Chuyên đề: Phân tích đa thức thành nhân tử I- Phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử khác: Bµi 1: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö.. GV: Trần Anh Tuấn Lop8.net..[r]
(1)Chuyên đề BDHSG lớp Chuyên đề : Đa thức Bài 1: Tính giá trị biểu thức: a A = x 17 x 17 x 17 x 20 taïi x = 16 b B = x 15 x 16 x 29 x 13 x taïi x = 14 c C = x14 10 x13 10 x12 10 x11 10 x 10 x 10 taïi x = d D = x15 x14 x13 x12 x x taïi x = Bài 2: Tính giá trị biểu thức: 1 650 4 315 651 105 651 315.651 105 546 b N = 547 211 547 211 547.211 a M = Bài 3: Tính giá trị biểu thức: a A = x x y y x y với x = 2; y b M.N với x Biết rằng:M = 2 x x ; N = x x Bài 4: Tính giá trị đa thức, biết x = y + 5: a x x y y xy 65 b x y y x 75 Bài 5: Tính giá trị đa thức: x 1 y y xy 1 x y bieát x+ y = -p, xy = q Bài 6: Chứng minh đẳng thức: a x a x b x b x c x c x a ab bc ca x ; bieát raèng 2x =a+b+c b 2bc b2 c2 a2 p p a ; bieát raèng a + b + c = 2p Baøi 7: a Số a gồm 31 chữ số 1, số b gồm 38 chữ số Chứng minh ab – chia heát cho b Cho số tự nhiên a và b đó số a gồm 52 số 1, số b gồm 104 số Hoûi tích ab coù chia heát cho khoâng? Vì sao? Bài 8: Cho a + b + c = Chứng minh M = N = P với: M a a b a c ; N b b c b a ; P c c a c b Bài 9: Cho biểu thức: M = x a x b x b x c x c x a x 2 Tính M theo a, b, c, bieát raèng x a b c Bài 10: Cho các biểu thức: A = 15x – 23y ; B = 2x + 3y Chứng minh raèng neáu x, y laø caùc soá nguyeân vaø A chia heát cho 13 thì B chia heát cho 13 Ngược lại B chia hết cho 13 thì A chia hết cho 13 Bài 11: Cho các biểu thức: A = 5x + 2y ; B = 9x + 7y a Rút gọn biểu thức 7A – 2B GV: Trần Anh Tuấn Lop8.net (2) Chuyên đề BDHSG lớp b Chứng minh rằng: Nếu các số nguyên x, y thỏa mãn 5x + 2y chia heát cho 17 thì 9x + 7y cuõng chia heát cho 17 Bài 12: Chứng minh rằng: a 817 279 913 chia heát cho 405 b 122 n 1 11n 2 chia heát cho 133 Baøi 13: Cho daõy soá 1, 3, , 10, 15,…, n n 1 ,… Chứng minh tổng hai số hạng liên tiếp dãy là soá chính phöông Chuyên đề: Biển đổi biểu thức nguyên I Một số đẳng thức (a b)2 = a2 2ab + b2 ; (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca ; (a1 + a + + a n )2 = = a12 a 22 a 2n 2(a1a a1a a1a n a a a a n a n 1a n ) ; (a b)3 = a3 3a2b + 3ab2 b3 = a3 b3 3ab(a b); (a b)4 = a4 4a3b + 6a2b2 4ab3 + b4 ; a2 – b2 = (a – b)(a + b) ; a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) ; an – bn = (a – b)(an – + an – 2b + an – 3b2 + … + abn – + bn – 1) ; a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2) a5 + b5 = (a + b)(a4 – a3b + a2b2 – ab3 + b5) ; a2k + + b2k + = (a + b)(a2k – a2k – 1b + a2k – 2b2 – … + a2b2k – – ab2k – + b2k) ; II B¶ng c¸c hÖ sè khai triÓn (a + b)n – Tam gi¸c Pascal §Ønh Dßng (n = 1) 1 Dßng (n = 2) Dßng (n = 3) 3 Dßng (n = 4) Dßng (n = 5) 10 10 Trong tam gi¸c nµy, hai c¹nh bªn gåm c¸c sè ; dßng k + ®îc thµnh lËp tõ dßng k (k ≥ 1), ch¼ng h¹n ë dßng ta cã = + 1, ë dßng ta cã = + 1, = + 2, ë dßng ta cã = + 3, = + 3, = + 1, …Khai triÓn (x + y)n thµnh tæng th× c¸c hÖ sè cña c¸c h¹ng tö lµ c¸c sè dßng thø n cña bảng trên Người ta gọi bảng trên là tam giác Pascal, nó thường sử dụng n kh«ng qu¸ lín Ch¼ng h¹n, víi n = th× : (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 vµ víi n = th× : (a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 10ab4 + b5 GV: Trần Anh Tuấn Lop8.net (3) Chuyên đề BDHSG lớp II C¸c vÝ dô VÝ dô §¬n gi¶n biÓu thøc sau : A = (x + y + z)3 – (x + y – z)3 – (y + z – x)3 – (z + x – y)3 Lêi gi¶i A = [(x + y) + z]3 – [(x + y) – z]3 – [z – (x – y)]3 – [z + (x – y)]3 = [(x + y)3 + 3(x + y)2z + 3(x + y)z2 + z3] – [(x + y)3 – 3(x + y)2z + 3(x + y)z2 – z3] – [z3 – 3z2(x – y) + 3z(x – y)2 – (x – y)3] – [z3 + 3z2(x – y) + 3z(x – y)2 + (x – y)3] = 6(x + y)2z – 6z(x – y)2 = 24xyz VÝ dô Cho x + y = a, xy = b (a2 ≥ 4b) TÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau : a) x2 + y2 ; b) x3 + y3 ; c) x4 + y4 ; d) x5 + y5 Lêi gi¶i a) b) c) d) x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy = a2 – 2b x3 + y3 = (x + y)3 – 3xy(x + y) = a3 – 3ab x4 + y4 = (x2 + y2)2 – 2x2y2 = (a2 – 2b)2 – 2b2 = a4 – 4a2b + 2b2 (x2 + y2)(x3 + y3) = x5 + x2y3 + x3y2 + y5 = (x5 + y5) + x2y2(x + y) Hay : (a2 – 2b)(a3 – 3ab) = (x5 + y5) + ab2 x5 + y5 = a5 – 5a3b + 5ab2 Chó ý : a6 + b6 = (a2)3 + (b2)3 = (a3)2 + (b3)2 a7 + b7 = (a3 + b3)(a4 + b4) – a3b3(a + b) = (a2 + b2)(a5 + b5) – a2b2(a3 + b3) Ví dụ Chứng minh các đẳng thức : a) a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca) ; b) (a + b + c)3 – a3 – b3 – c3 = 3(a + b)(b + c)(c + a) Lêi gi¶i a) a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b)3 + c3 – 3abc – 3a2b – 3ab2 = (a + b + c)[(a + b)2 – (a + b)c + c2] – 3ab(a + b + c) = (a + b + c) [(a + b)2 – (a + b)c + c2 – 3ab] = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca) b) (a + b + c)3 – a3 – b3 – c3 = [(a + b + c)3 – a3] – (b3 + c3) = (b + c)[(a + b + c)2 + (a + b + c)a + a2] – (b + c)(b2 – bc + c2) = (b + c)(3a2 + 3ab + 3bc + 3ca) = 3(b + c)[a(a + b) + c(a + b)] = 3(a + b)(b + c)(c + a) VÝ dô Cho x + y + z = Chøng minh r»ng : 2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2) Lêi gi¶i V× x + y + z = nªn x + y = –z (x + y)3 = –z3 Hay x3 + y3 + 3xy(x + y) = –z3 3xyz = x3 + y3 + z3 Do đó : 3xyz(x2 + y2 + z2) = (x3 + y3 + z3)(x2 + y2 + z2) = x5 + y5 + z5 + x3(y2 + z2) + y3(z2 + x2) + z3(x2 + y2) Mà x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy = z2 – 2xy (vì x + y = –z) Tương tự : y2 + z2 = x2 – 2yz ; z2 + x2 = y2 – 2zx V× vËy : 3xyz(x2 + y2 + z2) = x5 + y5 + z5 + x3(x2 – 2yz) + y3(y2 – 2zx) + z (z3 – 2xy) = 2(x5 + y5 + z5) – 2xyz(x2 + y2 + z2) Suy : 2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2) (®pcm) GV: Trần Anh Tuấn Lop8.net (4) Chuyên đề BDHSG lớp Bµi tËp: Cho a + b + c = vµ a2 + b2 + c2 = 14 TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc : A = a4 + b4 + c4 Cho x + y + z = vµ xy + yz + zx = TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc : B = (x – 1)2007 + y2008 + (z + 1)2009 Cho a2 – b2 = 4c2 Chøng minh r»ng : (5a – 3b + 8c)(5a – 3b – 8c) = (3a – 5b)2 Chøng minh r»ng nÕu: (x – y)2 + (y – z)2 + (z – x)2 = (x + y – 2z)2 + (y + z – 2x)2 + (z + x – 2y)2 th× x = y = z a) Chøng minh r»ng nÕu (a2 + b2)(x2 + y2) = (ax + by)2 vµ x, y kh¸c th× a b = x y b) Chøng minh r»ng nÕu (a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2) = (ax + by + cz)2 a b c vµ x, y, z kh¸c th× = = x y z Cho x + y + z = Chøng minh r»ng : a) 5(x3 + y3 + z3)(x2 + y2 + z2) = 6(x5 + y5 + z5) ; b) x7 + y7 + z7 = 7xyz(x2y2 + y2z2 + z2x2) ; c) 10(x7 + y7 + z7) = 7(x2 + y2 + z2)(x5 + y5 + z5) Chứng minh các đằng thức sau : a) (a + b + c)2 + a2 + b2 + c2 = (a + b)2 + (b + c)2 + (c + a)2 ; b) x4 + y4 + (x + y)4 = 2(x2 + xy + y2)2 Cho c¸c sè a, b, c, d tháa m·n a2 + b2 + (a + b)2 = c2 + d2 + (c + d)2 Chøng minh r»ng : a4 + b4 + (a + b)4 = c4 + d4 + (c + d)4 10 Cho a2 + b2 + c2 = a3 + b3 + c3 = TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc : C = a2 + b9 + c1945 11 Hai số a, b thỏa mãn các hệ thức sau : a3 – 3a2 + 5a – 17 = vµ b3 – 3b2 + 5b + 11 = H·y tÝnh : D = a + b 12 Cho a3 – 3ab2 = 19 vµ b3 – 3a2b = 98 H·y tÝnh : E = a2 + b2 13 Cho x + y = a + b vµ x2 + y2 = a2 + b2 TÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau : a) x3 + y3 ; b) x4 + y4 ; c) x5 + y5 ; d) x6 + y6 ; e) x7 + y7 ; f) x8 + y8 ; g) x2008 + y2008 GV: Trần Anh Tuấn Lop8.net (5) Chuyên đề BDHSG lớp Chuyên đề: Phân tích đa thức thành nhân tử I- Phương pháp tách hạng tử thành nhiều hạng tử khác: Bµi 1: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö a, x x d, x 13 x 36 b, 3x x e, x x 18 c, x x f, x x 24 g , 3x 16 x h, 8x 30 x i, 2x x 12 k, 6x x 20 Bµi 2: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö: 1, x x x 2, x x 3, x x x 4, x x 5, x x x 16 6, 4x 13 x x 18 7, x x x 8, x x x 9, 6x x 486 x 81 10, x x 11, x x 12, x x x 13, x x 17 x 10 14, x x x 15, x x 16, 2x 12 x 17 x 17, x x 18, x x x 19, x x 26 x 24 20, 2x x x 21, 3x 14 x x 22, x x x x (Đa thức đã cho có nhiệm nguyên nghiệm hữu tỉ) II- Phương pháp thêm và bớt cùng hạng tử 1) Dạng 1: Thêm bớt cùng hạng tử làm xuất đẳng thức hiệu hai bình phương: A2 – B2 = (A – B)(A + B) Bµi 1: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö: 1, (1 x ) x(1 x ) 2, x 36 3, x 4, x 64 5, 64x 6, 81x 7, 4x 81 8, 64x y 9, x y 10, x x 1 GV: Trần Anh Tuấn Lop8.net (6) Chuyên đề BDHSG lớp 2) D¹ng 2: Thªm bít cïng mét h¹ng tö lµm xuÊt hiÖn thõa sè chung Bµi 1: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö: 1, x x 2, x x5 3, x5 x 4, x5 x 5, x8 x 6, x5 x 7, x5 x 8, x10 x5 III- Phương pháp đổi biến Bµi 1:Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö 1, x( x 4)( x 6)( x 10) 128 2, (x 1)( x 2)( x 3)( x 4) 24 3, ( x x 8) 3x( x x 8) x 4, ( x x) x x 12 5, x xy y x y 15 6, (x a)( x 2a)( x 3a)( x 4a) a 7, x 11x 8, ( x x) 3( x x) 9, x xy y 3x y 10 10, ( x x) x 18 x 20 11, x xy y x y 35 12, (x 2)( x 4)( x 6)( x 8) 16 Bµi 2: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö 1, x x x x 2, ( x y z )( x y z ) ( xy yz zx) IV- Phương pháp xét giá trị riêng Phương pháp: Trước hết ta xác định dạng các thừa số chứa biến đa thức, gán cho các biến các giá trị cụ thể để xác định thừa số còn lại VÝ dô: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö: a, P = x ( y z ) y ( z x ) z ( x y ) b, Q =a(b c a)2 b(c a b)2 c(a b c)2 (a b c) (b c a)(c a b) Gi¶i a, Gi¶ sö thay x bëi y th× P = y ( y z ) y ( z y ) Nh vËy P chøa thõa sè x – y Ta lại thấy thay x y, thay y z, thay z x thì P không đổi(ta nói đa thức P có thể hoán vị vòng quanh các biến x, y, z) Do đó P đã chúa thïa sè x – y th× còng chóa thõa sè y – z, z – x VËy P ph¶i cã d¹ng P = k(x – y)(y – z)(z – x).Ta thÊy k ph¶i lµ h»ng sè(kh«ng chóa biÕn) v× P có bậc tập hợp các biến x, y, z còn tích (x – y)(y – z)(z – x) có bậc ba tập hợp các biến x, y, z Vì đẳng thức GV: Trần Anh Tuấn Lop8.net (7) Chuyên đề BDHSG lớp x ( y z ) y ( z x) z ( x y ) k ( x y )( y z )( z x) đúng với x, y, z nên ta gán cho các biến x, y, z các giá trị riêng, chẳng hạn x = 2, y = 1, z = ta ®îc k = -1 VËy P =- (x – y)(y – z)(z – x) = (x – y)(y – z)(x - z) C¸c bµi to¸n Bµi 1: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö: M a (b c a ) b(c a b) c(a b c) (a b c)(b c a )(c a b) N a (m a ) b(m b) c(m c) abc , víi 2m = a+ b + c Bài 2: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö: a ) A (a b c)(ab bc ca ) abc b) B a (a 2b)3 b(2a b)3 c)C ab(a b) bc(b c) ac(a c) d ) D (a b)(a b ) (b c)(b c ) (c a )(c a ) e) E a (c b ) b3 (a c ) c (b a ) abc(abc 1) f ) f a (b c)3 b(c a )3 c(a b)3 g )G a 2b (a b) b c (b c) a c (c a ) h) H a (b c) b (c a ) c (a b) V-Phưong pháp hệ số bất định Bài 1: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö: a ) A x x 12 x 14 x b) B x x x x c)C x 22 xy 11x 37 y y 10 d ) D x x 14 x x e) E x x 63 Bµi tËp: VÝ dô Ph©n tÝch biÓu thøc sau thµnh nh©n tö : A = x3 – 3(a2 + b2)x + 2(a3 + b3) Lêi gi¶i §Æt S = a + b vµ P = ab, th× a2 + b2 = S - 2P ; a3 + b3 = S - 3SP V× vËy : A = x3 – 3( S - 2P )x + 2( S - 3SP ) = (x - S ) - (3S x - 3S ) + (6Px - 6SP) = (x - S)(x + Sx + S ) - 3S (x - S) + 6P(x - S) = (x - S)(x + Sx - 2S + 6P) = (x – a – b)[x2 + (a + b)x – 2(a + b)2 + 6ab] GV: Trần Anh Tuấn Lop8.net (8) Chuyên đề BDHSG lớp = (x – a – b)[x2 + (a + b)x – 2(a2 Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö : a) x3 + 4x2 – 29x + 24 ; b) x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + ; c) (x2 – x + 2)2 + (x – 2)2 ; d) 6x5 + 15x4 + 20x3 + 15x2 + 6x + ; e) x6 + 3x5 + 4x4 + 4x3 + 4x2 + 3x + f) x8 + x4 + 1; g) x10 + x5 + ; h) x12 + ; i) (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3 ; k) (x + y + z)5 – x5 – y5 – z5 Chuyên đề: Xác định đa thức * §Þnh lÝ Beout (BªZu) vµ øng dông: 1) §Þnh lÝ BªZu: D phÐp chia ®a thøc f(x) cho nhÞ thøc x - a b»ng f(a) (gi¸ trÞ cña f(x) t¹i x = a): f ( x) ( x a)q( x) f (a) (Beout, 1730 - 1783, nhµ to¸n häc Ph¸p) HÖ qu¶: NÕu a lµ nghiÖm cña ®a thõc f(x) th× f(x) chia hÕt cho x - a áp dụng: Định lí BêZu có thể dùng để phân tích đa thức thành nhân tử Thùc hiÖn nh sau: Bước 1: Chọn giá trị x = a nào đó và thử xem x = a có phải là nghiÖm cña f(x) kh«ng Bước 2: Nếu f(a) = 0, theo định lí BêZu ta có: f ( x) ( x a) p( x) §Ó t×m p(x) thùc hiÖn phÐp chia f(x) cho x - a Bước 3: Tiếp tục phân tích p(x) thành nhân tử còn phân tích Sau đó viết kết cuối cùng cho hợp lí Dạng 1: Tìm đa thức thương phương pháp đồng hệ số(phương pháp hệ số bất định), phương pháp giá trị riêng , thực phép chia đa thức *Phương pháp1: Ta dựa vào mệnh đề sau đây : NÕu hai ®a thøc P(x) vµ Q(x) b»ng nhau: P(x) = Q(x) th× c¸c h¹ng tö cïng bËc ë hai ®a thøc ph¶i cã hÖ sè ph¶i cã hÖ sè b»ng VÝ dô: P( x) ax 2bx ; Q( x) x x p NÕu P(x) = Q(x) th× ta cã: a = 1(hÖ sè cña lòy thõa 2) 2b = - (hÖ sè cña lòy thõa bËc 1) - = - p (hÖ sè h¹ng tö bËc kh«ng hay h¹ng tö tù do) *Phương pháp2: Cho hai đa thức P(x) và Q(x) thỏa mãn deg P(x) > deg Q(x) Gọi thương và dư phép chia P(x) cho Q(x) là M(x) và N(x) Khi đó ta có: P( x) Q( x).M ( x) N ( x) (Trong đó: deg N(x) < deg Q(x)) (I) Vì đẳng thức (I) đúng với x nên ta cho x lấy giá trị bất kì : x GV: Trần Anh Tuấn Lop8.net (9) Chuyên đề BDHSG lớp ( là số) Sau đó ta giải phương trình hệ phương trình để tìm các hệ số các hạng tử các đa thức ( Đa thức thương, đa thức chia, đa thøc bÞ chia, sè d) VÝ dô: Bµi 1(PhÇn bµi tËp ¸p dông) Gọi thương phép chia A(x) cho x + là Q(x), ta có: a x 3ax x 2a ( x 1).Q( x) Vì đẳng thức đúng với x nên cho x = -1 ta dược: a 2 a 3a 2a a a a3 Với a = -2 thì A x x x 4, Q( x) x 10 x Với a = thì A x x x 6, Q( x) x *Phương pháp 3:Thực phép chia đa thức (như SGK) Bµi tËp ¸p dông Bài 1: Cho đa thức A( x) a x 3ax x 2a(a Q) X¸c định a cho A(x) chia hết cho x + Bµi 2: Ph©n tÝch ®a thøc P( x) x x3 x thµnh nh©n tö, biÕt r»ng mét nh©n tö cã d¹ng: x dx Bµi 3: Víi gi¸ trÞ nµo cña a vµ b th× ®a thøc : x ax x b chia hÕt cho ®a thøc: x x H·y gi¶i bµi to¸n trªn b»ng nhiÒu c¸ch kh¸c Bài 4: Xác định giá trị k để đa thức: f ( x) x x 21x x k chia hết cho ®a thøc: g ( x) x x Bài 5: Tìm tất các số tự nhiên k đa thức: f (k ) k 2k 15 chia hết cho nhị thức: g (k ) k Bài 6: Với giá trị nào a và b thì đa thức: f ( x) x 3x 3x ax b chia hết cho đa thức: g ( x) x 3x Bài 7: a) Xác định các giá trị a, b và c để đa thức: P( x) x ax bx c Chia hết cho ( x 3)3 b) Xác định các giá trị a, b để đa thức: Q( x) x x ax 3x chia hết cho đa thức M ( x) x x b c) Xác định a, b để P( x) x x x a chia hết cho M ( x) x x b Bài 8: Hãy xác định các số a, b, c để có đẳng thức: x ax bx c ( x a )( x b)( x c) (Để học tốt Đại số 8) Bài 9: Xác định số a cho: a) 10 x x a chia hết cho x b) x ax chia cho x dư c) ax x chia hết cho x Bài 10: Xác định các số a và b cho: a) x ax b chia hết cho x x b) ax bx x 50 chia hết cho x 3x 10 GV: Trần Anh Tuấn Lop8.net (10) Chuyên đề BDHSG lớp c) ax bx chia hết cho ( x 1) d) x chia hết cho x ax b Bài 11: Tìm các hăng số a và b cho x ax b chia cho x thì dư 7, chia cho x thì dư -5 Bài 12: Tìm các số a, b, c cho ax bx c chia hết cho x , chia cho x thì dư x (Một số vấn đề phát triển Đại số 8) Bài 13: Cho đa thức: P( x) x x x ax b và Q( x) x x Xác định a, b để P(x) chia hết cho Q(x) Bài 14: Xác định a và b cho đa thức P( x) ax bx chia hết cho đa thức Q( x) ( x 1) Bài 15: Cho các đa thức P( x) x x ax 3x và Q( x) x x b Xác định a và b để P(x) chia hết cho Q(x) (23 chuyên đề toán sơ cấp) Dạng 2: Phương pháp nội suy NiuTơn Phương pháp: Để tìm đa thức P(x) bậc không quá n biết giá trị đa thức n + điểm C1 , C , C3 ,, C n 1 ta có thể biểu diễn P(x) dạng: P ( x) b0 b1 ( x C1 ) b2 ( x C1 )( x C ) bn ( x C1 )( x C ) ( x C n ) Bằng cách thay x các giá trị C1 , C , C3 ,, C n 1 vào biểu thức P(x) ta tính các hệ số b0 , b1 , b2 ,, bn Bµi tËp ¸p dông Bài 1: Tìm đa thức bậc hai P(x), biết: P(0) 25, P(1) 7, P(2) 9 Giải Đặt P( x) b0 b1 x b2 x( x 1) (1) b0 25 Thay x lần lượy 0; 1; vào (1) ta được: 25 b1 b1 18 25 18.2 b2 2.1 b2 Vậy, đa thức cần tìm có dạng: P ( x) 25 18 x x( x 1) P ( x) x 19 x 25 Bài 2: Tìm đa thức bậc P(x), biết: P(0) 10, P(1) 12, P(2) 4, P(3) Hướng dẫn: Đặt P( x) b0 b1 x b2 x( x 1) b3 x( x 1)( x 2) (1) Bài 3: Tìm đa thức bậc ba P(x), biết chia P(x) cho ( x 1), ( x 2), ( x 3) dư và P(-1) = - 18 Hướng dẫn: Đặt P( x) b0 b1 ( x 1) b2 ( x 1)( x 2) b3 ( x 1)( x 2)( x 3) (1) Bài 4: Cho đa thức bậc bốn P(x), thỏa mãn: P (1) P ( x) P ( x 1) x( x 1)(2 x 1), (1) a) Xác định P(x) b) Suy giá trị tổng S 1.2.3 2.3.5 n(n 1)(2n 1), (n N * ) Hướng dẫn: Thay x 0; 1; 2; vào (1), ta : 10 GV: Trần Anh Tuấn Lop8.net (11) Chuyên đề BDHSG lớp P (1) P (2) P (2) 0, P (0) P (1) P (0) P (1) P (0) 1.2.3 P (1) P (2) P (1) 2.3.5 P (2) 36 Đặt P( x) b0 b1 ( x 1) b2 ( x 1) x b3 ( x 1) x( x 1) b4 ( x 1) x( x 1)( x 2) (2) Thay x -1; 0; 1; 2; -2 vào (2) ta được: b0 b1 b1 0, b2 2.1 b2 3, 36 3.3.2 b3 3.2.1 b3 3.(1)(2) 3.(1)(2)(3) b4 (1)(2)(3)(4) b4 Vậy, đa thức cần tìm có dạng: 1 P ( x) 3( x 1) x 3( x 1) x( x 1) ( x 1) x( x 1)( x 2) x( x 1) ( x 2) 2 (Tuyển chọn bài thi HSG Toán THCS) Bài 5: cho đa thức P( x) ax bx c, (a, b, c 0) Cho biết 2a 3b 6c 1) Tính a, b, c theo P(0), P , P(1) 2 2) Chứng minh rằng: P(0), P , P(1) không thể cùng âm cùng dương 2 P (0) 19 Bài 6: Tìm đa thức bậc hai, cho biết: P(1) 85 P (2) 1985 Chuyên đề: Biển đổi phân thức hữu tỉ VÝ dô a) Chøng minh r»ng ph©n sè 3n + lµ ph©n sè tèi gi¶n nN ; 5n + n2 + b) Cho ph©n sè A = (nN) Cã bao nhiªu sè tù nhiªn n nhá h¬n n+ 2009 cho ph©n sè A cha tèi gi¶n TÝnh tæng cña tÊt c¶ c¸c sè tù nhiên đó Lêi gi¶i a) §Æt d = ¦CLN(5n + ; 3n + 1) 3(5n + 2) – 5(3n + 1) d hay d d = 3n + VËy ph©n sè lµ ph©n sè tèi gi¶n 5n + 11 GV: Trần Anh Tuấn Lop8.net (12) Chuyên đề BDHSG lớp 29 29 §Ó A cha tèi gi¶n th× ph©n sè ph¶i n+ n+ chưa tối giản Suy n + phải chia hết cho các ước dương lớn h¬n cña 29 V× 29 lµ sè nguyªn tè nªn ta cã n + 29 n + =29k (k N) hay n=29k – Theo điều kiện đề bài thì ≤ n = 29k – < 2009 ≤ k ≤ 69 hay k{1; 2;…; 69} Vậy có 69 số tự nhiên n thỏa mãn điều kiện đề bài Tæng cña c¸c sè nµy lµ : 29(1 + + … + 69) – 5.69 = 69690 b) Ta cã A = n - + VÝ dô Cho a, b, c ≠ vµ a + b + c ≠ tháa m·n ®iÒu kiÖn 1 1 + + = a b c a+ b+ c Chứng minh ba số a, b, c có hai số đối Từ đó suy : 1 1 + 2009 + 2009 = 2009 2009 2009 a b c a + b + c2009 Lêi gi¶i 1 1 1 1 Ta cã : + + = + + =0 a b c a+ b+ c a b c a+ b+ c a+ b a+ b c(a + b + c) + ab + = (a + b) =0 ab c(a + b + c) abc(a + b + c) éa + b = éa = - b ê ê (a + b)(b + c)(c + a) = êb + c = êb = - c ®pcm ê ê êc + a = êc = - a ë ë 1 + 2009 = 2009 2009 a b c a (- c) c a 1 = 2009 = 2009 2009 2009 2009 2009 2009 a +b +c a + (- c) + c a 1 1 2009 + 2009 + 2009 = 2009 2009 a b c a + b + c2009 VÝ dô §¬n gi¶n biÓu thøc : ö ö ö æ æ æ ç1 + ÷ çç + ÷ çç1 + ÷ A= + + ÷ ÷ ÷ 3ç 3 2 ÷ ø (a + b) çèa ø (a + b) çèa b ø (a + b) çèa b ÷ b ÷ Lêi gi¶i §Æt S = a + b vµ P = ab Suy : a2 + b2 = (a + b)2 – 2ab = S - 2P a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b) = S - 3SP 1 a+ b S 1 a + b S - 2P = ; 2+ 2= Do đó : + = = ; a b ab P a b a2b2 P2 Từ đó suy : 2009 + 2009 + 2009 = 2009 + 12 GV: Trần Anh Tuấn Lop8.net (13) Chuyên đề BDHSG lớp 1 a + b S - 3SP + = = a3 b3 a 3b3 P3 S - 3SP S - 2P S Ta cã : A = + + S P3 S P2 S P = S - 3P 3(S - 2P) (S - 3S P) + (3S P - 6P ) + 6P S4 + + = = S2P3 S4P2 S P S 4P3 S P 1 Hay A = = 3 P ab VÝ dô Cho a, b, c lµ ba sè ph©n biÖt Chøng minh r»ng gi¸ trÞ cña biÓu thøc sau kh«ng phô thuéc vµo gi¸ trÞ cña x : (x - a)(x - b) (x - b)(x - c) (x - c)(x - a) S(x) = + + (c - a)(c - b) (a - b)(a - c) (b - c)(b - a) Lêi gi¶i C¸ch x - (a + b)x + ab x - (b + c)x + bc x - (c + a)x + ca S(x) = + + = Ax2 (c - a)(c - b) (a - b)(a - c) (b - c)(b - a) – Bx + C 1 víi : A = ; + + (c - a)(c - b) (a - b)(a - c) (b - c)(b - a) a+ b b+ c c+ a ; B= + + (c - a)(c - b) (a - b)(a - c) (b - c)(b - a) ab bc ca C= + + (c - a)(c - b) (a - b)(a - c) (b - c)(b - a) b- a + c- b + a- c Ta cã : A = = 0; (a - b)(b - c)(c - a) (a + b)(b - a) + (b + c)(c - b) + (c + a)(a - c) B= (a - b)(b - c)(c - a) b - a + c2 - a + a - c2 = =0 ; (a - b)(b - c)(c - a) C= ab(b - a) + bc(c - b) + ca(a - c) ab(b - a) + bc[(c - a) + (a - b)] + ca(a - c) = (a - b)(b - c)(c - a) (a - b)(b - c)(c - a) (a - b)(bc - ab) + (c - a)(bc - ca) (a - b)(b - c)(c - a) = = (a - b)(b - c)(c - a) (a - b)(b - c)(c - a) VËy S(x) = 1x (®pcm) C¸ch Đặt P(x) = S(x) – thì đa thức P(x) là đa thức có bậc không vượt quá Do đó, P(x) có tối đa hai nghiệm = 13 GV: Trần Anh Tuấn Lop8.net (14) Chuyên đề BDHSG lớp NhËn xÐt : P(a) = P(b) = P(c) = a, b, c lµ ba nghiÖm ph©n biÖt cña P(x) §iÒu nµy chØ x¶y vµ chØ P(x) lµ ®a thøc kh«ng, tøc lµ P(x) = x Suy S(x) = x ®pcm VÝ dô Cho x + = TÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau : x 1 1 a) A = x + ; b) B = x + ; c) C = x + ; d) D = x + x x x x Lêi gi¶i ö æ a) A = x + = ç x+ ÷ ÷ - = 9- = ; ç ç è ø x x÷ æ 1÷ ö æ 1ö ççx + ÷= 27 - = 18 ; b) B = x + = ççx + ÷ ÷ ÷ ç ç è è ø x xø x÷ ö æ c) C = x + = ççx + ÷ ÷ - = 49 - = 47 ; çè ø x x ÷ æ ö 1 öæ ççx + ÷ = x + + x + = D + D = 7.18 – = d) A.B = ççx + ÷ ÷ ÷ çè ç øè ø x ÷ x ÷ x x5 123 ax + b c Ví dụ Xác định các số a, b, c cho : = + (x + 1)(x - 1) x + x - Lêi gi¶i Ta cã : ax + b c (ax + b)(x - 1) + c(x + 1) (a + c)x + (b - a)x + (c - b) + = = x2 + x - (x + 1)(x - 1) (x + 1)(x - 1) §ång nhÊt ph©n thøc trªn víi ph©n thøc , ta ®îc : (x + 1)(x - 1) ìï a + c = ìï a = - ï ï - x- 1 ïí b - a = Û ïí b = - VËy = + ïï ïï (x + 1)(x - 1) x + x - ïîï c - b = ïîï c = 14 GV: Trần Anh Tuấn Lop8.net (15) Chuyên đề BDHSG lớp Chuyên đề: Giải phương trình I/Phương trình ax+b=0 (1) và phương trình đưa dạng (1) *Cách giải: (Biến đổi và đưa hết vế sau đó rút gọn thành dạng ax+b=0) TH1:a=0 b thì phương trình (1)vô nghiệm b=0 thì phương trình (1) vô số nghiệm TH2:a thì phương trình (1) có nghiệm x= b a *Ví dụ: a)3x+1=7x-11 b1: 3x+1-7x+11=0 (biến đổi và chuyển vế) b2: -4x+12=0 (rút gọn dạng ax+b=0) b3: x= 12 3 4 b)1,2-(x-0,8)= -2(0,9+x) 1,2-x+0,8+1,8+2x=0 x+3,8=0 x= -3,8 *Các bài tập tương tự: a)7x+21=0 c)5x-2=0 e)0.25x+1,5=0 g) x b)12-6x=0 d)-2x+14=0 f)6,36-5,3x=0 h) 5 x x 10 i)11-2x=x-1 l)2(x+1)=3+2x n)2,3x-2(0,7+2x)=3,6-1,7x k)5-3x=6x+7 m)2(1-1,5x)+3x=0 o)3,6-0,5(2x+1)=x-0,25(2-4x) p)3(2,2-03x)=2,6+(0,1x-4) q) 13 v) x x 5 5 7x 20 x 1,5 s) 5( x 9) x 3 1 2x 6 3x 2( x 7) 5 w) 5( x 1) x 2(2 x 1) 5 y) II/Phương trình tích: A *Cách giải: Pt:A.B=0 B (A=0 (1) B=0 (2) ) 15 GV: Trần Anh Tuấn Lop8.net (16) Chuyên đề BDHSG lớp Ta có pt (1),(2) là phương trình bậc cách giải tương tự phần trên (Chú ý các phương trình chưa có dạng A.B=0 ta đưa dạng A.B=0 cách phân tích thành nhân tử ) *Ví dụ: a)(4x-10)(24+5x)=0 x 10 (1) 24 x (2) 10 Từ (1) x= (2) x= 24 Vậy phương trình có nghiệm x= 10 24 x= b)(x-1)(5x+3)=(3x-8)(x-1) (x-1)(5x+3)-(3x-8)(x-1)=0 (x-1)(2x+11)=0 x 1 x 1 x 11 x 11 *Các bài tập tương tự: a)(3,5-7x)(0,1x+2,3)=0 x 2(1 x) 0 2( x 3) x 0 b)(3x-2) c)(3,3-11x) d) ( x 5)(2 x 1) e) (2 x 7)( x 10 3) g)3x(25x+15)-35(5x+3)=0 i)(2x2+1)(4x-3)=(2x2+1)(x-12) l)(x+2)(3-4x)=x2+4x+4 n)x3+1=x(x+1) p)x3+x2+x+1=0 r)4x2-12x+5=0 t)2x2+5x+3=0 f) (2 3x 5)(2,5 x 2) h)(2-3x)(x+11)=(3x-2)(2-5x) k)(2x-1)2+(2-x)(2x-1)=0 m)(x-1)(x2+5x-2)-(x2-1)=0 0)x2+(x=2) (11x-7)=4 q)x2-3x+2=0 s)-x2+5x-6=0 y) x 3( x 2) 16 GV: Trần Anh Tuấn Lop8.net (17)