Đang tải... (xem toàn văn)
SƠ LƯỢC VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Trương Thị Thuỳ Trang – 10A13 Trong số này chúng ta sẽ làm quen với hệ phương trình bậc hai hai ẩn qua bài viết của bạn Trương Thị Thuỳ Trang lớp 10A13[r]
(1)SƠ LƯỢC VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Trương Thị Thuỳ Trang – 10A13 Trong số này chúng ta làm quen với hệ phương trình bậc hai hai ẩn qua bài viết bạn Trương Thị Thuỳ Trang lớp 10A13 Hệ gồm phương trình bậc và phương trình bậc hai Hệ này có dạng (1) a1x + b1y + c1 = 2 ax + by + cxy + dx + ey + f = (2) Phương pháp chung ñể giải hệ này là từ (1) rút ẩn vào (2) VD1 Tìm m ñể hệ sau có nghiệm x + 4y = x + 2y = m HD Từ phương trình thứ hai hệ ta có x = m − 2y, vào phương trình ñầu ta ñược 8y2 − 4my + m2 − = (*) Hệ ñã cho có nghiệm và (*) có nghiệm, tức là ∆ ' = 64 − 4m ≥ ⇔ −4 ≤ m ≤ Hệ gồm hai phương trình bậc hai Với hệ dạng ax + by + cxy + dx + ey + f = 2 a1x + b1y + c1xy + d1x + e1y + f1 = ta thường cố gắng ñưa dạng gồm phương trình bậc và phương trình bậc hai VD2 Tìm giao ñiểm hai ñường tròn (C1 ) : (x − 1)2 + (y − 2)2 = và (C2 ) : x + y − x − 5y = HD Xét hệ (x − 1)2 + (y − 2)2 = x + y − x − 5y = x + y2 − 2x − 4y + = ⇔ x + y2 − x − 5y = x − y − = ⇔ 2 x + y − x − 5y = x = y + ⇔ 2 (y + 1) + y − (y + 1) − 5y = x = 1, y = x = y + ⇔ ⇔ x = 3, y = y − 2y = Vậy hai ñường tròn ñã cho cắt hai ñiểm A(1; 0), B(3; 2) Hệ ñối xứng loại Hệ phương trình ñối xứng loại hai ẩn F(x; y) = x, y có dạng ñó G(x; y) = F(x; y) ≡ F(y; x), G(x; y) ≡ G(y; x) ðể giải, người ta thường ñặt S = x + y và P = x.y, với ñiều kiện S2 ≥ 4P, và lưu ý ñến ñịnh lí Viét ñảo x + xy + y = VD3 Giải hệ x + xy + y = HD ðặt S = x + y, P = x.y, với ñiều kiện S2 ≥ 4P, hệ ñã cho trở thành S2 − P = S2 + S − = S = ⇔ ⇔ P = S + P = P = − S S = −3 x + y = (loại) Do ñó P = xy = x = 0, y = Vậy hệ phương trình ⇔ x = 2, y = ñã cho có hai nghiệm (2; 0), (0; 2) VD4 Cho hệ phương trình x + y = m x + y = 1) Tìm m ñể hệ có nghiệm 2) Giả sử (x; y) là nghiệm hệ, tìm giá trị nhỏ F = x + y – 2xy HD 1) Hệ phương trình ñã cho tương x + y = ñương với m Vậy x, y là xy = 18 − hai nghiệm phương trình m t − 6t + 18 − = (*) Lop10.com (2) Hệ ñã cho có nghiệm (*) có m nghiệm, tức là ∆ ' = − ≥ ⇔ m ≥ 18 Chú ý: Dễ thấy m ≤ thì hệ ñã cho vô nghiệm Với m > thì phương trình ñầu hệ là phương trình ñường tròn (C) tâm O(0;0), bán kính R = m Còn phương trình thứ hai hệ là phương trình ñường thẳng ∆ Hệ phương trình ñó có nghiệm (C) và ∆ có ñiểm chung, tức là d(O, ∆ ) ≤ R ⇔ ≤ m ⇔ m ≥ 18 > 2) Với m ≥ 18 thì hệ ñã cho có nghiệm (x; y), và F = x + y – 2xy = m – 30 Do ñó F ≥ 18 − 30 = −12 Dấu “=” xảy m = 18 Vậy minF = –12 Hệ ñối xứng loại Hệ ñối xứng loại hai ẩn x, y có dạng F(x; y) = Ta thường biến ñổi hệ F(y; x) = F(x; y) − F(y; x) = này thành Lưu F(y; x) = ý, với hệ phương trình ñối xứng loại hay loại 2, (x; y) = (a; b) là nghiệm thì (x; y) = (b; a) là nghiệm 2x − 3x = y2 − VD5 Gải hệ 2y2 − 3y = x − 2x − 3x = y − HD Hệ ⇔ 3x − 3y2 − 3x + 3y = 2x − 3x = y − ⇔ 3(x − y)(x + y − 1) = 2x2 − 3x = y2 − x = y = TH1 ⇔ x = y = x − y = TH2 2x − 3x = y2 − y = − x ⇔ hệ x + y −1 = x − x + = này vô nghiệm Vậy hệ phương trình ñã cho có hai nghiệm (1; 1), (2; 2) Hệ ñẳng cấp bậc hai Hệ ñẳng cấp bậc hai có dạng ax + bxy + cy = d 2 a1x + b1xy + c1y = d1 ðể giải ta thường biến ñổi hệ dạng ax + bxy + cy = d Ax + Bxy + Cy2 = (1) Ở (1) ta ñặt x = ty, ñược y.(At + Bt + C) = + Xét trực tiếp y = + Với y khác 0, ta có At2 + Bt + C = 0, tìm t, từ ñó tìm x, y Cũng có trường hợp hệ loại này ñược biến ñổi ñưa hệ mục Sau ñây là số bài tập mời các bạn tham khảo Giải các hệ phương trình x + y = + xy a) 2 + x + y + xy = x − 2y = b) x + xy − 3y + y = x − y + x + y = c) xy = x + + − y = d) y + + − x = x − 4xy + y = −1 e) y − 3xy = Tìm m ñể hệ sau ñây có nghiệm x = y − y + m y = x − x + m Giả sử (x;y) là nghiệm hệ x + y = a − x + y = 2a − Tìm giá trị nhỏ P = x.y Biện luận theo m số nghiệm hệ x − y + 2x = x + y = m Chúc các bạn thành công! Lop10.com (3)