ng nghÖ th«ng tin vµo gi¶i mét sè bµi to¸n sè häc writeln(n,' la so hoan chinh '); if s<>n then writeln(n,' khong la so nguyen to '); readln; End T×m íc chung lín nhÊt program Tim_uoc_chung_lon_nhat; uses crt; var a,b:integer; function UCLN(a,b:integer):integer; var r:integer; begin if a<b then begin r:=a; a:=b; b:=r; end; while b<>0 begin r:=a mod b; a:=b; b:=r; end; UCLN:=a;{gia tri duoc gan cho ten ham} end; BEGIN clrscr; write('moi nhap gia tri cua a=');readln(a); write('moi nhap gia tri cua b=');readln(b); writeln('UOC CHUNG LON NHAT CUA HAI SO DA CHO LA:',UCLN(A,B)); READLN; END 10 – T×m béi chung nhá nhÊt cña hai sè program Tim_boi_chung_nho_nhat; uses crt; Trường CĐSP Nghệ An Sinh viªn: NguyÔn ThÞ Hoµ Líp: K29 To¸n- Tin - 14 Lop6.net (15) øng dông c«ng nghÖ th«ng tin vµo gi¶i mét sè bµi to¸n sè häc var a,b:longint; function UCLN(a,b:longint):longint; var r:longint; begin if a<>b then begin r:=a; a:=b; b:=r; end; while b<>0 begin r:=a mod b; a:=b; b:=r; end; UCLN:=a; end; function BCNN(a,b:longint):longint; begin BCNN:=(a div UCLN(a,b))*b; end; BEGIN clrscr; write('moi nhap so nguyen duong a=');readln(a); write('moi nhap so nguyen duong b=');readln(b); writeln('BOI CHUNG NHO NHAT CUA HAI SO DA CHO LA :',BCNN(a,b)); readln; END Chó ý: có thể nhóm hai chương trình 9, 10 thành chương trình sau cần: Program tim_ucln_va_bcnn; Var i,r,a,b,d,q,p:integer; Begin write('Nhap a= '); readln(a); write('Nhap b= '); readln(b); r:=a mod b; q:=a*b; Trường CĐSP Nghệ An Sinh viªn: NguyÔn ThÞ Hoµ Líp: K29 To¸n- Tin - 15 Lop6.net (16) øng dông c«ng nghÖ th«ng tin vµo gi¶i mét sè bµi to¸n sè häc while r<>0 begin a:=b; b:=r; r:=a mod b; end; d:=b; writeln('uoc chung lon nhat cua a va b la d = ',d); p:= q div d; writeln('boi chung nho nhat cua hai so la p = ',p); readln; end 11- Nh©n hai sè hÖ nhi ph©n program nhan_he_nhi_phan; uses crt; var n,p,a,b:integer; procedure nhan(var a,b:integer); var i,n,bi,ci,p:integer; begin for i:=1 to n-1 if bi=1 then ci:=a else p:=0; for i:=0 to n-1 p:=p+ci; end; procedure nhap(var p,n:integer); var i:integer; begin for i:=1 to n readln(p); end; procedure inketqua(var p,n:integer); var i:integer; begin for i:=1 to n write(p:8); writeln; Trường CĐSP Nghệ An Sinh viªn: NguyÔn ThÞ Hoµ Líp: K29 To¸n- Tin - 16 Lop6.net (17) øng dông c«ng nghÖ th«ng tin vµo gi¶i mét sè bµi to¸n sè häc end; BEGIN clrscr; writeln('GIAI THUAT NHAN CAC SO NGUYEN TRONG HE NHI PHAN'); WRITELN; write('moi nhap gia tri cua n=');readln(n); write('nhap gia tri bieu dien nhi ohan cua a=');readln(a); write('nhap gia tri bieu dien nhi phan cua b=');readln(b); writeln('tich cua a va b la p:8');readln(p); nhap(p,n); inketqua(p,n);readln; END C kÕt luËn §Ò tµi øng dông c«ng nghÖ th«ng tin vµo gi¶I mét sè bµi to¸n sè häc lµ sù kÕt hîp chÆt chÏ gi÷a to¸n häc vµ tin häc Cã ý nghĩa quan trọng việc củng cố, mở rộng, đào sâu kiến thức hai lĩnh vực toán và tin, đồng thời giúp người học rèn luyện kỹ giải toán m¸y tÝnh Giải toán chương trình là công việc khó vì có thể thành thạo thuật toán lựa chọn và sử dụng giải thuật phù hợp để viết thành chương trình thành công tối ưu là khó khăn.Do đó qua quá trình này đòi hỏi chúng ta phải hoạt động trí tuệ tích cực, sáng tạo, nhuần nhuyễn toán và tin, từ đó tư người học rèn luyện và phát triển lên nhiÒu Lµm cho t trë nªn mÒm dÎo vµ s¸ng t¹o qua tõng bµi to¸ ®îc lËp tr×nh Đề tài đã giải thành công số bài toán điển hình chương trình toán học trung học sở, trở thành công cụ hữu ích cho người häc viÖc gi¶i c¸c bµi to¸n cÇn sö dông kÕt qu¶ tÝnh to¸n tõ nh÷ng bµi to¸n c¬ b¶n nµy §· gãp phÇn gi¶i quyÕt mét phÇn r¾c rèi viÖc tÝnh c¸c bµi to¸n sè häc phøc t¹p ë Trung häc c¬ së Mặc dù giúp đỡ nhiệt tình các thầy cô và các bạn sinh viên và sù nç lùc cña b¶n th©n, nhng thêi gian cã h¹n vµ kiÕn thøc tin häc cßn nhiều hạn chế nên còn nhiều thiếu sót Do mong đóng góp ý kiến các thầy cô và các bạn cho các đề tài sau hoàn thiện Để ngày càng có nhiều công cụ phục vụ đắc lực việc giải các bµi to¸n sè häc Trường CĐSP Nghệ An Sinh viªn: NguyÔn ThÞ Hoµ Líp: K29 To¸n- Tin - 17 Lop6.net (18) øng dông c«ng nghÖ th«ng tin vµo gi¶i mét sè bµi to¸n sè häc Cuèi cïng em xin ch©n thµnh c¶m ¬n sù gãp ý cña c¸c thÇy c« khoa Tù Nhiªn, khoa C«ng NghÖ Th«ng Tin vµ c¸c b¹n sinh viªn §Æc biÖt lµ sù hướng dẫn nhiệt tình cô giáo thạc sỹ Đặng Thị Hiền để em có thể hoàn thành đề tài này D tµi liÖu tham kh¶o Gi¸o tr×nh c¬ së sè häc – NguyÔn TiÕn Tµi – nxb ®hsp Gi¸o tr×nh lËp tr×nh – NguyÔn Xu©n My – nxb ®hsp Ng«n ng÷ lËp tr×nh pascal – Qu¸ch TuÊn Ngäc – nxb thèng kª Gi¸o tr×nh lý thuyÕt sè – NguyÔn h÷u Hoan – nxb ®hsp Gi¸o tr×nh lý thuyÕt vµ bµi tËp pascal – nxb thèng kª Trường CĐSP Nghệ An Sinh viªn: NguyÔn ThÞ Hoµ Líp: K29 To¸n- Tin - 18 Lop6.net (19)