Phương pháp giải : Sử dụng các hằng đẳng thức đã học để phân tích đa thức thành nhân tử.Lưu ý khi phân tích đa thức thành nhân tử cần phân tích triệt để.. Gv: Nguyễn Văn Tú.[r]
(1)Gi¸o ¸n BDVH To¸n N¨m häc 2011 - 2012 Thanh Mü, ngµy Buæi 1+2 : Những đẳng thức đáng nhớ Mục tiêu cần đạt : Giúp học sinh - Nắm vững đẳng thức đã học -Vận dụng các đẳng thức để khai triển, rút gọn các đa thức để từ đó tÝnh gi¸ trÞ cña ®a thøc nhanh nhÊt - Vận dụng đẳng thức để tìm gía trị lớn nhất, giá trị nhỏ các biÓu thøc I.Lý thuyÕt : KiÕn thøc cÇn nhí : A B 3 A3 A B AB B 1.Bình phương tổng : 5.Lập phương hiệu : A B 2 A AB B A B 3 A3 A B AB B 2.Bình phương hiệu : A B A AB B 6.Tổng lập phương : A B A B A AB B 2 3.Hiệu bình phương : 7.Hiệu lập phương : A B A B A B A B A B A AB B 4.Lập phương tổng : VÝ dô: a) (a + )2 = a2 + 2.a.1 + 12 = a2 + 2a + b) 512 = (50 + 1)2 = 502 + 2.50.1+ 12 = 2500 + 100 + = 2601 c) (2x - 3y)2 = (2x)2 - 2.2x.3y + (3y)2 = 4x2 - 12xy + 9y2 d) 992 = (100 - 1)2= 1002 - 2.100.1 + 12= 10000 - 200 + 1= 9801 e) (x - 2y)(x + 2y) =x2 - (2y)2 = x2 - 4y2 f) 56.64 = (60 - 4)(60 + 4) = 602- 42 = 3600 - 16 = 3584 g) (x + 2y)3 = x3 + 3.x2.2y + 3.x.(2y)2 + (2y) = x3 + 6x2y + 12xy2 + 8y3 h) 8x3- y3 = (2x)3 -y3 = (2x -y)((2x)2 + 2x.y + y2)= (2x - y)(4x2 +2xy + y2) i) 342 + 662 + 68.66 = 342+ 2.34.66 + 662 = (34 + 66)2=1002= 10 000 II.Bµi tËp : Bµi tËp : Sử dụng các đẳng thức để khai triển các biểu thức sau: a , A = x 42 1 d, D = x 3 b, B = 2 x 12 c, C = 5 x 15 x 1 e, E = y 23 Gi¶i : a , A = x 42 = x x 16 b, B = 2 x 12 = 2 x 2 2.2 x.1 12 x x c, C = 5 x 15 x 1 = 5 x 2 12 25 x 3 1 1 1 d, D= x = x 3x 3x. x x x 3 3 27 3 3 e, E= y 2 = y y 2 y.2 y y 12 y Gv: Nguyễn Văn Tú Trường THCS Thanh Mỹ Lop8.net (2) Gi¸o ¸n BDVH To¸n N¨m häc 2011 - 2012 Bài tập tương tự : Sử dụng các đẳng thức để khai triển các biểu thức sau e, E = 3x y 3 a, A= 9 x y b, B = 3xy 3 c, C = 3x 1 g, G = x y h, H = 2 x y 3xy d, D = x y 3 Bµi tËp : Viết các đa thức sau dạng tích a , A = x x 9 b, B = x 12 xy y c, C = 64 x 25 d, D = x 12 x y xy y e , E = x x 27 x 27 g, G = x 125 h, H = y Gi¶i : a , A = x x 9 = x 2.x.3 = x 32 b, B = x 12 xy y = 2 x 2 2.2 x.3 y 3 y = 2 x y 2 c, C = 64 x 25 = 8 x 2 = 8 x 58 x 5 d, D = x 12 x y xy y = 2 x 3 3.2 x 2 y 3.2 x y y = 2 x y 3 e , E = x x 27 x 27 = x 3x 3.x.3 33 = x 33 g, G = x 125 = x 5x 5.x 25 h, H = y = 2 x 3 2 x 2 x.1 12 = 2 x 1 = 2 x 14 x x 1 Bài tập tương tự : Viết các đa thức sau dạng tích a , A = x 3x 3x c, C = 64 x 27 b, B = x 60 x 150 x 125 d, D = x 27 Bµi tËp 3: Rót gän c¸c biÓu thøc sau mét c¸ch nhanh nhÊt a , A = 6 x 22 2 x 2 26 x 22 x b , B = 2a 2a 12a 2a 1 2a 1 Gi¶i : a , A = 6 x 22 2 x 2 26 x 22 x Gv: Nguyễn Văn Tú Trường THCS Thanh Mỹ Lop8.net (3) Gi¸o ¸n BDVH To¸n N¨m häc 2011 - 2012 = 6 x x 2 = x2 b , B = 2a 2a 12a 2a 1 2a 1 = 2a 1 2a 2a 1 2a 2a 1 = 2a 1 2a 2 2a 1 = - 4a Bài tập tương tự : 2 A x x 3 x 1 x x 3 x 1 B a 5 a 10a 25 C = a 3 a a 3 Bµi tËp 4: Rót gän vµ tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc víi a=5 3a 19a 3a 1 3a 19a 3a 1 2a Gi¶i : 3a 19a 3a 1 3a 19a 3a 1 2a 3a 2 3a.1 1 3a 13a 2 3a.1 1 2a = 3a 1 = 3a 3 13 3a 2a = 27a 27a 2a = 2a Víi a = 2.5 10 Bµi tËp : 3 3x 2 3x 83x 8 T×m x : a, x x b, x 64 3x + = 3x = -8 Gi¶i : a, x x x x 2.2 x 2 x 22 = 8 * 3x – = 3x =8 x+ = x = -2 x = b, x 64 Bµi 6: Viết các đa thức sau dạng tổng bình phương nhị thức với số từ đó tìm giá trị nhỏ đa thức đã cho : a, A= x x c, C = x x b, B = x x d, D = x x Gi¶i : a, A= x x = x 2x = x 12 Gv: Nguyễn Văn Tú Trường THCS Thanh Mỹ Lop8.net (4) Gi¸o ¸n BDVH To¸n N¨m häc 2011 - 2012 VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A lµ x+1 = x =-1 b, B = x x 1 = x x 2 3 = x 2 4 VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña B lµ x 1 x c, C = x x = 2 x 2 2.2 x.1 = 2 x 12 1 VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña C lµ -1 (2x – ) = <=> x = d, D = x x = x 3x 3 9 = 2 x x 2 4 3 9 = 2 x 2 = x 3 5 2 2 19 19 = x 2 VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña D lµ 19 x + 2 3 x = Bài tập tương tự : T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña c¸c ®a thøc sau : A = x x 13 B = 8x + x2 C = x 1x 2x 3x 6 Với các đa thức chứa nhiều biến ta sử dụng các đẳng thức để biến đổi tương tự các bài tập trên : Bµi : T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña c¸c ®a thøc sau : Gv: Nguyễn Văn Tú Trường THCS Thanh Mỹ Lop8.net (5) Gi¸o ¸n BDVH To¸n N¨m häc 2011 - 2012 a, f x, y x x y y b, g x, y 3x y xy Gi¶i : a, f x, y x x y y = x x 1 y y.2 4 = x 12 y 22 ( v× x 12 0; y 22 ) x y x y VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña f x, y lµ b, g x, y 3x y xy = 2x + x xy y = 2x + x y 2 7 x x y0 x y VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña g x, y lµ -7 Bài tập tương tự : T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña c¸c biÓu thøc sau : f x, y x y x y g x, y x y 10 xy 14 x y Bµi 8: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña c¸c ®a thøc sau : a, A = x x b, B = x 3x c, C = 2 x x 4 Gi¶i : a, A = x x = x x 2 = x 2.x.2 2 2 = x 22 2 = x 22 VËy gi¸ trÞ lín nhÊt cña A lµ x + = x = -2 b, B = x 3x = 2 x x 9 = 2 x x 16 16 9 = x 16 = -2 x + 4 = -2 x 49 49 + 8 4 VËy gi¸ trÞ lín nhÊt cña B lµ 49 x+ <=> x = Bài tập tương tự : T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña c¸c ®a thøc sau : a, A = - x x 15 Gv: Nguyễn Văn Tú Trường THCS Thanh Mỹ Lop8.net (6) Gi¸o ¸n BDVH To¸n N¨m häc 2011 - 2012 b, B = 2 x x 4 III BÀI TẬP TươNG Tự: D¹ng 1: Rót gän råi tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: a) A=5x(4x2- 2x+1) – 2x(10x2 - 5x - 2) víi x= 15 A = 20x3 – 10x2 + 5x – 20x3 +10x2 + 4x A= 9x A= 9.15 =135 b) B = 5x(x-4y) - 4y(y -5x) víi x= 1 ; y= B = 5x2 – 20xy – 4y2 +20xy B = 5x2 - 4y2 2 1 1 4 B = 5. 4. 5 D¹ng 2: CM biÓu thøc cã gi¸ trÞ kh«ng phô thuéc vµo gi¸ trÞ cña biÕn sè a) (3x-5)(2x+11)-(2x+3)(3x+7) = 6x2 – 10x + 33x – 55 – 6x2 – 14x – 9x – 21 = -76 b) (x-5)(2x+3) – 2x(x – 3) +x +7 Tương tự câu 1/ D¹ng 3: To¸n liªn quan víi néi dung sè häc T×m sè ch½n liªn tiÕp, biÕt r»ng tÝch cña hai sè ®Çu Ýt h¬n tÝch cña hai sè cuèi 192 đơn vị Hướng dẫn: Gọi sè ch½n liªn tiÕp lµ: x; x+2; x+4 (x+2)(x+4) – x(x+2) = 192 x2 + 6x + – x2 – 2x = 192 4x = 184 x = 46 D¹ng 4: Dïng H§T triÓn khai c¸c tÝch sau a) (2x – 3y) (2x + 3y) b) (1+ 5a) (1+ 5a) 2 = 2x - 9y = + 10a +25a2 c) (2a + 3b) (2a + 3b) d) (a+b-c) (a+b+c) 2 = 4a + 12ab + 9b = a2 + b2 + 2ab - c2 e) (x + y – 1) (x - y - 1) = x2 –y2 + 2y -1 D¹ng 5: Rót gän råi tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc a) M = (2x + y)2 – (2x + y) (2x - y) + y(x - y) víi x= - 2; y= M = 4x2 + 4xy+y2 – 4x2 + y2 +xy – y2 M = 5xy +y2 M = 5.(-2).3 + 32 = -30 + = -21 b) N = (a – 3b)2 - (a + 3b)2 – (a -1)(b -2 ) víi a = ; b = -3 c) P = (2x – 5) (2x + 5) – (2x + 1)2 víi x= - 2005 d) Q = (y – 3) (y + 3)(y2+9) – (y2+2) (y2 - 2) D¹ng 6: T×m x, biÕt: a) (x – 2)2- (x+3)2 – 4(x+1) = Gv: Nguyễn Văn Tú Trường THCS Thanh Mỹ Lop8.net (7) Gi¸o ¸n BDVH To¸n N¨m häc 2011 - 2012 b) (2x – 3) (2x + 3) – (x – 1)2 – 3x(x – 5) = - 44 D¹ng So s¸nh a) A=2005.2007 vµ B = 20062 b) B = (2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1) vµ B = 232 c) C = (3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1) vµ B= 332-1 D¹ng 8: TÝnh nhanh a) 1272 + 146.127 + 732 b) 98.28 – (184 – 1)(184 + 1) c) 1002- 992 + 982 – 972 + + 22 – 12 d) 1802 2202 1252 150.125 752 e) (202+182+162+ +42+22)-( 192+172+ +32+12) D¹ng 9: Mét sè bµi tËp kh¸c CM c¸c BT sau cã gi¸ trÞ kh«ng ©m a) A = x2 – 4x +9 b) N = – x + x2 III BÀI TẬP VỀ NHÀ Bài 1: Rót gän råi tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: 2 b) D = (y2 +2)(y- 4) – (2y2+1)( y – 2) víi y=2 a) C = 6xy(xy –y2) - 8x2(x-y2) =5y2(x2-xy) víi x= ; y= Bµi T×m sè tù nhiªn liªn tiÕp, biÕt r»ng tÝch cña hai sè ®Çu Ýt h¬n tÝch cña hai sè cuối 146 đơn vị Hướng dẫn: (x+3)(x+2)- x(x+1) = 146 §¸p sè: 35; 36; 37; 38 Bµi 3: CM c¸c BT sau cã gi¸ trÞ kh«ng ©m a) M = – 6x +x2 b) B = 4x2 + 4x + 2007 Bµi 4: T×m x, biÕt: a) (5x + 1)2 - (5x + 3) (5x - 3) = 30 b) (x + 3)2 + (x-2)(x+2) – 2(x- 1)2 = ********************** Thanh Mü, ngµy Gv: Nguyễn Văn Tú Trường THCS Thanh Mỹ Lop8.net (8) Gi¸o ¸n BDVH To¸n N¨m häc 2011 - 2012 Buæi : H×nh thang,H×nh thang c©n ®êng trung b×nh cña tam gi¸c, h×nh thang Mục tiêu cần đạt : Giúp HS - Nắm định nghĩa , tính chất, cách chứng minh tứ giác là hình thang, h×nh thang c©n -Nắm định nghĩa đường trung bình tam giác, hình thang, định lí vÒ ®êng trung b×nh cña tam gi¸c, cña h×nh thang - RÌn kÜ n¨ng chøng minh h×nh häc.BiÕt tr×nh bµy mét bµi chøng minh - RÌn cho HS thao t¸c ph©n tÝch, tæng hîp, t l«gÝc,ãc quan s¸t, kh¶ n¨ng kh¸i qu¸t ho¸,… I.LÝ thuyÕt : 1.Định nghĩa hình thang :Hình thang là tứ giác có cạnh đối song song 2.Định nghĩa hình thang cân :Hình thang cân là hình thang có góc đáy C¸c tÝnh chÊt cña h×nh thang c©n: _ H×nh thang c©n cã c¹nh bªn b»ng _ H×nh thang c©n cã ®êng chÐo b»ng DÊu hiÖu nhËn biÕt h×nh thang c©n : _ Hình thang có góc đáy là hình thang cân _ H×nh thang cã ®êng chÐo b»ng lµ h×nh thang c©n 3.§êng trung b×nh cña tam gi¸c cña h×nh thang : §Þnh lÝ 1: §êng th¼ng ®i qua trung ®iÓm c¹nh cña tam gi¸c vµ song song víi c¹nh thø th× ®i qua trung ®iÓm cña c¹nh thø *§êng trung b×nh cña tam gi¸c :lµ ®o¹n th¼ng nèi trung ®iÓm c¹nh cña tam gi¸c §Þnh lÝ 2: §êng trung b×nh cña tam gi¸c th× song víi c¹nh cßn l¹i vµ b»ng n÷a c¹nh Êy Định lí 3: Đường thẳng qua trung điểm cạnh và song song với đáy hình thang th× ®i qua trung ®iÓm cña c¹nh cßn l¹i *§êng trung b×nh cña h×nh thang :lµ ®o¹n th¼ng nèi trung ®iÓm c¹nh bªn cña h×nh thang Định lí 4: Đường trung bình hình thang thì song với cạnh đáy và tổng độ dài cạnh đáy II.Bµi tËp : D¹ng : NhËn biÕt h×nh thang c©n Phương pháp giải : Chứng minh tứ giác là hình thang, chứng minh hình thang đó có hai góc kề đáy nhau, có hai đường chéo Bµi : H×nh thang ABCD ( AB // CD ) , ACˆ D BDˆ C Chøng minh r»ng ABCD lµ h×nh thang c©n Gv: Nguyễn Văn Tú Trường THCS Thanh Mỹ Lop8.net (9) Gi¸o ¸n BDVH To¸n Bµi gi¶i A N¨m häc 2011 - 2012 B E D C Gäi E lµ giao ®iÓm cña AC vµ BD ECD cã Cˆ Dˆ ECD c©n EC = ED ( ) Chứng minh tương tự : EA = EB ( ) Tõ (1 ) vµ ( ) ta suy ra: AC = BD ABCD lµ h×nh thang c©n (cã hai ®êng chÐo b»ng nhau) Bµi : Cho h×nh thang ABCD ( AB // CD ) cã AC = BD Qua B kÎ ®êng th¼ng song song víi AC, c¾t ®êng th¼ng DC t¹i E Chøng minh r»ng : a BDE c©n b ACD BDC c H×nh thang ABCD lµ h×nh thang c©n Bµi gi¶i Ht ABCD( AB //CD ) A B AC = BD GT BE//AC 1 D C E KL a BDE c©n b ACD BDC c.ABCD lµ h×nh thang c©n a XÐt tø gi¸c ABEC cã : AB // CE => ABEC lµ h×nh thang mµ BE//AC (gt) => AC = BE Theo gt: AC = BD nên BE = BD, đó BDE cân b AC // BE => (đồng vị) Cˆ Eˆ Mµ BDE c©n t¹i B ( c©u a ) => Dˆ Eˆ => Cˆ1 Dˆ XÐt ACD & BCD cã : Cˆ Dˆ AC=BD DC lµ c¹nh chung Gv: Nguyễn Văn Tú Trường THCS Thanh Mỹ Lop8.net (10) Gi¸o ¸n BDVH To¸n => N¨m häc 2011 - 2012 ACD BCD ( c.g.c) c ACD BDC ADˆ C BCˆ D => => H×nh thang ABCD lµ h×nh thang c©n Dạng : Sử dụng tính chất hình thang cân để tính số đo góc, độ dài đoạn thẳng Bµi 3: Cho tam gi¸c c©n ABC ( AB = AC ) Trªn c¸c c¹nh bªn AB,AC lÊy theo thø tù c¸c ®iÓm D vµ E cho AD = AE a Chøng minh r»ng BDEC lµ h×nh thang c©n b Tính các góc hình thang cân đó, biết góc A = 500 Bµi gi¶i A ABC c©n ( AB = AC ) 50 GT D AB, E AC : AD = AE D E KL B a.Cm : BDEC lµ h×nh thang c©n b Tính các góc hình thang cân đó, biÕt r»ng gãc A = 500 C 180 Aˆ ˆ ˆ a Do ABC c©n => B C => B̂ = MÆt kh¸c : AD = AE (gt) => ADE c©n t¹i A => D̂1 = => 180 Aˆ 180 Aˆ B̂ = D̂1 = => DE // BC => BDEC lµ h×nh thang H×nh thang BDEC cã Bˆ Cˆ nªn lµ h×nh thang c©n b Do BDEC lµ h×nh thang c©n => => 180 Aˆ 180 50 Bˆ Cˆ = = = 650 2 360 65 0.2 = 1150 Dˆ Eˆ = D¹ng 3: Sö dông tÝnh chÊt ®êng trung b×nh cña tam gi¸c Bµi 4: Cho tam gi¸c ABC Gäi M,N,P theo thø tù trung ®iÓm c¸c c¹nh AB,AC,BC TÝnh chu vi cña tam gi¸c MNP, biÕt AB = 8cm,AC =10cm,BC = 12cm Bµi gi¶i A ABC Gv: Nguyễn Văn Tú Trường THCS Thanh Mỹ Lop8.net (11) Gi¸o ¸n BDVH To¸n M N¨m häc 2011 - 2012 GT AM=MB, AN=NC, BP=CP AB = 8cm,AC =10cm,BC = 12cm KL TÝnh PMNP N B P C ABC cã AM = MB, AN = NC nªn MN lµ ®êng trung b×nh Tương tự : ta chứng minh MP,NP là đường trung bình BC 12 6(cm) 2 AC 10 MP 5(cm) 2 AB NP 4(cm) 2 MN => VËy chu vi tam gi¸c MNP b»ng : + + = 15(cm ) D¹ng : Sö dông tÝnh chÊt ®êng trung b×nh cña h×nh thang Bµi : Cho h×nh thang ABCD (AB//CD) cã AB = 3cm, CD=7cm, AD=10cm.Gäi M lµ trung ®iÓm cña BC Chøng minh AM DM A B Gi¶i : GT H×nh thang ABCD AB = 3cm, CD=7cm, AD=10cm BM = MC KL Cm: AM DM D C Gäi I lµ trung ®iÓm cña AD Ta cã IM lµ ®êng trung b×nh cña h×nh thang ABCD nªn : AB CD (cm) 2 AD 10 IA ID 5(cm) 2 IM Ta l¹i cã : => => => IM = IA = ID IAM , IDM c©n t¹i I Mˆ Aˆ , Mˆ Dˆ 1 Mˆ Mˆ Aˆ1 Dˆ Gv: Nguyễn Văn Tú Trường THCS Thanh Mỹ Lop8.net (12) Gi¸o ¸n BDVH To¸n N¨m häc 2011 - 2012 AMˆ D Aˆ1 Dˆ AMˆ D Aˆ Dˆ 180 Do đó Ta l¹i cã : => VËy 1 AMˆ D 90 AM DM (®pcm) Bµi 7: Cho h×nh thang c©n ABCD( AB//CD, AB<CD) Gäi O lµ giao ®iÓm cña hai ®ưêng th¼ng AD vµ BC a CMR: OAB c©n b gäi I lµ trung ®iÓm cña AB, K lµ trung ®iÓm cña CD CMR: O, I, K th¼ng hµng c) Qua M thuéc AD kÎ ®ưêng th¼ng // víi DC, c¾t BC t¹i N CMR: MNCD lµ h×nh thang c©n Gi¶i: a)V× ABCD lµ h×nh thang c©n( gt)=>D=C mµ AB//CD =>A1=D; B1=C( ®v) =>A1=B1 => OAB c©n t¹i O b) D=C( CMT) => ODC c©n t¹i O(1) => OI AB(*) Mµ OAB c©n t¹i O (cmt) IA=IB(gt) => O1=O2 (tc) (2) Tõ (1)vµ(2)=> OK lµ trung trùc DC =>OK DC (**) Vµ AB//CD( tc htc)(***) Tõ (*), (**), (***)=> I, O, K th¼ng hµng c) V× MN//CD(gt) =>MNCD lµ h×nh thang D=C( cmt) => MNCD lµ h×nh thang c©n Bµi 8: Cho h×nh thang ABCD (AB//CD;AB<DC) Tia ph©n gi¸c c¸c gãc A vµ c¾t t¹i E, tia ph©n gi¸c c¸c gãc B vµ C c¾t t¹i F a) TÝnh sè ®o AEB; BFC b) AE c¾t BF t¹i P DC/ CMR: AD +BC =DC c) Víi gi¶ thiÕt c©u b, CMR EF n»m trªn ®ưêng trung b×nh cña h×nh thang ABCD §¸p ¸n: a) V× AB//CD (gt) => A+D =1800 Gv: Nguyễn Văn Tú Trường THCS Thanh Mỹ Lop8.net (13) Gi¸o ¸n BDVH To¸n N¨m häc 2011 - 2012 => A1 +D1 = 900 T¬ng tù : BFC = 900 b) ADP cã A1 = APD (=A2) nªn AD =DP (1) CBP =CPB (=PBA) nªn CB =CP (2) LÊy (1) +(2) : AD + CB = DC c) Gäi MN lµ ®ưêng trung b×nh cña h×nh thang ABCD nªn MN//AB MN//CD V× ADP c©n t¹i P => EA=EP DE AP EA=EP MA =MD T¬ng tù F MN => ME//DP//DC => EC MN GV : - yªu cÇu HS vÏ h×nh ghi GT - KL cña bµi - HS tr×nh bµy lêi gi¶i Bµi 9: Cho ABC cã BC =4cm, c¸c trung tuyÕn BD, CE Gäi M,N theo thø tù lµ trung ®iÓm cña BE,CD Gäi giao ®iÓm cña B, MN víi BD,CE theo thø tù lµ P, Q a) TÝnh MN b) CMR: MP =PQ =QN §¸p ¸n a) Ta cã: ED BC 2cm MN là đờng trung bình hình thang EDBC nên MN 1 ( ED BC ) (2 4) 3cm 2 b) XÐt BED cã BM =ME; MP//ED => PB=PD => MP ED 1cm Chøng minh tương tù: QN =1cm =>PQ =MN-MP -QN = -1-1 =1(cm) VËy MP =PQ =QN Gv: Nguyễn Văn Tú Trường THCS Thanh Mỹ Lop8.net (14) Gi¸o ¸n BDVH To¸n N¨m häc 2011 - 2012 Thanh Mü, ngµy Buæi 4: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö Mục tiêu cần đạt: Học sinh nắm vững các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Có kỹ vận dụng thành thạo và linh hoạt các phương pháp phân tích đa thøc thµnh nh©n tö vµo viÖc gi¶i c¸c bµi tËp I.LÝ thuyÕt: Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử : _Phương pháp đặt nhân tử chung _Phương pháp dùng đẳng thức _Phương pháp nhóm các hạng tử _Phương pháp phối hợp nhiều phương pháp _Một số phương pháp khác ( tách hạng tử thêm bớt hạng tử…) II.Bµi tËp: Dạng 1: Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp đặt nhân tử chung Phương pháp giải : Nếu các hạng tử đa thức có nhân tử chung thì ta đặt nhân tử chung đó lµm thõa sè Bµi 1: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö : a, x 14 x b, x y 15 x y 21xy c, 3x x 1 2x 1 d, x x y 20 x2 y x Gi¶i : a, x 14 x = x 2 x b, x y 15 x y 21xy = 3xy3xy x y *Có phải đặt biêủ thức làm nhân tử chung c, 3x x 1 2x 1 = x 13x 2 *Để xuất nhân tử chung đôi ta phải đổi dấu các hạng tử ( A = -(-A)) d, x x y 20 x2 y x = x x y 20 xx y = xx y x 5 Dạng 2: Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp dùng đẳng thøc Phương pháp giải : Sử dụng các đẳng thức đã học để phân tích đa thức thành nhân tử.Lưu ý phân tích đa thức thành nhân tử cần phân tích triệt để Bµi 2: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö : a, x 125 Gv: Nguyễn Văn Tú Trường THCS Thanh Mỹ Lop8.net (15) Gi¸o ¸n BDVH To¸n N¨m häc 2011 - 2012 b, 100 x x 25 Gi¶i : 1 a, x = x 125 5 1 = x x x 25 b, 100 x x 25 = 10 x 2 x 25 = 10 x x 2510 x x 25 = x 52 x 52 Bài tập tương tự : Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : 2 64 b, x y a, 27 x c, x y 52 -2 x y 5+ Dạng 3: Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp nhóm hạng tử Phương pháp giải : Khi mét ®a thøc cã nhiÒu h¹ng tö ta cÇn quan s¸t xem nh÷ng h¹ng tö nµo cã thÓ nhãm ®îc víi mµ ph©n tÝch ®îc thõa sè, hoÆc cã thÓ sö dông ®îc h»ng đằng thức thì ta nên nhóm lại để phân tích Bµi 3: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö : a, x xy x y b, x x x Gi¶i : a, x xy x y = x xy x y = xx y x y = x y x 1 b, x x x = x x 9 3x 2 = x 32 3x 2 = x 3x x 3x = x 4 x 3 Bài tập tương tự : Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö : a, x 3x 3x 2x x b, x xz y yz c, 12 x x 27 x d, x 25 x 20 x Dạng 4: Phân tích đa thức thành nhân tử cách phối hợp nhiều phương ph¸p Phương pháp giải : Trong nhiều bài toán ta phải phối hợp phương pháp trên cách linh hoạt Bµi 4: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö : Gv: Nguyễn Văn Tú Trường THCS Thanh Mỹ Lop8.net (16) Gi¸o ¸n BDVH To¸n N¨m häc 2011 - 2012 a, x 45 y 30 y b, 125 x 10 x x Gi¶i: a, x 45 y 30 y = 5x y y 1 = 5x 9 y y 1 = 5x 3 y 12 = 5x y 1x y 1 b, 125 x 10 x x = 125 x 1 10 x x = 5 x 125 x x 1 x5 x 1 = 5 x 125 x x x = 5 x 125 x 3x 1 Bài tập tương tự : Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : a, 36 x 20 xy 25 y b, x 3x 3x 27 y c, x x x x d, xy 42 4x y 2 Dạng 5: Phân tích đa thức thành nhân tử số phương pháp khác Phương pháp giải : Ngoài các phương pháp thông dụng để phân tích đa thức thành nhân tử trên ta còn sử dụng số phương pháp khác tách hạng tử, thêm bớt cùng hạng tử, đặt ẩn phụ… Bµi 5: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö : a, x x b, x c, x 3x 1 12 x 3x 1+27 Gi¶i: a, x x = x 10 x x = (4 x 10 x) (2 x 5) = 2x(2x+5) – (2x + 5) = (2x + ) (2x – 1) Nhận xét :( Đây là phương pháp tách hạng tử ) §Ó ph©n tÝch tam thøc bËc 2: ax bx c thµnh nh©n tö ta lµm nh sau : _T×m tÝch a.c _Ph©n tÝch a.c = b1 b2 _T¸ch h¹ng tö bx = b1 x b2 x _§Æt nh©n tö chung theo tõng nhãm b, x = x x x 2 = x 2 x = x x x x Nhận xét :( Đây là phương pháp thêm bớt hạng tử ) Gv: Nguyễn Văn Tú Trường THCS Thanh Mỹ Lop8.net (17) Gi¸o ¸n BDVH To¸n N¨m häc 2011 - 2012 Mục đích cuả việc thêm bớt cùng hạng tử là để xuất nhóm hạng tử cho có thể dùng đẳng thức đặt nhân tử chung c, A= x 3x 1 12 x 3x 1+27 §Æt y = x 3x 1 ta ®îc y 12 y 27 = y y.6 36 = y 62 = y 3y 3 = y 9y 3 => A = x 3x 9x 3x 3 = x 3x 10x 3x 4 = x x x 10x x x 4 = xx 5 2x 5xx 4 x 4 = x 5x 2x 4x 1 Nhận xét :(Đây là phương pháp đổi biến hay đặt ẩn phụ ) Nhờ đổi biến nên ta đã đưa đa thức bậc x phức tạp trở thành đa thức bậc với y đơn giản, nhờ đó phân tích thành nhân tử cách dễ dàng Bài tập tương tự : Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö : a, 3x 11x b, x 10 x c, x xy y d, x x e, x x 10 x g, A= x xy y 3x y h, B = x 11x Gv: Nguyễn Văn Tú Trường THCS Thanh Mỹ Lop8.net (18) Gi¸o ¸n BDVH To¸n N¨m häc 2011 - 2012 Thanh Mü, ngµy Buæi 5: Chuyên đề: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö I- Phương pháp tách hạng tử thành nhiều hạng tử khác: Bµi 1: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö a, x x d, x 13 x 36 b, 3x x e, x x 18 c, x x f, x x 24 g , 3x 16 x h, 8x 30 x i, 2x x 12 k, 6x x 20 Bµi 2: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö: 1, x x x 2, x x 3, x x x 4, x x 5, x x x 16 6, 4x 13 x x 18 7, x x x 8, x x x 9, 6x x 486 x 81 10, x x 11, x x 12, x x x 13, x x 17 x 10 14, x x x 15, x x 16, 2x 12 x 17 x 17, x x 18, x x x 19, x x 26 x 24 20, 2x x x 21, 3x 14 x x 22, x x x x (Đa thức đã cho có nhiệm nguyên nghiệm hữu tỉ) II- Phương pháp thêm và bớt cùng hạng tử 1) Dạng 1: Thêm bớt cùng hạng tử làm xuất đẳng thức hiệu hai bình phương: A2 – B2 = (A – B)(A + B) Bµi 1: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö: 1, (1 x ) x(1 x ) 2, x 36 3, x 4, x 64 5, 64x 6, 81x 7, 4x 81 8, 64x y Gv: Nguyễn Văn Tú 9, x y Trường THCS Thanh Mỹ 10, x x 1 Lop8.net (19) Gi¸o ¸n BDVH To¸n N¨m häc 2011 - 2012 2) D¹ng 2: Thªm bít cïng mét h¹ng tö lµm xuÊt hiÖn thõa sè chung Bµi 1: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö: 1, x x 2, x x5 3, x5 x 4, x5 x 5, x8 x 6, x5 x 7, x5 x 8, x10 x5 III- Phương pháp đổi biến Bµi 1:Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö 1, x( x 4)( x 6)( x 10) 128 2, (x 1)( x 2)( x 3)( x 4) 24 3, ( x x 8) 3x( x x 8) x 4, ( x x) x x 12 5, x xy y x y 15 6, (x a)( x 2a)( x 3a)( x 4a) a 7, x 11x 8, ( x x) 3( x x) 9, x xy y 3x y 10 10, ( x x) x 18 x 20 11, x xy y x y 35 12, (x 2)( x 4)( x 6)( x 8) 16 Bµi 2: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö 1, x x x x 2, ( x y z )( x y z ) ( xy yz zx) IV- Phương pháp xét giá trị riêng Phương pháp: Trước hết ta xác định dạng các thừa số chứa biến đa thức, gán cho các biến các giá trị cụ thể để xác định thừa số còn lại VÝ dô: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö: a, P = x ( y z ) y ( z x ) z ( x y ) b, Q =a(b c a)2 b(c a b)2 c(a b c)2 (a b c) (b c a)(c a b) Gi¶i a, Gi¶ sö thay x bëi y th× P = y ( y z ) y ( z y ) Nh vËy P chøa thõa sè x – y Ta lại thấy thay x y, thay y z, thay z x thì P không đổi(ta nói đa thức P có thể hoán vị vòng quanh các biến x, y, z) Do đó P đã chúa thùa số x – y th× còng chóa thõa sè y – z, z – x VËy P ph¶i cã d¹ng Gv: Nguyễn Văn Tú Trường THCS Thanh Mỹ Lop8.net (20) Gi¸o ¸n BDVH To¸n N¨m häc 2011 - 2012 P = k(x – y)(y – z)(z – x).Ta thÊy k ph¶i lµ h»ng sè(kh«ng chóa biÕn) v× P cã bËc tập hợp các biến x, y, z còn tích (x – y)(y – z)(z – x) có bậc ba tập hợp các biến x, y, z Vì đẳng thức x ( y z ) y ( z x) z ( x y ) k ( x y )( y z )( z x) đúng với x, y, z nên ta gán cho các biến x, y, z các giá trị riêng, chẳng hạn x = 2, y = 1, z = ta ®îc k = -1 VËy P =- (x – y)(y – z)(z – x) = (x – y)(y – z)(x - z) C¸c bµi to¸n Bµi 1: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö: M a (b c a ) b(c a b) c(a b c) (a b c)(b c a )(c a b) N a (m a ) b(m b) c(m c) abc , víi 2m = a+ b + c Bài 2: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö: a ) A (a b c)(ab bc ca ) abc b) B a (a 2b)3 b(2a b)3 c)C ab(a b) bc(b c) ac(a c) d ) D (a b)(a b ) (b c)(b c ) (c a )(c a ) e) E a (c b ) b3 (a c ) c (b a ) abc(abc 1) f ) f a (b c)3 b(c a )3 c(a b)3 g )G a 2b (a b) b c (b c) a c (c a ) h) H a (b c) b (c a ) c (a b) V-Phưong pháp hệ số bất định Bài 1: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö: a ) A x x 12 x 14 x b) B x x x x c)C x 22 xy 11x 37 y y 10 d ) D x x 14 x x e) E x x 63 Bµi tËp: VÝ dô Ph©n tÝch biÓu thøc sau thµnh nh©n tö : A = x3 – 3(a2 + b2)x + 2(a3 + b3) Lêi gi¶i §Æt S = a + b vµ P = ab, th× a2 + b2 = S - 2P ; a3 + b3 = S - 3SP V× vËy : A = x3 – 3( S - 2P )x + 2( S - 3SP ) = (x - S ) - (3S x - 3S ) + (6Px - 6SP) = (x - S)(x + Sx + S ) - 3S (x - S) + 6P(x - S) Gv: Nguyễn Văn Tú Trường THCS Thanh Mỹ Lop8.net (21)