Dạng 1: Tìm đa thức th−ơng bằng ph−ơng pháp đồng nhất hệ sốph−ơng pháp hệ số bất định, ph−ơng pháp giá trị riêng , thực hiện phép chia đa thức... Tải eBook, ðề thi, Tài liệu học tập miễn[r]
(1)eBook.here.vn - Onbai.org Tải eBook, ðề thi, Tài liệu học tập miễn phí Chuyên đề : Đa thức Bài 1: Tính giá trị biểu thức: a A = x − 17 x + 17 x − 17 x + 20 taïi x = 16 b B = x − 15x + 16 x − 29 x + 13x taïi x = 14 c C = x14 − 10 x13 + 10 x12 − 10 x11 + + 10 x − 10 x + 10 taïi x = d D = x15 − 8x14 + 8x13 − 8x12 + − x + 8x − taïi x = Bài 2: Tính giá trị biểu thức: 1 650 4 − − + 315 651 105 651 315.651 105 546 b N = − − 547 211 547 211 547.211 a M = Bài 3: Tính giá trị biểu thức: a A = x ( x − y ) + y ( x − y ) với x = 2; y = b M.N với x = Biết rằng:M = −2 x + 3x + ; N = x − x + Bài 4: Tính giá trị đa thức, biết x = y + 5: a x ( x + ) + y ( y − ) − xy + 65 b x + y ( y − x ) + 75 Bài 5: Tính giá trị đa thức: x (1 + y ) − y ( xy − 1) − x y bieát x+ y = -p, xy = q Bài 6: Chứng minh đẳng thức: a ( x − a )( x − b ) + ( x − b )( x − c ) + ( x − c )( x − a ) = ab + bc + ca − x ; bieát raèng 2x = a + b +c b 2bc + b2 + c2 − a2 = p ( p − a ) ; bieát raèng a + b + c = 2p Baøi 7: a Số a gồm 31 chữ số 1, số b gồm 38 chữ số Chứng minh ab – chia heát cho b Cho số tự nhiên a và b đó số a gồm 52 số 1, số b gồm 104 số Hỏi tích ab coù chia heát cho khoâng? Vì sao? Bài 8: Cho a + b + c = Chứng minh M = N = P với: M = a ( a + b )( a + c ) ; N = b ( b + c )( b + a ) ; P = c ( c + a )( c + b ) Bài 9: Cho biểu thức: M = ( x − a )( x − b ) + ( x − b )( x − c ) + ( x − c )( x − a ) + x Tính M 2 theo a, b, c, bieát raèng x = a + b + c Bài 10: Cho các biểu thức: A = 15x – 23y ; B = 2x + 3y Chứng minh x, y là các số nguyên và A chia hết cho 13 thì B chia hết cho 13 Ngược lại B chia heát cho 13 thì A cuõng chia heát cho 13 Bài 11: Cho các biểu thức: A = 5x + 2y ; B = 9x + 7y a Rút gọn biểu thức 7A – 2B Lop8.net (2) eBook.here.vn - Onbai.org Tải eBook, ðề thi, Tài liệu học tập miễn phí b Chứng minh rằng: Nếu các số nguyên x, y thỏa mãn 5x + 2y chia hết cho 17 thì 9x + 7y cuõng chia heát cho 17 Bài 12: Chứng minh rằng: a 817 − 279 − 913 chia heát cho 405 b 122 n+1 + 11n+2 chia heát cho 133 Baøi 13: Cho daõy soá 1, 3, , 10, 15,…, n ( n + 1) ,… Chứng minh tổng hai số hạng liên tiếp dãy là số chính phöông Chuyên đề đề: Biển đổi biểu thức nguyên I Một số đẳng thức (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 ; (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca ; (a1 + a + + a n )2 = = a12 + a 22 + + a 2n + 2(a1a + a1a + + a1a n + a a + + a a n + + a n −1a n ); (a ± b)3 = a3 ± 3a2b + 3ab2 ± b3 = a3 ± b3 ± 3ab(a ± b); (a ± b)4 = a4 ± 4a3b + 6a2b2 ± 4ab3 + b4 ; a2 – b2 = (a – b)(a + b) ; a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) ; an – bn = (a – b)(an – + an – 2b + an – 3b2 + … + abn – + bn – 1) ; a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2) a5 + b5 = (a + b)(a4 – a3b + a2b2 – ab3 + b5) ; a2k + + b2k + = (a + b)(a2k – a2k – 1b + a2k – 2b2 – … + a2b2k – – ab2k – + b2k) ; II B¶ng c¸c hÖ sè khai triÓn (a + b)n – Tam gi¸c Pascal §Ønh Dßng (n = 1) 1 Dßng (n = 2) Dßng (n = 3) 3 Dßng (n = 4) Dßng (n = 5) 10 10 Trong tam gi¸c nµy, hai c¹nh bªn gåm c¸c sè ; dßng k + ®−îc thµnh lËp tõ dßng k (k ≥ 1), ch¼ng h¹n ë dßng ta cã = + 1, ë dßng ta cã = + 1, = + 2, ë dßng ta cã = + 3, = + 3, = + 1, …Khai triÓn (x + y)n thµnh tæng th× c¸c hÖ sè cña c¸c h¹ng tö lµ c¸c sè dßng thø n cña b¶ng trªn Ng−êi ta gäi b¶ng trªn lµ tam gi¸c Pascal, nã th−êng ®−îc sö dông n kh«ng qu¸ lín Ch¼ng h¹n, víi n = th× : (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 vµ víi n = th× : (a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 10ab4 + b5 Lop8.net (3) eBook.here.vn - Onbai.org Tải eBook, ðề thi, Tài liệu học tập miễn phí II C¸c vÝ dô VÝ dô §¬n gi¶n biÓu thøc sau : A = (x + y + z)3 – (x + y – z)3 – (y + z – x)3 – (z + x – y)3 Lêi gi¶i A = [(x + y) + z]3 – [(x + y) – z]3 – [z – (x – y)]3 – [z + (x – y)]3 = [(x + y)3 + 3(x + y)2z + 3(x + y)z2 + z3] – [(x + y)3 – 3(x + y)2z + 3(x + y)z2 – z ] – [z3 – 3z2(x – y) + 3z(x – y)2 – (x – y)3] – [z3 + 3z2(x – y) + 3z(x – y)2 + (x – y)3] = 6(x + y)2z – 6z(x – y)2 = 24xyz VÝ dô Cho x + y = a, xy = b (a2 ≥ 4b) TÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau : a) x2 + y2 ; b) x3 + y3 ; c) x4 + y4 ; d) x5 + y5 Lêi gi¶i x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy = a2 – 2b x3 + y3 = (x + y)3 – 3xy(x + y) = a3 – 3ab x4 + y4 = (x2 + y2)2 – 2x2y2 = (a2 – 2b)2 – 2b2 = a4 – 4a2b + 2b2 (x2 + y2)(x3 + y3) = x5 + x2y3 + x3y2 + y5 = (x5 + y5) + x2y2(x + y) Hay : (a2 – 2b)(a3 – 3ab) = (x5 + y5) + ab2 ⇒ x5 + y5 = a5 – 5a3b + 5ab2 Chó ý : a6 + b6 = (a2)3 + (b2)3 = (a3)2 + (b3)2 a7 + b7 = (a3 + b3)(a4 + b4) – a3b3(a + b) = (a2 + b2)(a5 + b5) – a2b2(a3 + b3) Ví dụ Chứng minh các đẳng thức : a) a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca) ; b) (a + b + c)3 – a3 – b3 – c3 = 3(a + b)(b + c)(c + a) Lêi gi¶i a) b) c) d) a) a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b)3 + c3 – 3abc – 3a2b – 3ab2 = (a + b + c)[(a + b)2 – (a + b)c + c2] – 3ab(a + b + c) = (a + b + c) [(a + b)2 – (a + b)c + c2 – 3ab] = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca) b) (a + b + c)3 – a3 – b3 – c3 = [(a + b + c)3 – a3] – (b3 + c3) = (b + c)[(a + b + c)2 + (a + b + c)a + a2] – (b + c)(b2 – bc + c2) = (b + c)(3a2 + 3ab + 3bc + 3ca) = 3(b + c)[a(a + b) + c(a + b)] = 3(a + b)(b + c)(c + a) VÝ dô Cho x + y + z = Chøng minh r»ng : 2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2) Lêi gi¶i V× x + y + z = nªn x + y = –z ⇒ (x + y)3 = –z3 Hay x3 + y3 + 3xy(x + y) = –z3 ⇒ 3xyz = x3 + y3 + z3 Do đó : 3xyz(x2 + y2 + z2) = (x3 + y3 + z3)(x2 + y2 + z2) = x5 + y5 + z5 + x3(y2 + z2) + y3(z2 + x2) + z3(x2 + y2) 2 Mµ x + y = (x + y)2 – 2xy = z2 – 2xy (v× x + y = –z) T−¬ng tù : y2 + z2 = x2 – 2yz ; z2 + x2 = y2 – 2zx V× vËy : 3xyz(x2 + y2 + z2) = x5 + y5 + z5 + x3(x2 – 2yz) + y3(y2 – 2zx) + z3(z3 – 2xy) = 2(x5 + y5 + z5) – 2xyz(x2 + y2 + z2) Suy : 2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2) (®pcm) Lop8.net (4) eBook.here.vn - Onbai.org Tải eBook, ðề thi, Tài liệu học tập miễn phí Bµi tËp: Cho a + b + c = vµ a2 + b2 + c2 = 14 TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc : A = a4 + b4 + c4 Cho x + y + z = vµ xy + yz + zx = TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc : B = (x – 1)2007 + y2008 + (z + 1)2009 Cho a2 – b2 = 4c2 Chøng minh r»ng : (5a – 3b + 8c)(5a – 3b – 8c) = (3a – 5b)2 Chøng minh r»ng nÕu: (x – y)2 + (y – z)2 + (z – x)2 = (x + y – 2z)2 + (y + z – 2x)2 + (z + x – 2y)2 th× x = y = z a b a) Chøng minh r»ng nÕu (a2 + b2)(x2 + y2) = (ax + by)2 vµ x, y kh¸c th× = x y 2 2 2 b) Chøng minh r»ng nÕu (a + b + c )(x + y + z ) = (ax + by + cz) a b c vµ x, y, z kh¸c th× = = x y z Cho x + y + z = Chøng minh r»ng : a) 5(x3 + y3 + z3)(x2 + y2 + z2) = 6(x5 + y5 + z5) ; b) x7 + y7 + z7 = 7xyz(x2y2 + y2z2 + z2x2) ; c) 10(x7 + y7 + z7) = 7(x2 + y2 + z2)(x5 + y5 + z5) Chứng minh các đằng thức sau : a) (a + b + c)2 + a2 + b2 + c2 = (a + b)2 + (b + c)2 + (c + a)2 ; b) x4 + y4 + (x + y)4 = 2(x2 + xy + y2)2 Cho c¸c sè a, b, c, d tháa m`n a2 + b2 + (a + b)2 = c2 + d2 + (c + d)2 Chøng minh r»ng : a4 + b4 + (a + b)4 = c4 + d4 + (c + d)4 10 Cho a2 + b2 + c2 = a3 + b3 + c3 = TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc : C = a2 + b9 + c1945 11 Hai sè a, b lÇn l−ît tháa m`n c¸c hÖ thøc sau : a3 – 3a2 + 5a – 17 = vµ b3 – 3b2 + 5b + 11 = H`y tÝnh : D = a + b 12 Cho a3 – 3ab2 = 19 vµ b3 – 3a2b = 98 H`y tÝnh : E = a2 + b2 13 Cho x + y = a + b vµ x2 + y2 = a2 + b2 TÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau : a) x3 + y3 ; b) x4 + y4 ; c) x5 + y5 ; d) x6 + y6 ; e) x7 + y7 ; f) x8 + y8 ; g) x2008 + y2008 Chuyên đề: Phân tích đa thức thành nhân tử Lop8.net (5) eBook.here.vn - Onbai.org Tải eBook, ðề thi, Tài liệu học tập miễn phí I- Ph−¬ng ph¸p t¸ch mét h¹ng tö thµnh nhiÒu h¹ng tö kh¸c: Bµi 1: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö a, x2 − 5x + d, x2 − 13x + 36 b, 3x2 − x + e, x + x − 18 c, x + x + f, x − x − g ,3x2 − 16 x + h, 8x2 + 30 x + i, x − x − k, 6x2 − x − 20 Bµi 2: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö: 1, x − x + x − 2, x + x − 3, x + x + x + 4, x − x + 5, x − x + x + 16 6, x − 13 x + x − 18 7, x − x − x + 8, − x − x + x + 9, x − x − 486 x + 81 10, x − x − 11, x − x + 12, x − x + x + 13, x + x + 17 x + 10 14, x + x + x + 15, x − x − 16, x − 12 x + 17 x − 17, x + x + 18, x + x + x + 19, x + x + 26 x + 24 20, x − x + x − 21, x − 14 x + x + 22, x + x + x + x + (§a thøc ® cho cã nhiÖm nguyªn hoÆc nghiÖm h÷u tØ) II- Ph−¬ng ph¸p thªm vµ bít cïng mét h¹ng tö 1) Dạng 1: Thêm bớt cùng hạng tử làm xuất đẳng thức hiệu hai b×nh ph−¬ng: A2 – B2 = (A – B)(A + B) Bµi 1: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö: 1, (1 + x2 )2 − 4x(1 − x2 ) 2, ( x2 − 8) + 36 3, x4 + 4, x4 + 64 5, 64x4 + 6, 81x4 + 7, 4x4 + 81 8, 64x4 + y 9, x4 + y 10, x4 + x2 +1 2) D¹ng 2: Thªm bít cïng mét h¹ng tö lµm xuÊt hiÖn thõa sè chung Bµi 1: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö: Lop8.net (6) eBook.here.vn - Onbai.org Tải eBook, ðề thi, Tài liệu học tập miễn phí 1, x7 + x2 +1 2, x7 + x5 +1 3, x5 + x4 +1 4, x5 + x +1 5, x8 + x7 +1 6, x5 − x4 −1 7, x5 + x −1 8, x10 + x5 +1 III- Ph−ơng pháp đổi biến Bµi 1:Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö 1, x( x + 4)( x + 6)( x +10) +128 2, (x +1)( x + 2)( x + 3)( x + 4) − 24 3, ( x2 + 4x + 8)2 + 3x( x2 + 4x + 8) + 2x2 4, ( x2 + x)2 + 4x2 + 4x −12 5, x2 + 2xy + y2 + 2x + y −15 6, (x + a)( x + 2a)( x + 3a)( x + 4a) + a4 7, 6x4 −11x2 + 8, ( x2 + x)2 + 3( x2 + x) + 9, x2 − 2xy + y2 + 3x − y −10 10, ( x2 + 2x)2 + 9x2 +18x + 20 11, x2 − 4xy + y2 − 2x + y − 35 12, (x + 2)( x + 4)( x + 6)( x + 8) +16 Bµi 2: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö 1, x + x + x − x + 2, ( x + y + z )( x + y + z ) + ( xy + yz + zx ) IV- Ph−¬ng ph¸p xÐt gi¸ trÞ riªng Ph−ơng pháp: Tr−ớc hết ta xác định dạng các thừa số chứa biến đa thức, gán cho các biến các giá trị cụ thể để xác định thừa số còn lại VÝ dô: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö: a, P = x2 ( y − z) + y2 (z − x) + z2 (x − y) b, Q =a(b + c − a)2 +b(c + a −b)2 + c(a +b −c)2 + (a +b −c) (b + c − a)(c + a −b) Gi¶i a, Gi¶ sö thay x bëi y th× P = y ( y − z ) + y ( z − y ) = Nh− vËy P chøa thõa sè x – y Ta lại thấy thay x y, thay y z, thay z x thì P không đổi(ta nói đa thức P có thể hoán vị vòng quanh các biến x, y, z) Do đó P đ` chúa thùa số x – y thì còng chóa thõa sè y – z, z – x VËy P ph¶i cã d¹ng P = k(x – y)(y – z)(z – x).Ta thấy k phải là số(không chúa biến) vì P có bậc tập hợp các biến x, y, z còn tích (x – y)(y – z)(z – x) có bậc ba tập hợp các biến x, y, z Vì đẳng thức x2 ( y − z) + y2 (z − x) + z2 (x − y) = k(x − y)( y − z)(z − x) đúng với x, y, z nên ta gán cho các biến x, y, z các giá trị riêng, chẳng hạn x = 2, y = 1, z = ta ®−îc k = -1 Lop8.net (7) eBook.here.vn - Onbai.org Tải eBook, ðề thi, Tài liệu học tập miễn phí VËy P =- (x – y)(y – z)(z – x) = (x – y)(y – z)(x - z) C¸c bµi to¸n Bµi 1: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö: M = a (b + c − a ) + b(c + a − b) + c(a + b − c) + (a + b − c)(b + c − a )(c + a − b) N = a (m − a )2 + b(m − b)2 + c(m − c) − abc , víi 2m = a+ b + c Bài 2: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö: a ) A = (a + b + c)(ab + bc + ca ) − abc b) B = a (a + 2b)3 − b(2a + b)3 c)C = ab(a + b) − bc(b + c) + ac( a − c) d ) D = (a + b)(a − b ) + (b + c)(b − c ) + (c + a )(c − a ) e) E = a (c − b ) + b3 ( a − c ) + c (b − a ) + abc( abc − 1) f ) f = a (b − c)3 + b(c − a )3 + c(a − b)3 g )G = a 2b (a − b) + b c (b − c) + a c (c − a) h) H = a (b − c) + b (c − a ) + c ( a − b) V-Ph−ong pháp hệ số bất định Bài 1: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö: a ) A = x − x + 12 x − 14 x + b) B = x + x + x + x + c)C = x + 22 xy + 11x + 37 y + y + 10 d ) D = x − x + 14 x − x + e) E = x − x + 63 Bµi tËp: VÝ dô Ph©n tÝch biÓu thøc sau thµnh nh©n tö : A = x3 – 3(a2 + b2)x + 2(a3 + b3) Lêi gi¶i §Æt S = a + b vµ P = ab, th× a2 + b2 = S - 2P ; a3 + b3 = S - 3SP V× vËy : A = x3 – 3( S - 2P )x + 2( S - 3SP ) = (x - S ) - (3S x - 3S ) + (6Px - 6SP) = (x - S)(x + Sx + S ) - 3S (x - S) + 6P(x - S) = (x - S)(x + Sx - 2S + 6P) = (x – a – b)[x2 + (a + b)x – 2(a + b)2 + 6ab] = (x – a – b)[x2 + (a + b)x – 2(a2 Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö : a) x3 + 4x2 – 29x + 24 ; b) x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + ; c) (x2 – x + 2)2 + (x – 2)2 ; d) 6x5 + 15x4 + 20x3 + 15x2 + 6x + ; Lop8.net (8) eBook.here.vn - Onbai.org Tải eBook, ðề thi, Tài liệu học tập miễn phí e) x + 3x + 4x + 4x + 4x + 3x + f) x8 + x4 + 1; g) x10 + x5 + ; h) x12 + ; i) (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3 ; k) (x + y + z)5 – x5 – y5 – z5 Chuyên đề: Xác định đa thức * §Þnh lÝ Beout (BªZu) vµ øng dông: 1) §Þnh lÝ BªZu: D− phÐp chia ®a thøc f(x) cho nhÞ thøc x - a b»ng f(a) (gi¸ trÞ cña f(x) t¹i x = a): f ( x) = ( x − a)q( x) + f (a) (Beout, 1730 - 1783, nhµ to¸n häc Ph¸p) HÖ qu¶: NÕu a lµ nghiÖm cña ®a thõc f(x) th× f(x) chia hÕt cho x - a áp dụng: Định lí BêZu có thể dùng để phân tích đa thức thành nhân tử Thực nh− sau: B−ớc 1: Chọn giá trị x = a nào đó và thử xem x = a có phải là nghiệm f(x) kh«ng B−ớc 2: Nếu f(a) = 0, theo định lí BêZu ta có: f ( x) = ( x − a) p( x) §Ó t×m p(x) thùc hiÖn phÐp chia f(x) cho x - a B−ớc 3: Tiếp tục phân tích p(x) thành nhân tử còn phân tích đ−ợc Sau đó viÕt kÕt qu¶ cuèi cïng cho hîp lÝ Dạng 1: Tìm đa thức th−ơng ph−ơng pháp đồng hệ số(ph−ơng pháp hệ số bất định), ph−ơng pháp giá trị riêng , thực phép chia đa thức *Ph−ơng pháp1: Ta dựa vào mệnh đề sau đây : NÕu hai ®a thøc P(x) vµ Q(x) b»ng nhau: P(x) = Q(x) th× c¸c h¹ng tö cïng bËc ë hai ®a thøc ph¶i cã hÖ sè ph¶i cã hÖ sè b»ng VÝ dô: P( x) = ax + 2bx − ; Q ( x) = x − x − p NÕu P(x) = Q(x) th× ta cã: a = 1(hÖ sè cña lòy thõa 2) 2b = - (hÖ sè cña lòy thõa bËc 1) - = - p (hÖ sè h¹ng tö bËc kh«ng hay h¹ng tö tù do) *Ph−¬ng ph¸p2: Cho hai ®a thøc P(x) vµ Q(x) tháa m`n deg P(x) > deg Q(x) Gäi th−¬ng vµ d− phÐp chia P(x) cho Q(x) lÇn l−ît lµ M(x) vµ N(x) Khi đó ta có: P( x ) = Q( x).M ( x) + N ( x) (Trong đó: deg N(x) < deg Q(x)) (I) Vì đẳng thức (I) đúng với x nên ta cho x lấy giá trị bất kì : x = α ( α là số) Sau đó ta giải ph−ơng trình hệ ph−ơng trình để tìm các hệ số cña c¸c h¹ng tö c¸c ®a thøc ( §a thøc th−¬ng, ®a thøc chia, ®a thøc bÞ chia, sè d−) VÝ dô: Bµi 1(PhÇn bµi tËp ¸p dông) Gäi th−¬ng cña phÐp chia A(x) cho x + lµ Q(x), ta cã: a x + 3ax − x − 2a = ( x + 1).Q( x ) Lop8.net (9) eBook.here.vn - Onbai.org Tải eBook, ðề thi, Tài liệu học tập miễn phí Vì ñẳng thức ñúng với x nên cho x = -1 ta dược: a = −2 − a + 3a + − 2a = ⇒ −a + a + = ⇒ a=3 Với a = -2 thì A = x − x − x + 4, Q( x) = x − 10 x + Với a = thì A = x + x − x − 6, Q( x) = x − *Ph−¬ng ph¸p 3:Thùc hiÖn phÐp chia ®a thøc (nh− SGK) Bµi tËp ¸p dông Bài 1: Cho ña thức A( x) = a x + 3ax − x − 2a(a ∈ Q) X¸c ñịnh a cho A(x) chia hết cho x + Bµi 2: Ph©n tÝch ®a thøc P( x) = x − x − x − thµnh nh©n tö, biÕt r»ng mét nh©n tö cã d¹ng: x + dx + Bµi 3: Víi gi¸ trÞ nµo cña a vµ b th× ®a thøc : x + ax + x + b chia hÕt cho ®a thøc: x + x + H`y gi¶i bµi to¸n trªn b»ng nhiÒu c¸ch kh¸c Bài 4: Xác định giá trị k để đa thức: f ( x ) = x − x + 21x + x + k chia hết cho đa thức: g ( x) = x − x − Bài 5: Tìm tất các số tự nhiên k ñể cho ña thức: f (k ) = k + 2k + 15 chia hết cho nhị thức: g (k ) = k + Bài 6: Với giá trị nào a và b thì ña thức: f ( x ) = x − 3x + 3x + ax + b chia hết cho ña thức: g ( x) = x − 3x + Bài 7: a) Xác ñịnh các giá trị a, b và c ñể ña thức: P( x) = x + ax + bx + c Chia hết cho ( x − 3)3 b) Xác ñịnh các giá trị a, b ñể ña thức: Q ( x) = x − x + ax + 3x + chia hết cho ña thức M ( x) = x − x + b c) Xác ñịnh a, b ñể P( x) = x + x − x + a chia hết cho M ( x) = x + x + b Bài 8: Hãy xác ñịnh các số a, b, c ñể có ñẳng thức: x − ax + bx − c = ( x − a )( x − b )( x − c ) (ðể học tốt ðại số 8) Bài 9: Xác ñịnh số a cho: a) 10 x − x + a chia hết cho x − b) x + ax + chia cho x − dư c) ax + x − chia hết cho x − Bài 10: Xác ñịnh các số a và b cho: a) x + ax + b chia hết cho x − x + b) ax + bx + x − 50 chia hết cho x + 3x + 10 c) ax + bx + chia hết cho ( x − 1) d) x + chia hết cho x + ax + b Bài 11: Tìm các hăng số a và b cho x + ax + b chia cho x + thì dư 7, chia cho x − thì dư -5 Bài 12: Tìm các số a, b, c cho ax + bx + c chia hết cho x + , chia cho x − thì dư x + (Một số vấn ñề phát triển ðại số 8) Lop8.net (10) eBook.here.vn - Onbai.org Tải eBook, ðề thi, Tài liệu học tập miễn phí Bài 13: Cho ña thức: P( x) = x + x − x + ax + b và Q ( x) = x + x − Xác ñịnh a, b ñể P(x) chia hết cho Q(x) Bài 14: Xác ñịnh a và b cho ña thức P( x) = ax + bx + chia hết cho ña thức Q ( x) = ( x − 1) Bài 15: Cho các ña thức P( x) = x − x + ax + x + và Q ( x) = x − x + b Xác ñịnh a và b ñể P(x) chia hết cho Q(x) (23 chuyên ñề toán sơ cấp) Dạng 2: Phương pháp nội suy NiuTơn Phương pháp: ðể tìm ña thức P(x) bậc không quá n biết giá trị ña thức n + ñiểm C1 , C , C , L , C n +1 ta có thể biểu diễn P(x) dạng: P ( x) = b0 + b1 ( x − C1 ) + b2 ( x − C1 )( x − C ) + L + bn ( x − C1 )( x − C ) L ( x − C n ) Bằng cách thay x các giá trị C1 , C , C3 , L, C n +1 vào biểu thức P(x) ta tính ñược các hệ số b0 , b1 , b2 , L, bn Bµi tËp ¸p dông Bài 1: Tìm ña thức bậc hai P(x), biết: P(0) = 25, P(1) = 7, P(2) = −9 Giải ðặt P( x) = b0 + b1 x + b2 x( x − 1) (1) b0 = 25 Thay x lần lượy 0; 1; vào (1) ta ñược: = 25 + b1 ⇔ b1 = −18 − = 25 − 18.2 + b2 2.1 ⇔ b2 = Vậy, ña thức cần tìm có dạng: P ( x) = 25 − 18 x + x( x − 1) ⇔ P ( x) = x − 19 x + 25 Bài 2: Tìm ña thức bậc P(x), biết: P(0) = 10, P (1) = 12, P (2) = 4, P(3) = Hướng dẫn: ðặt P( x) = b0 + b1 x + b2 x( x − 1) + b3 x ( x − 1)( x − 2) (1) Bài 3: Tìm ña thức bậc ba P(x), biết chia P(x) cho ( x − 1), ( x − 2), ( x − 3) ñều ñược dư và P(-1) = - 18 Hướng dẫn: ðặt P( x) = b0 + b1 ( x − 1) + b2 ( x − 1)( x − 2) + b3 ( x − 1)( x − 2)( x − 3) (1) Bài 4: Cho ña thức bậc bốn P(x), thỏa mãn: P ( −1) = P ( x) − P ( x − 1) = x( x + 1)( x + 1), (1) a) Xác ñịnh P(x) b) Suy giá trị tổng S = 1.2.3 + 2.3.5 + K + n(n + 1)(2n + 1), (n ∈ N * ) Hướng dẫn: Thay x 0; 1; 2; vào (1), ta ñược : P(−1) − P(−2) = ⇔ P(−2) = 0, P(0) − P(−1) = ⇔ P(0) = P(1) − P(0) = 1.2.3 ⇔ P (1) = P(2) − P (1) = 2.3.5 ⇔ P(2) = 36 ðặt P( x) = b0 + b1 ( x + 1) + b2 ( x + 1) x + b3 ( x + 1) x( x − 1) + b4 ( x + 1) x( x − 1)( x − 2) (2) Thay x -1; 0; 1; 2; -2 vào (2) ta ñược: 10 Lop8.net (11) eBook.here.vn - Onbai.org Tải eBook, ðề thi, Tài liệu học tập miễn phí = b0 = b1 ⇔ b1 = 0, = b2 2.1 ⇔ b2 = 3, 36 = 3.3.2 + b3 3.2.1 ⇔ b3 = = 3.(−1)(−2) + 3.(−1)(−2)(−3) + b4 (−1)(−2)(−3)(−4) ⇔ b4 = Vậy, ña thức cần tìm có dạng: 1 P( x) = 3( x + 1) x + 3( x + 1) x( x − 1) + ( x + 1) x( x − 1)( x − 2) = x( x + 1) ( x + 2) 2 (Tuyển chọn bài thi HSG Toán THCS) Bài 5: cho ña thức P( x) = ax + bx + c, (a, b, c ≠ 0) Cho biết 2a + 3b + 6c = 1) Tính a, b, c theo P(0), P , P(1) 2 2) Chứng minh rằng: P(0), P , P(1) không thể cùng âm cùng dương 2 P(0) = 19 Bài 6: Tìm ña thức bậc hai, cho biết: P(1) = 85 P(2) = 1985 Chuyên đề: Biển Biển đổi phân thức hữu tỉ VÝ dô a) Chøng minh r»ng ph©n sè 3n + lµ ph©n sè tèi gi¶n ∀n∈N ; 5n + n2 + (n∈N) Cã bao nhiªu sè tù nhiªn n nhá h¬n 2009 n+ cho phân số A ch−a tối giản Tính tổng tất các số tự nhiên đó Lêi gi¶i a) §Æt d = ¦CLN(5n + ; 3n + 1) ⇒ 3(5n + 2) – 5(3n + 1) Μ d hay Μ d ⇒ d = 3n + VËy ph©n sè lµ ph©n sè tèi gi¶n 5n + 29 29 §Ó A ch−a tèi gi¶n th× ph©n sè ph¶i ch−a tèi b) Ta cã A = n - + n+ n+ gi¶n Suy n + ph¶i chia hÕt cho mét c¸c −íc d−¬ng lín h¬n cña 29 V× 29 lµ sè nguyªn tè nªn ta cã n + Μ 29 ⇒ n + =29k (k ∈ N) hay n=29k – Theo điều kiện đề bài thì ≤ n = 29k – < 2009 ⇒ ≤ k ≤ 69 hay k∈{1; 2;…; 69} b) Cho ph©n sè A = 11 Lop8.net (12) eBook.here.vn - Onbai.org Tải eBook, ðề thi, Tài liệu học tập miễn phí Vậy có 69 số tự nhiên n thỏa m`n điều kiện đề bài Tæng cña c¸c sè nµy lµ : 29(1 + + … + 69) – 5.69 = 69690 1 1 + + = a b c a+ b+ c Chứng minh ba số a, b, c có hai số đối Từ đó suy : 1 1 + 2009 + 2009 = 2009 2009 2009 a b c a + b + c2009 Lêi gi¶i 1 1 1 1 Ta cã : + + = ⇔ + + =0 a b c a+ b+ c a b c a+ b+ c a+ b a+ b c(a + b + c) + ab ⇔ + = ⇔ (a + b) =0 ab c(a + b + c) abc(a + b + c) éa + b = éa = - b ê ê ⇔ (a + b)(b + c)(c + a) = ⇔ êb + c = ⇔ êb = - c ⇒ ®pcm ê ê êc + a = êc = - a ë ë 1 1 1 Từ đó suy : 2009 + 2009 + 2009 = 2009 + + 2009 = 2009 2009 a b c a (- c) c a 1 = 2009 = 2009 2009 2009 2009 2009 2009 a +b +c a + (- c) + c a 1 1 ⇒ 2009 + 2009 + 2009 = 2009 2009 a b c a + b + c2009 VÝ dô §¬n gi¶n biÓu thøc : ö ö ö æ æ æ çç + ÷ çç + ÷ çç1 + ÷ A= + + ÷ ÷ ÷ ÷ (a + b)4 çèa b ø ÷ (a + b)5 çèa b ø ÷ ça b ø (a + b)3 è Lêi gi¶i §Æt S = a + b vµ P = ab Suy : a + b2 = (a + b)2 – 2ab = S - 2P a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b) = S - 3SP 1 a+ b S 1 a + b S - 2P ; = ; 2+ 2= = Do đó : + = a b ab P a b a2b2 P2 1 a + b S - 3SP + = = a b3 a 3b3 P3 S - 3SP S - 2P S + + Ta cã : A = S P3 S P2 S P = S - 3P 3(S - 2P) (S - 3S P) + (3S P - 6P ) + 6P S4 + + = = S P3 S4P2 S4P S4P3 S 4P3 1 Hay A = = 3 P ab VÝ dô Cho a, b, c ≠ vµ a + b + c ≠ tháa m`n ®iÒu kiÖn 12 Lop8.net (13) eBook.here.vn - Onbai.org Tải eBook, ðề thi, Tài liệu học tập miễn phí VÝ dô Cho a, b, c lµ ba sè ph©n biÖt Chøng minh r»ng gi¸ trÞ cña biÓu thøc sau kh«ng phô thuéc vµo gi¸ trÞ cña x : (x - a)(x - b) (x - b)(x - c) (x - c)(x - a) S(x) = + + (c - a)(c - b) (a - b)(a - c) (b - c)(b - a) Lêi gi¶i C¸ch x - (a + b)x + ab x - (b + c)x + bc x - (c + a)x + ca = Ax2 – Bx + S(x) = + + (c - a)(c - b) (a - b)(a - c) (b - c)(b - a) C 1 + + ; víi : A = (c - a)(c - b) (a - b)(a - c) (b - c)(b - a) a+ b b+ c c+ a ; B= + + (c - a)(c - b) (a - b)(a - c) (b - c)(b - a) ab bc ca + + C= (c - a)(c - b) (a - b)(a - c) (b - c)(b - a) b- a + c- b + a- c Ta cã : A = = 0; (a - b)(b - c)(c - a) (a + b)(b - a) + (b + c)(c - b) + (c + a)(a - c) b - a + c2 - a + a - c2 B= = =0 (a - b)(b - c)(c - a) (a - b)(b - c)(c - a) ; ab(b - a) + bc(c - b) + ca(a - c) ab(b - a) + bc[(c - a) + (a - b)] + ca(a - c) = (a - b)(b - c)(c - a) (a - b)(b - c)(c - a) (a - b)(bc - ab) + (c - a)(bc - ca) (a - b)(b - c)(c - a) = = = (a - b)(b - c)(c - a) (a - b)(b - c)(c - a) VËy S(x) = 1∀x (®pcm) C¸ch Đặt P(x) = S(x) – thì đa thức P(x) là đa thức có bậc không v−ợt quá Do đó, P(x) chØ cã tèi ®a hai nghiÖm NhËn xÐt : P(a) = P(b) = P(c) = ⇒ a, b, c lµ ba nghiÖm ph©n biÖt cña P(x) §iÒu nµy chØ x¶y vµ chØ P(x) lµ ®a thøc kh«ng, tøc lµ P(x) = ∀x Suy S(x) = ∀x ⇒ ®pcm VÝ dô Cho x + = TÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau : x 1 1 a) A = x + ; b) B = x + ; c) C = x + ; d) D = x + x x x x Lêi gi¶i æ 1ö ÷ ç a) A = x + = çx + ÷ ÷ - 2= 9- = ; çè x xø C= 13 Lop8.net (14) eBook.here.vn - Onbai.org Tải eBook, ðề thi, Tài liệu học tập miễn phí æ 1ö æ 1ö ççx + ÷ b) B = x + = ççx + ÷ ÷ ÷ ÷ ÷= 27 - = 18 ; ç çè è x xø xø æ 1ö ÷ ç c) C = x + = çx + ÷ ÷ - = 49 - = 47 ; çè x x ø æ öæ ÷ççx + ö ÷= x + + x + = D + ⇒ D = 7.18 – = 123 d) A.B = ççx + ÷ ÷ ÷çè ÷ ç è x ø x ø x x5 ax + b c = + (x + 1)(x - 1) x + x - Lêi gi¶i Ví dụ Xác định các số a, b, c cho : Ta cã : ax + b c (ax + b)(x - 1) + c(x + 1) (a + c)x + (b - a)x + (c - b) + = = x2 + x - (x + 1)(x - 1) (x + 1)(x - 1) §ång nhÊt ph©n thøc trªn víi ph©n thøc , ta ®−îc : (x + 1)(x - 1) ìï a + c = ìï a = - ï ï - x- 1 ïí b - a = Û ïí b = - VËy = + ïï ïï (x + 1)(x - 1) x + x - ïîï c - b = ïîï c = Chuyên đề: Giải ph−ơng trình I/Phương trình ax+b=0 (1) và phương trình ñưa dạng (1) *Cách giải: (Biến ñổi và ñưa hết vế sau ñó rút gọn thành dạng ax+b=0) TH1:a=0 b ≠ thì phương trình (1)vô nghiệm b=0 thì phương trình (1) vô số nghiệm TH2:a ≠ thì phương trình (1) có nghiệm x= −b a 14 Lop8.net (15) eBook.here.vn - Onbai.org Tải eBook, ðề thi, Tài liệu học tập miễn phí *Ví dụ: a)3x+1=7x-11 b1: 3x+1-7x+11=0 (biến ñổi và chuyển vế) b2: -4x+12=0 (rút gọn dạng ax+b=0) b3: x= −12 =3 −4 b)1,2-(x-0,8)= -2(0,9+x) ⇔ 1,2-x+0,8+1,8+2x=0 ⇔ x+3,8=0 ⇔ x= -3,8 *Các bài tập tương tự: a)7x+21=0 c)5x-2=0 e)0.25x+1,5=0 g) x − = b)12-6x=0 d)-2x+14=0 f)6,36-5,3x=0 h) i)11-2x=x-1 l)2(x+1)=3+2x n)2,3x-2(0,7+2x)=3,6-1,7x −5 x + = x − 10 k)5-3x=6x+7 m)2(1-1,5x)+3x=0 o)3,6-0,5(2x+1)=x-0,25(2-4x) x −3 − 2x = 6− 3x − − 2( x + 7) w) −5 = 5( x − 1) + x − 2(2 x + 1) y) − = −5 p)3(2,2-03x)=2,6+(0,1x-4) q) 13 v) x + = − + x 5 5 7x 20 x + 1,5 s) − 5( x − 9) = II/Phương trình tích: A = B = *Cách giải: Pt:A.B=0 ⇒ (A=0 (1) B=0 (2) ) Ta có pt (1),(2) là phương trình bậc cách giải tương tự phần trên (Chú ý các phương trình chưa có dạng A.B=0 ta ñưa dạng A.B=0 cách phân tích thành nhân tử ) *Ví dụ: a)(4x-10)(24+5x)=0 x − 10 = (1) ⇔ 24 + x = (2) 10 Từ (1) x= = (2) ⇒ x= −24 Vậy phương trình có nghiệm x= 10 −24 = x= b)(x-1)(5x+3)=(3x-8)(x-1) 15 Lop8.net (16) eBook.here.vn - Onbai.org Tải eBook, ðề thi, Tài liệu học tập miễn phí ⇔ (x-1)(5x+3)-(3x-8)(x-1)=0 ⇔ (x-1)(2x+11)=0 ⇔ x =1 x −1 = ⇔ x + 11 = ⇔ x = −11 *Các bài tập tương tự: a)(3,5-7x)(0,1x+2,3)=0 x + 2(1 − x) + =0 2( x + 3) x − − =0 b)(3x-2) c)(3,3-11x) d) ( − x 5)(2 x + 1) = e) (2 x − )( x 10 + 3) = g)3x(25x+15)-35(5x+3)=0 i)(2x2+1)(4x-3)=(2x2+1)(x-12) l)(x+2)(3-4x)=x2+4x+4 n)x3+1=x(x+1) p)x3+x2+x+1=0 r)4x2-12x+5=0 t)2x2+5x+3=0 f) (2 − 3x 5)(2,5 x + 2) = h)(2-3x)(x+11)=(3x-2)(2-5x) k)(2x-1)2+(2-x)(2x-1)=0 m)(x-1)(x2+5x-2)-(x2-1)=0 0)x2+(x=2) (11x-7)=4 q)x2-3x+2=0 s)-x2+5x-6=0 y) ( x − ) + 3( x − 2) = 16 Lop8.net (17)