Giaûi phöông trình: 4 x 4 HD: Nhẩm nghiệm, thực hiện phép chia đa thức hoặc sử dụng sơ đồ HOÓC NE để biến đổi vế dạng phöông trình tích... Tìm soá nguyeân k nhoû nhaát sao cho phöô[r]
(1)http://violet.vn/nguyenthanh1981 NHỮNG BAØI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN PT BẬC HAI A-MUÏC TIEÂU: HS:Nắm các phương pháp giải toán liên quan đến pt bậc hai HS:Biết các sai lầm cần tránh HS:Biết vận dụng các phương pháp vào giải toán B-THỜI LƯỢNG:7 tiết lý thuyết và Luyện tập -1tiết kiểm tra Tieát 1,2: I-BAØI TOÁN 1: Biện luận theo m có nghiêm PT bậc hai ax2+bx +c = (a 0)(1) PHÖÔNG PHAÙP GIAÛI: Xet heä soá a coù hai khaû naêng: a) Trường hợp a = với giá trị nào đó m Giả sử a = <=> m = m0 ta có (1) trở thành PT bậc bx + c =0 Ta bieân luaän tieáp b) Trường hợp a Lập biệt số = b2 –4ac ’ = b’2 –ac Biện luận théo trường hơp : > ; = ; < Sau đó tóm tắt phần biên luận trên II BAØI TOÁN 2: Tìm ĐK tham số để pt có nghiệm: Coù hai khaû naêng xaåy : a) a = 0, b b) a , III BAØI TOÁN 3: Tìm ĐK tham số để PT có nghiệm phân biệt: a IV BAØI TOÁN 4:Tìm ĐK tham số để PT có nghiệm: a a V b V BAØI TOÁN 5: 1) Ñieàu kieân hai nghieäm cuøng daáu 0; P 2) Điều kiện để hai nghiêm điều dương: 0 c P 0 a S b a 3) Điều kiện để hai nghiêm điều âm: 0 c P 0 a S b a 3) Điều kiện để hai nghiêm trái dấu: P< a và c trái dấu VI-BAØI TOÁN TÌM ĐK để PT có nghiêm x = x1 tìm nghiệm kia: Lop7.net (2) http://violet.vn/nguyenthanh1981 Ta thay x = x1 vaøo (1) Giaûi tìm m Hoặc dựa vào S ;P tìm m VII-BAØI TOÁN 7:Tìm ĐK m để PT có hai nghiệm thoã mãn các ĐK: 1 2 2 1)x1 x 2) x1 x k 3) x1 x h 4) n x1 x 3 5) x1 x t PHÖÔNG PHAÙP GIAÛI: b x1 x a Ñieàu kieân chung : Theo Ñònh lyù Vi et ta coù : c x1 x a b x1 x a)Trường hợp : x1 x (3) Ta giải HPT a => x1 ;x2 Thay caùc giaù trò x1x2 vaøo x1 x c x1x2 = giaûi tìm giaù trò cuûa tham soá a b)Trường hợp :x12+x22 = k <=> (x1+x2)2 –2x1x2 = k Thay tổng và tích giải tìm giá trị thamsố m c) Trường hợp : x12+x22 h <=> (x1+x2)2 –2x1x2 h Giải BPT tìm m Một số ví dụ minh hoạ : Ví dụ :Biện luận theo m có nghiệm PT x2 –4x +m = (1) Trước hết ta tính = b2 –4ac = = 4-m a) Neáu 4-m > thì pt coù hai nghieäm phaân bieät b) Neáu 4-m = thì PT coù nghieäm keùp c) Neáu 4- m <0 thì PT voâ nghieäm Ví duï 2: Cho PT x2- 3x –m = a) Tìm m để PT có nghiệm b) Tìm m để pT có nghiệm là –2 tìm nghiệm còn lại HD: = b2 –4ac = +4m a) Đẻ PT có nghiệm thì 9+ 4m b) PT có nghiêm là –2 Do đó (-)2 +3(-2) – m = <=> Giải PTb tìm giá trị m Ví dụ 3: Xác định m để PT x2 –(m+5) x – m + = có hai nghiêm x1 và x2 thõa mãn: a) Nghiệm này lớn nghiệm đơn vị b) 2x1+ 3x2 = 13 HD:Tính = m2 +14m +1 PT coù hai nghieäm <=> m2 +14m +1 Giaûi BPT xaùc ñònh m a) Giả sử x1 > x2 ta có Hệ thức; x x1 1(1) (I ) x1 x m 5(2) x x m 6(3) Giaûi HPT tìm m b) Giải Tương tự câu a Ví duï 4: Cho PT x2 +ax +a+7 = 0(1) Tìm tất các giá trị m cho pt có hai nghiệm thõa mãn hệ thức x12+x22 = 10 HD: = a2-4a –28 PT coù hai nghieäm <=> a2-4a –28 Biến đổi x12+x22 = 10 <=> (x1+x2)2 –2x1x2 = 10 Lop7.net (3) http://violet.vn/nguyenthanh1981 Thay toång vaø tích roài giaûi PT tìm m Ví duï 5: Cho PT x2+ax x +1 = Tìm các giá trị a để PT có hai nghiệm thoã mãn x2 x2 x1 LUYEÄN TAÄP: Tieát 3,4,5,6,7 Baøi 1: (TN 1996) bx c (a 0) Viết bảng tóm tắc công thức nghiệm phương trình bậc hai: ax Giaûi caùc phöông trình: 3 11 y 19 a/ y 12t b/ 4t Baøi 2: (TN 2001) 2(m 1) x m 3m với m là tham số Cho phöông trình baäc hai: x Giải phương trình với m = Với giá trị nào m thì phương trình đã cho có nghiệm Baøi 3: (TS 10 - 1993) (1 m) x m (1) với m là tham số Cho phöông trình : x Giải phương trình (1) với m = 2 Xác định m để phương trình (1) có nghiệm -2 Chứng minh phương trình (1) luôn luôn có nghiệm với m Baøi 4: (TS 10 - 1996) (m 1) x 3(m 1) (1) với m là tham số Cho phöông trình : mx Giaûi phöông trình (1) m = 2 Tìm m để phương trình (1) có nghiệm kép Giả sử phương trình (1) có nghiệm khác là x1 và x2 Chứng minh rằng: 1 x1 x2 Bài 5*: (TS 10 Trường chuyên Nguyễn Du - 1996) 1 1 2 x x 20 x 11x 30 x 13 x 42 18 x 2x x2 2x Tìm nghieäm nguyeân cuûa phöông trình sau: x 2x x2 2x Giaûi phöông trình sau: HD: R \ 4; 5; 6; 7 1) Taäp xaùc ñònh D x x 20 x 11x 30 x 13 x 42 x x 5 x 5 x x x 1 x x x trình đưa đến nghiệm x 13; x Biến đổi phương trình: 1 x x x 2) Taäp xaùc ñònh D R Lop7.net , từ đó có cách giải phương 18 (4) http://violet.vn/nguyenthanh1981 x 1 x 2x Ñaët t t x 0; x t 1 t Z , ta coù t t 1 1, t t , ta loại nghiệm t Với t Baøi 6: (TS 10 THPT Chuyeân ban - 1997) 2mx 2m 3 (1) Cho phöông trình: x Giaûi phöông trình (1) m = Chứng minh phương trình (1) luôn luôn có hai nghiệm phân biệt với m Tìm m để có tam giác vuông cạnh huyền 14 và hai cạnh góc vuông có độ dài x1 vaø x2 laø hai nghieäm cuûa (1) HD: Với 3) chú ý điều kiện x1 0, x2 x1 x2 x1 x2 0 Baøi 7*: (TS 10 Chuyeân Toùan - Tin (voøng 1)_ ÑHTH Tp Hoà Chí Minh - 1996_1997) 4 x 3 Giaûi phöông trình: x a HD: Phöông trình: x x b M , ta ñaët t x ab n , ñöa veà daïng mt mt n M, biến đổi dạng phương trình trùng phương theo t Moät soá phöông trình tham khaûo: 4 x x x x 1 3 256 97 Baøi 8*: (TS 10 Chuyeân Toùan - Tin (voøng 2)_ ÑHTH Tp Hoà Chí Minh - 1996_1997) px ; c, d laø hai nghieäm cuûa phöông trình: Goïi a, b laø hai nghieäm cuûa phöông trình: x c a d b c b d y qy Chứng minh hệ thức: a b a c d HD: Aùp duïng ñònh lyù Víeùt ta coù heä ab cd p q p q , sử dụng để biến đổi VT VP Baøi 9: (TS 10 Chuyeân Toùan, Nguyeãn Du 1997_1998) x3 x 3x Giaûi phöông trình: x HD: Nhẩm nghiệm, thực phép chia đa thức sử dụng sơ đồ HOÓC NE để biến đổi vế dạng phöông trình tích Baøi 10: (TS 10 THPT 2003_2004) Cho phöông trình: x x kx 1 Giaûi phöông trình treân k = -1 Tìm soá nguyeân k nhoû nhaát cho phöông trình (1) voâ nghieäm Bài 11: (TS 10 môn: Tóan chuyên, Trường chuyên Nguyễn Du 2003_2004) px q (aån x) Goïi x1, x2 laø caùc nghieäm cuûa phöông trình Cho phöông trình: x Xaùc ñònh caùc heä soá p, q bieát x1, x2 thoûa: x1 x2 vaø x13 x23 35 1, n N pS n qS n với n Đặt Sn x1n x2n Chứng minh rằng: Sn 1 Giả sử x1, x2 là các số nguyên và p + q = 198 Tìm x1, x2 Baøi giaûi: Lop7.net (5) http://violet.vn/nguyenthanh1981 Vì x1 , x2 laø caùc nghieäm cuûa phöông trình neân ta coù : x1n 1 x12 px1 q x12 px1 q n 1 px2 q px2 q x2 x2 x2 * S n 1 pS n qS n , với n N * x2 x1 x1 x2 q p Theo ñònh lyù Víet ta coù Ta coù p q x1 x2 x1 x2 198 x n 1 x2n p x1n x2n q x1n x2n p q , kết hợp với giả thiết ta tìm x1 1 x2 1 199 * Bài toán quy việc tìm nghiệm nguyeân x1 , x2 cuûa phöông trình (*) Do 199 laø soá nguyeân toá neân: x 199 x1 x2 1 x2 * 199 x1 200 x1 x2 x2 198 Bài tập tương tự: Gọi x1 , x2 là nghiệm phương trình ax bx c n n Đặt Sn x1 x2 , với n 1, 2, Chứng minh aSn 2 bS n cS n * 1 5 Aùp duïng tính A 2 x1 x2 x1 HD: Ñaët Vaäy x1 , x2 laø nghieäm cuûa phöông trình x x 1 x1 x2 x 2 Aùp duïng (*) cho (2) ta coù A 18 2 Bài 12*: (Thi chọn Học sinh giỏi Thành phố BMT môn tóan lớp -1996_1997) Giaûi phöông trình: 3x 6x x 10 x 14 x x HD: Dùng phương pháp đánh giá vế phương trình x 6x x 1 x 1 x 10 x 14 2x x2 x 1 2 1 2 Từ (1), (2) và (3) ta có VT VP x 3 Bài tập tương tự: Chứng minh phương trình sau vô nghiệm: * x x 11 x x 13 x x HD: VT x 3 x 3 x 32 Từ * x 2 0 4 x 2 2 x , heä phöông trình voâ nghieäm, neân (*) voâ nghieäm x Bài 13**: (Thi chọn Học sinh giỏi Tỉnh Daklak môn Tóan lớp -1996_1997) ax với nghiệm nào đó phương Bieát raèng, tích moät nghieäm cuûa phöông trình x 2 trình x bx laø nghieäm cuûa phöông trình x cx 2 b c abc Chứng minh rằng: a Bài 14: (Thi chọn Học sinh giỏi Tỉnh Daklak môn Tóan lớp -2000_2001) 1 x 2 a 1 x a với a là tham số Cho phöông trình a Lop7.net (6) http://violet.vn/nguyenthanh1981 Tìm điều kiện tham số a để phương trình có hai nghiệm phân biệt Với giá trị nào tham số a thì phương trình có nghiệm 3? Tính nghiệm còn laïi Với giá trị nào tham số a thì phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn hệ thức: x1 x2 x1 x2 Bài 15: (Thi chọn Học sinh giỏi Tỉnh Daklak môn Tóan lớp -1998_1999) Cho phöông trình aån x: a 1 x 2 a b x b 1 Với giá trị nào a thì (1) là phương trình bậc hai Giaûi phöông trình (1) a 1; b 3 Chứng minh phương trình (1) luôn có nghiệm với giá trị a và b Bài 16: (Thi chọn Học sinh giỏi Tỉnh Daklak môn Tóan lớp -1999_2000) Cho phöông trình x mx m Với giá trị nào m thì phương trình (1) có nghiệm Gọi x1 , x2 là các nghiệm phương trình (1), tìm giá trị lớn của: P x1 x2 x x22 1 x1 x2 Bài 17: (Thi chọn Học sinh giỏi cấp huyện môn Tóan lớp -2000_2001) Cho phöông trình (a, b laø tham soá): ax ab 1 x b Chứng minh phương trình trên luôn có nghiệm Tìm giá trị a, b để phương trình có nghiệm kép là: Bài 18: (Thi chọn Học sinh giỏi Tỉnh Daklak môn Tóan lớp -2001_2002) x a 1 a traùi daáu? Với giá trị nào a thì các nghiệm phương trình x px 35 , bieát raèng toång bình phöông hai nghieäm baèng 74 Giaûi phöông trình x Bài 19: (Thi chọn Học sinh giỏi Tỉnh Daklak môn Tóan lớp -2002_2003) Goïi x1, x2 laø nghieäm cuûa phöông trình: x m x m2 3m , m laø tham soá Xaùc ñònh m cho x12 x22 mx x1 Chứng minh rằng: 1 mx22 x2 121 Bài 20: (Thi chọn Học sinh giỏi Tỉnh Daklak môn Tóan lớp -2003_2004) Giả sử a, b, c khác đôi và c Chứng minh phương trình x ax bc vaø phöông trình x bx ca có đúng nghiệm chung thì nghiệm khác các phương trình đó thỏa mãn phương trình x cx ab HD: (Sử dụng định lý Viét) x0 ax0 bc Goïi x0 laø nghieäm chung cuûa (1) vaø (2), ta coù bx0 ca x0 b x0 c a b a laàn lượt laø caùc x0 nghieäm 4 5 , trừ (4) cho (5) vế theo vế ta c gt , vaäy nghieäm chung cuûa (1) vaø (2) laø x0 c Goïi x1 vaø x2 khaùc cuûa (1) Lop7.net vaø (2), theo ñònh lyù Víet ta coù (7) http://violet.vn/nguyenthanh1981 x0 x1 bc x1 b x0 x2 ca x2 a b ab bc ab ca a b bc ab a ca ab Hay a vaø b laø nghieäm cuûa (3) Ñaây laø điều cần chứng minh Bài 21: Chứng minh phương trình x p1 x q1 q2 p1 p2 q2 p1 q1 p2 chung thì q1 1 vaø x p2 x q2 2 coù nghieäm * x p1 x q1 HD: Heä phöông trình coù nghieäm chung heä sau coù nghieäm coù nghieäm 2 p2 x q2 x p1 x q1 y Ñaët y x , ta coù heä p2 x q2 y q2 q1 x p1 p2 Neáu p1 p2 : Giaûi heä phöông trình naøy ta coù nghieäm Do y x q p p q y p2 p1 q p p q q q Suy 2 , khai triển và biến đổi ta có (*) p1 p2 p1 p2 y q1 p x Neáu p1 p2 ta coù heä Hệ này có nghiệm q1 q2 , đó rõ ràng (*) y q2 p1 x đúng Vậy (*) đã chứng minh Baøi taäp veà ñieàu kieân coù nghieäm chung: Xác định m để hai phương trình sau có nghiệm chung: x mx 2m 1 mx 2m 1 x 2 HD: 1 x0 mx0 2m Neáu x0 laø nghieäm chung thì , dễ thấy x0 (từ (2)) 2 mx m x 0 Nhân x0 vào (1) cộng với (2) vế theo vế x03 x0 , thay x0 vaøo (1) vaø (2) ruùt m Bài 22: (Thi chọn Học sinh giỏi cấp Huyện môn Tóan lớp -2003_2004) x 13 x 15 (HD: x 1 x 3 x ) Giaûi phöông trình x3 Bài 23: (Thi chọn Học sinh giỏi cấp Huyện môn Tóan lớp -2003_2004) Giaûi phöông trình: x x 18 x 14 x 16 x 2 x (Xem baøi giaûi cuûa baøi 14 vaø 14’) Cho phöông trình: x 2m 1 x m Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thoõa maõn: 3x1 4 x2 11 Bài 24: Chứng minh phương trình x mx n x mx n(a a a ) a 2 cuõng coù nghieäm HD: Với (1) có nghiệm ta có m 4m 3 Lop7.net 1 coù nghieäm, thì phöông trình: (8) http://violet.vn/nguyenthanh1981 1 Kết hợp với (3) đó (2) có m a a 4n a a 2 a a m 4m Vaäy (2) coù nghieäm Bài 25: Chứng minh các phương trình bậc hai: x p1 x q1 vaø x p2 x q2 coù caùc hệ số thỏa mãn điều kiện p1 p2 2 q1 q2 thì ít phương trình đó có nghiệm 2 HD: p1 4q1 , p2 4q2 1 q1 q2 Từ p1 p2 p1 p2 , q1 q2 p1 neân 1 p2 p1 p1 p1 p2 p2 p2 q1 q2 1 Do đó số 1; laø khoâng aâm neân ít nhaát phöông trình treân coù nghieäm Bài 26*: Chứng minh ít các phương trình bậc hai sau đây có nghiệm: ax 2bx c bx 2cx a cx 2ax b 1 (HD: 3 2 bc b c , b 4c b c c a 0) 1 1 Chứng minh ít phương trình sau b c , x cx b Baøi 27*: Cho a, b laø soá cho ñaây coù nghieäm: x bx c HD: Từ (1) suy ra: a b c 4b b c b c b c 2bc b c Do đó ít phöông trình treân coù nghieäm Baøi 28*: Phöông trình ax bx c có đúng nghiệm dương là x1 chứng minh bx a có đúng nghiệm dương x2 và x1 x2 phöông trình cx HD: (Chú ý thứ tự các hệ phương trình) Giả sử x1 là nghiệm (1), đó ta có ax12 bx1 c , chia veá cuûa phöông trình cho 1 ta a b c x1 x1 x1 Khi đó x1 x1 x1 c x1 x1 x2 b x1 a , nghóa laø (2) nhaän x2 x1 x1 laøm nghieäm Bài 29: Giả sử phương trình ax bx c có nghiệm dương x1 , x2 Chứng minh phương * x2 x3 x4 bx a có nghiệm dương x3 , x4 Chứng minh x1 trình cx HD: Chia vế phương trình (1) cho x12 và x2 , ta có: 1 c b x1 x1 1 b c x2 x2 a , nghóa laø (2) nhaän a 1 vaø laøm nghieäm döông x3 , x4 cuûa noù x1 x2 Aùp dụng bất đẳng thức Côsi cho nghiệm x1 , x2 , x3 , x4 ta có kết Baøi 30: Cho phöông trình baäc hai: x mx m Lop7.net (9) http://violet.vn/nguyenthanh1981 Chứng tỏ phương trình có nghiệm x1 , x2 với m, tính nghiệm kép (nếu có) phương trình và giá trị m tương ứng x12 x22 x1 x2 Ñaët A m 8m a/ Chứng minh A b/ Tìm m cho A c/ Tìm giá trị nhỏ A và giá trị m tương ứng Baøi 31**: Giaûi caùc phöông trình sau: x 1 x x 1 x x 1 x 3 x x 297 x x x x 10 x 12 x 2 x3 2x2 2x 2 5 x3 3x 2 1 x x 1 1 3 4 6 1 2005 2006 7 1 9 x x 1 1 1.3 2.4 3.5 x x x 2 8 4 x x 2 x 2 x 2 2 x x 1 x x x 2 1 x x x x 1995 1995 10 x 1995 1995 x x 1996 x 1996 x 1996 x x 1996 19 49 10 HD: 1) Roõ raøng x khoâng thoûa (1) x 3x x x 2x x x x t trình t t t 8t t , Neân 1 2) x x 5 x x 21 297 2x t t 16 297 x Ñaët t 2x t 16t 297 , ta coù phöông x t 27 t 11 x x Giaûi tieáp Với t 3) 3 x 5 x 12 x 60 60 x 17 x 16 x x x 10 3x 4t t 1 Lop7.net x 60 17 x x 60 16 x x x t 2 4t 4t t (10) http://violet.vn/nguyenthanh1981 x (với t 60 16 ), x 2x x 4) Ñöa veà phöông trình tích x3 5) Ñaët aån phuï y x 5 y 1 y x 23 2 x y 1 y 2 x 0, x x 6) Khai trieån ruùt goïn x x3 x x , chia veá cho x roài ñaët t x , ta ñöa veà phöông x trình t 4t t 2 x 3 2 2 ; 2.4 ; 3.5 ; ; x( x 1) x 1 7) Vì: 1.3 1 1.3 1 2.4 x 1 x2 Neân 1 3.5 x x 2 2005 2006 x x 1 x 2004 x x 1 x x 8) Ñieàu kieän x Ta coù Neân x 1 x x x 1 VT x 1 R \ 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7 9) Taäp xaùc ñònh: D Nhóm hợp lý các phân thức ta được: 1 1 x 10 y y y 1 1 y y y 10 y 12 x 2x 2 x x x x 10 y 12 2x x 7x 2x x x 12 0 , với y x x , phương trình x y 6x y 22 y 120 x , y 18 y 90 , phöông trình voâ nghieäm 10) Đặt x 1995 y , y y y 1 y 1 y y y 1 y 1 2 19 y y 15 49 y y 3994 x Vaäy nghieäm cuûa phöông trình (10) laø 3996 x Bài 32: Định m để phương trình: m x 2 m 1 x m m coù nghieäm x1 , x2 vaø thieát lập hệ thức các nghiệm độc lập m Baøi 33: Cho phöông trình x m 1 x m 3m Tìm m để phương trình có nghiệm phân biệt x1 , x2 thõa mãn hệ thức 1 x1 x2 Tìm hệt thức liên hệ x1 , x2 mà không phụ thuộc vào m Baøi 34: Cho phöông trình: x mx m Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 cho x12 x22 đạt giá trị nhỏ Lop7.net (11) http://violet.vn/nguyenthanh1981 Baøi 35: Cho phöông trình x x coù caùc nghieäm x1 , x2 Khoâng giaûi phöông trình tính giaù x12 5 x1 x2 x22 trị biểu thức: A (ÑS ) 3 x1 x2 x1 x2 Bài 36**: Cho tam thức bậc hai f x ax bx c 1 a bf x c Chứng minh phương trình af x * voâ nghieäm Bieát raèng f x x 2 voâ nghieäm x R, f x x x R, f x x HD: Vì (2) voâ nghieäm neân x R, f x x x R, f f x * Neáu x R, af x bf x c f x x x R, f f x x x , hay (*) voâ nghieäm * Tương tự với trường hợp còn lại ta có (*) vô nghiệm Vaäy (*) voâ nghieäm Baøi 37*: 1 Chứng minh phương trình x x , coù nghieäm döông laø x0 thì x0 Chứng minh phương trình x3 3x 2 , coù nghieäm döông laø x0 thì x05 36 Chứng minh phương trình x ax b có nghiệm x0 Chứng minh x0 a b2 HD: Ta coù x0 x0 2 2.x0 x0 8 x0 x0 * (Aùp dụng bất đẳng thức Côsi, dấu bất đẳng thức không xảy vì x0 , không thỏa (1) Ta coù x03 x0 9.x0 x0 36 x0 x0 36 (Aùp dụng bất đẳng thức Côsi, dấu bất đẳng thức không xảy vì x0 , không thỏa (2) Ta coù a x0 ax0 b x0 Bunhiacoápxki ta coù: b x0 ax0 b x0 a b2 x0 x0 2 x0 x0 ax b a x0 b x0 ax0 b ax0 Aùp dụng bất đẳng thức b a b2 a b Vaäy x0 - - Lop7.net (12)